壓軸題09 立體幾何中的壓軸小題立體幾何的動(dòng)態(tài)問題是高考的熱點(diǎn)，問題中的“不確定性”與“動(dòng)感性”元素往往成為學(xué)生思考與解問題的思維障礙，使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性。一般立體動(dòng)態(tài)問題形成的原因有動(dòng)點(diǎn)變化、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)以及投影與截面問題，由此引發(fā)的常見題型為動(dòng)點(diǎn)軌跡、角房j距離的計(jì)算、面積與體積的計(jì)算、探索性問題以及有關(guān)幾何量的最值求解等。此類題的求解并沒有一定的模式與固定的套路可以沿用。很多學(xué)生一籌莫展，無法形成清晰的分析思路，導(dǎo)致該題成為學(xué)生的易出分點(diǎn)。究其愿因，是因?yàn)閷W(xué)生缺乏相關(guān)學(xué)科素養(yǎng)和解決聞?lì)}的策略造成的。動(dòng)態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊(yùn)含著某些不變的因素， 因此要認(rèn)真分析其變化特點(diǎn)，尋找不變態(tài)因素，從靜態(tài)因素中，找到解決問題的突破口。求解動(dòng)態(tài)范圍的選擇、填空題，有時(shí)應(yīng)把這類動(dòng)態(tài)叢才化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動(dòng)態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個(gè)極端位置，即用特殊法求解乳口對于探究存在問題或動(dòng)態(tài)范圍(最值問題，用定性分析比較難或繁時(shí)，可以引進(jìn)參數(shù)，把動(dòng)態(tài)問題郵止為靜態(tài)問題。具體地，可通過構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算，以算促證。球與截面面積問題體積、面積、周長、角度、距離定值問題體積、面積、周長、距離最值與范圍問題立體幾何中的交線問題空間線段以及線段之和最值問題空間角問題立體幾何裝液體問題一、多選題1．正方體的棱長為1，為側(cè)面上的點(diǎn)，為側(cè)面上的點(diǎn)，則下列判斷正確的是（    ）A．若，則到直線的距離的最小值為B．若，則，且直線平面C．若，則與平面所成角正弦的最小值為D．若，，則，兩點(diǎn)之間距離的最小值為【答案】BD【分析】由已知可推得為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.作圖，即可根據(jù)圓的性質(zhì)得出最小值，判斷A項(xiàng)；先證明平面，結(jié)合，即可得出平面；建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，表示出，根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可判斷C項(xiàng)；為直線與的公垂線段時(shí)，最小.設(shè)，且，，求出，即可根據(jù)投影向量，求出最小值.【詳解】對于A項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以在以為球心，為半徑的球上.又為側(cè)面上的點(diǎn)，所以在球被平面截得的交線上.因?yàn)椋?/span>平面，，，所以，所以，為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.如圖1，，則，到直線的距離的最小值為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，如圖2，連結(jié).因?yàn)?/span>平面，平面，所以.又，平面，平面，，所以，平面.又平面，所以.同理可得，.又平面，平面，，所以，平面.又，平面，所以直線平面，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，如圖3建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，. 因?yàn)?/span>，設(shè)，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，取，則，是平面的一個(gè)法向量.則，又，當(dāng)時(shí)，有最小值1，所以，，即，所以，與平面所成角正弦的最大值為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，由C項(xiàng)知，，.當(dāng)，，即為直線與的公垂線段時(shí)，最小.設(shè)，且，，則，即，取，則.在方向上的投影向量的模為，所以，，兩點(diǎn)之間距離的最小值為，故D項(xiàng)正確.故選：BD.2．半正多面體亦稱“阿基米德體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個(gè)有八個(gè)面的半正多面體．點(diǎn)、、是該多面體的三個(gè)頂點(diǎn)，且棱長，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．該多面體的表面積為B．該多面體的體積為C．該多面體的外接球的表面積為D．若點(diǎn)是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為【答案】BCD【分析】計(jì)算出該多面體的表面積和體積，可判斷AB選項(xiàng)；作出圖形，根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算出該多面體的外接球半徑，利用球體表面積公式可判斷C選項(xiàng)；找出與垂直的直線，可求出點(diǎn)的軌跡長度，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，“阿基米德體”一共有八個(gè)面，其中有四個(gè)面是邊長為的正六邊形，有四個(gè)面是邊長為的正三角形，因此，“阿基米德體”的表面積為，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，如下圖所示，在棱長為的正四面體中，設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影點(diǎn)為點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>為等邊三角形，則，且，易知點(diǎn)為的中心，則，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，，故，，即棱長為的正四面體的體積為，因?yàn)?/span>“阿基米德體”是在棱長為的正四面體上截去了個(gè)棱長為的正四面體，因此，“阿基米德體”的體積為，B對；對于C選項(xiàng)，設(shè)等邊的中心為，與平面平行的底面正六邊形的中心記為點(diǎn)，則平面，原正四面體（棱長為）的高為，則，由題意可知，“阿基米德體”的外接球球心在直線上，易知，即正的外接圓半徑為，底面正六邊形的外接圓半徑為，設(shè)，“阿基米德體”的外接球半徑為，則，解得，則，因此，該多面體的外接球的表面積為，C對；對于D選項(xiàng)，如下圖所示：由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，因?yàn)?/span>，則，所以，，即，同理可知，因?yàn)?/span>，、平面，則平面，因?yàn)?/span>平面，所以，，由余弦定理可得，同理可得，易知，所以，點(diǎn)的軌跡長度為，D對.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.3．一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面中有一個(gè)是邊長為2的正三角形，另兩個(gè)是等腰直角三角形，則該三棱錐的體積可能為（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】就等腰直角三角形的頂點(diǎn)的不同分類討論，求出對應(yīng)的棱錐的高后可求體積，注意有時(shí)需割補(bǔ)法求體積.【詳解】設(shè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面中，為等邊三角形，另外兩個(gè)側(cè)面為等腰直角三角形．情形一   ．此時(shí)和均以P為直角頂點(diǎn)，，而平面，于是平面，進(jìn)而．情形二   ．此時(shí)和均以C為直角頂點(diǎn)，同理可證平面，進(jìn)而．情形三   ．此時(shí)也是邊長為2的正三角形，分別以為直角頂點(diǎn)，則，故均為等邊三角形，取的中點(diǎn)為，連接，則，而平面，故平面，而，故．綜上所述，三棱錐的體積可能是或或．故選：ABC4．如圖，點(diǎn)M是棱長為l的正方體中的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（    ）A．不存在點(diǎn)M滿足平面B．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)M滿足C．當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí)，平面截正方體所得截面的面積為D．滿足的點(diǎn)M的軌跡長度是【答案】BCD【分析】對于A：根據(jù)線面垂直關(guān)系可得，分析判斷；對于B：根據(jù)線面垂直關(guān)系可得，分析判斷；對于C：根據(jù)平行線的性質(zhì)以及利用空間向量分析運(yùn)算求截面，進(jìn)而可求截面面積；對于D：利用空間向量求點(diǎn)M的軌跡，進(jìn)而求點(diǎn)M的軌跡長度.【詳解】對于選項(xiàng)A：連接，因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是正方形，所以，∵，且平面，所以，，平面，所以平面，且平面，可得，同理可證，，平面，所以，又點(diǎn)M是面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），所以當(dāng)M與A1重合時(shí)，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：連接， ，，則，又因?yàn)?/span>，，，所以，可知當(dāng)M在線段上時(shí)，有故存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足，故B正確；對于選項(xiàng)C：延長交于點(diǎn)，∵，則為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，且，則，則為線段的中點(diǎn)，如圖，以D點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，設(shè)平面，點(diǎn)，則，則，解得，則，故，可得，即，且，故截面面積，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)檎襟w的棱長為l，所以設(shè)所以，，因?yàn)?/span>，所以化簡得：，所以點(diǎn)M的軌跡是一段以為圓心，半徑為的圓弧，設(shè)圓弧與分別交于點(diǎn)，取，則，即；取，則，即；則，則，且，即，∴軌跡長度是，故D正確．故選：BCD.5．如圖，正方體的棱長為，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（    ）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為D．點(diǎn)與點(diǎn)B到平面的距離相等【答案】BCD【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷ABD選項(xiàng)；作出截面，計(jì)算出截面面積，可判斷C選項(xiàng).【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、、、，對于A選項(xiàng)，，，則，所以直線與直線不垂直，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，即，因?yàn)?/span>平面，平面，故B正確；對于C選項(xiàng)，連接、、，因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn)，則，且，所以四邊形為平行四邊形，則，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，故平面截正方體所得截面為，且，同理可得，，所以四邊形為等腰梯形，分別過點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為、，如下圖所示：因?yàn)?/span>，，，所以，故，，因?yàn)?/span>，，，則四邊形為矩形，所以，，故，故梯形的面積為，故C正確；對于D選項(xiàng)，，則點(diǎn)到平面的距離為，，則點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，故D正確.故選：BCD.6．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一.勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的公共部分.如圖，在勒洛四面體中，正四面體ABCD的棱長為4，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．勒洛四面體最大的截面是正三角形B．若P，Q是勒洛四面體ABCD表面上的任意兩點(diǎn)，則PQ的最大值為4C．勒洛四面體ABCD的體積是D．勒洛四面體ABCD內(nèi)切球的半徑是【答案】BD【分析】由勒洛四面體的定義判斷選項(xiàng)A；由勒洛四面體的定義求解判斷B;根據(jù)對稱性, 由勒洛四面體內(nèi)切球的球心是正四面體ABCD外接球的球心求解判斷C;結(jié)合C由棱長減去外接球的半徑求得內(nèi)切球的半徑求解判斷.【詳解】由勒洛四面體的定義可知勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體ABCD表面的截面，如圖1所示，故A不正確；根據(jù)勒洛四面體的性質(zhì),它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng),并且始終保持與兩平面都接觸，所以勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值即為內(nèi)接正四面體的邊長,所以勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為4，故B正確;如圖2, 由對稱性可知勒洛四面體內(nèi)切球的球心O是正四面體ABCD外接球的球心，連接 BO ，并延長交勒洛四面體的曲面于點(diǎn)E, 則 OE 就是勒洛四面體內(nèi)切球的半徑. 如圖 3 , 在正四面體ABCD中，M為 的中心，O是正四面體 ABCD外接球的球心，連接 BM，BO，AM，由正四面體的性質(zhì)可知 O在 AM 上.因?yàn)?, 所以則 .因?yàn)?/span>，即解得 ,則正四面體ABCD外接球的體積是 .因?yàn)槔章逅拿骟w的體積小于正四面體ABCD外接球的體積, 則 C錯(cuò)誤.因?yàn)?, 所以 , 則 D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.7．如圖，在平行四邊形中，，，，沿對角線將△折起到△的位置，使得平面平面，下列說法正確的有（    ）A．三棱錐四個(gè)面都是直角三角形 B．平面平面C．與所成角的余弦值為 D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【分析】先根據(jù)勾股定理判斷，再由面面垂直得線線垂直，可判斷A、B，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可計(jì)算線線角判斷C，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距離可判斷D.【詳解】△中，，，由余弦定理得，故，所以，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，面，所以平面，平面，則；同理平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面平面，A、B正確；以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?/span>，，所以，即與所成角的余弦值為，C錯(cuò)誤；由上知：，若為面的法向量，所以，令，則，而，則到平面的距離為，D正確.故選：ABD.8．祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)期數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，他提出了體積計(jì)算原理：“冪勢既同，則積不容異．”這就是祖暅原理，比西方發(fā)現(xiàn)早一千一百多年．即：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖，曲線C：，過點(diǎn)作曲線C的切線l（l的斜率不為0），將曲線C、直線l、直線y=1及x軸所圍成的陰影部分繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體記為，過點(diǎn)作的水平截面，所得截面面積為S，利用祖暅原理，可得出的體積為V，則（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)題意，切線方程為，的水平截面為圓環(huán)，外半徑為，內(nèi)半徑為，故截面面積，利用祖暅原理，可以構(gòu)造一個(gè)上底面半徑為，下底面半徑為1，高為1的圓臺．與圓臺的體積相等，直接用圓臺體積公式求V．【詳解】設(shè)切線方程為，代入得，由得，故切線方程為，過點(diǎn)作的水平截面，截面為圓環(huán)，當(dāng)時(shí)，代入得截面圓環(huán)外半徑，當(dāng)時(shí)，代入得截面圓環(huán)內(nèi)半徑，截面圓環(huán)面積為，故B正確.為了截出面積為的圖形 ，可以構(gòu)造一個(gè)下底面半徑為1，高為4的圓錐，在距離底面為1處作底面的平行截面，得到一個(gè)下底面半徑為1，上底面半徑為，高為1的圓臺.圓錐及其軸截面如下圖：其中，在距離底面為的處作底面的平行截面，設(shè)此時(shí)截面半徑為，，即，解得，此截面的面積為，與截面圓環(huán)面積相同，而圓臺的體積為：， 由祖暅原理知的體積為，所以D正確.故選：BD9．如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角沿向上翻折，得三棱錐，設(shè)，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（    ）A．不存在某個(gè)位置，使B．存在某個(gè)位置，使C．當(dāng)三棱錐體積取得最大值時(shí)，AD與平面ABC成角的正弦值為D．當(dāng)時(shí)，的最小值為【答案】BD【分析】根據(jù)面面垂直可得線面垂直，即可判斷AB，由三棱錐體積取得最大值時(shí)知面面垂直，得出線面垂直，即可求出線面角判斷C，再由側(cè)面展開圖及余弦定理可判斷D.【詳解】當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，，平面與平面的交線為，平面,平面，又平面，，，故A錯(cuò)誤，B正確；對于C，當(dāng)三棱錐體積取得最大值時(shí)，頂點(diǎn)A到底面距離最大，即平面與平面垂直時(shí)，由上面可知，平面，故AD與平面ABC成角為，    因?yàn)?/span>，所以，，，則，，即AD與平面ABC成角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，則，又因為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以，如圖將沿旋轉(zhuǎn)，使其與在同一平面內(nèi)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即的最小值為，在中，，則，所以，所以的最小值為，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀.10．在封閉的四棱錐內(nèi)有一個(gè)半徑為的球， 為正方形，的面積為1，，則（    ）A．PA的最小值為B．該球球面不能與該四棱錐的每個(gè)面都相切C．若，則的最大值為D．若，則的最大值為【答案】AD【分析】設(shè)，求得，可判定A正確；根據(jù)特例可判定B不正確；取的中點(diǎn)，把四棱錐的外接球半徑即為直角的內(nèi)切圓的半徑，結(jié)合和基本不等式，可判定C不正確；設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影為，得到四棱錐為正四棱錐，設(shè)底面正方形的邊長為，內(nèi)切球的半徑為，結(jié)合體積相等，得到，設(shè)，結(jié)合基本不等式，可判定D正確.【詳解】對于A中，由，且的面積等于1，設(shè)，所以，可得當(dāng)時(shí)，此時(shí)取得最小值，最小值為，所以A正確；對于B中，例如：當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，此時(shí)四棱錐存在內(nèi)切球，所以B不正確；對于C中，如圖所示，取的中點(diǎn)，分別連接，因?yàn)?/span>，且，所以平面，又因?yàn)?/span>，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，又因?yàn)?/span>的面積等于1，且為正方形，所以的面積等于1，所以，即.此時(shí)四棱錐的外接球半徑即為直角的內(nèi)切圓的半徑，設(shè)半徑為，則，即,因?yàn)?/span>，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，即，即內(nèi)切球的最大半徑為，所以C不正確；對于D中，如圖所示，取的中點(diǎn)，分別連接，設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影為，由，可得，即為的外心，即為與的交點(diǎn)，且底面，此時(shí)四棱錐為正四棱錐，設(shè)底面正方形的邊長為，其中，因?yàn)?/span>的面積等于1，即，可得，在直角中，，設(shè)四棱錐內(nèi)切球的半徑為，可得，整理得設(shè)，則，且可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以四棱錐內(nèi)切球的半徑的最大值為，所以D正確.故選：AD11．已知為圓錐底面圓的直徑（為頂點(diǎn)，為圓心），點(diǎn)為圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，，研究發(fā)現(xiàn)：平面和直線所成的角為，該圓錐側(cè)面與平面的交線為曲線.當(dāng)時(shí)，曲線為圓；當(dāng)時(shí)，曲線為橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線為拋物線；當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線.則下列結(jié)論正確的為（    ）A．過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為2B．的取值范圍為C．若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則D．若，則曲線必為雙曲線的一部分【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，設(shè)，表達(dá)出截面面積，利用基本不等式求出最大值；B選項(xiàng)，可舉出反例得到；C選項(xiàng)，將立體圖形展開，得到三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，利用余弦定理求出最小值；D選項(xiàng)，由二倍角公式得到，根據(jù)得到，D正確.【詳解】對選項(xiàng)A：如圖1，設(shè)截面為為中點(diǎn)，連接，設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)等號成立，A正確；對選項(xiàng)B：如圖2，中，，則當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C：如圖3，為等腰直角三角形，，將放平得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，為中點(diǎn)，連接，則，，C正確；對選項(xiàng)D：由，可解得或者，而，所以，從而該圓錐側(cè)面與平面的交線必為雙曲線的一部分，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】立體幾何中截面的處理思路：（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.12．已知正方體的棱長為，為側(cè)面的中心，為棱的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），為上底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．三棱錐的體積為定值B．若平面，則C．若，則線段的最大值為D．當(dāng)與的所成角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分【答案】AC【分析】證明，由此證明的面積為定值，再證明平面，結(jié)合錐體體積公式判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系由條件確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再求，判斷B；利用空間向量可判斷CD.【詳解】因?yàn)?/span>為側(cè)面的中心，所以為的中點(diǎn)，又為棱的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離的一半，設(shè)，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積，又，，，平面，所以平面，所以三棱錐的體積，A正確；如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，為的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以向量為平面的一個(gè)法向量，設(shè)，，所以，因?yàn)?/span>平面，所以，所以，所以，所以，B錯(cuò)誤；設(shè)，則，又，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，線段取最大值，最大值為；C正確；因?yàn)?/span>，，又與的所成角為，所以，化簡可得，且，所以點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分，D錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解集的關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法研究空間中的線面位置關(guān)系.13．已知正方體的棱長為2，棱AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在正方體的內(nèi)部及其表面運(yùn)動(dòng)，使得平面，則（    ）A．三棱錐的體積為定值B．當(dāng)最大時(shí)，MN與BC所成的角為C．正方體的每個(gè)面與點(diǎn)N的軌跡所在平面所成角都相等D．若，則點(diǎn)N的軌跡長度為【答案】ACD【分析】首先利用平面的基本性質(zhì)確定點(diǎn)所在平面，且面面，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求面的一個(gè)法向量，應(yīng)用向量法求到面的距離，進(jìn)而求三棱錐的體積判斷A；找到最大時(shí)MN與BC所成角的平面角即可判斷B；判斷，，與的夾角余弦值的絕對值是否相等即可判斷C；N的軌跡是以為球心的球體被面所截的圓，進(jìn)而求周長判斷D.【詳解】過中點(diǎn)作與交，作與交，重復(fù)上述步驟，依次作的平行線與分別交于（注意各交點(diǎn)均為各棱上的中點(diǎn)），最后依次連接各交點(diǎn)，得到如下圖示的正六邊形，因?yàn)?/span>，面，面，所以面，同理可得面，因?yàn)?/span>，面，所以面面，所以面中直線都平行于面，又面，且平面，所以面，即面，根據(jù)正方體性質(zhì)，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，且，，，，，，A：由上分析知：面任意一點(diǎn)到面的距離，即為到面的距離，而，，若為面的一個(gè)法向量，所以，令，則，而，所以到面的距離，即到面的距離為，又△為等邊三角形，則，所以三棱錐的體積為定值，正確；B：由圖知：當(dāng)與重合時(shí)最大為，且，所以MN與BC所成的角，即為，錯(cuò)誤；C：由正方體性質(zhì)，只需判斷各側(cè)面的法向量，，與的夾角余弦值的絕對值是否相等即可，又，同理可得，所以正方體的每個(gè)面與點(diǎn)N的軌跡所在平面所成角都相等，正確；D：若，則點(diǎn)N的軌跡是以為球心的球體被面所截的圓，因?yàn)槊?/span>面，故也是面的法向量，而，所以到面的距離為，故軌跡圓的半徑，故點(diǎn)N的軌跡長度為，正確.故選：ACD14．在長方體中，，E是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)B，E，的平面交棱AD于點(diǎn)F，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則（    ）A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)P，使得C．直線PE與平面所成角的正切值的最大值為D．三棱錐外接球表面積的取值范圍是【答案】ACD【分析】對于選項(xiàng)A，利用面面平行的性質(zhì)，得到平面，從而可判斷出選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，假設(shè)存在，可推出平面，從而判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，利用線面角的定義，找出線面角為，從而在中，求出的值，進(jìn)而判斷選項(xiàng)C正確.對于選項(xiàng)D，利用球的截面圓的幾何性質(zhì)，找出球心在直線上，利用，建立方程，從而求出球的表面積的取值范圍.【詳解】對于A，因?yàn)槠矫?/span>平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，平面與這兩個(gè)平面的交線互相平行，即，因?yàn)?/span>面，面，所以平面，又點(diǎn)P在線段上,所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，若存在點(diǎn)P，使得，因?yàn)?/span>，則，因?yàn)?/span>，平面,所以平面，與題意矛盾，故B錯(cuò)誤；對于C，如圖1所示，取BC的中點(diǎn)Q，連接，則點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影在上，直線PE與平面所成角即，且有由已知可得，最小為，所以的最大值為，故C正確．對于D，如圖2，取的中點(diǎn)G，連接AG，分別取BE，AG的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>是等腰直角三角形，所以三棱錐外接球的球心O在直線上，設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，則，所以，設(shè)，則，所以,當(dāng)點(diǎn)P與F重合時(shí)，取最小值，此時(shí)，三棱錐外接球的表面積為，當(dāng)點(diǎn)P與重合時(shí)，取最大值，此時(shí)，三棱錐外接球的表面積為，故D正確．故選：ACD15．已知圓錐頂點(diǎn)為S，高為1，底面圓的直徑長為．若為底面圓周上不同于的任意一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（    ）A．圓錐的側(cè)面積為B．面積的最大值為C．圓錐的外接球的表面積為D．若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】BCD【分析】對A：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式分析運(yùn)算；對B：根據(jù)題意結(jié)合三角形的面積公式分析運(yùn)算；對C：根據(jù)題意可得圓錐的外接球即為的外接圓，利用正弦定理求三角形的外接圓半徑，即可得結(jié)果；對D：將平面與平面展開為一個(gè)平面，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，結(jié)合余弦定理分析運(yùn)算.【詳解】對A：由題意可知：，故圓錐的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；對B：面積，在中，，故為鈍角，由題意可得：，故當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，B正確；對C：由選項(xiàng)B可得：，為鈍角，可得，由題意可得：圓錐的外接球即為的外接圓，設(shè)其半徑為，則，即；故圓錐的外接球的表面積為，C正確；對D：將平面與平面展開為一個(gè)平面，如圖所示，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，此時(shí)，在，，則為銳角，則，在，則，由余弦定理可得，則，故的最小值為，D正確.故選：BCD.16．已知為圓錐底面圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，圓錐的側(cè)面積為，則下列說法正確的是（    ）A．圓上存在點(diǎn)使平面B．圓上存在點(diǎn)使平面C．圓錐的外接球表面積為D．棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)【答案】AD【分析】對于選項(xiàng)A，通過找面面平行得到線面平行，從而判斷出選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，通過假設(shè)存在點(diǎn)，從則得出面SBC應(yīng)與面平行，與題意不符，從而判斷出B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，可以直接求出外接球的半徑，求出球的表面積，從而判斷出C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，轉(zhuǎn)化成正四面體的外接球能否在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)而去判斷圓錐軸截面內(nèi)切圓半徑與球半徑的關(guān)系，從而判斷出選項(xiàng)D的正誤.【詳解】對于選項(xiàng)A，如下圖，過作，交劣弧與點(diǎn)，連接，由于分別為的中點(diǎn)，所以，由于面，面，面，面，所以面，面，面，面，又因?yàn)?/span>，所以面面，由于面，所以面，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B， 假設(shè)在點(diǎn)M使面SBC，面SBC，所以，由圓錐易得底面圓，底面圓，所以，，面，面，所以面，故面SBC應(yīng)與面平行，與題意顯然不符，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，如下圖，依題意可知，所以，又，所以，不妨設(shè)圓錐外接球心為，半徑為，則，即，將代入，解得，所以球的表面積，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，棱長為的正四面體如下圖所示，正方體的邊長為，體對角線長為，所以棱長為的正四面體的外接球半徑為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，所以，所以棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，即選項(xiàng)D正確．故選：AD. 二、填空題17．如圖所示圓錐，為母線的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面圓心，為底面圓的直徑，且，，的長度成等比數(shù)列，一個(gè)平面過，，與圓錐面相交的曲線為橢圓，若該橢圓的短軸與圓錐底面平行，則該橢圓的離心率為______．【答案】##【分析】令，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，進(jìn)而確定圓錐軸截面為等腰直角三角形，并求出橢圓長軸長的長度，根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征找到橢圓短軸長，最后應(yīng)用橢圓離心率定義求離心率.【詳解】令，則，又，，的長度成等比數(shù)列，所以，即，由題意，顯然，在直角△中，則，所以△為等腰直角三角形，故圓錐軸截面為等腰直角三角形且，所以，即橢圓長軸長，則，軸截面如下圖示：該橢圓的短軸與圓錐底面平行，過作交于，交于，則，為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，即為橢圓中心，過作交于，綜上，有△△均為等腰直角三角形，故，則，同理△△，故，則，所以，即，綜上，橢圓離心率為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：注意短軸長為過長軸長中點(diǎn)平行于軸截面底邊并與母線相交所成的線段長度.18．三棱錐中，兩兩垂直，，點(diǎn)M為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記直線與直線的所成角的余弦值的取值范圍為_____________．【答案】【分析】根據(jù)已知條件先確定出在平面內(nèi)的軌跡，然后通過建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩直線方向向量夾角的余弦值結(jié)合三角函數(shù)值的范圍，計(jì)算出兩直線所成角的余弦值的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>兩兩垂直，且，所以由勾股定理可知，所以三棱錐為正三棱錐，記在底面內(nèi)的投影為，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以的軌跡是以為圓心半徑為的圓，取中點(diǎn)，連接，可知經(jīng)過點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，，所以，所以，設(shè)直線與直線的所成角為.所以故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：異面直線所成角的余弦值的向量求法：（1）先分別求解出兩條異面直線的一個(gè)方向向量；（2）計(jì)算出兩個(gè)方向向量夾角的余弦值；（3）根據(jù)方向向量夾角的余弦值的絕對值等于異面直線所成角的余弦值求解出結(jié)果.19．長方體中，，平面與直線的交點(diǎn)為，現(xiàn)將繞旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，動(dòng)直線與底面內(nèi)任一直線所成最小角記為，則的最大值是___________.【答案】##【分析】根據(jù)題設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為求直線與面夾角最大值，利用平面的基本性質(zhì)找到點(diǎn)位置，并確定其軌跡為圓錐底面圓周，進(jìn)而確定圓錐軸線與面的夾角、與圓錐軸線的夾角，利用和差角正余弦公式求它們的差、和正余弦值，即可確定的最值.【詳解】由題意，為動(dòng)直線與底面所成角，只需求旋轉(zhuǎn)過程中直線與面所成角的最大角即可，又面面，只需求直線與面最大夾角正弦值，過作，交延長線于，連接，顯然△△，所以，故為平行四邊形，則，，，所以△為等腰三角形，過作于，則必在線段上，綜上，繞旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓上，設(shè)，則，故，所以，解得，則，，繞旋轉(zhuǎn)過程中，是為軸，圓為底面的圓錐的母線，所以為圓錐軸截面頂角的一半，且恒定不變，又，，而直線與面夾角為，且，，令，則，而，令，則，而綜上，，故的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將問題化為求直線與面最大夾角正弦值，注意利用定角（圓錐軸線與面的夾角、與圓錐軸線的夾角）求動(dòng)角的大小.20．已知四邊形ABCD為平行四邊形，，，，現(xiàn)將沿直線BD翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為_________.【答案】【分析】根據(jù)題意利用余弦定理求得，由此三棱錐的對棱相等，故此三棱錐的三組對棱是一個(gè)長方體的六個(gè)面的對角線，利用長方體的性質(zhì)求外接圓半徑，再等體積法求出內(nèi)切球半徑，運(yùn)算求解即可.【詳解】在中，，故，即，則折成的三棱錐中，，，，即此三棱錐的對棱相等，故此三棱錐的三組對棱是一個(gè)長方體的六個(gè)面的對角線，設(shè)長方體從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為a，b，c則，解得，此長方體的外接球是三棱錐的外接球，設(shè)外接球的直徑，即，又因?yàn)槿忮F是長方體切掉四個(gè)角，故三棱錐，三棱錐四個(gè)側(cè)面是全等的，，設(shè)內(nèi)切球半徑為，以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，把三棱錐分割為以球心為頂點(diǎn)，四個(gè)面為底面的的四個(gè)小三棱錐，四個(gè)小三棱錐體積等于大三棱錐的體積，故，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法定睛：多面體與球切、接問題的求解方法(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．(2)若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解．(3)正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長．(4)球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對角線長．(5)利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解． 

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第二冊第9章 立體幾何課后作業(yè)題：

這是一份第二冊第9章 立體幾何課后作業(yè)題，文件包含立體幾何中翻折問題微專題解析版pdf、立體幾何中翻折問題微專題學(xué)生版pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共14頁， 歡迎下載使用。

專題10 立體幾何（原卷版）：

這是一份專題10 立體幾何（原卷版），共17頁。試卷主要包含了 平面的基本性質(zhì)，空間點(diǎn)、直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì)， 直線與平面垂直，平面與平面垂直，線面、面面平行等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題10 立體幾何（解析版）：

這是一份專題10 立體幾何（解析版），共27頁。試卷主要包含了 平面的基本性質(zhì)，空間點(diǎn)、直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì)， 直線與平面垂直，平面與平面垂直，線面、面面平行等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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