A. 13 B. 12 C. 22 D. 223
2. 已知橢圓的兩個焦點為F1?5,0 ，F(xiàn)25,0 ，M 是橢圓上一點，若MF1⊥MF2 ，MF1?MF2=8 ，則該橢圓的方程是( )
A. x27+y22=1 B. x22+y27=1 C. x29+y24=1 D. x24+y29=1
3.在平面直角坐標(biāo)系Oxy 中，已知△ABC 的頂點A?4,0 和C4,0 ，頂點B 在橢圓x225+y29=1 上，則sin A+sinCsinB= ( )
A. 54 B. 52 C. 5 D. 53
4.設(shè)橢圓E 的兩焦點分別為F1 ，F(xiàn)2 ，以F1 為圓心，F(xiàn)1F2 為半徑的圓與E 交于P ，Q 兩點.若△PF1F2 為直角三角形，則E 的離心率為( )
A. 2?1 B. 5?12 C. 22 D. 2+1
5. （多選）已知橢圓C 的中心為坐標(biāo)原點，焦點F1 ，F(xiàn)2 在y 軸上，短軸長等于2，離心率為63 ，過焦點F1 作y 軸的垂線交橢圓C 于P ，Q 兩點，則下列說法正確的是( )
A. 橢圓C 的方程為y23+x2=1 B. 橢圓C 的方程為x23+y2=1
C. PQ=233 D. △PF2Q 的周長為43
6. 寫出一個長軸長等于離心率8倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
7. 已知F1 ，F(xiàn)2 分別為橢圓C:x24+y23=1 的左、右焦點，直線x?3y+1=0 與橢圓交于P ，Q 兩點，則△PQF2 的周長為 .
8. 設(shè)P 是橢圓C:x2a2+y26=1a>6 上任意一點，F(xiàn) 為C 的右焦點，PF 的最小值為2 ，則橢圓C 的離心率為 .
9.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距為23 ，離心率為32 .
（1） 求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2） 若點A0,1 ，點B 在橢圓C 上，求線段AB 長度的最大值.
[B級 綜合運用]
10.已知橢圓C 的中心為坐標(biāo)原點，焦點在y 軸上，F(xiàn)1 ,F2 為C 的兩個焦點，C 的短軸長為4，且C 上存在一點P ，使得PF1=6PF2 ，則C 的方程可能為( )
A. x24+y29=1 B. x210+y24=1 C. x24+y27=1 D. x24+y28=1
11.（多選）設(shè)橢圓C:x24+y2=1 的焦點為F1 ，F(xiàn)2 ，P 是C 上的動點，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 離心率e=32 B. PF2 的最大值為3
C. △PF1F2 面積的最大值為23 D. PF1+PF2 的最小值為2
12.已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦點為F ，P ，Q 是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，M ，N 分別是PF ，QF 的中點.若以MN 為直徑的圓過原點，則橢圓的離心率e 的取值范圍是 .
13.設(shè)F1 是橢圓5x2+9y2=45 的左焦點，P 是橢圓上的動點，A1,0 ，則PA+PF1 的最小值為 .
14. 已知F1 ，F(xiàn)2 是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的兩個焦點，P 為C 上的點，O 為坐標(biāo)原點.
（1） 若△POF2 為等邊三角形，求C 的離心率；
（2） 如果存在點P ，使得PF1⊥PF2 ，且△F1PF2 的面積等于16，求b 的值和a 的取值范圍.
[C級 素養(yǎng)提升]
15.過橢圓x2m+y2m?9=1m>9 右焦點F 的圓與圓O:x2+y2=4 外切，該圓直徑FQ 的端點Q 的軌跡記為曲線C ，若P 為曲線C 上的一動點，則FP 的最小值為 .
16.若兩個橢圓的離心率相等，則稱它們?yōu)椤跋嗨茩E圓”.如圖，在平面直角坐標(biāo)系Oxy 中，已知橢圓C1:x26+y23=1 ，A1 ，A2 分別為橢圓C1 的左、右頂點.橢圓C2 以線段A1A2 為短軸且與橢圓C1 為“相似橢圓”.
（1） 求橢圓C2 的方程；
（2） 設(shè)P 為橢圓C2 上異于A1 ，A2 的任意一點，過P 作PQ⊥x 軸，垂足為Q ，線段PQ 交橢圓C1 于點H.求證：A1H⊥PA2 .
2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.5-橢圓-專項訓(xùn)練【解析版】
[A級 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1. 已知橢圓C:x2a2+y23=1 的一個焦點為點1,0 ，則橢圓C 的離心率為( B )
A. 13 B. 12 C. 22 D. 223
[解析]選B.由橢圓C:x2a2+y23=1 的一個焦點的坐標(biāo)為1,0 ，得a2?3=1 ，解得a=2 （負(fù)值舍去）.
所以橢圓C 的離心率為e=ca=12 .故選B.
2. 已知橢圓的兩個焦點為F1?5,0 ，F(xiàn)25,0 ，M 是橢圓上一點，若MF1⊥MF2 ，MF1?MF2=8 ，則該橢圓的方程是( C )
A. x27+y22=1 B. x22+y27=1 C. x29+y24=1 D. x24+y29=1
[解析]選C.設(shè)MF1=m ,MF2=n ,因為MF1⊥MF2 ,MF1?MF2=8 ,F1F2=25 ，所以m2+n2=20 ,mn=8 ,所以m+n2=36 ,所以m+n=2a=6 ,所以a=3 .
因為c=5 ,所以b=a2?c2=2 .
所以橢圓的方程是x29+y24=1 .故選C.
3.在平面直角坐標(biāo)系Oxy 中，已知△ABC 的頂點A?4,0 和C4,0 ，頂點B 在橢圓x225+y29=1 上，則sin A+sinCsinB= ( A )
A. 54 B. 52 C. 5 D. 53
[解析]選A.在橢圓x225+y29=1 中，a=5 ，b=3 ，則c=a2?b2=4 ，故點A ，C 為橢圓的焦點，因此，sinA+sinCsinB=BC+ABAC=2a2c=54 .故選A.
4.設(shè)橢圓E 的兩焦點分別為F1 ，F(xiàn)2 ，以F1 為圓心，F(xiàn)1F2 為半徑的圓與E 交于P ，Q 兩點.若△PF1F2 為直角三角形，則E 的離心率為( A )
A. 2?1 B. 5?12 C. 22 D. 2+1
[解析]選A.不妨設(shè)橢圓E 的方程為x2a2+y2b2=1a>b>0 ，因為△PF1F2 為直角三角形，所以PF1⊥F1F2 ，又PF1=F1F2=2c ,所以PF2=22c ,所以PF1+PF2=2c+22c=2a ,所以橢圓E 的離心率e=ca=2?1 .故選
A.
5. （多選）已知橢圓C 的中心為坐標(biāo)原點，焦點F1 ，F(xiàn)2 在y 軸上，短軸長等于2，離心率為63 ，過焦點F1 作y 軸的垂線交橢圓C 于P ，Q 兩點，則下列說法正確的是( ACD )
A. 橢圓C 的方程為y23+x2=1 B. 橢圓C 的方程為x23+y2=1
C. PQ=233 D. △PF2Q 的周長為43
[解析]選ACD.由已知得，2b=2 ,b=1 .
ca =63, 又a2=b2+c2,解得a2=3 .
所以橢圓C 的方程為x2+y23=1 ,如圖，所以PQ=2b2a=23=233 ,△PF2Q 的周長為4a=43 .故選ACD.
6. 寫出一個長軸長等于離心率8倍的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1 （答案不唯一）.
[解析]不妨設(shè)橢圓的焦點在x 軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1a>b>0 .
因為長軸長等于離心率8倍，故2a=8×ca ，即a2=4c ,不妨令c=1 ，則a2=4 ,b2=3 ，所以滿足條件的一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1 .
7. 已知F1 ，F(xiàn)2 分別為橢圓C:x24+y23=1 的左、右焦點，直線x?3y+1=0 與橢圓交于P ，Q 兩點，則△PQF2 的周長為8.
[解析]由題意得，F(xiàn)1?1,0 ，F(xiàn)21,0 ，直線x?3y+1=0 過左焦點F1?1,0 ，所以PF1+PF2=QF1+QF2=2a=4 ，PQ=PF1+QF1 ，所以C△PQF2=PQ+QF2+PF2=PF1+QF1+QF2+PF2=4a=8 .
8. 設(shè)P 是橢圓C:x2a2+y26=1a>6 上任意一點，F(xiàn) 為C 的右焦點，PF 的最小值為2 ，則橢圓C 的離心率為12 .
[解析]由題意得a?c=2 ，所以a?a2?6=2 ，解得a=22 ，所以e=ca=8?622=12 .
9.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距為23 ，離心率為32 .
（1） 求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
[答案]解：依題意得2c=23 ,c=3 ，
離心率e=ca=3a=32 ，解得a=2 ，
所以b=a2?c2=1 ，
所以橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1 .
（2） 若點A0,1 ，點B 在橢圓C 上，求線段AB 長度的最大值.
[答案]設(shè)Bx,y ，則x24+y2=1 ，
得AB2=x2+y?12
=4?4y2+y2?2y+1
=?3y2?2y+5=?3y+132+163 ，
其中?1≤yb>0 的右焦點為F ，P ，Q 是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，M ，N 分別是PF ，QF 的中點.若以MN 為直徑的圓過原點，則橢圓的離心率e 的取值范圍是[22,1) .
[解析]設(shè)點Px0,y0 ,
則Q?x0,?y0 ,又點Fc,0 ,
所以Mx0+c2,y02 ，
N?x0+c2,?y02 ，
又以MN 為直徑的圓過原點，
則有OM⊥ON ，所以O(shè)M?ON=0 ，
即x0+c2??x0+c2?y02?y02=0 ,
所以c2?x02?y02=0 ,
又x02a2+y02b2=1 ,
所以c2a2x02+b2?c2=0 ,得x02=a22c2?a2c2 ,
所以0≤a22c2?a2c29 右焦點F 的圓與圓O:x2+y2=4 外切，該圓直徑FQ 的端點Q 的軌跡記為曲線C ，若P 為曲線C 上的一動點，則FP 的最小值為1.
[解析]橢圓x2m+y2m?9=1m>9 ,c=m?m?9=3 ，所以F3,0 .
設(shè)以FQ 為直徑的圓的圓心為C ，如圖所示，
因為圓O 與圓C 外切，所以O(shè)C?CF=2 ，
因為QF1=2OC ，QF=2CF ，
所以QF1?QF=2OC?CF=4b>0 ，且b=6 ，
因為兩個橢圓為“相似橢圓”，所以e=1?6a2=22 ，解得a2=12 ，
所以橢圓C2 的方程為y212+x26=1 .
（2） 設(shè)P 為橢圓C2 上異于A1 ，A2 的任意一點，過P 作PQ⊥x 軸，垂足為Q ，線段PQ 交橢圓C1 于點H.求證：A1H⊥PA2 .
[答案]證明：不妨設(shè)Pm,n ，其中n>0 ，則n212+m26=1 ，可得m2=6?n22 ，
把x=m 代入橢圓C1:x26+y23=1 ，可得y=3?m22 ，所以Hm,3?m22 ，
所以kA1H=3?m22m+6 ,kPA2=nm?6 ，
所以kA1H?kPA2=3?m22m+6×nm?6=n?3?m22m2?6=?n2?6?m2=?n2?6?6?n22=?1 .
所以A1H⊥PA2 .

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