一、單選題（本大題共8小題）
1．若為空間的一個基底，則下列各項中能構(gòu)成基底的一組向量是（ ）
A．B．
C．D．
2．在數(shù)列中，，，則（ ）
A．43B．46C．37D．36
3．已知直線y=2x是雙曲線的一條漸近線，則的離心率等于（ ）
A．B．C．D．或
4．已知直線和直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．三棱錐的四個頂點均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，則該球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，二面角的大小為，點A，B分別在半平面，內(nèi)，于點C，于點D．若，，．則（ ）

A．B．6C．D．
7．直線與圓相交所形成的長度為整數(shù)的弦的條數(shù)為（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．已知一個各項非零的數(shù)列滿足且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．首項為正數(shù)，公差的等差數(shù)列，其前項和為，則下列命題中正確的有（ ）
A．若，則是嚴(yán)格增數(shù)列
B．?dāng)?shù)列一定是等差數(shù)列
C．若，則使的最大的為
D．若（為常數(shù)），則
10．設(shè)為坐標(biāo)原點，直線過拋物線：的焦點，且與交于兩點，若直線為的準(zhǔn)線，則（ ）
A．
B．
C．為等邊三角形
D．以為直徑的圓與相切
11．已知正方體的棱長為，點為正方形（含邊界）內(nèi)的一個動點，過棱的中點作該正方體的截面，滿足與棱和棱分別交于兩點，則（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．直線與所成角的正切值為
C．截面的面積為
D．當(dāng)時，點的軌跡長度為
三、填空題（本大題共3小題）
12．在正方體中，直線和直線所成的角為 .
13．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則 ．
14．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右頂點為，左頂點為，設(shè)點為橢圓上一點，的面積的最大值為，則的值為 ；若已知點點為橢圓上任意一點，則的最小值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點，與直線相切．
(1)求圓的方程；
(2)經(jīng)過點的直線與圓相交于A，B兩點，若，求直線的方程．
16．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，是的中點，作交于點.
(1)求證：平面；
(2)若平面與平面的夾角的正弦值為，
（i）求長；
（ii）求直線與平面所成角的正弦值.
17．一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切．
(1)求動圓圓心的軌跡方程；
(2)記（1）所求軌跡方程對應(yīng)的曲線為，點為曲線上一動點，點的坐標(biāo)為，求點到點距離的最小值，并給出此時點的坐標(biāo)．
18．已知數(shù)列是等差數(shù)列，正項數(shù)列是等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和．，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若對任意正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的最小值；
(3)若，求數(shù)列的前項和．
19．現(xiàn)有一雙曲線和分別為的左焦點和右焦點，是雙曲線上一動點，的最大值為3．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)M是的右頂點，過的直線交雙曲線左支于兩點，
（i）求直線與直線的斜率之積；
（ii）判斷是否是定值，并給出理由．
參考答案
1．【答案】B
【詳解】對于A，因為，所以共面，
所以不能構(gòu)成基底，
對于C，因為，
所以共面，所以不能構(gòu)成基底，C錯誤；
對于D，，
所以共面，所以不能構(gòu)成基底，D錯誤，
對于B，若共面，
則可設(shè)，故，
故共面，與條件矛盾，
所以不共面，即能構(gòu)成基底，B正確；
故選：B.
2．【答案】C
【詳解】法一：由題得，
所以.
法二：由題，，
所以.
故選：C.
3．【答案】A
【詳解】的漸近線方程為，
因此，故，
故離心率為，
故選：A
4．【答案】B
【詳解】由題設(shè)，可得，解得或.
當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，
所以“”不能推出“”；“”能推出“”，
則“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
5．【答案】D
【詳解】取的外接圓圓心為，過點作底面，
為三棱錐外接球球心，設(shè)該球半徑為，
由平面，則，連接、、，
由是正三角形，，故，
由，，則，
故有，
故該球的表面積.
故選：D.
6．【答案】C
【詳解】解法一：作于點C，且，連接，，

，
；
解法二：由，，
得，，．
因為，
所以，
則，
解得，．
故選C.
7．【答案】C
【詳解】直線化簡得得，則恒過點，
圓的圓心為，半徑為；
因此，在圓的內(nèi)部，當(dāng)與弦長垂直時，弦長最短，此時；
最大弦長應(yīng)小于等于直徑，因此長度為整數(shù)的弦的長度可以為4，5；
由對稱性可知長度為4的只有一條，長度為5的弦長有2條，共3條.
故選：C.
8．【答案】A
【詳解】因為，，
所以，
設(shè)，則，
所以
若，則,，矛盾，
所以，故，
所以數(shù)列為以為首項，公比為的等比數(shù)列，
所以，
故，
若，則，
數(shù)列為遞增數(shù)列，且，
所以數(shù)列為遞減數(shù)列，與已知矛盾；
若，則，
所以數(shù)列為遞減數(shù)列，且，
所以數(shù)列為遞增數(shù)列，滿足條件；
當(dāng)時， ，故，
所以數(shù)列為遞減數(shù)列，
令，可得，
所以當(dāng)，且時，，
當(dāng)，且時，，
與條件矛盾，
所以的取值范圍是，
故選：A.
9．【答案】ABD
【詳解】選項A，因為，所以對于任意的，，
故，，所以A正確；
選項B，由已知，
所以，
所以，
所以數(shù)列一定是等差數(shù)列，故B正確；
選項C，由，
知且，故，
故等差數(shù)列首項，公差，
即數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時，；當(dāng)時，.
，，
且當(dāng)時，，
故使的最大的n為21，故C項錯誤；
選項D，由可得，，
當(dāng)時，，
因為為等差數(shù)列，所以，故，
故，滿足關(guān)系，
所以，故D正確.
故選：ABD.
10．【答案】BD
【詳解】拋物線的焦點的坐標(biāo)為，
由已知直線過點，
所以，
所以，故，，所以A選項錯誤，
拋物線方程為，準(zhǔn)線為，
由，
消去并化簡得，，
不妨設(shè)，，，
解得或，
所以，B選項正確.
因為，
所以，
所以三角形不是等邊三角形，C選項錯誤.
因為中點坐標(biāo)為，該點到準(zhǔn)線的距離是，
所以以為直徑的圓與相切，D選項正確.
故選：BD
11．【答案】ABD
【詳解】因為，
因為點為正方形（含邊界）內(nèi)的一個動點，
由已知平面平面，正方體的棱長為，
所以點到底面的距離為定值，
又的面積，
所以三棱錐的體積，
所以三棱錐的體積為定值，A正確；
以為原點，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
設(shè)，，
則，，，
因為，，，
故，，
所以，
，
所以，，故分別為棱的中點，
設(shè)截面與棱的交點分別為，
同理可證分別為棱的中點，
取的中點，連接，，則，
則直線FG與所成角即為直線FG與GM所成角．
在中，，，則，
即直線FG與所成角的正切值為，所以B選項正確；
因為正六邊形即為截面，
又正方體的棱長為，
所以正六邊形的邊長為，所以其面積為，所以C選項不正確，
對于D選項，因為平面，平面，
所以，又，，
所以，
因為，即圓的半徑大于，小于，
所以點的軌跡為下圖中以為圓心，為半徑的圓位于正方形內(nèi)的一段圓弧，
且，，
所以，
又，所以，
所以，
所以點的軌跡長度為，所以D正確．
故選：ABD．
12．【答案】
【詳解】如下圖所示：
由正方體性質(zhì)可得，
所以直線和直線所成的角等于，
又易知為等邊三角形，所以.
故答案為：
13．【答案】
【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，
若，則，，，
又，所以，，與矛盾，
所以，，
因為，所以，
所以可化為，
所以，
所以，
所以，
所以或或（舍去），
若，又，可得，此時，矛盾，
當(dāng)時，，
故若，，此時，
若，，此時，
故答案為：.
14．【答案】
【詳解】由已知條件可得、，
設(shè)，因為點為橢圓上一點，
所以，，，
所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為或時的面積取最大值，最大值為，
由已知可得，
所以橢圓方程為，
所以、分別為橢圓的左?右焦點，
所以，所以
所以
故
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：；.
15．【答案】(1);
(2)或.
【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，
由已知得
解得，，，
所以圓的方程為，即.
（2）① 若直線的斜率存在，可設(shè)的方程為，即，
由（1）得圓心到直線的距離為 ，
解得，
此時，直線的方程為，即；
② 若直線的斜率不存在，則的方程為，
將其代入，可得或，
即得，，滿足條件.
綜上所述，直線的方程為或．
【易錯警示】解決此類問題時,一定要考慮全面,尤其是設(shè)直線的方程時,一定要考慮直線斜率存在和不存在兩種情況,不要想當(dāng)然地認(rèn)為直線的斜率存在而造成漏解.
16．【答案】(1)證明見解析
(2)（i）2；（ii）
【詳解】（1）以為原點，所在直線分別為軸?軸?軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則.
因為，
故，所以.
由已知，且，平面.
所以平面.
（2）（i）設(shè)平面的法向量，因為，
所以，所以，令，得；
設(shè)平面的法向量，
所以，所以，令，得；
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
因為，所以，所以，
解得（取正），所以長為2.
（ii）由（1）可知，故是直線與平面所成角的一個平面角，
在直角中，，
又，則與互余，
所以，即直線與平面所成角的正弦值為.
17．【答案】(1)
(2)最小值為，點的坐標(biāo)為或．
【詳解】（1）設(shè)動圓圓心為，半徑為，
設(shè)圓和圓的圓心分別為，
將圓的方程分別配方得：圓，圓
當(dāng)動圓與圓相外切時，有①
當(dāng)動圓與圓相內(nèi)切時，有
將①②兩式相加，得，
所以動圓圓心到點和的距離和是常數(shù)，
所以點的軌跡是焦點為點，長軸長等于的橢圓．
設(shè)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；橢圓的半焦距為，
則，，
所以，
所以，
所以動圓圓心軌跡方程為．
（2）根據(jù)題意得：設(shè)，
因為點在橢圓上，所以，故，
所以，
所以當(dāng)時，最小值為，此時點的坐標(biāo)為或．
18．【答案】(1)
(2)
(3)答案見解析
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
∵，，
∴，解得或，
∵，∴，故．
（2）∵對任意正整數(shù)恒成立，
∴對任意正整數(shù)恒成立.
令，則，
∵，
∴，即數(shù)列單調(diào)遞減，
∴，故，即的最小值為．
（3）由，得，
∴，
當(dāng)為偶數(shù)時，
，
當(dāng)為奇數(shù)時，，
綜上得，.
19．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）是，理由見解析
【詳解】（1）設(shè)，那么，，
根據(jù)，可得．
因為在上單調(diào)遞減，
所以時，取最大值3，所以，解得．
所以．
因此根據(jù)題意可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）
（i）設(shè)，直線為，
聯(lián)立直線方程和雙曲線方程可得，化簡得，
根的判別式，
所以根據(jù)韋達(dá)定理可得，
，
，
.
（ii）是定值，理由如下，設(shè)，
直線為，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程可得
化簡得，
根的判別式，
所以根據(jù)韋達(dá)定理可得，
所以，
所以
．

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