一、選擇題（每小題2分，共12分）
1. 下列圖案，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
B、該圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，符合題意；
C、該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；
D、該圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意．
故選：B．
2. 下列是二次函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A．，符合二次函數(shù)的定義，故該選項符合題意；
B．，不符合二次函數(shù)的定義，故該選項不符合題意；
C．，不是整式，不符合二次函數(shù)的定義，故該選項不符合題意；
D．，不是整式，不符合二次函數(shù)定義，故該選項不符合題意；
故選：A．
3. 下列事件屬于必然事件的是（ ）
A. 四邊形內(nèi)角和是
B. 校園排球比賽，九年級1 班獲得冠軍
C. 任意三條線段可以組成三角形
D. 打開電視，正在播放神舟十八號載人飛船發(fā)射實(shí)況
【答案】A
【解析】A、四邊形內(nèi)角和是，是必然事件，故A符合題意；
B、校園排球比賽，九年一班獲得冠軍，是隨機(jī)事件，故B不符合題意；
C、任意三條線段可以組成三角形是隨機(jī)事件，故C不符合題意;
D、打開電視，正在播放神舟十八號載人飛船發(fā)射實(shí)況，是隨機(jī)事件，故D不符合題意；
故選：A.
4. 如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. 30°D.
【答案】A
【解析】∵四邊形內(nèi)接于，，
∴，
∵點(diǎn)為中點(diǎn)，即，
∴，
∴，
故選A．
5. 一元二次方程的根的情況是（ ）
A. 沒有實(shí)數(shù)根B. 有兩個相等實(shí)數(shù)根
C. 有一個實(shí)數(shù)根D. 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
【答案】A
【解析】，
，
，則一元二次方程的根的情況是沒有實(shí)數(shù)根，
故選：A．
6. 如圖，將在平面內(nèi)繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，若，則的度數(shù)為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，
故選：C．
二、填空題（每小題3分，共24分）
7. 將拋物線向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度，所得到的拋物線為_______．
【答案】
【解析】先把拋物線先左平移個單位長度，
∴，
再向下平移個單位長度，
∴，
故答案為：．
8. 第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角最小為______度．
【答案】60
【解析】，
則這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后能夠與它本身重合，
故答案為：60．
9. 木箱里裝有僅顏色不同的15個紅球和若干個藍(lán)球，隨機(jī)從朱箱里摸出一個球，記下顏色后再放回，經(jīng)過多次的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近，則估計木箱中藍(lán)球有________個．
【答案】10
【解析】設(shè)木箱中藍(lán)球有x個，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，
則估計木箱中藍(lán)球有10個．
10. 關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是____________________．
【答案】且
【解析】根據(jù)題意得，
解得且．
11. 已知一個扇形的圓心角為，其弧長為，則該扇形的面積為________．
【答案】
【解析】設(shè)扇形的半徑為，
扇形的圓心角為，弧長為，
，
解得：，
扇形的面積為，
故答案為：．
12. 若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則k的值為______．
【答案】
【解析】由題意，得且，
解得，
故答案為：．
13. 如圖，四邊形內(nèi)接于是直徑，過C點(diǎn)的切線與的延長線交于P點(diǎn)，若，則的度數(shù)為___________．
【答案】
【解析】連接，如圖：
由題意可得，，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
∴，
∴，
故答案為：．
14. 要修一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達(dá)到最高，高度為，水柱落地處離池中心，水管高度應(yīng)為______．
【答案】
【解析】設(shè)拋物線的解析式為
由題意可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的一個交點(diǎn)為，
，
解得：，
拋物線的解析式為：，
當(dāng)x=0時，，
水管的高度為．
三、解答題（每小題5分，共20分）
15. 解方程：.
解：,
,
,
∴．
16. 如圖，兩個轉(zhuǎn)盤分別被分成四等分和三等分，并標(biāo)有數(shù)字．兩個轉(zhuǎn)盤開始旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)停止時，每個轉(zhuǎn)盤上的箭頭各指向一個數(shù)字，若某個轉(zhuǎn)盤的指針指向分隔線時，則重新旋轉(zhuǎn)，直到指針指向數(shù)字所在的區(qū)域．通過畫樹狀圖或列表法求這兩個轉(zhuǎn)盤上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．
解：列表如下：
共有12種等可能結(jié)果數(shù)，和為偶數(shù)的有5個
所以（和為偶數(shù)）.
17. 如圖，的弦相交于點(diǎn)，求證：．
證明：如圖，連接，
，
，
，
，
由圓周角定理得：，
在和中，，
∴，
．
18. 央廣網(wǎng)年月日消息，貴州省宣布最后的個貧困縣脫貧．其中某縣某果農(nóng)年的年收入為萬元，由于黨的精準(zhǔn)扶貧的相關(guān)政策的落實(shí)，年年收入增加到萬元，求平均每年年收入的增長率．
解：設(shè)平均每年年收入的增長率為，
依題意得：，
解得：，（不合題意，舍去），
答：平均每年年收入的增長率為．
四、解答題（每小題7分，共28分）
19. 如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O0,0，A5,0，．將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為．
（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)經(jīng)過的路徑的長（結(jié)果保留）．
解：（1）如圖所示，即為所求，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）由圖知，
，，
∴點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中所走過的路徑長為．
20. 已知，如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在同一個圓上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．
（1）求∠A、∠B的度數(shù)；
（2）若D為的中點(diǎn)，AB＝4，BC＝3，求四邊形ABCD的面積．
解：（1）設(shè)∠A、∠B、∠C分別為2x、3x、4x，
∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，
解得，x＝30°，
∴∠A、∠B分別為60°、90°；
（2）連接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC為圓的直徑，AC＝＝5，△ABC的面積＝×3×4＝6，∠D＝90°，
∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝AC＝，
∴△ADC的面積＝，∴四邊形ABCD的面積＝6+＝．
21. 已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，且剛好平分的面積，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
解：（1）∵拋物線過點(diǎn)，
∴，
把代入，
得，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）令，解得，，
∴，即，
連接，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
由題意，得，
∴，
∴，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．
22. 如圖，AB是的直徑，是弦，D是的中點(diǎn)，CD與AB交于點(diǎn)E．F是AB延長線上的一點(diǎn)，且．
（1）求證：CF為切線；
（2）連接BD．若，，求BD的長．
（1）證明：如圖，連接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直徑，D是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，即，
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）解：設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
五、解答題（每小題8分，共16分）
23. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一段圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A、B、C．
（1）請在圖中標(biāo)出圓心P點(diǎn)位置，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；的半徑為_______；
（2）判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系；
（3）若扇形是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面積_______．
解：（1）如圖，點(diǎn)P為所作，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵，
∴，即的半徑為；

故答案為：；
（2）∵，
∴，
∴的長等于圓的半徑，
∴點(diǎn)M在上；
（3）∵，，
∴，
∴為直角三角形，，
設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得，
解得，
∴該圓錐的底面積．
24. 【問題初探】（1）如圖1，為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，滿足，，，試求的大小.李明同學(xué)的思路是：將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，再連接.將求分成求和的和即可.請你按照李明同學(xué)給出的旋轉(zhuǎn)的思路，求的大小；
【問題解決】（2）如圖2，在正方形中，，分別為，邊上的點(diǎn)，滿足，若，，求的面積；
【問題拓展】（3）如圖3，在四邊形，，，，求的長.
解：（1）如圖，將繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則
，，
∴為等邊三角形.
∴，
又∵
∴
∴ 是直角三角形，，

（2）由正方形的性質(zhì)得：，，
如圖，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
∴，
，
∵，，，

（3）∵，，
∴是等腰直角三角形，，
如圖，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接.
則，，，
為等腰直角三角形.
，
又
六、解答題 （每小題10分，共20分）
25. 如圖所示，在中．，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動．當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則同時停止運(yùn)動．

（1）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么幾秒后，的面積為．
（2）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么幾秒后，的長度等于．
（3）在（1）中的面積能否等于？說明理由．
解：（1）設(shè)x秒后，的面積為，
此時，，，，
則，
令，即，
整理得：，
解得：或，
當(dāng)時，，說明此時點(diǎn)Q越過點(diǎn)C，不合要求，舍去，
答：1秒后的面積為；
（2）由，得，
整理得，
解方程得：（舍去），，
所以2秒后的長度等于；
（3）的面積不可能等于，理由如下：
設(shè)
即，整理得，
∵，
∴方程沒有實(shí)數(shù)根，
所以的面積不可能等于．
26. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，且，拋物線圖象經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．
（1）求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)P是直線下方的拋物線上的一個動點(diǎn)，作于點(diǎn)D，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最大值．
解：（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，
∵，
∴，
∴點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
把點(diǎn)代入得：，解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：；
（3）∵直線過點(diǎn)，
∴可設(shè)其函數(shù)表達(dá)式為：，
將點(diǎn)代入得：
解得：，
故直線的表達(dá)式為：，
過點(diǎn)P作y軸的平行線交于點(diǎn)H，
∵，
，
∵軸，
，
∴，
∵，
∴，
設(shè)點(diǎn) ，則點(diǎn)，
∴，
∵，
∴有最大值，當(dāng)時，其最大值為，此時點(diǎn)．

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