A．4B．3C．2D．1
2．如圖，在△ABC中，頂點A在x軸的負(fù)半軸上，且∠BAO＝45°，頂點B的坐標(biāo)為（﹣1，3），P為AB邊的中點，將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點A落在（1，0）上時，點P的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，E為BC上一點，連接AE，∠CAD＝2∠BAE，連接DE，下列結(jié)論中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正確的有（ ）
A．①②③B．③④C．①④D．①③④
4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上的一點，∠BAD＝28°，在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE，DE，DE交AC于點O，若CE∥AB，則∠DOC的度數(shù)為 ．
5.如圖，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，則下列結(jié)論正確的是： ．（填序號）
①BC平分∠DCE；
②∠ABE+∠ECD＝180°；
③AC＝2BE+CE；
④AC＝2CD﹣CE．
6．（2019秋?樊城區(qū)期中）如圖，A、B、C三點在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE交BD于點M，連接CD交BE于點N，連接MN得△BMN．
（1）求證：AE＝CD；
（2）試判斷△BMN的形狀，并說明理由；
（3）設(shè)CD、AE相交于點G，求∠AGC的度數(shù)．
7．（2020秋?牡丹江期中）已知△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC，△ADE為等腰直角三角形，AD＝AE，點D在直線BC上，連接CE．
（1）若點D在線段BC上，如圖1，求證：CE＝BC﹣CD；
（2）若D在CB延長線上，如圖2，若D在BC延長線上，如圖3，其他條件不變，又有怎樣的結(jié)論？請分別寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不需要證明；
（3）若CE＝10，CD＝4，則BC的長為 ．
8．（2020秋?天河區(qū)校級期中）如圖所示，直線AB交x軸于點A（4，0），交y軸于點B（0，﹣4）．
（1）如圖1，若C的坐標(biāo)為（﹣1，0），且AH⊥BC于點H，AH交OB于點P，求證：△OAP≌△OBC；
（2）如圖2，若點D為AB的中點，點M為y軸正半軸上一動點，連接MD，過D作DN⊥DM交x軸于N點，當(dāng)M點在y軸正半軸上運(yùn)動的過程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．
9．（2018秋?蔡甸區(qū)期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，0）、B（0，7）、C（7，0），
∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．
（1）求證：∠ABO＝∠CAD；
（2）求四邊形ABCD的面積；
（3）如圖2，E為∠BCO的鄰補(bǔ)角的平分線上的一點，且∠BEO＝45°，OE交BC于點F，求BF的長．
10．（洪山區(qū)期中）如圖，直線AB交x軸于點A（a，0），交y軸于點B（0，b），且a、b滿足|a+b|+（a﹣5）2＝0
（1）點A的坐標(biāo)為 ，點B的坐標(biāo)為 ；
（2）如圖，若點C的坐標(biāo)為（﹣3，﹣2），且BE⊥AC于點E，OD⊥OC交BE延長線于D，試求點D的坐標(biāo)；
（3）如圖，M、N分別為OA、OB邊上的點，OM＝ON，OP⊥AN交AB于點P，過點P作PG⊥BM交AN的延長線于點G，請寫出線段AG、OP與PG之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．
11．（2022秋?博羅縣期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有點B（﹣1，0）和y軸上一動點A（0，a），其中a＞0，以A點為直角頂點在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABC，設(shè)點C的坐標(biāo)為（c，d）．
（1）當(dāng)a＝2時，則C點的坐標(biāo)為（ ， ）；
（2）動點A在運(yùn)動的過程中，試判斷c+d的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由．
（3）當(dāng)a＝2時，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點P（不與點C重合），使△PAB與△ABC全等？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
12．（花都區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（4，0），B（0，4），點C是x軸負(fù)半軸上的一動點，連接BC，過點A作直線BC的垂線，垂足為D，交y軸于點E．
（1）如圖（1），
①判斷∠BCO與∠AEO是否相等（直接寫出結(jié)論，不需要證明）．
②若OC＝2，求點E的坐標(biāo)．
（2）如圖（2），若OC＜4，連接DO，求證：DO平分∠ADC．
（3）若OC＞4時，請問（2）的結(jié)論是否成立？若成立，畫出圖形，并證明；若不成立，說明理由．
專題02 全等三角形（培優(yōu)卷）
1．如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC，BD交于點M，連接OM．則在下列結(jié)論：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④∠AMD＝144°．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（ ）個．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，所以②正確；
∵∠AOB+∠OAC+∠1＝∠AMB+∠OBD+∠2，
而∠1＝∠2，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，所以①正確；
∴∠AMD＝180°﹣∠AMB＝180°﹣36°＝144°，所以④正確；
過O點作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如圖，
∵△OAC≌△OBD，
∴OE＝OF，
∴MO平分∠AMD，
而∠OAM≠ODM，
∴∠AOM≠∠DOM，所以③錯誤．
故選：B．
2．如圖，在△ABC中，頂點A在x軸的負(fù)半軸上，且∠BAO＝45°，頂點B的坐標(biāo)為（﹣1，3），P為AB邊的中點，將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點A落在（1，0）上時，點P的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：如圖，過點P，B分別作PD⊥x軸于點D，BE⊥x軸于點E，
∴BE∥PD，
∵P為AB邊的中點，
∴D為AE的中點，
∴PD＝BE，
∵∠BAO＝45°，頂點B的坐標(biāo)為（﹣1，3），
∴AE＝BE＝3，OE＝1，
∴OA＝4，
∴A（﹣4，0），
∵DE＝AE＝，
∴OD＝，
∵PD＝BE＝，
∴P（﹣，），
∵將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點A落在（1，0）上時，
∴平移距離為5，
∴P的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)為（，），
故選：D．
3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，E為BC上一點，連接AE，∠CAD＝2∠BAE，連接DE，下列結(jié)論中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正確的有（ ）
A．①②③B．③④C．①④D．①③④
【答案】D
【解答】解：如圖，延長EB至G，使BE＝BG，設(shè)AC與DE交于點M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC與△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正確的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正確；
∴AE平分∠BED，
當(dāng)∠BAE＝∠EAC時，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，
當(dāng)∠BAE≠∠EAC時，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，故②是不正確的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，故④是正確的，
綜上所述：其中正確的有①③④．
故選：D．
4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上的一點，∠BAD＝28°，在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE，DE，DE交AC于點O，若CE∥AB，則∠DOC的度數(shù)為 ．
【答案】92°
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠BAD＝28°，
∴∠OAD＝60°﹣28°＝32°，
∴∠DOC＝∠OAD+∠ADE＝32°+60°＝92°．
故答案為：92°．
5.如圖，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，則下列結(jié)論正確的是： ．（填序號）
①BC平分∠DCE；
②∠ABE+∠ECD＝180°；
③AC＝2BE+CE；
④AC＝2CD﹣CE．
【答案】①②④
【解答】解：延長CD，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交CD的延長線于點F，則BF＝BC，過點B作BG⊥CE，交CE的延長線于點G，
∵FB＝BC，BD⊥AC，
∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，
∵∠DBC＝∠ABE，
∴∠FBC＝∠ABE，
∴∠FBA＝∠CBE，
∵AB＝AE，
∴△FAB≌△CBE（SAS），
∴∠F＝∠BCE，
∵BF＝BC，
∴∠F＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCE，
∴BC平分∠DCE，
故①正確；
∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠DCE＝180°，
故②正確；
∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，
∴△BDC≌△BGC（AAS），
∴AD＝GE，CD＝CG，
∵AC＝AD+DC，
∴AC＝AD+CG
＝AD+GE+CE
＝2GE+CE，
∵GE≠BE，
∴AC≠2BE+CE，
故③錯誤；
∵AC＝CF﹣AF，
∴AC＝2CD﹣CE，
故④正確；
故答案為：①②④．
6．（2019秋?樊城區(qū)期中）如圖，A、B、C三點在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE交BD于點M，連接CD交BE于點N，連接MN得△BMN．
（1）求證：AE＝CD；
（2）試判斷△BMN的形狀，并說明理由；
（3）設(shè)CD、AE相交于點G，求∠AGC的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵等邊△ABD和等邊△BCE，
∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC＝120°，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS）．
∴AE＝CD．
（2）解：△BMN為等邊三角形，理由為：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠AEB＝∠DCB，
又∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠MBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
即∠MBE＝∠NBC＝60°，
在△MBE和△NBC中，
，
∴△MBE≌△NBC（ASA），
∴BM＝BN，∠MBE＝60°，
則△BMN為等邊三角形．
（3）解：∵△ABE≌△DBC，
∴∠EAB＝∠BDC，
∵∠AMB＝∠DMG，
∴∠ABM＝∠DGM，
∵△ABD是等邊三角形，
∴∠ABM＝60°，
∴∠DGM＝∠ABM＝60°，
∴∠AGC＝120°．
7．（2020秋?牡丹江期中）已知△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC，△ADE為等腰直角三角形，AD＝AE，點D在直線BC上，連接CE．
（1）若點D在線段BC上，如圖1，求證：CE＝BC﹣CD；
（2）若D在CB延長線上，如圖2，若D在BC延長線上，如圖3，其他條件不變，又有怎樣的結(jié)論？請分別寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不需要證明；
（3）若CE＝10，CD＝4，則BC的長為 ．
【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE是等腰三角形，AB＝AC AD＝AE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠BCA＝45°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△DAB與△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD，
∴CE＝CB﹣CD；
（2）解：當(dāng)點D在CB的延長線上時，結(jié)論：CE＝CD﹣BC，
理由如下：∵△ABC和△ADE是等腰三角形，AB＝AC AD＝AE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠BCA＝45°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△DAB與△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵DC＝BD+BC，
∴CE＝CD﹣BC；
當(dāng)點D在BC的延長線上時，結(jié)論：CE＝BC+CD，
理由：同當(dāng)點D在BC的延長線上時的方法得△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∴CE＝BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD；
（3）解：由（2）知，△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∵CE＝10，
∴BD＝10，
∵CD＝4，
∴點D在線段BC上或在BC的延長線上，
當(dāng)點D在線段BC的上時，由（1）知，CE＝BC﹣CD，
∴BC＝CE+CD＝10+4＝14，
當(dāng)點D在BC的延長線上時，由（2）知，CE＝BC+CD，
∴BC＝CE﹣CD＝10﹣4＝6，
8．（2020秋?天河區(qū)校級期中）如圖所示，直線AB交x軸于點A（4，0），交y軸于點B（0，﹣4）．
（1）如圖1，若C的坐標(biāo)為（﹣1，0），且AH⊥BC于點H，AH交OB于點P，求證：△OAP≌△OBC；
（2）如圖2，若點D為AB的中點，點M為y軸正半軸上一動點，連接MD，過D作DN⊥DM交x軸于N點，當(dāng)M點在y軸正半軸上運(yùn)動的過程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．
【解答】解（1）∵點A的坐標(biāo)為（4，0），點B的坐標(biāo)為（0，﹣4），
∴OA＝OB，
∵∠AOP＝90°，∠BHP＝90°，
∴∠AOP＝∠BHP，
∵∠APO＝∠BPH，
∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA）；
（2）式子S△BDM﹣S△ADN的值不發(fā)生改變，
理由如下：如圖2，連接OD，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，點D為AB的中點，
∴OD⊥AB，OD＝OA＝OB，∠BOD＝∠AOD＝∠OAD＝45°，
∴∠MOD＝135°，∠NAD＝135°，
∴∠MOD＝∠NAD，
∵∠ODA＝∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA，
在△MOD和△NAD中，
，
∴△MOD≌△NAD（ASA），
∴S△MOD＝S△NAD，
∵S△AOB＝×4×4＝8，
∵點D為AB的中點，
∴S△DOB＝×S△AOB＝×8＝4，
∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△MOD＝S△DOB＝4．
9．（2018秋?蔡甸區(qū)期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，0）、B（0，7）、C（7，0），
∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．
（1）求證：∠ABO＝∠CAD；
（2）求四邊形ABCD的面積；
（3）如圖2，E為∠BCO的鄰補(bǔ)角的平分線上的一點，且∠BEO＝45°，OE交BC于點F，求BF的長．
【解答】解：（1）在四邊形ABCD中，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，
∵∠BAC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAD；
（2）過點A作AF⊥BC于點F，作AE⊥CD的延長線于點E，作DG⊥x軸于點G，
∵B（0，7），C（7，0），
∴OB＝OC，
∴∠BCO＝45°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCO＝∠DCO＝45°，
∵AF⊥BC，AE⊥CD，
∴AF＝AE，∠FAE＝90°，
∴∠BAF＝∠DAE，
在△ABF和△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴AB＝AD，
同理，△ABO≌△DAG，
∴DG＝AO，BO＝AG，
∵A（﹣3，0）B（0，7），
∴D（4，﹣3），
S四ABCD＝AC?（BO+DG ）＝50；
（3）過點E作EH⊥BC于點H，作EG⊥x軸于點G，
∵E點在∠BCO的鄰補(bǔ)角的平分線上，
∴EH＝EG，
∵∠BCO＝∠BEO＝45°，
∴∠EBC＝∠EOC，
在△EBH和△EOG中，
，
∴△EBH≌△EOG（AAS），
∴EB＝EO，
∵∠BEO＝45°，
∴∠EBO＝∠EOB＝67.5°，又∠OBC＝45°，
∴∠BOE＝∠BFO＝67.5°，
∴BF＝BO＝7．
10．（洪山區(qū)期中）如圖，直線AB交x軸于點A（a，0），交y軸于點B（0，b），且a、b滿足|a+b|+（a﹣5）2＝0
（1）點A的坐標(biāo)為 ，點B的坐標(biāo)為 ；
（2）如圖，若點C的坐標(biāo)為（﹣3，﹣2），且BE⊥AC于點E，OD⊥OC交BE延長線于D，試求點D的坐標(biāo)；
（3）如圖，M、N分別為OA、OB邊上的點，OM＝ON，OP⊥AN交AB于點P，過點P作PG⊥BM交AN的延長線于點G，請寫出線段AG、OP與PG之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．
【解答】解：（1）∵|a+b|+（a﹣5）2＝0，
∴a＝5，b＝﹣5，
∴點A的坐標(biāo)為（5，0），點B的坐標(biāo)為
（0，﹣5），
故答案為：（5，0）；（0，﹣5）；
（2）過C作CK⊥x軸，過D作DF⊥y軸，
∵∠AED＝∠BOK＝90°，
∴∠DBO＝∠OAC，
∵∠AOB+∠BOC＝∠BOK+∠BOC＝90°+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC與△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（ASA），
∴OC＝OD，
在△OCK與△ODF中，
，
∴△OCK≌△ODF（AAS），
∴DF＝CK，OK＝OF，
∴D（﹣2，3）；
（3）延長GP到L，使PL＝OP，連接AL，
在△AON與△BOM中，
，
∴△AON≌△BOM，
∴∠OAN＝∠OBM，
∴∠MBA＝∠NAB，
∵PG⊥BM，OP⊥AN，
∴∠NAB+∠OPA＝∠MBA+∠GPB＝90°，
∴∠OPA＝∠GPB＝∠APL，
在△OAP與△PAL中，
，
∴△OAP≌△PAL，
∴∠POA＝∠L，∠OAP＝∠PAL＝45°，
∴∠OAL＝90°，
∴∠POA＝90°﹣∠POB，∠GAL＝90°﹣∠OAN，
∵∠POB+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAN＝90°，
∴∠POB＝∠OAN，
∴∠POA＝∠GAL，
∴∠POA＝∠GAL＝∠L，
∴AG＝GL，
∴AG＝GL＝GP+PL＝GP+OP．
11．（2022秋?博羅縣期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有點B（﹣1，0）和y軸上一動點A（0，a），其中a＞0，以A點為直角頂點在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABC，設(shè)點C的坐標(biāo)為（c，d）．
（1）當(dāng)a＝2時，則C點的坐標(biāo)為（ ， ）；
（2）動點A在運(yùn)動的過程中，試判斷c+d的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由．
（3）當(dāng)a＝2時，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點P（不與點C重合），使△PAB與△ABC全等？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）如圖，過點C作CE⊥y軸于E，則∠CEA＝∠AOB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BA，∠BAC＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°＝∠BAO+∠CAE，
∴∠ACE＝∠BAO，
在△ACE和△BAO中，
，
∴△ACE≌△BAO（AAS），
∵B（﹣1，0），A（0，2），
∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝2，
∴OE＝1+2＝3，
∴C（﹣2，3），
故答案為：﹣2，3；
（2）動點A在運(yùn)動的過程中，c+d的值不變．
過點C作CE⊥y軸于E，則∠CEA＝∠AOB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BA，∠BAC＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°＝∠BAO+∠CAE，
∴∠ACE＝∠BAO，
在△ACE和△BAO中，
，
∴△ACE≌△BAO（AAS），
∵B（﹣1，0），A（0，a），
∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，
∴OE＝1+a，
∴C（﹣a，1+a），
又∵點C的坐標(biāo)為（c，d），
∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不變；
（3）存在一點P，使△PAB與△ABC全等，
分為三種情況：
①如圖，過P作PE⊥x軸于E，則∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，
∴∠EPB+∠PBE＝90°，∠PBE+∠ABO＝90°，
∴∠EPB＝∠ABO，
在△PEB和△BOA中，
，
∴△PEB≌△BOA（AAS），
∴PE＝BO＝1，EB＝AO＝2，
∴OE＝2+1＝3，
即P的坐標(biāo)是（﹣3，1）；
②如圖，過C作CM⊥x軸于M，過P作PE⊥x軸于E，則∠CMB＝∠PEB＝90°，
∵△CAB≌△PAB，
∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP，
∴∠CBP＝90°，
∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90°，
∴∠MCB＝∠PBE，
在△CMB和△BEP中，
，
∴△CMB≌△BEP（AAS），
∴PE＝BM，CM＝BE，
∵C（﹣2，3），B（﹣1，0），
∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2，
即P的坐標(biāo)是（2，1）；
③如圖，過P作PE⊥x軸于E，則∠BEP＝∠BOA＝90°，
∵△CAB≌△PBA，
∴AB＝BP，∠CAB＝∠ABP＝90°，
∴∠ABO+∠PBE＝90°，∠PBE+∠BPE＝90°，
∴∠ABO＝∠BPE，
在△BOA和△PEB中，
，
∴△BOA≌△PEB（AAS），
∴PE＝BO＝1，BE＝OA＝2，
∴OE＝BE﹣BO＝2﹣1＝1，
即P的坐標(biāo)是（1，﹣1），
綜合上述，符合條件的P的坐標(biāo)是（﹣3，1）或（2，1）或（1，﹣1）．
12．（花都區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（4，0），B（0，4），點C是x軸負(fù)半軸上的一動點，連接BC，過點A作直線BC的垂線，垂足為D，交y軸于點E．
（1）如圖（1），
①判斷∠BCO與∠AEO是否相等（直接寫出結(jié)論，不需要證明）．
②若OC＝2，求點E的坐標(biāo)．
（2）如圖（2），若OC＜4，連接DO，求證：DO平分∠ADC．
（3）若OC＞4時，請問（2）的結(jié)論是否成立？若成立，畫出圖形，并證明；若不成立，說明理由．
【解答】（1）解：①∠BCO＝∠AEO，
理由如下：∵∠ADC＝90°，
∴∠BCO+∠DAC＝90°，
∵∠AOE＝90°，
∴∠AEO+∠DAC＝90°，
∴∠BCO＝∠AEO；
②∵點A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB，
在△BOC和△AOE中，
，
∴△BOC≌△AOE（AAS）
∴OE＝OC＝2，
∴點E的坐標(biāo)為（0，2）；
（2）證明：如圖（2），作OG⊥BC于G，OH⊥AE于H，
∵△BOC≌△AOE，OG⊥BC，OH⊥AE，
∴OG＝OH，又OG⊥BC，OH⊥AE，
∴DO平分∠ADC；
（3）畫出圖形，如圖（3），
證明：作OG⊥BC于G，OH⊥AE于H，
∵△BOC≌△AOE，OG⊥BC，OH⊥AE，
∴OG＝OH，又OG⊥BC，OH⊥AE，
∴DO平分∠ADC．

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