知識回顧
因式分解的概念：
把一個多項式寫成幾個整式的乘法的形式，這種變形叫做因式分解。
因式分解的方法：
①提公因式法：
公因式的確定：公因式＝各項系數(shù)的最小公倍數(shù)×相同字母（式子）的最低次冪。若多項式首項是負(fù)的，則公因式為負(fù)。
用各項除以公因式得到另一個式子。
②公式法：
平方差公式：。
完全平方公式：
③十字相乘法：
利用十字交叉線將二次三項式進行因式分解的方法叫做十字相乘法。
對于一個二次三項式，若滿足，，且，那么二次三項式可以分解為：。
當(dāng)時，二次三項式是，此時只需，且，則可分解為：。
④分組分解法：
對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解--分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式。（分組分解法一般針對四項及以上的多項式）
因式分解的具體步驟：
先觀察多項式是否有公因式，若有，則提取公因式。
觀察多項式的項數(shù)，兩項，則考慮平方差公式；三項則考慮完全平方式與十字相乘法。四項及以上則考慮分組分解。
檢查因式分解是否分解完全。必須分解到不能分解位置。
再無特比說明的情況下，任何因式分解的題目都必須在有理數(shù)范圍內(nèi)進行分解。
微專題

1．（2022?濟寧）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【分析】根據(jù)因式分解的定義判斷即可．
【解答】解：A選項不是因式分解，故不符合題意；
B選項計算錯誤，故不符合題意；
C選項是因式分解，故符合題意；
D選項不是因式分解，故不符合題意；
故選：C．
2．（2022?永州）下列因式分解正確的是（ ）
A．a(chǎn)x+ay＝a（x+y）+1B．3a+3b＝3（a+b）
C．a(chǎn)2+4a+4＝（a+4）2D．a(chǎn)2+b＝a（a+b）
【分析】根據(jù)因式分解的定義和因式分解常用的兩種方法：提公因式法和公式法判斷即可．
【解答】解：A選項，ax+ay＝a（x+y），故該選項不符合題意；
B選項，3a+3b＝3（a+b），故該選項符合題意；
C選項，a2+4a+4＝（a+2）2，故該選項不符合題意；
D選項，a2與b沒有公因式，故該選項不符合題意；
故選：B．
3．（2022?湘西州）因式分解：m2+3m＝ ．
【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．
【解答】解：原式＝m（m+3）．
故答案為：m（m+3）．
4．（2022?廣州）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．
【分析】直接提取公因式3a，進而分解因式得出答案．
【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．
故答案為：3a（a﹣7b）．
5．（2022?常州）分解因式：x2y+xy2＝ ．
【分析】直接提取公因式xy，進而分解因式得出答案．
【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y）．
故答案為：xy（x+y）．
6．（2022?柳州）把多項式a2+2a分解因式得（ ）
A．a(chǎn)（a+2）B．a(chǎn)（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）
【分析】直接提取公因式a，進而分解因式得出答案．
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
故選：A．
7．（2022?菏澤）分解因式：x2﹣9y2＝ ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案為：（x﹣3y）（x+3y）．
8．（2022?煙臺）把x2﹣4因式分解為 ．
【分析】利用平方差公式，進行分解即可解答．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
故答案為：（x+2）（x﹣2）．
9．（2022?綏化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ ．
【分析】將m+n看作整體，利用完全平方公式即可得出答案．
【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2?（m+n）?3+32
＝（m+n﹣3）2．
故答案為：（m+n﹣3）2．
10．（2022?蘇州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，則x2﹣y2＝ ．
【分析】直接利用平方差公式將原式變形，代入得出答案．
【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝4×6
＝24．
故答案為：24．
11．（2022?衡陽）因式分解：x2+2x+1＝ ．
【分析】本題運用完全平方公式進行因式分解即可．
【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，
故答案為：（x+1）2．
12．（2022?濟南）因式分解：a2+4a+4＝ ．
【分析】利用完全平方公式進行分解即可．
【解答】解：原式＝（a+2）2，
故答案為：（a+2）2．
13．（2022?寧波）分解因式：x2﹣2x+1＝ ．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．
14．（2022?河池）多項式x2﹣4x+4因式分解的結(jié)果是（ ）
A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x﹣2）2．
故選：D．
15．（2022?荊門）對于任意實數(shù)a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，則下列關(guān)系式正確的是（ ）
A．a(chǎn)3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
B．a(chǎn)3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a(chǎn)3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
D．a(chǎn)3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
【分析】把所給公式中的b換成﹣b，進行計算即可解答．
【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），
∴a3﹣b3
＝a3+（﹣b3）
＝a3+（﹣b）3
＝[a+（﹣b）][（a2﹣a?（﹣b）+（﹣b）2]
＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
故選：A．
16．（2022?綿陽）因式分解：3x3﹣12xy2＝ ．
【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．
【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）
＝3x（x+2y）（x﹣2y）．
故答案為：3x（x+2y）（x﹣2y）．
17．（2022?丹東）因式分解：2a2+4a+2＝ ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）
＝2（a+1）2．
故答案為：2（a+1）2．
18．（2022?遼寧）分解因式：3x2y﹣3y＝ ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．
【解答】解：3x2y﹣3y
＝3y（x2﹣1）
＝3y（x+1）（x﹣1），
故答案為：3y（x+1）（x﹣1）．
19．（2022?恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝ ．
【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式進行因式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，
故答案為：a（a﹣3）2．
20．（2022?黔東南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝ ．
【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2022（x2﹣2x+1）
＝2022（x﹣1）2．
故答案為：2022（x﹣1）2．
21．（2022?常德）分解因式：x3﹣9xy2＝ ．
【分析】利用提公因式法和平方差公式進行分解，即可得出答案．
【解答】解：x3﹣9xy2
＝x（x2﹣9y2）
＝x（x+3y）（x﹣3y），
故答案為：x（x+3y）（x﹣3y）．
22．（2022?懷化）因式分解：x2﹣x4＝ ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2（1﹣x2）
＝x2（1+x）（1﹣x）．
故答案為：x2（1+x）（1﹣x）．
23．（2022?臺灣）多項式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均為整數(shù)，求a+2c之值為何？（ ）
A．﹣12B．﹣3C．3D．12
【分析】根據(jù)十字相乘法可以將多項式39x2+5x﹣14分解因式，然后再根據(jù)多項式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），即可得到a、b、c的值，然后計算出a+2c的值即可．
【解答】解：∵39x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多項式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），
∴a＝2，b＝13，c＝﹣7，
∴a+2c
＝2+2×（﹣7）
＝2+（﹣14）
＝﹣12，
故選：A．
24．（2022?內(nèi)江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式進行因式分解．
【解答】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案為：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
25．（2022?廣安）已知a+b＝1，則代數(shù)式a2﹣b2+2b+9的值為 ．
【分析】方法一：直接將a2﹣b2進行因式分解為（a+b）（a﹣b），再根據(jù)a+b＝1，可得a2﹣b2＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．
方法二：將原式分為三部分，即a2﹣（b2﹣2b+1）+10，把前兩部分利用平方差進行因式分解，其中得到一因式a+b﹣1＝0．從而得出原式的值．
【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9
＝（a+b）（a﹣b）+2b+9
又∵a+b＝1，
∴原式＝a﹣b+2b+9
＝a+b+9
＝10．
方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9
＝a2﹣（b2﹣2b+1）+10
＝a2﹣（b﹣1）2+10
＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）+10．
又∵a+b＝1，
∴原式＝10．
26．（2022?黔西南州）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是 ．
【分析】將a2b+ab2因式分解，然后代入已知條件即可求值．
【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b），
∵ab＝2，a+b＝3，
∴原式＝2×3＝6．
故答案為：6．

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