一、選擇題（每小題2分，共12分）
1. 下列關(guān)系式中，是的反比例函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】．是的一次函數(shù)，故該選項不符合題意；
．是的反比例函數(shù)，故該選項符合題意；
．是的一次函數(shù)，故該選項不符合題意；
．不是的反次函數(shù)，故該選項不符合題意；
故選：B．
2. 下列四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
B、不軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
D、是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項正確．
故選：D．
3. 拋物線的頂點坐標(biāo)是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】拋物線的頂點坐標(biāo)是，
故選：A．
4. 已知是方程的一個根，則代數(shù)式的值為（ ）
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
【答案】D
【解析】是方程的一個根，
，即，
，
故選：D．
5. 下列事件屬于隨機(jī)事件的是（ ）
A. 地球繞著太陽轉(zhuǎn)B. 煮熟的鴨子飛走了
C. 擲一枚硬幣，正面朝上D. 一匹馬奔跑的速度是800米/秒
【答案】C
【解析】A．地球繞著太陽轉(zhuǎn)，是必然事件；
B．煮熟鴨子飛走了，是不可能事件；
C．?dāng)S一枚硬幣，正面朝上，是隨機(jī)事件；
D．一匹馬奔跑的速度是800米/秒，是不可能事件，
故選：C．
6. 如圖，四邊形內(nèi)接于，連接并延長交于點，連接．若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】連接、，如圖，
∵，
∴，
，
，
，
是直徑，
，
，
，
故選：．
二、填空題（每小題3分，共24分）
7. 一元二次方程 的解為_______．
【答案】
【解析】，
，
∴或，
解得，
故答案為：．
8. 若反比例函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，則的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】反比例函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，
∴
解得：，
故答案為：．
9. 將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到的函數(shù)圖象的解析式是______；
【答案】
【解析】的圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位，
得，
故答案為：．
10. 如圖所示的圖形繞著中心至少旋轉(zhuǎn)______度后，能與原圖形完全重合．
【答案】72
【解析】圖形可看作由一個基本圖形每次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)5次所組成，
故繞其中心至少旋轉(zhuǎn)72度后能與原圖案完全重合．
故答案為：72．
11. 反比例函數(shù)的圖象如圖所示，若的面積是5，則的值為______．
【答案】
【解析】令點的坐標(biāo)為，
則，
，
又∵點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
故答案為：．
12. 在一個不透明的袋子里有紅球、黃球共15個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次實驗發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋子中黃球的個數(shù)可能是________個．
【答案】9
【解析】設(shè)袋中紅球有x個，
根據(jù)題意，可得：，
解得：，
則黃球的個數(shù)為（個），
故答案為：9．
13. 在練習(xí)擲鉛球項目時，某同學(xué)擲出的鉛球直徑為，在操場地上砸出一個深的小坑，則該坑的直徑為______．

【答案】8
【解析】如圖，

根據(jù)題意得，D在上，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（負(fù)值已舍），
∴，
故答案為：8．
14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點是拋物線與軸的交點，點是這條拋物線上的另一點，且軸，則以為邊的正方形的周長為______．
【答案】
【解析】點是拋物線與軸的交點，點是這條拋物線上的另一點，且軸，
的橫坐標(biāo)為，、關(guān)于對稱軸對稱，
點的橫坐標(biāo)是，則
即正方形的邊長是，
所以正方形的周長是，
故答案為：．
三、解答題（每小題5分，共20分）
15. 解方程：．
解：
∵，
∴，
解得：，
16. 已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時，直接寫出函數(shù)值的取值范圍．
解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
∴，解得：．
∴反比例函數(shù)的解析式為；
（2）∵，
∴雙曲線在二，四象限，在每個象限隨的增大而增大，
把代入，得，
∴當(dāng)時，．
17. 已知拋物線的頂點坐標(biāo)為，且經(jīng)過點．
（1）求這個拋物線的函數(shù)解析式；
（2）寫出它的開口方向和對稱軸．
解：（1）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為，
∴設(shè)拋物線為，
將代入得，解得：，
∴拋物線解析式為；
（2），
∴拋物線開口向下，
，
∴對稱軸．
18. 一個不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“中”、“考”、“必”、“勝”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先搖均勻．
（1）若從中任取一個小球，小球上的漢字剛好是“勝”的概率是______；
（2）從中任取一個小球，不放回，再從中任取一個小球，請用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的兩個小球上的漢字能組成“中考”的概率（漢字不分先后順序）．
解：（1）共有4個小球，從中任取一個小球，小球上的漢字剛好是“勝”的概率是；
故答案為：．
（2）畫樹狀圖如圖，
由樹狀圖可知共有12種等可能的結(jié)果，其中取出的兩個小球上的漢字能組成“中考”的結(jié)果數(shù)為2，
所以取出的兩個球上的漢字能組成“中考”的概率是．
四、解答題（每小題7分，共28分）
19. 已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）若方程的一個根為，求的值；
（2）若方程有實數(shù)根，求的取值范圍．
解：（1）方程的一個根為，
將代入方程，可得，
解得：．
（2）是一元二次方程，
，
方程有實數(shù)根，
，
，
且．
20. 如圖，的頂點都在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格格點上，，．
（1）點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是______；
（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，畫出旋轉(zhuǎn)后的；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，點經(jīng)過的路徑為，求的長（結(jié)果保留根號和）．
解：（1）點A關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)是．
故答案為：．
（2）如圖，即為所求作的三角形，
（3）∵，
∴，
由圖可知：的長為．
21. 如圖，在中，，，的垂直平分線交于點，以為圓心，為半徑作．
（1）求證：是的切線；
（2）若的半徑為4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號和）．
（1）證明：如圖所示，連接．
是的垂直平分線，．點在上．
，，．
，．
．
即，是的切線．
（2）解：，．
，
在中，，
．
22. 紫外線殺菌燈的電阻隨溫度的變化的大致圖象如圖所示．通電后溫度由室溫上升到時，電阻與溫度成反比例．在溫度達(dá)到時，電阻下降到最小值，隨后電阻隨溫度升高而增加，溫度每上升，電阻增加．

（1）當(dāng)時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）紫外線殺菌燈在使用過程中，溫度在什么范圍內(nèi)時，電阻不超過．
解：（1）設(shè)．
∵過點，
，
∴當(dāng)時，與的關(guān)系式為：；
（2）將代入上式中得：．
∴溫度在時，電阻．
∵在溫度達(dá)到時，電阻下降到最小值；隨后電阻隨溫度升高而增加，溫度每上升，電阻增加，
當(dāng)時，，
把代入得；
把代入得；
故當(dāng)時，電阻不超過．
五、解答題（每小題8分，共16分）
23. 在九年級學(xué)生即將畢業(yè)之際．某商店購進(jìn)了一批成本為4元/本的畢業(yè)紀(jì)念冊．當(dāng)每本紀(jì)念冊售價為10元時，平均每周能售出40本，為了擴(kuò)大銷售量，減少庫存，商店決定降價促銷，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每本紀(jì)念冊每降價1元，那么該商店平均每周可多售出20本．
（1）設(shè)售價降低了元，用含的代數(shù)式表示降價后每周可售出紀(jì)念冊的本數(shù)；
（2）商家要想平均每周盈利300元，每本紀(jì)念冊應(yīng)該降價多少元？
（3）商家要想獲得最大收益，每本紀(jì)念冊應(yīng)該降價多少元？最大收益是多少元？
解：（1）售價降低了元，每周可售出紀(jì)念冊的本數(shù)是；
（2）設(shè)每本紀(jì)念冊應(yīng)降價元，商家平均每周盈利300元，
根據(jù)題意，得，
整理，得，
解得，．
∵商店擴(kuò)大銷售量，減少庫存，
∴應(yīng)略去，
∴，
答：每本紀(jì)念冊應(yīng)降價3元；
（3）設(shè)每本紀(jì)念冊應(yīng)降價元，商家獲得收益最大為元，
根據(jù)題意，得．
所以，當(dāng)時，商家獲得收益最大，最大收益是320元．
24. 【問題引入】
（1）如圖①，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到（點、的對應(yīng)點分別為點、），連接，若，求的長；
【衍生拓展】
（2）如圖②，在中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到（點、的對應(yīng)點分別為點、），連接，當(dāng)時，求的長；
【深入探究】
（3）如圖③，在邊長為8等邊三角形中，是的中點，是所在直線上一動點，連接，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接、．在點運動的過程中，當(dāng)點、、在同一直線上時，直接寫出線段的長．
解：（1）∵將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，
，
∴是等邊三角形，
．
（2）連接，延長交于，
由（1）知，是等邊三角形，
，
∴點在的垂直平分線上，
，
∴點在的垂直平分線上，
∴垂直平分，
，
，
，
．
（3）∵等邊三角形的邊長為8，是的中點，
∴，
連接并延長，在的延長線上取點M，使得，連接，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，
，
，
在和中，
，
，
則點F在與夾角為的直線上運動，延長與的延長線交于點，
，
，
在中，，
，
當(dāng)點、、在同一直線上時，點和點重合，此時，．
六、解答題（每小題10分，共20分）
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點，是等腰直角三角形，，點A5,0，點在第一象限，點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿邊向終點運動，過點作，交的直角邊于點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點的對應(yīng)點為，連接．設(shè)與重合部分的面積為，點運動的時間為秒．
（1）直接寫出點的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點落在上時，求的值；
（3）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．
解：（1）過點B作于點G，如圖所示：
是等腰直角三角形，
．
點，
，
，
（2）過點B作于點G，過點M作于點N，如圖，
依題意，，則，
，，
為等腰直角三角形，
．
，，
四邊形為平行四邊形，
，
為等腰直角三角形，
，
，
．
（3）由（2）可得點落在上，當(dāng)點和點重合時，正好是的中點，則，當(dāng)運動到點，，
∴分三種情況討論，，，
①時，
②時，如圖，
，
．
由（1）知：四邊形為平行四邊形，為等腰直角三角形，
，．
為等腰直角三角形，
，，
，
為等腰直角三角形，
，
．
③當(dāng)時，如圖，
與重合部分面積為的面積，
由題意：，為等腰直角三角形，，
，，
，
綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．
26. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（、是常數(shù)）與軸的兩個交點分別為、．點是軸上一點，過點作軸的垂線交拋物線于點，點是線段的中點，當(dāng)點和點不重合時，以為邊，在的右側(cè)作矩形，且矩形的邊的長為3．
（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)時，的取值范圍是______；
（3）當(dāng)矩形同時有兩個頂點落在此拋物線上時，求的值；
（4）當(dāng)此拋物線在矩形內(nèi)部的點的縱坐標(biāo)隨的增大而增大時，直接寫出的取值范圍．
解：（1）把、代入，
可得出，解得：，
∴拋物線的解析式為：．
（2）∵，
∴二次函數(shù)開口向上，頂點坐標(biāo)為：，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
∵，
∴當(dāng)時，的取值范圍是；
（3）∵，過點作軸的垂線交拋物線于點，
∴，
∵點是線段的中點，
∴，
當(dāng)P、Q落在拋物線上時，，
則P、Q關(guān)于對稱軸對稱，故Q點的橫坐標(biāo)為：，
由對稱性可得，
解得：；
當(dāng)P、N落在拋物線上時，
∵以為邊，在的右側(cè)作矩形，
此時N點坐標(biāo)為，
從而可得，
即
解得 ，，
綜上，當(dāng)矩形同時有兩個頂點落在此拋物線上時，的值為或或；
（4）由（3）知，當(dāng)時，拋物線在矩形內(nèi)部的點的縱坐標(biāo)隨的增大而減??；
當(dāng)時，拋物線在矩形內(nèi)部沒有點；
當(dāng)時，點P、點D、點M和點B重合，拋物線在矩形內(nèi)部沒有點；
當(dāng)時，拋物線在矩形內(nèi)部沒有點；
故當(dāng)時，拋物線在矩形內(nèi)部的點的縱坐標(biāo)隨的增大而增大．

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