【例1】（2022·山東濟南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．
(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；
(2)延長ED交直線BC于點F．
①如圖2，當(dāng)點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；
②如圖3，當(dāng)點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．
【答案】(1)BD=CE，理由見解析
(2)①BE=AE+CE；②∠BAD=45°，理由見解析
【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到△ABD≌△ACESAS，再由全等三角形的性質(zhì)求解；
（2）①根據(jù)線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AE得到△ADE是等邊三角形，
由等邊三角形的性質(zhì)和（1）的結(jié)論來求解；②過點A作AG⊥EF于點G，連接AF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到∠BAF=∠DAG，AGAD=AFAB，進而得到△BAD∽△FAG，進而求出∠ADB=90°，結(jié)合BD=CE，ED＝EC得到BD=AD，再用等腰直角三角形的性質(zhì)求解．
（1）
解：BD=CE．
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴BD=CE；
（2）
解：①BE=AE+CE
理由：∵線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AE，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE=AE，
由（1）得BD=CE，
∴BE=DE+BD=AE+CE；
②過點A作AG⊥EF于點G，連接AF，如下圖．
∵△ADE是等邊三角形，AG⊥DE，
∴∠DAG=12∠DAE=30°，
∴AGAD=cs∠DAG=32．
∵△ABC是等邊三角形，點F為線段BC中點，
∴BF=CF，AF⊥BC，∠BAF=12∠BAC=30°，
∴AFAB=cs∠BAF=32，
∴∠BAF=∠DAG，AGAD=AFAB，
∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF，
即∠BAD=∠FAG，
∴△BAD∽△FAG，
∴∠ADB=∠AGF=90°．
∵BD=CE，ED＝EC，
∴BD=AD，
即△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵．
【例2】（2022·山東菏澤·中考真題）如圖1，在△ABC中，∠ABC=45°,AD⊥BC于點D，在DA上取點E，使DE=DC，連接BE、CE．
(1)直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；
(2)如圖2，將△BED繞點D旋轉(zhuǎn)，得到△B′E′D（點B′，E′分別與點B，E對應(yīng)），連接CE′、AB′，在△BED旋轉(zhuǎn)的過程中CE′與AB′的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致?請說明理由；
(3)如圖3，當(dāng)△BED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線CE′與AD、AB′分別交于點G、F，若CG=FG,DC=3，求AB′的長．
【答案】(1)CE⊥AB，理由見解析
(2)一致，理由見解析
(3)53
【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得結(jié)論；
（2）通過證明△ADB′?△CDE′，可得∠DAB′=∠DCE′，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）由等腰直角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得AB′=3AD，即可求解．
【詳解】（1）如圖，延長CE交AB于H，
∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，
∵DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，
∴CE⊥AB；
（2）在△BED旋轉(zhuǎn)的過程中CE′與AB′的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是一致的，理由如下：
如圖2，延長CE′交AB′于H，
由旋轉(zhuǎn)可得：CD=DE′，B′D=AD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠CDE′=∠ADB′，
∵CDDE′=ADDB′=1，
∴△ADB′～△CDE′,
∴∠DAB′=∠DCE′，
∵∠DCE′+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，
∴∠DAB′+∠AGH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CE′⊥AB′；
（3）如圖3，過點D作DH⊥AB′于點H，
∵△BED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°，
∴∠BDB′=30°,BD′=BD=AD，
∴∠ADB′=120°,∠DAB′=∠AB′D=30°，
∵DH⊥AB′,AD=B′D，
∴AD=2DH，AH=3DH=B′H，
∴AB′=3AD，
由（2）可知：△ADB′～△CDE′，
∴∠DAB′=∠DCE′=30°，
∵AD⊥BC，CD=3，
∴DG=1，CG=2DG=2，
∴CG=FG=2，
∵∠DAB′=30°,DH⊥AB′，
∴AG=2GF=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∴AB'=3AD=53．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
【例3】（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）已知點E在正方形ABCD的對角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公共點A．
(1)如圖1，當(dāng)點G在AD上，F(xiàn)在AB上，求2CE2DG的值為多少；
(2)將正方形AFEG繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°

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