【例1】 (2023·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．
(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；
(2)延長(zhǎng)ED交直線BC于點(diǎn)F．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說(shuō)明理由．
【例2】 (2023·山東菏澤·中考真題）如圖1，在中，于點(diǎn)D，在DA上取點(diǎn)E，使，連接BE、CE．
(1)直接寫(xiě)出CE與AB的位置關(guān)系；
(2)如圖2，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)，分別與點(diǎn)B，E對(duì)應(yīng)），連接，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中與的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致?請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，射線與AD、分別交于點(diǎn)G、F，若，求的長(zhǎng)．
【例3】 (2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，正方形與正方形有公共點(diǎn)．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上，在上，求的值為多少；
(2)將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2，求：的值為多少；
(3)，，將正方形繞逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．
【例4】 (2023·山東濰坊·中考真題）【情境再現(xiàn)】
甲、乙兩個(gè)含角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足O處，將甲繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Gegebra按圖②作出示意圖，并連接，如圖③所示，交于E，交于F，通過(guò)證明，可得．
請(qǐng)你證明：．
【遷移應(yīng)用】
延長(zhǎng)分別交所在直線于點(diǎn)P，D，如圖④，猜想并證明與的位置關(guān)系．
【拓展延伸】
小亮將圖②中的甲、乙換成含角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接，如圖⑥所示，其他條件不變，請(qǐng)你猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系．
【例5】 (2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，當(dāng)射線交于點(diǎn)G，射線交于點(diǎn)N時(shí)，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)M，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
一、解答題【共20題】
1． (2023·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形是正方形，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（），，，連接，．
(1)如圖，求證：≌；
(2)直線與相交于點(diǎn)．
如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：四邊形是正方形；
如圖，連接，若，，直接寫(xiě)出在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最小值．
2． (2023·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．
(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；
(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，試探究的最小值．
3． (2023·遼寧盤(pán)錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，P為EF中點(diǎn)，連接AF，G為AF中點(diǎn)，連接PG，DG，將Rt△ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°）．
(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，DG與PG的關(guān)系為 ；
(2)如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)
①求證：△AGD≌△FGM；
②（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
4． (2023·山東青島·中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．交于點(diǎn)F，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問(wèn)題：
(1)當(dāng)時(shí)，求t的值；
(2)設(shè)四邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)是否存在某一時(shí)刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5． (2023·遼寧·本溪市教師進(jìn)修學(xué)院中考真題）在中，，線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至（不與重合），旋轉(zhuǎn)角記為，的平分線與射線相交于點(diǎn)E，連接．
(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是_____________；
(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，求證：；
(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
6． (2023·廣西梧州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線恰好經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是，將繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．
①寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；
②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．
7． (2023·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，和的頂點(diǎn)重合，，，，．
(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)，分別在，上時(shí)，可以得出結(jié)論：______，直線與直線的位置關(guān)系是______；
(2)探究證明：如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)恰好落在線段上，連接，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)拓展運(yùn)用：如圖3，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，它們的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．
8． (2023·湖北十堰·中考真題）已知，在內(nèi)部作等腰，，．點(diǎn)為射線上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系是_________；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若，，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)（用含有的式子表示）．
9． (2023·山西·中考真題）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N，猜想證明：
（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說(shuō)明理由；
問(wèn)題解決：
（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求線段CN的長(zhǎng)；
（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫(xiě)出線段AN的長(zhǎng)．
10． (2023·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示．
(1)在圖（1）中，，分別是邊，與網(wǎng)格線的交點(diǎn)．先將點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，畫(huà)出點(diǎn)，再在上畫(huà)點(diǎn)，使；
(2)在圖（2）中，是邊上一點(diǎn)，．先將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，畫(huà)出線段，再畫(huà)點(diǎn)，使，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．
11． (2023·四川廣元·中考真題）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．
(1)如圖1，將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為 ；
(2)將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α?xí)r
①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；
②若∠BCD的平分線CE交BD于點(diǎn)F，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
12． (2023·江蘇連云港·中考真題）【問(wèn)題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．
【問(wèn)題探究】小昕同學(xué)將三角板繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．
(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
(2)若點(diǎn)、、在同一條直線上，求點(diǎn)到直線的距離．
(3)連接，取的中點(diǎn)，三角板由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、、首次在同一條直線上（如圖3），求點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．
(4)如圖4，為的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)到直線的距離的最大值是_____．
13． (2023·四川達(dá)州·中考真題）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動(dòng)中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（），連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請(qǐng)你幫忙解答：
(1)【初步探究】如圖2，當(dāng)時(shí)，則_____；
(2)【初步探究】如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；
(3)【深入探究】如圖4，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)不重合時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出推理過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（），連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
14． (2023·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）在中，，中，（），，，，點(diǎn)B，C，E不共線，點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，且．
（1）如圖1，點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上，則________，________，（用含的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，點(diǎn)A，E在直線同側(cè)，求證：平分；
（3）若，，將圖3中的繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，直線交于點(diǎn)G，點(diǎn)M是中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
15． (2023·山東日照·中考真題）問(wèn)題背景：
如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．
實(shí)驗(yàn)探究：
（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論：①_____；②直線與所夾銳角的度數(shù)為_(kāi)_____．
（2）小王同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請(qǐng)問(wèn)探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)共線時(shí)，則的面積為_(kāi)_____．
16． (2023·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝39°，連接AC，BD交于點(diǎn)M．填空：的值為 ，∠AMB的度數(shù)為 ；
（2）如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝60°，連接AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．請(qǐng)判斷的值，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點(diǎn)M，若OD＝1，OB＝；點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，AQ的最大值為 ．
17． (2023·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）【操作與發(fā)現(xiàn)】
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N，M分別在邊BC、CD上．連接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而可得：DM+BN＝MN．
(1)【實(shí)踐探究】在圖①條件下，若CN＝6，CM＝8，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是______．
(2)如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，求證：M是CD的中點(diǎn)．
(3)【拓展】如圖③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，則DM的長(zhǎng)是______．
18． (2023·四川樂(lè)山·三模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．
(1)觀察猜想
如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值是 ，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是 ．
(2)類(lèi)比探究
如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出，并就圖2的情形說(shuō)明理由．
(3)解決問(wèn)題
當(dāng)α＝90°時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時(shí)的值．
19． (2023·山東濟(jì)南·一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)．△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點(diǎn)為點(diǎn)P．
(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，AD與BE的位置關(guān)系為_(kāi)_____；
(2)當(dāng)0°＜α≤360°時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度和P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．
20． (2023·黑龍江·齊齊哈爾市富拉爾基區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校三模）綜合與實(shí)踐
如圖①，Rt△ABC中，∠ACB= 90° ，CD為Rt△ABC的斜邊上的中線，在證明CD=AD= BD的過(guò)程中，我們可以延長(zhǎng)CD到E，使得CD=DE ，連接BE．很容易證明∠ACD≌△BED，進(jìn)而證明△ABC≌△ECB，所以AB=CE，所以CD= AD= BD．我們可以得到直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．
實(shí)踐操作：
將兩個(gè)全等的Rt△ABD，Rt△ACE拼在一起 ，如圖②，△ABD不動(dòng)．
問(wèn)題解決：
（1）將△ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB，MC，如圖③，求證：MB=MC；
拓展延伸：
（2）若將圖②中的CE向上平移，且∠CAE不變，連接DE ，M是DE的中點(diǎn)，連接MB ，MC，如圖④，則線段MB，MC的數(shù)量關(guān)系為 ；
問(wèn)題再探：
（3）在（2）的條件下，若∠CAE改變大小，如圖⑤，其他條件不變，請(qǐng)你判斷線段MB ，MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．
專(zhuān)題26以旋轉(zhuǎn)為載體的幾何綜合問(wèn)題
【例1】 (2023·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．
(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；
(2)延長(zhǎng)ED交直線BC于點(diǎn)F．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)，理由見(jiàn)解析
(2)①；②，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到，再由全等三角形的性質(zhì)求解；
（2）①根據(jù)線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到得到是等邊三角形，
由等邊三角形的性質(zhì)和（1）的結(jié)論來(lái)求解；②過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，連接AF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到，，進(jìn)而得到，進(jìn)而求出，結(jié)合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性質(zhì)求解．
（1）
解：．
證明：∵是等邊三角形，
∴，．
∵線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，
∴，
即．
在和中
，
∴，
∴；
（2）
解：①
理由：∵線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，
∴是等邊三角形，
∴，
由（1）得，
∴；
②過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，連接AF，如下圖．
∵是等邊三角形，，
∴，
∴．
∵是等邊三角形，點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．
【例2】 (2023·山東菏澤·中考真題）如圖1，在中，于點(diǎn)D，在DA上取點(diǎn)E，使，連接BE、CE．
(1)直接寫(xiě)出CE與AB的位置關(guān)系；
(2)如圖2，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)，分別與點(diǎn)B，E對(duì)應(yīng)），連接，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中與的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致?請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，射線與AD、分別交于點(diǎn)G、F，若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)CE⊥AB，理由見(jiàn)解析
(2)一致，理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得結(jié)論；
（2）通過(guò)證明，可得，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）由等腰直角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．
【詳解】（1）如圖，延長(zhǎng)CE交AB于H，
∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，
∵DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，
∴CE⊥AB；
（2）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中與的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是一致的，理由如下：
如圖2，延長(zhǎng)交于H，
由旋轉(zhuǎn)可得：CD=，=AD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴，
∵，
∴,
，
∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，
∴∠DA+∠AGH=90°，
∴∠AHC=90°，
；
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DH于點(diǎn)H，
∵△BED繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，
∴，
，
，
∴AD=2DH，AH=DH=，
，
由（2）可知：，
，
∵AD⊥BC，CD=，
∴DG=1，CG=2DG=2，
∴CG=FG=2，
，
∴AG=2GF=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
【例3】 (2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，正方形與正方形有公共點(diǎn)．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上，在上，求的值為多少；
(2)將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2，求：的值為多少；
(3)，，將正方形繞逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．
【答案】(1)2
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)平行線分線段成比例即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）分兩種情況畫(huà)出圖形，證明△ADG∽△ACE，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得出答案．
（1）
解：正方形與正方形有公共點(diǎn)，點(diǎn)在上，在上，
四邊形是正方形


（2）
解：如圖，連接，
正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
，
（3）
解：①如圖，
，，
,,，
三點(diǎn)共線，
中，，
，
由（2）可知，
，
．
②如圖：
由（2）知△ADG∽△ACE，
∴，
∴DG=CE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC=8，AC=，
∵AG=AD，
∴AG=AD=8，
∵四邊形AFEG是正方形，
∴∠AGE=90°，GE=AG=8，
∵C，G，E三點(diǎn)共線．
∴∠AGC=90°
∴CG=，
∴CE=CG+EG=8+8，
∴DG=CE=．
綜上，當(dāng)C，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，DG的長(zhǎng)度為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【例4】 (2023·山東濰坊·中考真題）【情境再現(xiàn)】
甲、乙兩個(gè)含角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足O處，將甲繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Gegebra按圖②作出示意圖，并連接，如圖③所示，交于E，交于F，通過(guò)證明，可得．
請(qǐng)你證明：．
【遷移應(yīng)用】
延長(zhǎng)分別交所在直線于點(diǎn)P，D，如圖④，猜想并證明與的位置關(guān)系．
【拓展延伸】
小亮將圖②中的甲、乙換成含角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接，如圖⑥所示，其他條件不變，請(qǐng)你猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系．
【答案】證明見(jiàn)解析；垂直；
【分析】證明，即可得出結(jié)論；通過(guò)，可以求出，得出結(jié)論；證明，得出，得出結(jié)論；
【詳解】證明： ，
，
，
，
，
，
；
遷移應(yīng)用：，
證明： ，
，
，
，
，
，
，
；
拓展延伸：，
證明：在中，，
在中，，
，
由上一問(wèn)題可知，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，涉及知識(shí)點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等角的余角相等，解題關(guān)鍵結(jié)合圖形靈活應(yīng)用相關(guān)的判定與性質(zhì)．
【例5】 (2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，當(dāng)射線交于點(diǎn)G，射線交于點(diǎn)N時(shí)，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)M，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)，理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）連接，可得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)中位線定理可得，即可得證；
（2）證明，根據(jù)（1）的結(jié)論即可得；
（3）連接，過(guò)點(diǎn)作于，證明，可得，勾股定理求得，根據(jù)，，可得，進(jìn)而求得，根據(jù)求得，根據(jù)（2）的結(jié)論，即可求解．
（1）
證明：如圖，連接，
，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，
，，
，
，
（2）
，理由如下，
連接，如圖，
，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，
，
，
，
，
，
，
（3）
如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于，
中，,
，
，
，
，
，
，
，
中，
，
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正確，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
一、解答題【共20題】
1． (2023·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形是正方形，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（），，，連接，．
(1)如圖，求證：≌；
(2)直線與相交于點(diǎn)．
如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：四邊形是正方形；
如圖，連接，若，，直接寫(xiě)出在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最小值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)①見(jiàn)解析②
【分析】根據(jù)證明三角形全等即可；
根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；
作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，
，．
，．
，
，
在和中，

≌；
（2）證明：如圖中，設(shè)與相交于點(diǎn)．

，
．
≌，
．
，
．
，
，，
四邊形是矩形，
．
四邊形是正方形，
，．
．
又，
≌．
．
矩形是正方形；
解：作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

∵
∴≌．
．
，，
最大時(shí)，最小，．
．
由可知，是等腰直角三角形，
．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
2． (2023·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．
(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；
(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，試探究的最小值．
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)或
(3)
【分析】（1）證明即可得證．
（2）分情況討論，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，借助，在中求解；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥AC于點(diǎn)H，借助并利用勾股定理求解即可．
（3）分別討論當(dāng)點(diǎn)E在BC和CD上時(shí)，點(diǎn)F所在位置不同，DF的最小值也不同，綜合比較取最小即可．
（1）
如圖所示，
由題意可知，，，
，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AE=AF，
在和中，
，
，
．
（2）
當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，
在中，，，
則，
在中，，，
則，
由（1）可得，，
在中，，，
則，
當(dāng)點(diǎn)E在CD上時(shí)，如圖，
過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥AC于點(diǎn)H，
同（1）可得，
，
由勾股定理得；
故CF的長(zhǎng)為或．
（3）
如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，
由（1）知，，
故點(diǎn)F在射線MF上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，DH的值最小．
在與中，
，
，
，
即，
，，
，
在與中，
，
，
，
即，
，
故的最小值；
如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，得到線段AR，連接FR，過(guò)點(diǎn)D作，，
由題意可知，，
在與中，
，
，
，
故點(diǎn)F在RF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)K重合時(shí)，DF的值最?。?br>由于，，，
故四邊形DQRK是矩形；
，
，
，
，
故此時(shí)DF的最小值為；
由于，故DF的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是各性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用．
3． (2023·遼寧盤(pán)錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，P為EF中點(diǎn)，連接AF，G為AF中點(diǎn)，連接PG，DG，將Rt△ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°）．
(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，DG與PG的關(guān)系為 ；
(2)如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)
①求證：△AGD≌△FGM；
②（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)且
(2)①見(jiàn)解析；②成立，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）先判斷出，得出，，再用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和三角形中位線定理、三角形外角和定理，即可得出結(jié)論；
（2）①先判斷出，再判斷出，即可得出結(jié)論；
②由①知，，得，得出，根據(jù)題（1），得出，得，得．又根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，等量代換得．根據(jù)得，且，推出，又根據(jù)，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，得，即．
（1）
解：∵四邊形ABCD是正方形
∴，
∵為等腰直角三角形
∴
∴CE＝CF，
∴
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)
∴
∴
∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)
∴是的中位線
∴，
∴，
又∵在中
∴且
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故且．
故答案是：DG=PG且DG⊥GP；
（2）
①證明：∵四邊形是正方形，
∴
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)
∴
∴在和中
∴
解：②（1）中的結(jié)論且成立
證明：由①知，
∴，
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)
∴
又∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)
∴是的中位線
∴，
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
故且．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是全等三角形性質(zhì)，三角形中位線定理，等量代換的轉(zhuǎn)換運(yùn)用．
4． (2023·山東青島·中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．交于點(diǎn)F，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問(wèn)題：
(1)當(dāng)時(shí)，求t的值；
(2)設(shè)四邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)是否存在某一時(shí)刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用得，即，進(jìn)而求解；
（2）分別過(guò)點(diǎn)C，P作，垂足分別為M，N，證得，，求得，再證得，得出，根據(jù)即可求出表達(dá)式；
（3）當(dāng)時(shí)，易證，得出，則，進(jìn)而求出t值．
（1）
解：在中，由勾股定理得，
∵繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
答：當(dāng)時(shí)，t的值為．
（2）
解：分別過(guò)點(diǎn)C，P作，垂足分別為M，N
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（3）
解：假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使
∵
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
∴存在時(shí)刻，使．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)與相似，利用勾股定理求線段長(zhǎng)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到相似圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，是中考中的?？碱}．
5． (2023·遼寧·本溪市教師進(jìn)修學(xué)院中考真題）在中，，線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至（不與重合），旋轉(zhuǎn)角記為，的平分線與射線相交于點(diǎn)E，連接．
(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是_____________；
(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，求證：；
(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)或
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算的角度，再由，是的平分線可知，由三角形外角的性質(zhì)，通過(guò)即可得出答案；
（2）延長(zhǎng)到F，使，連接，先證明，可推導(dǎo)、、，再由已知條件及等腰三角形的性質(zhì)推導(dǎo)，然后證明，推導(dǎo)，在中，由三角函數(shù)可計(jì)算，即可證明；
（3）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，借助（2）可知，再求的值即可；②當(dāng)時(shí)，在線段BD上取點(diǎn)F，使得，結(jié)合（2）中，可知、，易證明，可推導(dǎo)、、， ，在中，由三角函數(shù)可計(jì)算，即可推導(dǎo)，再求的值即可．
（1）
解：由旋轉(zhuǎn)可知，，當(dāng)時(shí)，
可知，
∵，是的平分線，
∴，
∴．
故答案為：；
（2）
證明：延長(zhǎng)到F，使，連接．
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）
①當(dāng)時(shí)，由（2）可知，
，，
∴，
當(dāng)時(shí)，可知，
∴；
②當(dāng)時(shí)，如下圖，在線段BD上取點(diǎn)F，使得，
由（2）可知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，可知，
∴．
綜上所述，當(dāng)時(shí)， 或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)解直角三角形的知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并通過(guò)作輔助線構(gòu)建全等三角形．
6． (2023·廣西梧州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線恰好經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是，將繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．
①寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；
②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)①點(diǎn)E在拋物線上；②P（0，?）
【分析】（1）先求出A、B坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出EF=AO=3，CF=CO=6，從而可求E的坐標(biāo)，然后把E的坐標(biāo)代入（1）的函數(shù)解析式中，從而判斷出點(diǎn)E是否在拋物線上；
②過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，交y軸于P，垂足為H，，則，得，可知HP＋PE的最小值為EH的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．
（1）
解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，
當(dāng)y=0時(shí)，，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入拋物線，
得，
∴，
∴拋物線解析式為．
（2）
解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋轉(zhuǎn)知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x軸的距離為6-3=3，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，3），
當(dāng)x=3時(shí)，，
∴點(diǎn)E在拋物線上；
②過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，交y軸于P，垂足為H，
∵A（?3，0），B（0，?4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵，
∴，
∴，
∴HP＋PE的最小值為EH的長(zhǎng)，
作EG⊥y軸于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
∴，
∴，
∴，
∴OP＝?3＝，
∴P（0，?）．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)，兩點(diǎn)之間、線段最短等知識(shí)，利用三角函數(shù)將轉(zhuǎn)化為HP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
7． (2023·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，和的頂點(diǎn)重合，，，，．
(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)，分別在，上時(shí)，可以得出結(jié)論：______，直線與直線的位置關(guān)系是______；
(2)探究證明：如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)恰好落在線段上，連接，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)拓展運(yùn)用：如圖3，將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，它們的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】(1) ，垂直
(2)成立，理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）解直角三角形求出，，可得結(jié)論；
（2）結(jié)論不變，證明，推出，，可得結(jié)論；
（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)求出，，可得結(jié)論．
(1)
解：在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴，此時(shí)，
故答案為：，垂直；
(2)
結(jié)論成立．
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(3)
如圖3中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，，
當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，
∴，，
設(shè)，則，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
8． (2023·湖北十堰·中考真題）已知，在內(nèi)部作等腰，，．點(diǎn)為射線上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系是_________；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若，，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)（用含有的式子表示）．
【答案】(1)BF=CF
(2)成立；理由見(jiàn)解析
(3)或PD=0或
【分析】（1）連接AF，先根據(jù)“SAS”證明，得出，再證明，即可得出結(jié)論；
（2）連接AF，先說(shuō)明，然后根據(jù)“SAS”證明，得出，再證明，即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)，AB=AC，得出△ABC為等邊三角形，再按照，，三種情況進(jìn)行討論，得出結(jié)果即可．
（1）
解：BF=CF；理由如下：
連接AF，如圖所示：
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，AE=AD，
∵∠BAC=90°，
∴，，
∴，
∵AC=AB，
∴（SAS），
∴，
∴，
∵在Rt△ABF與Rt△ACF中，
∴（HL），
∴BF=CF．
故答案為：BF=CF．
（2）
成立；理由如下：
連接AF，如圖所示：
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，AE=AD，
∵，
∴，，
∴，
∵AC=AB，
∴，
∴，
∴，
∵在Rt△ABF與Rt△ACF中，
∴（HL），
∴BF=CF．
（3）
∵，AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴，，
當(dāng)時(shí)，連接AF，如圖所示：
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
∵，
，
即，
，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
∴；
當(dāng)時(shí)，AD與AC重合，如圖所示：
∵，，
∴△ADE為等邊三角形，
∴∠ADE=60°，
∵，
∴，
∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，；
當(dāng)時(shí)，連接AF，如圖所示：
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
∵，
，
即，
，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
，
∴；
綜上分析可知，或PD=0或．
9． (2023·山西·中考真題）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N，猜想證明：
（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說(shuō)明理由；
問(wèn)題解決：
（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求線段CN的長(zhǎng)；
（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫(xiě)出線段AN的長(zhǎng)．
【答案】（1）四邊形AMDN為矩形；理由見(jiàn)解析；（2）；（3）．
【分析】（1）由三角形中位線定理得到 ，證明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可證明結(jié)論；
（2）證明△NDC是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥BC于點(diǎn)G，證明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）延長(zhǎng)ND，使DH=DN，證明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，證明∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．
【詳解】解：（1）四邊形AMDN為矩形．
理由如下：∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四邊形AMDN為矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
過(guò)點(diǎn)N作NG⊥BC于點(diǎn)G，則∠CGN=90°．
∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴，即，
∴；
（3）延長(zhǎng)ND至H，使DH=DN，連接MH，NM，BH，
∵M(jìn)D⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中點(diǎn)，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
設(shè)AM=AN=x，則BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴線段AN的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，解第（3）問(wèn)的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．
10． (2023·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示．
(1)在圖（1）中，，分別是邊，與網(wǎng)格線的交點(diǎn)．先將點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，畫(huà)出點(diǎn)，再在上畫(huà)點(diǎn)，使；
(2)在圖（2）中，是邊上一點(diǎn)，．先將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，畫(huà)出線段，再畫(huà)點(diǎn)，使，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)作圖見(jiàn)解析
【分析】（1）取格點(diǎn)，作平行四邊形，利用平行四邊形對(duì)角頂點(diǎn)關(guān)于對(duì)角線交點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即可求點(diǎn)F；平行四邊形對(duì)邊在網(wǎng)格中與格線的交點(diǎn)等高，連接等高點(diǎn)即可作出；
（2）取格點(diǎn)，作垂直平分線即可作出線段AH；利用垂直平分線的性質(zhì)，證明三角形全等，作出，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
（1）
解：作圖如下：
取格點(diǎn)，連接，且，所以四邊形是平行四邊形，連接 ，與AC的交點(diǎn)就是點(diǎn)E，所以BE=EF，所以點(diǎn)F即為所求的點(diǎn)；
連接CF，交格線于點(diǎn)M，因?yàn)樗倪呅蜛BCF是平行四邊形，連接DM交AC于一點(diǎn)，該點(diǎn)就是所求的G點(diǎn)；
（2）
解：作圖如下：
取格點(diǎn)D、E，連接DE，AC平行于DE，取格點(diǎn)R，連接BR并延長(zhǎng)BR交DE于一點(diǎn)H，連接AH，此線段即為所求作線段；
理由如下：取格點(diǎn)W連接AW、CW，連接CR，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，
即，
∴垂直平分，
∴．
連接，交AC于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則該點(diǎn)就是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
理由如下：∵垂直平分，
∴是等腰三角形，，
∴ ，
∴，
∴，
∴，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).
【點(diǎn)睛】本題考查了用無(wú)刻度直尺在網(wǎng)格中作圖的知識(shí)，找準(zhǔn)格點(diǎn)作出平行四邊形和垂直平分線是解決本題的關(guān)鍵．
11． (2023·四川廣元·中考真題）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．
(1)如圖1，將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為 ；
(2)將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α?xí)r
①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；
②若∠BCD的平分線CE交BD于點(diǎn)F，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)135°
(2)（2）①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；∠ADB=45°；②2BE-AD=CE．理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意得點(diǎn)A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求解；
（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；同（1），利用圓周角定理即可求解；
②過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EC于點(diǎn)C，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，證明BE=DE，△CEH是等腰直角三角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：由題意得：CA=CD=CB，
∴點(diǎn)A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，如圖，
在優(yōu)弧上取點(diǎn)G，連接AG，BG，
∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，
∴∠BGA=45°，
∵四邊形ADBG是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADB=180°-45°=135°，
故答案為：135°；
（2）①補(bǔ)全圖形，如圖：
由題意得：CA=CD=CB，
∴點(diǎn)A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，如圖，
∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，
∴∠ADB=45°；
②2BE-AD=CE．理由如下：
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EC于點(diǎn)C，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖：
∵CD=CB，CE是∠BCD的平分線，
∴CE是線段BD的垂直平分線，
∴BE=DE，∠EFD=90°，
由①知∠ADB=45°，
∴∠DEF=45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，
∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA，則∠CAE=∠CDH，
∴△AEC≌△DHC，
∴AE=DH，
∴EH=2ED-AD=2BE-AD，
∵△CEH是等腰直角三角形，
∴2BE-AD=CE．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形和等腰直角三角形解決問(wèn)題．
12． (2023·江蘇連云港·中考真題）【問(wèn)題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．
【問(wèn)題探究】小昕同學(xué)將三角板繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．
(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
(2)若點(diǎn)、、在同一條直線上，求點(diǎn)到直線的距離．
(3)連接，取的中點(diǎn)，三角板由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、、首次在同一條直線上（如圖3），求點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．
(4)如圖4，為的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)到直線的距離的最大值是_____．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）在Rt△BEF中，根據(jù)余弦的定義求解即可；
（2）分點(diǎn)在上方和下方兩種情況討論求解即可；
（3）取的中點(diǎn)，連接，從而求出OG=，得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；
（4）由（3）知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，過(guò)O作OH⊥AB于H，當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，GH最大，即點(diǎn)到直線的距離的最大，在Rt△BOH中求出OH，進(jìn)而可求GH.
（1）
解：由題意得，，
∵在中，，，．
∴．
（2）
①當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，
如圖一，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，，
，，
∴．
∵點(diǎn)、、在同一直線上，且，
∴．
又∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
②當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，
如圖二，
在中，∵，，，
∴．
∴．
過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
在中，，
∴．
綜上，點(diǎn)到直線的距離為．
（3）
解：如圖三，取的中點(diǎn)，連接，則．
∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．
當(dāng)三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針由初始位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、B、首次在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的軌跡為所對(duì)的圓弧，圓弧長(zhǎng)為．
∴點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．
（4）
解：由（3）知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
如圖四，過(guò)O作OH⊥AB于H，
當(dāng)G在OH的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，GH最大，即點(diǎn)到直線的距離的最大，
在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，，
∴，
∴，
即點(diǎn)到直線的距離的最大值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，解直角三角形等知識(shí)，分點(diǎn)在上方和下方是解第（2）的關(guān)鍵，確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解第（3）（4）的關(guān)鍵.
13． (2023·四川達(dá)州·中考真題）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動(dòng)中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（），連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請(qǐng)你幫忙解答：
(1)【初步探究】如圖2，當(dāng)時(shí)，則_____；
(2)【初步探究】如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；
(3)【深入探究】如圖4，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)不重合時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出推理過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（），連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)仍然成立，理由見(jiàn)解析
(4)
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)題意可得，根據(jù)等原三角形的性質(zhì)可得平分，即可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知；
（2）證明 ，可得，根據(jù)等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；
（3）同（2）可得 ，過(guò)點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，證明， ，可得，即可得出；
（4）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，證明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．
【詳解】（1）等腰直角三角形和等腰直角三角形，
，
故答案為：
（2）
在與中，


又
重合，
故答案為：
（3）同（2）可得
，
過(guò)點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，
則，
，
在與中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在與中，
，
，
，
，
即，
（4）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
中，，
，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
14． (2023·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）在中，，中，（），，，，點(diǎn)B，C，E不共線，點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，且．
（1）如圖1，點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上，則________，________，（用含的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，點(diǎn)A，E在直線同側(cè)，求證：平分；
（3）若，，將圖3中的繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，直線交于點(diǎn)G，點(diǎn)M是中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．
【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析；（3）的長(zhǎng)為或．
【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)求解即可．
（2）如圖2中，連接．證明，可得結(jié)論．
（3）分兩種情形：如圖中，設(shè)交于．圖中，設(shè)交于，當(dāng)時(shí)，利用三角形的中位線定理，可得，求出，可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖1中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（2）證明：如圖2中，連接．
，，
，，
，
，
，
平分．
（3）解：如圖中，設(shè)交于．
，，
是等腰直角三角形，
，，
垂直平分線段，
，
，
，
，
，是等邊三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
如圖中，設(shè)交于，當(dāng)時(shí)，同法可證．
，，
，
，
，，
，
，
，
，
綜上所述，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用特殊三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
15． (2023·山東日照·中考真題）問(wèn)題背景：
如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．
實(shí)驗(yàn)探究：
（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論：①_____；②直線與所夾銳角的度數(shù)為_(kāi)_____．
（2）小王同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請(qǐng)問(wèn)探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)共線時(shí)，則的面積為_(kāi)_____．
【答案】（1），30°；（2）成立，理由見(jiàn)解析；拓展延伸：或
【分析】（1）通過(guò)證明，可得，，即可求解；
（2）通過(guò)證明，可得，，即可求解；
拓展延伸：分兩種情況討論，先求出，的長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】解：（1）如圖1，，，，
，
如圖2，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，
繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
，
，
，，
又，
，
直線與所夾銳角的度數(shù)為，
故答案為：，；
（2）結(jié)論仍然成立，
理由如下：如圖3，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，
將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
，
又 ，
，
，，
又，
，
直線與所夾銳角的度數(shù)為．
拓展延伸：如圖4，當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，
，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，
，，，
，，
，
、、三點(diǎn)共線，
，
，
，
，
由（2）可得：，
，
，
的面積；
如圖5，當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，
同理可求：的面積；
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
16． (2023·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝39°，連接AC，BD交于點(diǎn)M．填空：的值為 ，∠AMB的度數(shù)為 ；
（2）如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝60°，連接AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．請(qǐng)判斷的值，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點(diǎn)M，若OD＝1，OB＝；點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，AQ的最大值為 ．
【答案】（1）1，39°；（2），理由見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）①根據(jù)已知條件證明△COA≌△DOB，即可證明AC=BD；②根據(jù)△COA≌△DOB可得∠CAO=∠DBO，根據(jù)已知條件可得∠OAB+∠ABO=141°，然后在△AMB中，根據(jù)等角的轉(zhuǎn)換即可得到答案；
（2）根據(jù)已知條件證明△AOC∽△BOD，即可求出；
（3）找出Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)O為圓心的圓上，根據(jù)一箭穿心模型即可求出AQ的最大值．
【詳解】解：（1）①如圖1，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴=1，
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=39°，
∴∠OAB+∠ABO=141°，
在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣141°=39°，
（2）如圖2，
理由是：
在Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴，
同理得：，
∴，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴；
（3）解：連接OQ，
∵Q為CD的中點(diǎn)，
△COD為直角三角形，
∴OQ= ，
又∵ ，OD=1，
∴CD=2，
∴OQ=1，
∴點(diǎn)Q在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，
∴當(dāng)A,O,Q三點(diǎn)共線時(shí)，AQ最大，
∵△BOA為直角三角形，OB=，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，本題涉及兩個(gè)常見(jiàn)的幾何模型：手拉手全等模型，手拉手相似模型，以及利用隱形圓求最值．本題的難度較大，是中考題中常見(jiàn)的幾何綜合題．
17． (2023·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）【操作與發(fā)現(xiàn)】
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N，M分別在邊BC、CD上．連接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而可得：DM+BN＝MN．
(1)【實(shí)踐探究】在圖①條件下，若CN＝6，CM＝8，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是______．
(2)如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，求證：M是CD的中點(diǎn)．
(3)【拓展】如圖③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，則DM的長(zhǎng)是______．
【答案】(1)12
(2)見(jiàn)解析
(3)8
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合SAS可以證明△ANM≌△ANE，從而得到DM+BN＝MN，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則BN＝x﹣6，DM＝x﹣8，利用勾股定理求得MN=10，從而列得方程求解即可求出正方形邊長(zhǎng)．
（2）根據(jù)設(shè)BN＝m，DM＝n，則MN＝m+ n，利用tan∠BAN，可得正方形邊長(zhǎng)為3m，從而得到CM=3m-n，CN＝2m，根據(jù)勾股定理得到：，代入可得關(guān)于m，n得方程，繼而得到3m＝2n，最后代入CM=3m-n得到DM＝CM，即M是CD的中點(diǎn)．
（3）延長(zhǎng)AB至P，使BP＝BN＝4，過(guò)P作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于Q，延長(zhǎng)AN交PQ于E，連接EM，將圖③補(bǔ)充成邊長(zhǎng)為16的正方形，從而得到與前兩問(wèn)的圖形，利用可得△ABN∽△APE，繼而求出PE的長(zhǎng)度，從而利用前面的結(jié)論，并利用勾股定理列方程即可求出結(jié)果．
（1）
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，
即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△AEN中，
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，
∴MN＝BN+DM，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：
∴MN10，
則BN+DM＝10，
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，
∴x﹣6+x﹣8＝10，
解得：x＝12，
即正方形ABCD的邊長(zhǎng)是12；
故答案為：12；
（2）
證明：設(shè)BN＝m，DM＝n，
由（1）可知，MN＝BN+DM＝m+n，
∵∠B＝90°，tan∠BAN，
∴tan∠BAN，
∴AB＝3BN＝3m，
∴CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：
∴，
整理得：3m＝2n，
∴CM＝2n﹣n＝n，
∴DM＝CM，
即M是CD的中點(diǎn)；
（3）
解：延長(zhǎng)AB至P，使BP＝BN＝4，過(guò)P作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于Q，延長(zhǎng)AN交PQ于E，連接EM，如圖③所示：
則四邊形APQD是正方形，
∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝12+4＝16，
設(shè)DM＝a，則MQ＝16﹣a，
∵PQBC，
∴△ABN∽△APE，
∴，
∴PEBN，
∴EQ＝PQ﹣PE＝16，
由（1）得：EM＝PE+DMa，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：
，
解得：a＝8，
即DM的長(zhǎng)是8；
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用勾股定理解直角三角形等知識(shí)，靈活運(yùn)用前兩問(wèn)中結(jié)論DM+BN＝MN，已知直角三角形CMN中勾股定理結(jié)論是解題的關(guān)鍵．
18． (2023·四川樂(lè)山·三模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．
(1)觀察猜想
如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值是 ，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是 ．
(2)類(lèi)比探究
如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出，并就圖2的情形說(shuō)明理由．
(3)解決問(wèn)題
當(dāng)α＝90°時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時(shí)的值．
【答案】(1)1，60°
(2)
(3)2+或2-
【分析】（1）如圖1中，延長(zhǎng)CP交BD的延長(zhǎng)線于E，設(shè)AB交EC于點(diǎn)O．證明△CAP≌△BAD（SAS），即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，BD交PC于點(diǎn)E．證明△DAB∽△PAC，即可解決問(wèn)題．
（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于H．證明AD＝DC即可解決問(wèn)題．
②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，同法可證：DA＝DC解決問(wèn)題．
（1）
解：如圖1中，延長(zhǎng)CP交BD的延長(zhǎng)線于E．
∵CA=CB,∠ACB=60°，
∴?CAB為等邊三角形，
又∵將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DP
∴AP=DP，∠APD=60°
∴?APD為等邊三角形，
∴CA＝BA，PA＝DA，
∴∠PAD＝∠CAB＝60°，
∴∠PAD-∠PAB＝∠CAB-∠PAB
∴∠CAP＝∠BAD，
∵CA＝BA，PA＝DA，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠CAO＝60°，
∴=1，
故答案為1，60°．
（2）
=，
理由：如圖2中，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O．
∵∠PAD＝∠CAB＝45°，
∴∠PAC＝∠DAB，
∵＝＝，
∴△DAB∽△PAC，
∴∠PCA＝∠DBA， =＝，
（3）
如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)．
∵CE＝EA，CF＝FB，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC＝45°，
∵∠PAO＝45°，
∴∠PAO＝∠OFH，
∵∠POA＝∠FOH，
∴∠H＝∠APO，
∵∠APC＝90°，EA＝EC，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，
∴∠H＝∠BAH，
∴BH＝BA，
∵∠ADP＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AH，
∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴A，D，C，B四點(diǎn)共圓，
∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，
∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，
∴DA＝DC，設(shè)AD＝a，PD＝a，
∴=．
解法二：在Rt△PAD中，∵E是AC的中點(diǎn)，
∴PE＝EA＝EC，
∴∠EPC＝∠ECP，
∵∠CEF＝45°＝∠EPC+∠ECP，
∴∠EPC＝∠ECP＝22.5°，
∵∠PDA＝45°＝∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC＝22.5°，
∴AD＝DC，
設(shè)PD＝a，則AD＝DC＝a，
∴，
如圖3﹣3中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，同理可得DA=DC,設(shè)AD＝a，PD＝a，
∴PC＝a﹣a，
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.
19． (2023·山東濟(jì)南·一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)．△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點(diǎn)為點(diǎn)P．
(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，AD與BE的位置關(guān)系為_(kāi)_____；
(2)當(dāng)0°＜α≤360°時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度和P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．
【答案】(1)AD＝BE，AD⊥BE
(2)結(jié)論仍然成立，證明見(jiàn)解析
(3)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度是π；P點(diǎn)到直線BC距離的最大值是
【分析】（1）分別求出AD、BE的長(zhǎng)即可解答；
（2）先證明△BCE∽△ACD ，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；
（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長(zhǎng)公式可求P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點(diǎn)到直線BC距離的最大值即可．
（1）
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE
∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)
∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=
∴ AD＝BE．
故答案為：AD＝BE，AD⊥BE．
（2）
解：結(jié)論仍然成立，理由如下：
∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，
∴，＝，
∴，
∵△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝，∠CBO＝∠CAD，
∴AD＝BE，
∵∠CBO+∠BOC＝90°，
∴∠CAD+∠AOP＝90°，
∴∠APO＝90°，
∴BE⊥AD．
（3）
解：∵∠APB＝90°，
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，
如圖3，取AB的中點(diǎn)G，作⊙G，以點(diǎn)C為圓心，CE為半徑作⊙C，當(dāng)BE是⊙C切線時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，連接GP，
∵BE是⊙C切線，
∴CE⊥BE，
∵＝，
∴∠EBC＝30°，
∴∠GBP＝30°，
∵GB＝GP，
∴∠GBP＝∠GPB＝30°，
∴∠BGP＝120°，
∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為點(diǎn)C→點(diǎn)P→點(diǎn)C→點(diǎn)B→點(diǎn)C，
∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度＝×2＝π，
∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，
∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，
∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，
∴PH＝BP＝．
∴P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．
20． (2023·黑龍江·齊齊哈爾市富拉爾基區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校三模）綜合與實(shí)踐
如圖①，Rt△ABC中，∠ACB= 90° ，CD為Rt△ABC的斜邊上的中線，在證明CD=AD= BD的過(guò)程中，我們可以延長(zhǎng)CD到E，使得CD=DE ，連接BE．很容易證明∠ACD≌△BED，進(jìn)而證明△ABC≌△ECB，所以AB=CE，所以CD= AD= BD．我們可以得到直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．
實(shí)踐操作：
將兩個(gè)全等的Rt△ABD，Rt△ACE拼在一起 ，如圖②，△ABD不動(dòng)．
問(wèn)題解決：
（1）將△ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB，MC，如圖③，求證：MB=MC；
拓展延伸：
（2）若將圖②中的CE向上平移，且∠CAE不變，連接DE ，M是DE的中點(diǎn)，連接MB ，MC，如圖④，則線段MB，MC的數(shù)量關(guān)系為 ；
問(wèn)題再探：
（3）在（2）的條件下，若∠CAE改變大小，如圖⑤，其他條件不變，請(qǐng)你判斷線段MB ，MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）MB=MC；（3）成立，理由見(jiàn)解析．
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)得到，，繼而證明，再證明，接著由得到；
（2）由平移的性質(zhì)得到，繼而得到，接著由得到；
（3）延長(zhǎng)BM交CE于點(diǎn)F，證明，由此得到MB=MF，再結(jié)合直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解得即可．
【詳解】解：（1）由題意知Rt△ABD≌Rt△ACE
旋轉(zhuǎn)
M是DE的中點(diǎn)
（2）由題意，
平移
M是DE的中點(diǎn)
故答案為：；
（3）成立，理由如下，
如圖，延長(zhǎng)BM交CE于點(diǎn)F，
平移
M是DE的中點(diǎn)
．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．

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