2024.11
（本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.直線的傾斜角為，則（ ）
A. B. C. D.
3.已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為且弧長(zhǎng)為的扇形，則該圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
4.已知公差不為0的等差數(shù)列中，且，則（ ）
A.30 B. C. D.40
5.已知，則（ ）
A. B.3 C. D.4
6.在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球表面積為（ ）
A. B. C. D.
7.已知都是正實(shí)數(shù)，，則的最小值為（ ）
A.2 B. C. D.
8.已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，則（ ）
A.為奇函數(shù)
B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C.的最小正周期為4
D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知正方體棱長(zhǎng)為1，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.直線與所成角為
B.直線到平面的距離是
C.點(diǎn)到直線的距離為
D.平面與平面所成角的余弦值為
10.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的公差為的公比為，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.若，則為遞增數(shù)列
B.若，則為遞減數(shù)列
C.若，則為遞增數(shù)列
D.若，則為遞增數(shù)列
11.在銳角三角形中，外接圓的半徑為，則（ ）
A.
B.
C.
D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.若，為虛數(shù)單位，則__________.
13.是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則__________.
14.在三棱錐中，與中點(diǎn)分別為，點(diǎn)為中點(diǎn).若在上滿足在上滿足，平面交于點(diǎn)，且，則__________.
四?解答題：本大題共小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是的面積為.若，
（1）求；
（2）若，求的值.
16.（15分）我們知道關(guān)于的二元一次方程表示直線，但有的二元二次方程也能表示直線，比如表示的就是和兩條直線.
（1）求方程表示的直線與軸圍成的面積；
（2）若方程表示的是兩條直線，求.
17.（15分）四棱錐中，底面為正方形，為銳角.
（1）求證：平面平面；
（2）若與平面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值.
18.（17分）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；
（3）證明：.
19.（17分）設(shè)集合，對(duì)于集合到集合的函數(shù)，記其中滿足的函數(shù)為“回函數(shù)”.對(duì)于任意給定的集合，“回函數(shù)”的個(gè)數(shù)記為.數(shù)列的第項(xiàng)為.例如，“回函數(shù)”僅有一個(gè)，即，滿足，所以，“回函數(shù)”有兩個(gè)，即和，這兩個(gè)函數(shù)都能滿足，所以.
（1）求；
（2）當(dāng)時(shí)，給出和之間的關(guān)系式并證明；
（3）證明：時(shí)，.
深圳市高級(jí)中學(xué)2025屆高三第二次診斷考試數(shù)學(xué)參考答案
1DACC AACD
9.BCD 10.AC 11.AC
12.1 13.或 14.
14.解答：
在平面上
，使得，其中
，得
15.（1）
得，得
（2）
16.（1）表示的直線為和，
聯(lián)立，得兩直線交點(diǎn)為，兩直線與軸交點(diǎn)分別為和
兩直線與軸圍成的三角形面積為
（2）若方程表示兩條直線，則該方程必能表示為兩個(gè)二元一次方程的乘積，
則
，解得
17（1）四邊形為正方形，又，且
平面平面
平面平面
（2）以為原點(diǎn)分別為軸，過(guò)作平面的垂線，以該垂線為軸
由（1）可知軸在平面內(nèi)
由題意可得
易知平面的法向量為
，得，
解得或
為銳角，
，設(shè)平面的法向量為
，得，取，得
易得平面的法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則.
綜上，平面與平面夾角的余弦值為.
18.（1）
令，得
時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值
（2），即，令
時(shí)，時(shí)，，而，不合題意；
時(shí)，
，顯然為減函數(shù)
當(dāng)，即時(shí)，
則單調(diào)遞增且，
時(shí)，單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，
時(shí)，單調(diào)遞增且
使得，且時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，不合題意.
綜上的最小值為.
（3）當(dāng)時(shí)，，若，則，則在沒(méi)有零點(diǎn)，又在上單調(diào)遞增，所以最多只有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意
，又
由（2）可知，解得
欲證，即證，即證
即證，即證
令
得的最小值為，即，易知
，綜上
19.（1）
分別是
（2）時(shí)，分別表示集合中“回函數(shù)”個(gè)數(shù)
中“回函數(shù)”的個(gè)數(shù)計(jì)算分兩種情況：
i.若，則其他元素不可能對(duì)應(yīng)到，否則通過(guò)兩次對(duì)應(yīng)后不可能到達(dá)自身，即其他個(gè)元素之間只能在內(nèi)部對(duì)應(yīng)，所以這種情況的“回函數(shù)”的個(gè)數(shù)為；
ii.若，由于一個(gè)元素經(jīng)過(guò)兩次對(duì)應(yīng)必須回到自身，所以必有，而除和之外的元素也不能對(duì)應(yīng)或，即其他個(gè)元素只能在它們內(nèi)部對(duì)應(yīng)，所以“回函數(shù)”的個(gè)數(shù)為，又有種選擇，所以這種情況的“回函數(shù)”個(gè)數(shù)為.
綜上，
（3）易知
時(shí)，，即單調(diào)遞增
時(shí)，
，且滿足不等式
綜上，時(shí)，.

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