2024年中考數學壓軸題之學霸秘笈大揭秘專題17二次函數與公共點及交點綜合問題（原卷版+解析）-試卷下載-教習網

【例1】． (2023?大慶）已知二次函數y＝x2+bx+m圖象的對稱軸為直線x＝2，將二次函數y＝x2+bx+m圖象中y軸左側部分沿x軸翻折，保留其他部分得到新的圖象C．
（1）求b的值；
（2）①當m＜0時，圖C與x軸交于點M，N（M在N的左側），與y軸交于點P．當△MNP為直角三角形時，求m的值；
②在①的條件下，當圖象C中﹣4≤y＜0時，結合圖象求x的取值范圍；
（3）已知兩點A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），當線段AB與圖象C恰有兩個公共點時，直接寫出m的取值范圍．
【例2】． (2023?湖北）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3的頂點為A，與y軸交于點C，線段CB∥x軸，交該拋物線于另一點B．
（1）求點B的坐標及直線AC的解析式；
（2）當二次函數y＝x2﹣2x﹣3的自變量x滿足m≤x≤m+2時，此函數的最大值為p，最小值為q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移拋物線y＝x2﹣2x﹣3，使其頂點始終在直線AC上移動，當平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點時，設此時拋物線的頂點的橫坐標為n，請直接寫出n的取值范圍．
【例3】． (2023?張家界）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的函數表達式及點D的坐標；
（2）若四邊形BCEF為矩形，CE＝3．點M以每秒1個單位的速度從點C沿CE向點E運動，同時點N以每秒2個單位的速度從點E沿EF向點F運動，一點到達終點，另一點隨之停止．當以M、E、N為頂點的三角形與△BOC相似時，求運動時間t的值；
（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點P，點G是點P關于點D的對稱點，點Q是x軸下方拋物線上的動點．若過點Q的直線l：y＝kx+m（|k|）與拋物線只有一個公共點，且分別與線段GA、GB相交于點H、K，求證：GH+GK為定值．
【例4】． (2023?沈陽）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3經過點B（6，0）和點D（4，﹣3），與x軸的另一個交點為A，與y軸交于點C，作直線AD．
（1）①求拋物線的函數表達式；
②直接寫出直線AD的函數表達式；
（2）點E是直線AD下方的拋物線上一點，連接BE交AD于點F，連接BD，DE，△BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當S1＝2S2時，求點E的坐標；
（3）點G為拋物線的頂點，將拋物線圖象中x軸下方的部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下的部分組成新的曲線記為C1，點C的對應點為C′，點G的對應點為G′，將曲線C1沿y軸向下平移n個單位長度（0＜n＜6）．曲線C1與直線BC的公共點中，選兩個公共點記作點P和點Q，若四邊形C′G′QP是平行四邊形，直接寫出點P的坐標．
一．解答題（共20小題）
1． (2023?鐘樓區(qū)校級模擬）如圖，已知二次函數y＝x2+mx+m+的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，﹣），P是拋物線在直線AC上方圖象上一動點．
（1）求二次函數的表達式；
（2）求△PAC面積的最大值，并求此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G．現將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個公共點，請直接寫出圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍．
2． (2023?保定一模）如圖，關于x的二次函數y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的圖象記為L，點P是L上對稱軸右側的一點，作PQ⊥y軸，與L在對稱軸左側交于點Q；點A，B的坐標分別為（1，0），（1，1），連接AB．
（1）若t＝1，設點P，Q的橫坐標分別為m，n，求n關于m的關系式；
（2）若L與線段AB有公共點，求t的取值范圍；
（3）當2t﹣3＜x＜2t﹣1時，y的最小值為﹣，直接寫出t的值．
3． (2023?廣陵區(qū)校級二模）在平面直角坐標系中，已知函數y1＝2x和函數y2＝﹣x+6，不論x取何值，y0都取y1與y2二者之中的較小值．
（1）求函數y1和y2圖象的交點坐標，并直接寫出y0關于x的函數關系式；
（2）現有二次函數y＝x2﹣8x+c，若函數y0和y都隨著x的增大而減小，求自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的結論下，若函數y0和y的圖象有且只有一個公共點，求c的取值范圍．
4． (2023?金華模擬）在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2﹣2mx+6m（x≤2m，m為常數）的圖象記作G，圖象G上點A的橫坐標為2m．
（1）當m＝1，求圖象G的最低點坐標；
（2）平面內有點C（﹣2，2）．當AC不與坐標軸平行時，以AC為對角線構造矩形ABCD，AB與x軸平行，BC與y軸平行．
①若矩形ABCD為正方形時，求點A坐標；
②圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點時，求m的取值范圍．
5． (2023?清鎮(zhèn)市模擬）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線與拋物線交于點B．
（1）拋物線的對稱軸為直線x＝；（用含字母a的代數式表示）
（2）若AB＝2，求二次函數的表達式；
（3）已知點P（a+4，1），Q（0，2），如果拋物線與線段PQ恰有一個公共點，求a的取值范圍．
6． (2023?五華區(qū)三模）已知拋物線y＝ax2﹣mx+2m﹣3經過點A（2，﹣4）．
（1）求a的值；
（2）若拋物線與y軸的公共點為（0，﹣1），拋物線與x軸是否有公共點，若有，求出公共點的坐標；若沒有，請說明理由；
（3）當2≤x≤4時，設二次函數y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值為M，最小值為N，若＝，求m的值．
7． (2023?秦淮區(qū)二模）在平面直角坐標系中，一個二次函數的圖象的頂點坐標是（2，1），與y軸的交點坐標是（0，5）．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）在同一平面直角坐標系中，若該二次函數的圖象與一次函數y＝x+n（n為常數）的圖象有2個公共點，求n的取值范圍．
8． (2023?鹽城二模）若二次函數y＝ax2+bx+a+2的圖象經過點A（1，0），其中a、b為常數．
（1）用含有字母a的代數式表示拋物線頂點的橫坐標；
（2）點B（﹣，1）、C（2，1）為坐標平面內的兩點，連接B、C兩點．
①若拋物線的頂點在線段BC上，求a的值；
②若拋物線與線段BC有且只有一個公共點，求a的取值范圍．
9． (2023?滑縣模擬）如圖，已知二次函數y＝x2+2x+c與x軸正半軸交于點B（另一個交點為A），與y軸負半軸交于點C，且OC＝3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設直線AC的解析式為y＝kx+b，求點A的坐標，并結合圖象寫出不等式x2+2x+c≥kx+b的解集；
（3）已知點P（﹣3，1），Q（2，2t+1），且線段PQ與拋物線y＝x2+2x+c有且只有一個公共點，直接寫出t的取值范圍．
10． (2023春?龍鳳區(qū)期中）如圖，二次函數y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的圖象與一次函數y＝﹣2x的圖象交于點A、B（點B在右側），與y軸交于點C，點A的橫坐標恰好為a，動點P、Q同時從原點O出發(fā)，沿射線OB分別以每秒和2個單位長度運動，經過t秒后，以PQ為對角線作矩形PMQN，且矩形四邊與坐標軸平行．
（1）求a的值及t＝1秒時點P的坐標；
（2）當矩形PMQN與拋物線有公共點時，求時間t的取值范圍；
（3）在位于x軸上方的拋物線圖象上任取一點R，作關于原點（0，0）的對稱點為R′，當點M恰在拋物線上時，求R′M長度的最小值，并求此時點R的坐標．
11． (2023春?鼓樓區(qū)校級期末）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
（1）當a＝﹣時，求拋物線的對稱軸及頂點坐標；
（2）請直接寫出二次函數圖象的對稱軸是直線（用含a的代數式表示）及二次函數圖象經過的定點坐標是．
（3）若當1≤x≤5時，函數值有最大值為8，求二次函數的解析式；
（4）已知點A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若拋物線與線段AB只有一個公共點，請直接寫出a的取值范圍．
12． (2023?綏江縣二模）已知二次函數y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的圖象經過（3，0）．
（1）求二次函數的對稱軸；
（2）點A的坐標為（1，0），將點A向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到點B，若二次函數的圖象與線段AB有公共點，求a的取值范圍．
13． (2023?南京一模）已知二次函數y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a為常數，且a≠0）．
（1）求證：該函數的圖象與x軸總有兩個公共點；
（2）若點（0，y1），（3，y2）在函數圖象上，比較y1與y2的大?。?br>（3）當0＜x＜3時，y＜2，直接寫出a的取值范圍．
14． (2023?余姚市一模）已知：一次函數y1＝2x﹣2，二次函數y2＝﹣x2+bx+c（b，c為常數），
（1）如圖，兩函數圖象交于點（3，m），（n，﹣6）．求二次函數的表達式，并寫出當y1＜y2時x的取值范圍．
（2）請寫出一組b，c的值，使兩函數圖象只有一個公共點，并說明理由．
15． (2023?花溪區(qū)模擬）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過A（﹣2，1），B（2，﹣3）兩點
（1）求分別以A（﹣2，1），B（2，﹣3）兩點為頂點的二次函數表達式；
（2）求b的值，判斷此二次函數圖象與x軸的交點情況，并說明理由；
（3）設（m，0）是該函數圖象與x軸的一個公共點．當﹣3＜m＜﹣1時，結合函數圖象，寫出a的取值范圍．
16． (2023?無錫模擬）在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別是（0，﹣3），（0，4），點P（m，0）（m≠0）是x軸上一個動點，過點A作直線AC⊥BP于點D，直線AC與x軸交于點C，過點P作PE∥y軸，交AC于點E．
（1）當點P在x軸的正半軸上運動時，是否存在點P，使△OCD與△OBD相似？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．
（2）小明通過研究發(fā)現：當點P在x軸上運動時，點E（x，y）也相應的在二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上運動，為了確定函數解析式小明選取了一些點P的特殊的位置，計算了點E（x，y）的坐標，列表如下：
請?zhí)顚懕碇锌崭?，并根據表中數據求出二次函數的函數解析式?br>（3）把（2）中所求的拋物線向左平移n個單位長度，把直線y＝﹣2x﹣4向下平移n個單位長度，如果平移后的拋物線對稱軸右邊部分與平移后的直線有公共點，那么請直接寫出n的取值范圍．
17． (2023?朝陽區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，二次函數y＝﹣x2+2mx﹣6m（x≤2m，m為常數）的圖象記作G，圖象G上點A的橫坐標為2m．平面內有點C（﹣2，﹣2）．當AC不與坐標軸平行時，以AC為對角線構造矩形ABCD，AB與x軸平行，BC與y軸平行．
（1）當m＝﹣2，求圖象G的最高點坐標；
（2）若圖象G過點（3，﹣9），求出m的取值范圍；
（3）若矩形ABCD為正方形時，求點A坐標；
（4）圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點時，直接寫出m的取值范圍．
18． (2023?如東縣一模）定義：若兩個函數的圖象關于某一點P中心對稱，則稱這兩個函數關于點P互為“伴隨函數”．例如，函數y＝x2與y＝﹣x2關于原點O互為“伴隨函數”．
（1）函數y＝x+1關于原點O的“伴隨函數”的函數解析式為，函數y＝（x﹣2）2+1關于原點O的“伴隨函數”的函數解析式為；
（2）已知函數y＝x2﹣2x與函數G關于點P（m，3）互為“伴隨函數”．若當m＜x＜7時，函數y＝x2﹣2x與函數G的函數值y都隨自變量x的增大而增大，求m的取值范圍；
（3）已知點A（0，1），點B（4，1），點C（2，0），二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數N關于點C互為“伴隨函數”，將二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數N的圖象組成的圖形記為W，若圖形W與線段AB恰有2個公共點，直接寫出a的取值范圍．
19． (2023?南京模擬）對于平面直角坐標系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的“距離”，記作d（M，N）．特別的，當圖形M，N有公共點時，記作d（M，N）＝0．一次函數y＝kx+2的圖象為L，L與y軸交點為D，在△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．
（1）求d（點D，△ABC）＝；當k＝1時，求d（L，△ABC）＝；
（2）若d（L，△ABC）＝0，直接寫出k的取值范圍；
（3）函數y＝x+b的圖象記為W，若d（W，△ABC）≤2，則b的取值范圍是．
20． (2023?南京模擬）若一個函數圖象上存在橫縱坐標互為相反數的點，我們將其稱之為“反值點”，例如直線y＝x+2的圖象上的（﹣1，1）即為反值點．
（1）判斷反比例函數的圖象上是否存在反值點？若存在，求出反值點的坐標，若不存在，說明理由；
（2）判斷關于x的函數（a是常數）的圖象上是否存在反值點？若存在，求出反值點的坐標，若不存在，說明理由；
（3）將二次函數y＝x2﹣2x﹣3的圖象向上平移m（m為常數，且m＞0）個單位后，若在其圖象上存在兩個反值點，求m的取值范圍．
x

y

專題17二次函數與公共點及交點綜合
【例1】 (2023?大慶）已知二次函數y＝x2+bx+m圖象的對稱軸為直線x＝2，將二次函數y＝x2+bx+m圖象中y軸左側部分沿x軸翻折，保留其他部分得到新的圖象C．
（1）求b的值；
（2）①當m＜0時，圖C與x軸交于點M，N（M在N的左側），與y軸交于點P．當△MNP為直角三角形時，求m的值；
②在①的條件下，當圖象C中﹣4≤y＜0時，結合圖象求x的取值范圍；
（3）已知兩點A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），當線段AB與圖象C恰有兩個公共點時，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）由二次函數的對稱軸直接可求b的值；
（2）①求出M（2﹣，0），N（2+，0），再求出MN＝2，MN的中點坐標為（2，0），利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，列出方程即可求解；
②求出拋物線y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）與直線y＝﹣4的交點為（1，﹣4），（3，﹣4），再求出y＝x2﹣4x﹣1關于x軸對稱的拋物線解析式為y＝﹣x2+4x+1（x＜0）當﹣x2+4x+1＝﹣4時，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，拋物線y＝﹣x2+4x+1（x＜0）與直線y＝﹣4的交點為（﹣1，﹣4），結合圖像可得﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+時，﹣4≤y＜0；
（3）通過畫函數的圖象，分類討論求解即可．
【解析】（1）∵已知二次函數y＝x2+bx+m圖象的對稱軸為直線x＝2，
∴b＝﹣4；
（2）如圖1：①令x2+bx+m＝0，
解得x＝2﹣或x＝2+，
∵M在N的左側，
∴M（2﹣，0），N（2+，0），
∴MN＝2，MN的中點坐標為（2，0），
∵△MNP為直角三角形，
∴＝，
解得m＝0（舍）或m＝﹣1；
②∵m＝﹣1，
∴y＝x2﹣4x﹣1（x≥0），
令x2﹣4x﹣1＝﹣4，
解得x＝1或x＝3，
∴拋物線y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）與直線y＝﹣4的交點為（1，﹣4），（3，﹣4），
∵y＝x2﹣4x﹣1關于x軸對稱的拋物線解析式為y＝﹣x2+4x+1（x＜0），
當﹣x2+4x+1＝﹣4時，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，
∴拋物線y＝﹣x2+4x+1（x＜0）與直線y＝﹣4的交點為（﹣1，﹣4），
∴﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+時，﹣4≤y＜0；
（3）y＝x2﹣4x+m關于x軸對稱的拋物線解析式為y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0），
如圖2，當y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）經過點A時，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），當x＝5時，y＝1，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）與線段AB有一個交點，
∴m＝﹣4時，當線段AB與圖象C恰有兩個公共點；
如圖3，當y＝x2﹣4x+m（x≥0）經過點（0，﹣1）時，m＝﹣1，
此時圖象C與線段AB有三個公共點，
∴﹣4≤m＜﹣1時，線段AB與圖象C恰有兩個公共點；
如圖4，當y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）經過點（0，﹣1）時，m＝1，
此時圖象C與線段AB有兩個公共點，
當y＝x2﹣4x+m（x≥0）的頂點在線段AB上時，m﹣4＝﹣1，
解得m＝3，
此時圖象C與線段AB有一個公共點，
∴1≤m＜3時，線段AB與圖象C恰有兩個公共點；
綜上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3時，線段AB與圖象C恰有兩個公共點．
【例2】． (2023?湖北）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3的頂點為A，與y軸交于點C，線段CB∥x軸，交該拋物線于另一點B．
（1）求點B的坐標及直線AC的解析式；
（2）當二次函數y＝x2﹣2x﹣3的自變量x滿足m≤x≤m+2時，此函數的最大值為p，最小值為q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移拋物線y＝x2﹣2x﹣3，使其頂點始終在直線AC上移動，當平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點時，設此時拋物線的頂點的橫坐標為n，請直接寫出n的取值范圍．
【分析】（1）求出A、B、C三點坐標，再用待定系數法求直線AC的解析式即可；
（2）分四種情況討論：①當m＞1時，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②當m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③當m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④當m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；
（3）分兩種情況討論：①當拋物線向左平移h個單位，則向上平移h個單位，平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直線BA的解析式為y＝x﹣5，聯(lián)立方程組，由Δ＝0時，解得h＝，此時拋物線的頂點為（，﹣），此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點；②當拋物線向右平移k個單位，則向下平移k個單位，平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，當拋物線經過點B時，此時拋物線的頂點坐標為（4，﹣7），此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點；當拋物線的頂點為（1，﹣4）時，平移后的拋物線與射線BA有兩個公共點，由此可求解．
【解析】（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴頂點A（1，﹣4），
令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵CB∥x軸，
∴B（2，﹣3），
設直線AC解析式為y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝﹣x﹣3；
（2）∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對稱軸為直線x＝1，
①當m＞1時，
x＝m時，q＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2時，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，
解得m＝（舍）；
②當m+2＜1，即m＜﹣1，
x＝m時，p＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2時，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，
解得m＝﹣（舍）；
③當m≤1≤m+1，即0≤m≤1，
x＝1時，q＝﹣4，
x＝m+2時，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，
解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；
④當m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，
x＝1時，q＝﹣4，
x＝m時，p＝m2﹣2m﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，
解得m＝1+（舍）或m＝1﹣，
綜上所述：m的值﹣1或1﹣；
（3）設直線AC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
①如圖1，當拋物線向左平移h個單位，則向上平移h個單位，
∴平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，
設直線BA的解析式為y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣5，
聯(lián)立方程組，
整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，
當Δ＝0時，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，
解得h＝，
此時拋物線的頂點為（，﹣），此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點；
②如圖2，當拋物線向右平移k個單位，則向下平移k個單位，
∴平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，
當拋物線經過點B時，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，
解得k＝0（舍）或k＝3，
此時拋物線的頂點坐標為（4，﹣7），此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點，
當拋物線的頂點為（1，﹣4）時，平移后的拋物線與射線BA有兩個公共點，
∴綜上所述：1＜n≤4或n＝．
【例3】 (2023?張家界）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的函數表達式及點D的坐標；
（2）若四邊形BCEF為矩形，CE＝3．點M以每秒1個單位的速度從點C沿CE向點E運動，同時點N以每秒2個單位的速度從點E沿EF向點F運動，一點到達終點，另一點隨之停止．當以M、E、N為頂點的三角形與△BOC相似時，求運動時間t的值；
（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點P，點G是點P關于點D的對稱點，點Q是x軸下方拋物線上的動點．若過點Q的直線l：y＝kx+m（|k|）與拋物線只有一個公共點，且分別與線段GA、GB相交于點H、K，求證：GH+GK為定值．
【分析】（1）二次函數表達式可設為：y＝ax2+bx+3，將A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，解方程可得a和b的值，再利用頂點坐標公式可得點D的坐標；
（2）根據t秒后點M的運動距離為CM＝t，則ME＝3﹣t，點N的運動距離為EN＝2t．分兩種情形，當△EMN∽△OBC時，得，解得t＝；當△EMN∽△OCB時，得，解得t＝；
（3）首先利用中點坐標公式可得點G的坐標，利用待定系數法求出直線AG和BG的解析式，再根據直線l：y＝kx+m與拋物線只有一個公共點，聯(lián)立兩函數解析式，可得Δ＝0，再求出點H和k的橫坐標，從而解決問題．
【解析】（1）設二次函數表達式為：y＝ax2+bx+3，
將A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴拋物線的函數表達式為：，
又∵＝，＝＝，
∴頂點為D；
（2）依題意，t秒后點M的運動距離為CM＝t，則ME＝3﹣t，點N的運動距離為EN＝2t．
①當△EMN∽△OBC時，
∴，
解得t＝；
②當△EMN∽△OCB時，
∴，
解得t＝；
綜上所述，當或時，以M、E、N為頂點的三角形與△BOC相似；
（3）∵點關于點D的對稱點為點G，
∴，
∵直線l：y＝kx+m與拋物線只有一個公共點，
∴只有一個實數解，
∴Δ＝0，
即：，
解得：，
利用待定系數法可得直線GA的解析式為：，直線GB的解析式為：，
聯(lián)立，結合已知，
解得：xH＝，
同理可得：xK＝，
則：GH＝＝，GK＝＝×，
∴GH+GK＝+×＝，
∴GH+GK的值為．
【例4】 (2023?沈陽）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3經過點B（6，0）和點D（4，﹣3），與x軸的另一個交點為A，與y軸交于點C，作直線AD．
（1）①求拋物線的函數表達式；
②直接寫出直線AD的函數表達式；
（2）點E是直線AD下方的拋物線上一點，連接BE交AD于點F，連接BD，DE，△BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當S1＝2S2時，求點E的坐標；
（3）點G為拋物線的頂點，將拋物線圖象中x軸下方的部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下的部分組成新的曲線記為C1，點C的對應點為C′，點G的對應點為G′，將曲線C1沿y軸向下平移n個單位長度（0＜n＜6）．曲線C1與直線BC的公共點中，選兩個公共點記作點P和點Q，若四邊形C′G′QP是平行四邊形，直接寫出點P的坐標．
【分析】（1）運用待定系數法即可求得拋物線解析式和直線AD的解析式；
（2）設點E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），過點E作EM⊥x軸于點M，過點F作FN⊥x軸于點N，如圖1，根據三角形面積關系可得＝，由EM∥FN，可得△BFN∽△BEM，得出＝＝＝，可求得F（2+t，t2﹣t﹣2），代入直線AD的解析式即可求得點E的坐標；
（3）根據題意可得：點C′（0，3），G′（2，4），向上翻折部分的圖象解析式為y＝﹣（x﹣2）2+4，向上翻折部分平移后的函數解析式為y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后拋物線剩下部分的解析式為y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，利用待定系數法可得：直線BC的解析式為y＝x﹣3，直線C′G′的解析式為y＝x+3，由四邊形C′G′QP是平行四邊形，分類討論即可．
【解析】（1）①∵拋物線y＝ax2+bx﹣3經過點B（6，0）和點D（4，﹣3），
∴，
解得：，
∴拋物線的函數表達式為y＝x2﹣x﹣3；
②由①得y＝x2﹣x﹣3，
當y＝0時，x2﹣x﹣3＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
設直線AD的函數表達式為y＝kx+d，則，
解得：，
∴直線AD的函數表達式為y＝x﹣1；
（2）設點E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），過點E作EM⊥x軸于點M，過點F作FN⊥x軸于點N，如圖1，
∵S1＝2S2，即＝2，
∴＝2，
∴＝，
∵EM⊥x軸，FN⊥x軸，
∴EM∥FN，
∴△BFN∽△BEM，
∴＝＝＝，
∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，
∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），
∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，
∴F（2+t，t2﹣t﹣2），
∵點F在直線AD上，
∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，
解得：t1＝0，t2＝2，
∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；
（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，
∴頂點坐標為G（2，﹣4），
當x＝0時，y＝3，即點C （0，﹣3），
∴點C′（0，3），G′（2，4），
∴向上翻折部分的圖象解析式為y＝﹣（x﹣2）2+4，
∴向上翻折部分平移后的函數解析式為y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后拋物線剩下部分的解析式為y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，
設直線BC的解析式為y＝k′x+d′（k′≠0），
把點B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
同理直線C′G′的解析式為y＝x+3，
∴BC∥C′G′，
設點P的坐標為（s，s﹣3），
∵點C′（0，3），G′（2，4），
∴點C′向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點G′，
∵四邊形C′G′QP是平行四邊形，
∴點Q（s+2，s﹣2），
當點P，Q均在向上翻折部分平移后的圖象上時，
則，
解得：（不符合題意，舍去），
當點P在向上翻折部分平移后的圖象上，點Q在平移后拋物線剩下部分的圖象上時，
則，
解得：或（不合題意，舍去），
當點P在平移后拋物線剩下部分的圖象上，點Q在向上翻折部分平移后的圖象上時，
則，
解得：或（不合題意，舍去），
綜上所述，點P的坐標為（1+，）或（1﹣，）．
一．解答題（共20小題）
1． (2023?鐘樓區(qū)校級模擬）如圖，已知二次函數y＝x2+mx+m+的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，﹣），P是拋物線在直線AC上方圖象上一動點．
（1）求二次函數的表達式；
（2）求△PAC面積的最大值，并求此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G．現將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個公共點，請直接寫出圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數法即可求得答案；
（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再運用待定系數法求得直線AC的解析式為y＝﹣x﹣，如圖1，設P（t，﹣t2﹣3t﹣），過點P作PH∥y軸交直線AC于點H，則PH＝﹣t2﹣t，利用S△PAC＝S△PAH+S△PCH＝﹣（t+）2+，即可運用二次函數求最值的方法求得答案；
（3）運用翻折變換的性質可得圖象G的函數解析式為：y＝（x+3）2﹣2，頂點坐標為（﹣3，﹣2），進而根據平移規(guī)律可得：圖象M的函數解析式為：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，頂點坐標為（n，﹣n﹣），當圖象M經過點C（0，﹣）時，可求得：n＝﹣1或n＝2，當圖象M的端點B在PC上時，可求得：n＝﹣或n＝（舍去），就看得出：圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍為：﹣≤n≤﹣1或n＝2．
【解析】（1）∵拋物線y＝﹣x2+mx+m+與y軸交于點C（0，﹣），
∴m+＝﹣，
解得：m＝﹣3，
∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣3x﹣；
（2）在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，
得：﹣x2﹣3x﹣＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
設直線AC的解析式為y＝kx+b，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣），
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣，
如圖1，設P（t，﹣t2﹣3t﹣），過點P作PH∥y軸交直線AC于點H，
則H（t，﹣t﹣），
∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣（﹣t﹣）＝﹣t2﹣t，
∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH
＝?PH?（xP﹣xA）+?PH?（xC﹣xP）
＝?PH?（xC﹣xA）
＝×（﹣t2﹣t）×[0﹣（﹣5）]
＝t2﹣t
＝﹣（t+）2+，
∴當t＝﹣時，S△PAC取得最大值，
此時，點P的坐標為（﹣，）；
（3）如圖2，拋物線y＝﹣x2﹣3x﹣在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G，
∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝（x+3）2+2，頂點為（﹣3，2），
∴圖象G的函數解析式為：y＝（x+3）2﹣2，頂點坐標為（﹣3，﹣2），
∵圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M，頂點運動的路徑為直線y＝﹣x﹣，
∴圖象M的頂點坐標為（n，﹣n﹣），
∴圖象M的函數解析式為：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，
當圖象M經過點C（0，﹣）時，
則：﹣＝（0﹣n）2﹣n﹣，
解得：n＝﹣1或n＝2，
當圖象M的端點B在PC上時，
∵線段PC的解析式為：y＝﹣x﹣（﹣≤x≤0），點B（﹣1，0）運動的路徑為直線y＝﹣x﹣，
∴聯(lián)立可得：，
解得：，
將代入y＝（x﹣n）2﹣n﹣，可得：（﹣﹣n）2﹣n﹣＝，
解得：n＝﹣或n＝（舍去），
∴圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍為：﹣≤n≤﹣1或n＝2．
2． (2023?保定一模）如圖，關于x的二次函數y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的圖象記為L，點P是L上對稱軸右側的一點，作PQ⊥y軸，與L在對稱軸左側交于點Q；點A，B的坐標分別為（1，0），（1，1），連接AB．
（1）若t＝1，設點P，Q的橫坐標分別為m，n，求n關于m的關系式；
（2）若L與線段AB有公共點，求t的取值范圍；
（3）當2t﹣3＜x＜2t﹣1時，y的最小值為﹣，直接寫出t的值．
【分析】（1）當t＝1時，拋物線為y＝x2﹣2x﹣2，可求得它的對稱軸為直線x＝1，由點P與點Q關于直線x＝1對稱得m+n＝2，即可求得n關于m的關系式；
（2）將y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5配成頂點式y(tǒng)＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，則拋物線的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，t2+2t﹣6），再說明線段AB在直線x＝1上，由L與線段AB有公共點可列不等式組得0≤t2+2t﹣6≤1，解不等式組求出它的解集即可；
（3）分三種情況，一是直線x＝2t﹣1在拋物線的對稱軸的左側，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范圍內圖象不存在最低點，因此不存在y的最小值；二是直線x＝1在直線x＝2t﹣3與直線x＝2t﹣1之間時，拋物線的頂點為最低點，可列方程t2+2t﹣6＝﹣，解方程求出符合題意的t值；三是直線x＝2t﹣3在拋物線的對稱軸的右側，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范圍內圖象不存在最低點，因此不存在y的最小值．
【解析】（1）如圖1，當t＝1時，L為拋物線y＝x2﹣2x﹣2，
∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴該拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∵點P、Q分別是對稱軸右側、左側L上的點，且PQ⊥y軸，
∴m+n＝2，
∴n＝﹣m+2（m＞1）．
（2）如圖2，L為拋物線y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，
∴L的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，t2+2t﹣6），
∵A（1，0），B（1，1），
∴線段AB在直線x＝1上，
∵L與線段AB有公共點，
∴0≤t2+2t﹣6≤1，
解得﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2，
∴t的取值范圍是﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2．
（3）當2t﹣1＜1，即t＜1時，如圖3，
∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范圍內圖象不存在最低點，
∴此時不存在y的最小值；
當2t﹣1≥1且2t﹣3≤1，即1≤t≤2時，如圖4，
∵L的頂點為最低點，
∴t2+2t﹣6＝﹣，
解得t1＝，t2＝，
∵＜1，
∴t2＝不符合題意，舍去；
當2t﹣3＞1，即t＞2時，如圖5，
∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范圍內圖象不存在最低點，
∴此時不存在y的最小值，
綜上所述，t的值為．
3． (2023?廣陵區(qū)校級二模）在平面直角坐標系中，已知函數y1＝2x和函數y2＝﹣x+6，不論x取何值，y0都取y1與y2二者之中的較小值．
（1）求函數y1和y2圖象的交點坐標，并直接寫出y0關于x的函數關系式；
（2）現有二次函數y＝x2﹣8x+c，若函數y0和y都隨著x的增大而減小，求自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的結論下，若函數y0和y的圖象有且只有一個公共點，求c的取值范圍．
【分析】（1）聯(lián)立兩函數解析式求出交點坐標，然后根據一次函數的增減性解答；
（2）根據一次函數的增減性判斷出x≥2，再根據二次函數解析式求出對稱軸，然后根據二次函數的增減性可得x＜4，從而得解；
（3）①若函數y＝x2﹣8x+c與y0＝﹣x+6只有一個交點，聯(lián)立兩函數解析式整理得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式Δ＝0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取值范圍內，則符合；②若函數y＝x2﹣8x+c與y0＝﹣x+6有兩個交點，先利用根的判別式求出c的取值范圍，先求出x＝2與x＝4時的函數值，然后利用一個解在x的范圍內，另一個解不在x的范圍內列出不等式組求解即可．
【解析】（1）∵，
∴，
∴函數y1和y2圖象交點坐標（2，4）；
y0關于x的函數關系式為y0＝；
（2）∵對于函數y0，y0隨x的增大而減小，
∴y0＝﹣x+6（x ≥2），
又∵函數y＝x 2﹣8x+c的對稱軸為直線x＝4，且a＝1＞0，
∴當x＜4時，y隨x的增大而減小，
∴2≤x ＜4；
（3）①若函數y＝x 2﹣8x+c與y0＝﹣x+6只有一個交點，且交點在2＜x ＜4范圍內，
則x 2﹣8x+c＝﹣x+6，即x 2﹣7x+（ c﹣6）＝0，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4（ c﹣6）＝73﹣4c＝0，
解得c＝，
此時x1＝x2＝，符合2＜x ＜4，
∴c＝；
②若函數y＝x 2﹣8x+c與y0＝﹣x+6有兩個交點，其中一個在2＜x ＜4范圍內，另一個在2＜x ＜4范圍外，
∴Δ＝73﹣4c＞0，
解得c ＜，
∵對于函數y0，當x＝2時，y0＝4；當x＝4時y0＝2，
又∵當2＜x ＜4時，y隨x的增大而減小，
若y＝x 2﹣8x+c與y0＝﹣x+6在2＜x ＜4內有一個交點，
則當x＝2時y＞y0；當x＝4時y＜y0，
即當x＝2時，y≥4；當x＝4時，y≤2，
∴，
解得16＜c ＜18，
又c ＜，
∴16＜c ＜18，
綜上所述，c的取值范圍是：c＝或16＜c ＜18．
4． (2023?金華模擬）在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2﹣2mx+6m（x≤2m，m為常數）的圖象記作G，圖象G上點A的橫坐標為2m．
（1）當m＝1，求圖象G的最低點坐標；
（2）平面內有點C（﹣2，2）．當AC不與坐標軸平行時，以AC為對角線構造矩形ABCD，AB與x軸平行，BC與y軸平行．
①若矩形ABCD為正方形時，求點A坐標；
②圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點時，求m的取值范圍．
【分析】（1）由m＝1代入拋物線解析式，將二次函數解析式化為頂點式求解；
（2）①將x＝2m代入拋物線解析式求出點A坐標，由正方形的性質即可求解；
②分類討論，數形結合解題，根據A點在圖象G上，再在圖象G上找一個點可以滿足條件，然后根據m的取值范圍進行分類討論進行解題即可．
【解析】（1）m＝1時，y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，
∴頂點為（1，5），
∵x≤2，
∴圖象G的最低點坐標為（1，5）；
（2）①當x＝2m時，y＝6m，
∴A（2m，6m），
∵C（﹣2，2），
∵正方形ABCD中，AB與x軸平行，BC與y軸平行，
∴B（﹣2，6m），
同理得D（2m，2），
∵AD＝CD，
∴|6m﹣2|＝|2m+2|，
∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，
解得m＝0或m＝1，
∴點A的坐標為（0，0）或（2，6）；
②∵點A在圖象G上，
∴圖象G與矩形ABCD已經有一個公共點A，
∵圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點，
∴只需圖象G與矩形ABCD的邊再由一個公共點即可；
∵點A的橫坐標為2m，
∴A（2m，6m），
當x＝﹣2時，y＝4+10m，
當4+10m＝6m時，m＝﹣1，
如圖1，當m＜﹣1時，圖象G在x≤2m時，y隨x的增大而減小，
∴矩形與圖象G只有一個交點A；
當m＝﹣1時，圖象G在x≤2m時，y隨x的增大而減小，
當﹣1＜m≤0時，圖象G與矩形有兩個交點；
當經過點C時，4+10m＝2，
解得m＝﹣，
∴m＞﹣時，圖象G與矩形有兩個交點；
如圖3，
當6m＝2時，即m＝，
當0＜m＜時，2m＞m，
∵x2﹣2mx+4m＝6m，
整理得，x2﹣2mx＝0，
∵Δ＝4m2≥0，
∵m≠0，
∴Δ＞0，
此時圖象G與AB邊有另一個交點，
∴此時圖象G與矩形ABCD有三個交點，
當m＝時，A點坐標為（，2），此時AC不與x軸平行，不符合題意；
當m＞時，此時圖象G與矩形ABCD有兩個交點；
綜上所述：﹣1＜m≤0或m＞時，圖象G與矩形ABCD有兩個交點．
5． (2023?清鎮(zhèn)市模擬）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線與拋物線交于點B．
（1）拋物線的對稱軸為直線x＝ a ；（用含字母a的代數式表示）
（2）若AB＝2，求二次函數的表達式；
（3）已知點P（a+4，1），Q（0，2），如果拋物線與線段PQ恰有一個公共點，求a的取值范圍．
【分析】（1）由拋物線對稱軸為直線x＝﹣求解．
（2）由拋物線對稱軸及點A坐標可得點B坐標，進而求解．
（3）分類討論a＞0與a＜0，根據點A，B，P，Q的坐標，結合圖象求解．
【解析】（1）∵y＝ax2﹣2a2x+1，
∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝a．
故答案為：a．
（2）∵A，B關于拋物線對稱軸對稱，
∴AB＝|2a|＝2，
當a＞0時，a＝1，
∴y＝x2﹣2x+1，
當a＜0時，a＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣2x+1．
（3）將x＝0代入y＝ax2﹣2a2x+1得y＝2，
∴點A坐標為（0，1），
當a＞0時，拋物線開口向上，點Q（0，2）在點A（0，1）上方，
∵點B與點A關于拋物線對稱軸對稱，
∴點B坐標為（2a，1），
∴當a+4≥2a時，點P在拋物線上或在拋物線外部，符合題意，
解得a≤4，
當a＜0時，點Q在拋物線上方，點B在點A左側，
當點P在拋物線內部時，滿足題意，
∴2a≤a+4≤0，
解得a≤﹣4，
綜上所述，a≤﹣4或0＜a≤4．
6． (2023?五華區(qū)三模）已知拋物線y＝ax2﹣mx+2m﹣3經過點A（2，﹣4）．
（1）求a的值；
（2）若拋物線與y軸的公共點為（0，﹣1），拋物線與x軸是否有公共點，若有，求出公共點的坐標；若沒有，請說明理由；
（3）當2≤x≤4時，設二次函數y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值為M，最小值為N，若＝，求m的值．
【分析】（1）把點A坐標代入拋物線解析式即可求出a；
（2）由（1）知a＝﹣，再由拋物線與y軸的交點為（0，﹣1）可以求出m的值，然后由Δ＝0，可以得拋物線與x軸有一個公共點，再令y＝0解方程求出x即可；
（3）先求出拋物線對稱軸，然后分﹣2m＜2，2≤﹣2m≤4，﹣2m＞4三種情況分別求出函數的最大值M和最小值N，由＝求出m的值．
【解析】（1）∵拋物線y＝ax2﹣mx+2m﹣3經過點A（2，﹣4），
∴4a﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
解得：a＝﹣；
（2）由（1）知a＝﹣，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，
∵拋物線與y軸的公共點為（0，﹣1），
∴2m﹣3＝﹣1，
解得m＝1，
∴y＝﹣x2﹣x﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣）×（﹣1）＝1﹣1＝0，
∴拋物線與x軸是有一個公共點，
令y＝0，則﹣x2﹣x﹣1＝0，
解得：x1＝x2＝﹣2，
∴公共點的坐標為（﹣2，0）；
（3）由（1）知，拋物線解析式為y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，
∴對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2m，
①當﹣2m＜2，即m＞﹣1時，
∵a＜0，拋物線開口向下，
∴當2≤x≤4時，y隨x的增大而減小，
∴當x＝2時，M＝y(tǒng)max＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
當x＝4時，N＝y(tǒng)min＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，
∵＝，
∴＝，
解得：m＝﹣，不符合題意；
②當2≤﹣2m≤4即﹣2≤m≤﹣1時，
若直線x＝2與直線x＝﹣2m接近時，
則當x＝﹣2m時y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m﹣3，
當x＝4時，y取得最小值，即N＝﹣×42﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，
∵＝，
∴＝，
解得：m1＝﹣，m2＝﹣（不合題意，舍去）；
若直線x＝4與直線x＝﹣2m接近時，
則當x＝﹣2m時y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m﹣3，
當x＝2時，y取得最小值，即N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
∵＝，
∴＝，
解得：m1＝，m2＝（不符合題意，舍去）；
③當﹣2m＞4即m＜﹣2時，
∵a＜0，拋物線開口向下，
∴當2≤x≤4時，y隨x的增大而增大，
∴當x＝2時，N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，
當x＝4時，M＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，
∵＝，
∴＝，
解得：m＝﹣（不符合題意，舍去），
綜上所述，m的值為﹣或．
7． (2023?秦淮區(qū)二模）在平面直角坐標系中，一個二次函數的圖象的頂點坐標是（2，1），與y軸的交點坐標是（0，5）．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）在同一平面直角坐標系中，若該二次函數的圖象與一次函數y＝x+n（n為常數）的圖象有2個公共點，求n的取值范圍．
【分析】（1）設拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+1，再將（0，5）代入即可求解；
（2）二次函數的圖象與一次函數y＝x+n（n為常數）的圖象有兩個交點可列出方程a（x﹣2）2+1＝x+n，再利用Δ＞0，即可求出解．
【解析】（1）∵二次函數圖象的頂點是（2，1），
∴設二次函數的表達式為y＝a（x﹣2）2+1，
將點（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1，
得5＝a（0﹣2）2+1，
解得：a＝1，
∴二次函數的表達式為：y＝（x﹣2）2+1．
（2）二次函數的圖象與一次函數y＝x+n（n為常數）的圖象有2個公共點，
∴得（x﹣2）2+1＝x+n，
化簡得：x2﹣5x+5﹣n＝0，
∵有2個公共點，
∴Δ＞0，
∴25﹣4（5﹣n）＞0，
解得n＞．
∴n的取值范圍為：n．
8． (2023?鹽城二模）若二次函數y＝ax2+bx+a+2的圖象經過點A（1，0），其中a、b為常數．
（1）用含有字母a的代數式表示拋物線頂點的橫坐標；
（2）點B（﹣，1）、C（2，1）為坐標平面內的兩點，連接B、C兩點．
①若拋物線的頂點在線段BC上，求a的值；
②若拋物線與線段BC有且只有一個公共點，求a的取值范圍．
【分析】（1）將點A（1，0）代入拋物線解析式，可得b＝﹣2﹣2a，繼而求出拋物線對稱軸即可求解；
（2）①根據題意將x＝1+，y＝1，代入拋物線解方程即可求解；
②分a＞0；a＜0且a≠﹣1；a＝﹣1三種情況進行討論求解即可得a的取值范圍．
【解析】（1）∵y＝ax2+bx+a+2的圖象經過點A（1，0），
即當x＝1時，y＝a+b+a+2＝0，
∴b＝﹣2﹣2a，
∴y＝ax2﹣（2a+2）x+a+2，
∴對稱軸x＝﹣＝＝1+，
∴拋物線頂點的橫坐標為1+；
（2）①拋物線的頂點在線段BC上，且點B（﹣，1）、C（2，1），
∴頂點縱坐標為1，且﹣≤1+≤2，
當x＝1+時，y＝1，即a（1+）2﹣（2a+2）（1+）+a+2＝1，
整理得：﹣＝1，
解得：a＝﹣1，
檢驗，當a＝﹣1時，a≠0，
∴a＝﹣1；
②∵對稱軸x＝1+，
當a＞0時，對稱軸x＝1+在點A（1，0）的右側，即xx＝1+＞1，
∵拋物線與線段BC有且只有一個公共點，點B（﹣，1）、C（2，1），
∴當x＝2時，y＜1，即4a﹣2（2a+2）+a+2＜1，
解得：a＜3，
當x＝﹣時，y＞1，即a+（2a+2）+a+2≥1，
解得：a≥﹣，
∴0＜a＜3，
當a＜0，且a≠﹣1時，對稱軸x＝1+在點A （1，0）的左側，即x＝1+＜1，拋物線開口向下，且過點A （1，0），
當x＝﹣時，y＞1，即a+（2a+2）+a+2＞1，
解得：a＞﹣，
∵a＜0，
∴﹣＜a＜0；
由①知，當a＝﹣1時，拋物線頂點恰好在線段BC上，
∴當a＝﹣1時，拋物線與線段BC有且只有一個公共點，
綜上所述，拋物線與線段BC有且只有一個公共點時，a的取值范圍是0＜a＜3或﹣＜a＜0或a＝﹣1．
9． (2023?滑縣模擬）如圖，已知二次函數y＝x2+2x+c與x軸正半軸交于點B（另一個交點為A），與y軸負半軸交于點C，且OC＝3OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設直線AC的解析式為y＝kx+b，求點A的坐標，并結合圖象寫出不等式x2+2x+c≥kx+b的解集；
（3）已知點P（﹣3，1），Q（2，2t+1），且線段PQ與拋物線y＝x2+2x+c有且只有一個公共點，直接寫出t的取值范圍．
【分析】（1）設B（m，0），可得C（0，﹣3m），代入y＝x2+2x+c即可解得拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）令y＝0可得A（﹣3，0），由圖象即得不等式x2+2x+c≥kx+b的解集為x≤﹣3或x≥0；
（3）設直線x＝2與拋物線y＝x2+2x﹣3交于K，當Q在K及K下方時，線段PQ與拋物線y＝x2+2x﹣3有且只有一個公共點，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝2得y＝5，根據2t+1≤5，可得t的取值范圍是t≤2．
【解析】（1）設B（m，0），則OB＝m，
∵OC＝3OB，
∴OC＝3m，C（0，﹣3m），
將B（m，0），C（0，﹣3m）代入y＝x2+2x+c得：
，
解得（此時B不在x軸正半軸，舍去）或，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0得x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），
由圖象可知，當x≤﹣3或x≥0時，拋物線在直線上方，即x2+2x+c≥kx+b，
∴不等式x2+2x+c≥kx+b的解集為x≤﹣3或x≥0；
（3）設直線x＝2與拋物線y＝x2+2x﹣3交于K，如圖：
由圖可知，當Q在K及K下方時，線段PQ與拋物線y＝x2+2x﹣3有且只有一個公共點，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝2得y＝22+2×2﹣3＝5，
∴2t+1≤5，
解得t≤2，
答：線段PQ與拋物線y＝x2+2x+c有且只有一個公共點，t的取值范圍是t≤2．
10． (2023春?龍鳳區(qū)期中）如圖，二次函數y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的圖象與一次函數y＝﹣2x的圖象交于點A、B（點B在右側），與y軸交于點C，點A的橫坐標恰好為a，動點P、Q同時從原點O出發(fā)，沿射線OB分別以每秒和2個單位長度運動，經過t秒后，以PQ為對角線作矩形PMQN，且矩形四邊與坐標軸平行．
（1）求a的值及t＝1秒時點P的坐標；
（2）當矩形PMQN與拋物線有公共點時，求時間t的取值范圍；
（3）在位于x軸上方的拋物線圖象上任取一點R，作關于原點（0，0）的對稱點為R′，當點M恰在拋物線上時，求R′M長度的最小值，并求此時點R的坐標．
【分析】（1）將A（a，﹣2a）代入y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2可求a的值，設P（m，﹣2m），由OP＝，可求m的值，從而求出P點坐標；
（2）分別求出P（t，﹣2t），Q（2t，﹣4t），M（2t，﹣2t），N（t，﹣4t），根據在矩形移動的過程中，M點最先與拋物線有交點，點N是拋物線與矩形最后有交點，即可求t的范圍；
（3）設R（m，﹣m2﹣2m+2），則R'（﹣m，m2+2m﹣2），由R′M＝，可得當（m+1）2＝時，R'M有最小值，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1，即可求R（﹣1，）或（﹣﹣1，）．
【解析】（1）當x＝a時，y＝﹣2a，
∴A（a，﹣2a），
∴﹣2a＝﹣a2﹣2a+4﹣a2，
解得a＝，
由題意可知a＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣2x+2，
當t＝1時，OP＝，
設P（m，﹣2m），
∴m＝，
∴m＝1，
∴P（1，﹣2）；
（2）由題意可知，OP＝t，OQ＝2t，
∴P（t，﹣2t），Q（2t，﹣4t），
∵四邊形PMQN是矩形，
∴M（2t，﹣2t），N（t，﹣4t），
在矩形移動的過程中，M點最先與拋物線有交點，點N是拋物線與矩形最后有交點，
當M點在拋物線上時，﹣4t2﹣4t+2＝﹣2t，
解得t＝或t＝﹣1（舍），
當N點在拋物線上時，﹣t2﹣2t+2＝﹣4t，
解得t＝1+或t＝﹣1﹣（舍），
∴≤t≤1+時，矩形PMQN與拋物線有公共點；
（3）設R（m，﹣m2﹣2m+2），
∴R'（﹣m，m2+2m﹣2），
由（2）知，M（1，﹣1），
∴R′M＝＝，
當（m+1）2＝時，R'M有最小值，
∴m＝﹣1或m＝﹣﹣1，
當y＝0時，﹣x2﹣2x+2＝0，
解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴拋物線與x軸的交點為（﹣1+，0），（﹣1﹣，0），
∵R點在x軸上方，
∴﹣1﹣＜m＜﹣1+，
∴m＝﹣1或m＝﹣﹣1，
∴R（﹣1，）或（﹣﹣1，）．
11． (2023春?鼓樓區(qū)校級期末）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
（1）當a＝﹣時，求拋物線的對稱軸及頂點坐標；
（2）請直接寫出二次函數圖象的對稱軸是直線（用含a的代數式表示）及二次函數圖象經過的定點坐標是（1，0）．
（3）若當1≤x≤5時，函數值有最大值為8，求二次函數的解析式；
（4）已知點A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若拋物線與線段AB只有一個公共點，請直接寫出a的取值范圍．
【分析】（1）利用對稱軸公式求得對稱軸為直線x＝﹣7，再代入解析式求得y的值，即可求得頂點坐標；
（2）利用對稱軸公式求得對稱軸，把解析式變形得到y(tǒng)＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，即可得到二次函數經過的定點坐標為（1，0）；
（3）根據（2）可知：二次函數圖象的對稱軸為直線x＝1+，分a＞0或a＜0兩種情況，分對稱軸在已知范圍的左邊，中間，右邊分類討論最值即可解答；
（4）分類討論頂點在線段AB上，a＞0，a＜0，由點A，B和拋物線的位置結合圖象求解．
【解析】（1）a＝﹣時，y＝﹣x2﹣x+
∴對稱軸為直線x＝﹣＝﹣7，
把x＝﹣7代入y＝﹣x2﹣x+得，y＝8，
∴頂點坐標為（﹣7，8）；
（2）∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．
∴對稱軸為直線x＝﹣＝1+，
∵y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2＝a（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x﹣1）﹣2]，
∴二次函數經過的定點坐標為（1，0）；
故答案為：（1，0）；
（3）由（2）知：二次函數圖象的對稱軸為直線x＝1+，
分兩種情況：
①當a＜0時，1+＜1，
在自變量x的值滿足1≤x≤5的情況下，y隨x的增大而減小，
∴當x＝1時，y＝0，
而當1≤x≤5時，函數值有最大值為8，
所以此種情況不成立；
②當a＞0時，1+＞1，
i）當1＜1+≤3時，即a≥，
當x＝5時，二次函數的最大值為y＝25a﹣10（a+1）+a+2＝8，
∴a＝1，
此時二次函數的解析式為y＝x2﹣4x+3；
ii）當1+＞3時，
在自變量x的值滿足1≤x≤5的情況下，y隨x的增大而減小，即x＝1有最大值，
所以此種情況不成立；
綜上所述：此時二次函數的解析式為：y＝x2﹣4x+3；
（4）分三種情況：
①當拋物線的頂點在線段AB上時，拋物線與線段AB只有一個公共點，
即當y＝﹣3時，ax2﹣2（a+1）x+a+2＝﹣3，
ax2﹣2（a+1）x+a+5＝0，
Δ＝4（a+1）2﹣4a（a+5）＝0，
∴a＝，
當a＝時，x2﹣x+＝0，
解得：x1＝x2＝4（符合題意，如圖1），
②當a＞0時，如圖2，
當x＝0時，y＞﹣3；當x＝5時，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴0＜a＜；
③當a＜0時，如圖3，
當x＝0時，y＞﹣3；當x＝5時，y＜﹣3，
∴，
解得：﹣5＜a＜，
∴﹣5＜a＜0；
綜上所述，a的取值范圍是：a＝或0＜a＜或﹣5＜a＜0．
12． (2023?綏江縣二模）已知二次函數y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的圖象經過（3，0）．
（1）求二次函數的對稱軸；
（2）點A的坐標為（1，0），將點A向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到點B，若二次函數的圖象與線段AB有公共點，求a的取值范圍．
【分析】（1）首先利用待定系數法確定函數解析式，然后利用對稱軸方程求解；
（2）根據平移的性質求得B（2，3），然后由“二次函數的圖象與線段AB有公共點”得到4a﹣4a﹣3a≤3，通過解該不等式求得答案．
【解析】（1）∵二次函數y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的圖象經過（3，0），
∴把（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a，得
9a+3b﹣3a＝0，
化簡，得b＝﹣2a，
∴二次函數的對稱軸為：．
（2）∵點A的坐標為（1，0），將點A向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到點B，
∴B（2，3），
∵a＜0，開口向下，
∴二次函數圖象與線段AB有交點時，4a﹣4a﹣3a≤3，
解得a≥﹣1，
故a的取值范圍是：﹣1≤a＜0．
13． (2023?南京一模）已知二次函數y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a為常數，且a≠0）．
（1）求證：該函數的圖象與x軸總有兩個公共點；
（2）若點（0，y1），（3，y2）在函數圖象上，比較y1與y2的大??；
（3）當0＜x＜3時，y＜2，直接寫出a的取值范圍．
【分析】（1）令y＝0，可得出x的兩個解，且兩個解不相等即可得出結論；
（2）先求出y1﹣y2＝3a（a﹣1），然后分三種情況討論即可；．
（3）先求出拋物線與x軸的交點，對稱軸，頂點坐標，然后在0＜x＜3范圍內分a＞0和a＜0兩種情況確定函數的最大值，從而得出結論．
【解答】（1）證明：令y＝0，即a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0，
∵a≠0，
∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0，即x1＝1，x2＝1+a，
∵1≠1+a，
∴方程有兩個不相等的實數根，
∴該函數的圖象與x軸總有兩個公共點；
（2）∵點（0，y1），（3，y2）在函數圖象上，
∴y1＝a2+a，y2＝﹣2a2+4a．
∴y1﹣y2＝a2+a+2a2﹣4a＝3a2﹣3a．
∴當a＜0或a＞1時，y1＞y2，
當a＝1時，y1＝y(tǒng)2，
當0＜a＜1時，y1＜y2；
（3）∵二次函數v＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a），
整理可得：y＝ax2﹣a（a+2）x+a（a+1），
由（1）可知：當y＝0時，解得：x＝1，x＝1+a，
∴二次函數的圖象交軸于（﹣1，0）和（1+a，0）兩點，
對稱軸x＝﹣＝，
當x＝時，
y＝a（﹣1）（﹣1﹣a）＝a××（﹣）＝﹣
∴二次函數圖象的頂點坐標為（，﹣），
由（2）可知：當x＝0時，y1＝a2+a，
當t＝3時，y2＝﹣2a2+4a，
當a＞0時，二次函數的圖象開口向上，
∵0＜x＜3，
∴，
解得：﹣2≤a≤1，
∴0＜a≤I，
當a＜0時，二次函數圖象開口向下，
∵對稱軸x＝，
當0＜＜3，即_2＜a＜0時，
二次函數圖象在頂點處取得最大值，
∴﹣＜2
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a＜0，
當≤0，即a≤﹣2，
由題意可知，a2+a≤2，解得：﹣2≤a≤1，
即a＝﹣2，
綜上所述，當0＜x＜3時，y＜2，a的取值范圍是：﹣2≤a≤1，且a≠0．
14． (2023?余姚市一模）已知：一次函數y1＝2x﹣2，二次函數y2＝﹣x2+bx+c（b，c為常數），
（1）如圖，兩函數圖象交于點（3，m），（n，﹣6）．求二次函數的表達式，并寫出當y1＜y2時x的取值范圍．
（2）請寫出一組b，c的值，使兩函數圖象只有一個公共點，并說明理由．
【分析】（1）將（3，m），（n，﹣6）代入直線解析式求出點坐標，然后通過待定系數法求解，根據圖象可得y1＜y2時x的取值范圍．
（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．
【解析】（1）將（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，
將（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，
解得n＝﹣2，
∴拋物線經過點（3，4），（﹣2，﹣6），
將（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4，
由圖象可得﹣2＜x＜3時，拋物線在直線上方，
∴y1＜y2時x的取值范圍是﹣2＜x＜3．
（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，
當Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0時，兩函數圖象只有一個公共點，
∴b＝2，c＝﹣2，滿足題意．
15． (2023?花溪區(qū)模擬）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過A（﹣2，1），B（2，﹣3）兩點
（1）求分別以A（﹣2，1），B（2，﹣3）兩點為頂點的二次函數表達式；
（2）求b的值，判斷此二次函數圖象與x軸的交點情況，并說明理由；
（3）設（m，0）是該函數圖象與x軸的一個公共點．當﹣3＜m＜﹣1時，結合函數圖象，寫出a的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數法即可求得；
（2）把已知點代入解析式，兩式聯(lián)立即可求出b的值；
（3）把m代入ax2+bx+c＝0中，寫出判別式的值，根據圖象經過（﹣2，1），（2，﹣3）兩點，分a＞0和a＜0兩種情況討論即可．
【解析】（1）當頂點為A時，設二次函數的解析式為y＝a（x+2）2+1，
把B的坐標代入得，﹣3＝16a+1，
解得a＝﹣，
故當A為頂點時的二次函數表達式為y＝﹣（x+2）2+1；
當頂點為B時，設二次函數的解析式為y＝a（x﹣2）2﹣3，
把A的坐標代入得，1＝16a﹣3，
解得a＝，
故當B為頂點時的二次函數表達式為y＝（x﹣2）2﹣3；
（2）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
兩式相減得﹣4＝4b，
∴b＝﹣1；
∵二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過A（﹣2，1），B（2，﹣3）兩點，
∴此二次函數圖象與x軸有兩個交點．
（3）∵b＝﹣1，
∴y＝ax2﹣x+c，
∵經過A（﹣2，1），
∴4a+2+c＝1，
∴c＝﹣1﹣4a，
由題意得：am2﹣m+c＝0，
∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，
△＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2，
當a＞0時，
則當x＝﹣1時，y＝a+1﹣1﹣4a＜0，解得a＞0；
當a＜0時，
則當x＝﹣3時，y＝9a+3﹣1﹣4a＝5a+2＜0，解得a＜﹣．
則a＜﹣．
綜上：a＞0或a＜﹣．
16． (2023?無錫模擬）在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別是（0，﹣3），（0，4），點P（m，0）（m≠0）是x軸上一個動點，過點A作直線AC⊥BP于點D，直線AC與x軸交于點C，過點P作PE∥y軸，交AC于點E．
（1）當點P在x軸的正半軸上運動時，是否存在點P，使△OCD與△OBD相似？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．
（2）小明通過研究發(fā)現：當點P在x軸上運動時，點E（x，y）也相應的在二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上運動，為了確定函數解析式小明選取了一些點P的特殊的位置，計算了點E（x，y）的坐標，列表如下：
請?zhí)顚懕碇锌崭瘢⒏鶕碇袛祿蟪龆魏瘮档暮瘮到馕鍪剑?br>（3）把（2）中所求的拋物線向左平移n個單位長度，把直線y＝﹣2x﹣4向下平移n個單位長度，如果平移后的拋物線對稱軸右邊部分與平移后的直線有公共點，那么請直接寫出n的取值范圍．
【分析】（1）由圖形可知，∠ABD＝∠ACO，當∠OPD＝∠PDO時，△OCD與△OBD相似，通過證∠BAP＝∠PAD，△BOP∽△BDA，利用相似三角形的性質，三角形內角分線的性質即可求出m值；
（2）當點P與點C，點O重合時，求出點E的坐標，問題可解；
（3）先求出平移后的拋物線和平移后的直線的解析式，將平移后的直線方程代入平移后的拋物線解析式求出m的值即可求出n的取值范圍．
【解析】（1）存在點P，使△OCD與△OBD相似，理由如下：
如圖，
∵BP⊥AC，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠ABD＝∠ACO，
當∠COD＝∠BDO時，OP＝PD，△OCD∽△DBO，
連接AP，則∠AOD＝∠ADO，
∴AO＝AD，
∵A（0，﹣3），B（0，4），
∴OB＝4，OA＝AD＝3，
∵AP＝AP，
∴△AOP≌△ADP（SAS），
∴∠BAP＝∠DAP，OP＝DP，
∴BP：OP＝BP：PD＝AB：AD，
∵P（m，0），OP＝PD＝m，AB＝OB+OA＝7，AD＝AO＝3，
∴BP：m＝7：3，
∴BP＝m，
由△BOP∽△BDA得，OP：AD＝OB：BD，BD＝BP+PD＝m，
∴m：3＝4：（m），解得m＝（負值舍去）；
∴m的值為．
（2）點P與點C重合時，點P與點E重合，分兩種情況：
①當m＞0時，如圖，
∵∠APB＝90°，PO⊥AB，
∴Rt△OPB∽Rt△OAP，
∴OP：OA＝OB：OP，
∴OP：3＝4：OP，
∴OP＝2，
∴P（2，0），即點E的坐標為（2，0）；
同理，當m＜0時，如圖，點E的坐標為（﹣2，0）；
當點P與原點重合，點E與點A重合時，點E的坐標為（0，﹣3）；
填寫表格如下：
∴拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）關于y軸對稱，b＝0，c＝﹣3，
∴12a﹣3＝0，解得a＝，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3．
（3）∵拋物線y＝x2﹣3向左平移n個單位后為：y＝（x+n）2﹣3，
∴拋物線的頂點為（﹣n，﹣3），
直線y＝﹣2x﹣4向下平移n個單位為：y＝﹣2x﹣4﹣n，
將頂點（﹣n，﹣3）代入y＝﹣2x﹣4﹣n得，﹣2（﹣n）﹣4﹣n＝﹣3，解得n＝1，
∴平移后的拋物線對稱軸右邊部分與平移后的直線有公共點時n的取值范圍為n＞1．
17． (2023?朝陽區(qū)校級一模）在平面直角坐標系中，二次函數y＝﹣x2+2mx﹣6m（x≤2m，m為常數）的圖象記作G，圖象G上點A的橫坐標為2m．平面內有點C（﹣2，﹣2）．當AC不與坐標軸平行時，以AC為對角線構造矩形ABCD，AB與x軸平行，BC與y軸平行．
（1）當m＝﹣2，求圖象G的最高點坐標；
（2）若圖象G過點（3，﹣9），求出m的取值范圍；
（3）若矩形ABCD為正方形時，求點A坐標；
（4）圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點時，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）由m＝﹣2代入拋物線解析式，將二次函數解析式化為頂點式求解．
（2）由拋物線解析式可得拋物線經過定點（3，﹣9），根據3≤2m求解．
（3）將x＝2m代入拋物線解析式求出點A坐標，由正方形的性質可得|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，進而求解．
（4）分類討論，根據AB與CD，AD與BC的位置關系，結合對應拋物線的頂點位置結合圖象求解．
【解析】（1）m＝﹣2時，y＝﹣x2﹣4x+12＝﹣（x+2）2+16（x≤﹣4），
∴拋物線開口向下，頂點坐標為（﹣2，16），
∵﹣4＜﹣2，
∴x＝﹣4時，y＝﹣16+16+12＝12為函數最大值，
∴圖象G的最高點坐標為（﹣4，12）．
（2）∵y＝﹣x2+2mx﹣6m＝﹣（x﹣m）2+m2﹣6m，
∴拋物線對稱軸為直線x＝m，
將x＝3代入y＝﹣x2+2mx﹣6m＝﹣9，
∴拋物線過定點（3，﹣9），
∴2m≥3，
解得m≥．
（3）將x＝2m代入y＝﹣x2+2mx﹣6m得y＝﹣6m，
∴點A坐標為（2m，﹣6m），
∵C（﹣2，﹣2），
∴|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，
∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，
解得m＝0或m＝1，
∴點A坐標為（0，0）或（2，﹣6）．
（4）點A為拋物線與矩形交點，
當m＞0時，拋物線對稱軸在線段AD左側，y軸右側，
當﹣6m＜﹣2時，AB在CD下方，m＞，
∴當拋物線頂點（m，m2﹣6m）在CD下方時滿足題意，
∴m2﹣6m＜﹣2，
解得3﹣＜m＜3+，
當﹣1＜m≤0時，AD在BC右側，拋物線對稱軸在AD右側，拋物線在矩形內部的部分y隨x增大而增大，滿足題意，
當m＜﹣1時，圖象G與矩形只有1交點為A，
綜上所述，3﹣＜m＜3+或﹣1＜m≤0．
18． (2023?如東縣一模）定義：若兩個函數的圖象關于某一點P中心對稱，則稱這兩個函數關于點P互為“伴隨函數”．例如，函數y＝x2與y＝﹣x2關于原點O互為“伴隨函數”．
（1）函數y＝x+1關于原點O的“伴隨函數”的函數解析式為 y＝x﹣1 ，函數y＝（x﹣2）2+1關于原點O的“伴隨函數”的函數解析式為 y＝﹣（x+2）2﹣1 ；
（2）已知函數y＝x2﹣2x與函數G關于點P（m，3）互為“伴隨函數”．若當m＜x＜7時，函數y＝x2﹣2x與函數G的函數值y都隨自變量x的增大而增大，求m的取值范圍；
（3）已知點A（0，1），點B（4，1），點C（2，0），二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數N關于點C互為“伴隨函數”，將二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數N的圖象組成的圖形記為W，若圖形W與線段AB恰有2個公共點，直接寫出a的取值范圍．
【分析】（1）結合新定義利用待定系數法解答即可；
（2）利用數形結合的方法結合圖象，利用新定義的規(guī)定解得即可；
（3）利用分類討論的方法分三種情況解答：①當“伴隨函數”的頂點在AB上時，求得函數N的頂點坐標，利用對稱性求得對稱點的坐標，利用待定系數法即可求解；②當兩個函數的交點在AB上時，利用兩函數與x軸的交點坐標，求函數N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③當“伴隨函數”經過點B時，將坐標代入函數N的解析式即可確定a的取值范圍．
【解析】（1）∵兩個函數是關于原點O的“伴隨函數”，
∴兩個函數的點分別關于原點中心對稱，
設函數y＝x+1上的任一點為（x，y），則它的對稱點為（﹣x，﹣y），
將（﹣x，﹣y）代入函數y＝x+1得：
﹣y＝﹣x+1，
∴y＝x﹣1．
函數y＝x+1關于原點O的“伴隨函數”的函數解析式為y＝x﹣1；
同理可得，函數y＝（x﹣2）2+1關于原點O的“伴隨函數”的函數解析式為y＝﹣（x+2）2﹣1，
故答案為：y＝x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1；
（2）如圖，當m＜x＜7時，函數y＝x2﹣2x與函數G的函數值y都隨自變量x的增大而增大，
∵“伴隨函數”的開口方向向下，
∴在對稱軸的左側y隨自變量x的增大而增大，
∴m＜7，同時“伴隨函數”的對稱軸應與直線x＝7重合或在直線x＝7的左側，
∴m≥，
∴m≥4，
綜上，函數y＝x2﹣2x與函數G的函數值y都隨自變量x的增大而增大，m的取值范圍為4≤m＜7；
（3）a的取值范圍為a＝或a＝或a＞．理由：
①當“伴隨函數”的頂點在AB上時，如圖，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a的對稱軸為直線x＝1，
∵點C（2，0）為對稱中心，
∴函數N的對稱軸為直線x＝3，
∴函數N的頂點坐標為（3，1），
∵（3，1）關于點C（2，0）對稱的點為（1，﹣1），
∴將（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
a﹣2a﹣3a＝﹣1，
∴a＝；
②當兩個函數的交點在AB上時，如圖，
二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a與x軸的交點為（﹣1，0）和（3，0），
∵點C（2，0）為對稱中心，
∴函數N與x軸的交點為（5，0）和（1，0），
∴函數N的解析式為y＝﹣ax2+6ax﹣5a，
當y＝1時，
，
解得：a＝；
③當“伴隨函數”經過點B時，如圖，
∵點B（4，1），
∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，
解得：a＝．
綜上，圖形W與線段AB恰有2個公共點，a的取值范圍為a＝或a＝或a＞．
19． (2023?南京模擬）對于平面直角坐標系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的“距離”，記作d（M，N）．特別的，當圖形M，N有公共點時，記作d（M，N）＝0．一次函數y＝kx+2的圖象為L，L與y軸交點為D，在△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．
（1）求d（點D，△ABC）＝ 1 ；當k＝1時，求d（L，△ABC）＝；
（2）若d（L，△ABC）＝0，直接寫出k的取值范圍 k≥2或k≤﹣2 ；
（3）函數y＝x+b的圖象記為W，若d（W，△ABC）≤2，則b的取值范圍是 ﹣1﹣2≤b≤1+2 ．
【分析】（1）將x＝0代入直線解析式求出點D坐標，然后結合圖象求解．
（2）分別求出直線經過點B，C時k的值，結合圖象求解．
（3）由y＝x+b與AB平行，結合圖象分別求出d（W，△ABC）＝2時b的值，進而求解．
【解析】（1）將x＝0代入y＝kx+2得y＝2，
∴D（0，2），
∴d（點D，△ABC）＝點D（0，2）到點A（0，1）的距離，
即AD＝2﹣1＝1，
當k＝1時，y＝x+2，直線L與AB平行，
如圖，作AE⊥直線y＝x+2，
∵三角形ADE為等腰直角三角形，AD＝1，
∴AF＝＝，
故答案為：1，．
（2）若d（L，△ABC）＝0，則直線L與三角形ABC有交點，
當直線L經過點B時，將（﹣1，0）代入y＝kx+2得0＝﹣k+2，
解得k＝2，
∴k≥2滿足題意，
當直線L經過點C時，將（1，0）代入y＝kx+2得0＝k+2，
解得k＝﹣2，
∴k≤﹣2滿足題意，
故答案為：k≥2或k≤﹣2．
（3）將x＝0代入y＝x+b得y＝b，
∴直線y＝x+b與y軸交點為（0，b），
如圖，當b＞0時，設直線y＝x+b與y軸交點為M，與x軸交點為N，作AG⊥MN于點G，
∵直線MN∥AB，
∴當AG＝2時，AM＝AG＝2，
∴點M坐標為（0，1+2），
∴b＝1+2，
當b＜0時，設直線y＝x+b與y軸交點為Q，與x軸交點為P，作CH⊥PQ于點H，
同理，當CH＝2時，CP＝CH＝2，
∴OQ＝OP＝OC+CP＝1+2，
∴b＝﹣1﹣2，
∴﹣1﹣2≤b≤1+2時符合題意．
故答案為：﹣1﹣2≤b≤1+2．
20． (2023?南京模擬）若一個函數圖象上存在橫縱坐標互為相反數的點，我們將其稱之為“反值點”，例如直線y＝x+2的圖象上的（﹣1，1）即為反值點．
（1）判斷反比例函數的圖象上是否存在反值點？若存在，求出反值點的坐標，若不存在，說明理由；
（2）判斷關于x的函數（a是常數）的圖象上是否存在反值點？若存在，求出反值點的坐標，若不存在，說明理由；
（3）將二次函數y＝x2﹣2x﹣3的圖象向上平移m（m為常數，且m＞0）個單位后，若在其圖象上存在兩個反值點，求m的取值范圍．
【分析】（1）當y＝﹣x時，由“反值點”的定義列出方程，解方程即可得出結論；
（2）若y＝﹣x，可得，即可判定此方程無解，據此即可解答；
（3）首先根據在其圖象上存在兩個反值點，可得x2﹣2x﹣3+m＝﹣x，再根據一元二次方程根的判別式及m＞0，即可求得m的取值范圍．
【解析】（1）反比例函數的圖象上存在反值點．理由如下：
∵一個函數圖象上存在橫縱坐標互為相反數的點，我們將其稱之為“反值點“，
∴當y＝﹣x時，即，
解得：x＝3或x＝﹣3，
當x＝3時，，
當x＝﹣3時，，
∴反值點的坐標為（3，﹣3）或（﹣3，3）；
（2）關于x的函數（a是常數）的圖象上不存在反值點．理由如下：
∵一個函數圖象上存在橫縱坐標互為相反數的點，我們將其稱之為“反值點，
∴若y＝﹣x，則，
整理，得：x2+2x+a2+2＝0，
∴Δ＝22﹣4（a2+2）＝﹣4（a2+1），
∵a2+1＞0，
∴﹣4（a2+1）＜0，
∴此方程無實數根，
∴假設不成立，
∴關于x的函數（a是常數）的圖象上不存在反值點；
（3）由題意可知：將二次函數y＝x2﹣2x﹣3的圖象向上平移m（m為常數，且m＞0）個單位后所得函數的解析式為y＝x2﹣2x﹣3+m，
∵在其圖象上存在兩個反值點，
∴x2﹣2x﹣3+m＝﹣x，
整理，得：x2﹣x+m﹣3＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（m﹣3）＝13﹣4m＞0，
解得：，
∵m＞0，
∴m的取值范圍是．
x
﹣2
0
2
y
0
﹣3
0
x
﹣2
0
2
y
0
﹣3
0

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