1．（2019·上海寶山·七年級(jí)期末）把四張形狀大小完全相同的小長(zhǎng)方形卡片(如圖①)不重疊地放在一個(gè)底面為長(zhǎng)方形(長(zhǎng)為m，寬為n)的盒子底部(如圖②)，盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖②中兩塊陰影部分的周長(zhǎng)和是( )
A．4mB．4nC．2(m＋n)D．4(m－n)
【答案】B
【分析】本題需先設(shè)小長(zhǎng)方形卡片的長(zhǎng)為a，寬為b，再結(jié)合圖形得出上面的陰影周長(zhǎng)和下面的陰影周長(zhǎng)，再把它們加起來(lái)即可求出答案．
【詳解】解：設(shè)小長(zhǎng)方形卡片的長(zhǎng)為a，寬為b，
∴L上面的陰影=2（n-a+m-a）,
L下面的陰影=2（m-2b+n-2b）,
∴L總的陰影=L上面的陰影+L下面的陰影
=2（n-a+m-a）+2(m-2b+n-2b)
=4m+4n-4（a+2b），
又∵a+2b=m，
∴4m+4n-4(a+2b)=4n，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的加減運(yùn)算，在解題時(shí)要根據(jù)題意結(jié)合圖形得出答案是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）將多項(xiàng)式加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為另一個(gè)整式的完全平方，下列添加單項(xiàng)式錯(cuò)誤的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：分四種情況：
（1）添加中間項(xiàng)，故可添加2x或 -2x，構(gòu)成完全平方式；
（2）添加左邊項(xiàng)（視為中間項(xiàng)），則可添加；
（3）添加右邊項(xiàng)（視1為中間項(xiàng)），則可添加，但不是單項(xiàng)式，故不符合題意；
（4）考慮到與1都是平方式，故可添加或-1；綜上所述可以添加的單項(xiàng)式有2x或 -2x或或或-1；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．
3．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如果一個(gè)三角形的三邊、、，滿足，那么這個(gè)三角形一定是（ ）
A．等邊三角形B．等腰三角形C．不等邊三角形D．直角三角形
【答案】B
【分析】由已知推出=0即（a-b）（b-c）=0，即可判定三角形邊的關(guān)系.
【詳解】解：
=0
（a-b）（b-c）=0
即：a=b或b=c，則三角形一定為等腰三角形；
故答案為B.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形形狀的判定，其關(guān)鍵在于對(duì)等式的變形，推導(dǎo)出a、b、c的關(guān)系.
二、填空題
4．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）用黑白兩種顏色的正方形紙片，按黑色紙片數(shù)逐次加1的規(guī)律拼成一列圖案：
第n個(gè)圖案含有白色紙片______________張．
【答案】##1+3n
【分析】觀察圖形可知：白色紙片在4的基礎(chǔ)上，以此多3個(gè)；根據(jù)此規(guī)律得出第n個(gè)圖案中有多少白色紙片即可．
【詳解】解：第1個(gè)圖白色紙片有（3+1）個(gè)；第2個(gè)圖案有（3×2+1）個(gè)；第3個(gè)圖案有（3×3+1）個(gè)；那么第n個(gè)圖案有（3×n+1）個(gè)即．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的探索規(guī)律，能從題目圖形中提取有用信息是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）將連續(xù)自然數(shù)1-36按下圖方式排成一個(gè)長(zhǎng)方形陣列，用一個(gè)小長(zhǎng)方形任意圈出其中9個(gè)數(shù)，設(shè)圈出的9個(gè)數(shù)的中心數(shù)為n，用含n的代數(shù)式表示這9個(gè)數(shù)的和為_(kāi)__________．
【答案】9n
【分析】設(shè)圈出的9個(gè)數(shù)的中心的數(shù)為n，表示出其余8個(gè)數(shù)，求出之和即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，9個(gè)數(shù)的中心數(shù)為n，
則第2列三個(gè)數(shù)從上到下分別為：n-6、n、n+6；其和為3n；
那么第一列三個(gè)數(shù)分別為：n-7、n-1、n+5，其和為3n-3；
第三列三個(gè)數(shù)分別為：n-5、n+1、n+7，其和為3n+3；
故9個(gè)數(shù)之和為：3n+3n-3+3n+3=9n．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，列代數(shù)式，以及數(shù)字的規(guī)律變化類，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．
6．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）已知P為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，△ABC的面積為a，B1、C1分別為AB、AC上的中點(diǎn)，則△PB1C1的面積為，B2、C2分別為B1B、C1C上的中點(diǎn)，則△PB2C2的面積為，B3、C3分別為B2B、C2C上的中點(diǎn)，則△PB3C3的面積為，B4、C4分別為B3B、C3C上的中點(diǎn)，則△PB4C4的面積為，按此規(guī)律可知，△PB7C7的面積為_(kāi)__________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意和數(shù)據(jù)找出規(guī)律，就可以得到△PB7C7的面積．
【詳解】解：當(dāng)B1、C1分別為AB、AC的中點(diǎn)時(shí)，△PB1C1的面積為；
當(dāng)B2、C2分別為BB1、CC1的中點(diǎn)時(shí)，則△PB2C2的面積為；
當(dāng)B3、C3分別為BB2、CC2的中點(diǎn)時(shí)，則△PB3C3的面積為；
當(dāng)B4、C4分別為BB3、CC3的中點(diǎn)時(shí)，則△PB4C4的面積為；
…
當(dāng)Bn、Cn分別為BBn﹣1、CCn﹣1的中點(diǎn)時(shí)，則△PBnCn的面積為；
按此規(guī)律可知，△PB7C7的面積為．
故答案為: ．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積及有理數(shù)的乘方運(yùn)算，根據(jù)數(shù)據(jù)找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·上海·七年級(jí)期末）如圖，用長(zhǎng)度相等的小木棒搭成的三角形網(wǎng)格，當(dāng)層數(shù)為n時(shí)，所需小木棒的根數(shù)為_(kāi)_______________．
【答案】
【分析】分別列出一層、二層、三層、四層這四個(gè)圖形中所含小三角形個(gè)數(shù)和所需小木棒的根數(shù)，得出n層時(shí)，所需小木棒的根數(shù)為3×（1+2+···+n）即可．
【詳解】解：當(dāng)n=1時(shí)，木棒根數(shù)為3×1；
當(dāng)n=2時(shí)，木棒根數(shù)為3×（1+2）；
當(dāng)n=3時(shí)，3×（1+2+3），
依次規(guī)律，當(dāng)層數(shù)為n時(shí)，
小木棒的根數(shù)為3×（1+2+3+…+n）=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形規(guī)律列代數(shù)式，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題關(guān)鍵．
8．（2022·上?！ば轮谐跫?jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如果二次三項(xiàng)式可以分解為，則__________．
【答案】4
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，把展開(kāi)，再根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等進(jìn)行求解即可．
【詳解】
故答案為：4.
【點(diǎn)睛】此題考查多項(xiàng)式的乘法，解題關(guān)鍵在于展開(kāi)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等.
9．（2022·上海·七年級(jí)期末）規(guī)定，若，則_______________．
【答案】5
【分析】根據(jù)題中所給出的式子列出關(guān)于x的式子，再合并同類項(xiàng)即可．
【詳解】∵規(guī)定，
∴=?5（x2?3）?2（3x2＋5）=?5x2＋15?6x2?10=?11x2＋5＝4，
∴-11x2＝?1，
∴-1+6=5，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的加減，根據(jù)題意列出關(guān)于x的式子是解答此題的關(guān)鍵．
10．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）觀察下列規(guī)律：
①, ②,；
③， ④，
請(qǐng)你用字母（為正整數(shù)）來(lái)表示這一規(guī)律：________________.
【答案】
【分析】等式左邊是連續(xù)奇數(shù)之積，右邊利用平方差即可得出結(jié)果.
【詳解】；
…
所以第n個(gè)式子為：.
【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用，根據(jù)式子特點(diǎn)，聯(lián)想平方差公式得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
11．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如果，，那么_________.
【答案】30
【分析】利用積的乘方公式，將式子改寫(xiě)后代入條件求值.
【詳解】
【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方公式的應(yīng)用，利用公式將式子改寫(xiě)是解題的關(guān)鍵.
12．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）觀察下列各式：；；；，根據(jù)上述規(guī)律， 計(jì)算：?____________.這個(gè)值的個(gè)位數(shù)字是_________.
【答案】 5.
【分析】根據(jù)各式的規(guī)律可用n表示出一個(gè)通式，將所求式子乘以1，即2-1，利用通式即可得出答案；再由可得個(gè)位數(shù)字分別為2,4,8,6循環(huán)，且64÷4=16，即可得出結(jié)果的個(gè)位數(shù)字.
【詳解】根據(jù)各式規(guī)律可得：
根據(jù)以上規(guī)律可得：
∵
且64÷4=16
∴個(gè)位上的數(shù)字為6
則的個(gè)位數(shù)字為5.
故答案為，5.
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，認(rèn)真觀察各式，根據(jù)指數(shù)的變化情況總結(jié)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵.
13．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）已知：那么=______
【答案】38
【分析】根據(jù)題意，把兩邊同時(shí)平方，然后移項(xiàng)即可得到答案.
【詳解】解：根據(jù)題意，由，
∴，
∴，
故答案為38.
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方變形求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式的運(yùn)用.
14．（2022·上海·七年級(jí)期末）已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式4x2﹣mx+25是完全平方式，則常數(shù)m的值為_(kāi)________
【答案】±20
【詳解】m=.
15．（2022·上海普陀·七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝50°，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC（點(diǎn)D、E分別與點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)），如果∠ACD與∠ACE的度數(shù)之比為3：2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于180°時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為 _____．
【答案】或
【分析】分兩種情況：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于50°時(shí)和當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于50°時(shí)，分別畫(huà)出圖形，由∠ACD與∠ACE的度數(shù)之比為3：2，求出∠ACE，即可得到旋轉(zhuǎn)角度數(shù)．
【詳解】解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于50°時(shí)，如圖：
∵∠ACB＝50°，△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，
∴∠DCE＝50°，
∵∠ACD與∠ACE的度數(shù)之比為3：2，
∴∠ACE＝×50°＝20°，
∴旋轉(zhuǎn)角∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°，
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于50°時(shí)，如圖：
∵∠ACD與∠ACE的度數(shù)之比為3：2，∠DCE＝∠ACB＝50°，
∴∠ACE＝2∠DCE＝100°，
∴旋轉(zhuǎn)角∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝150°，
故答案為：30°或150°．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，是重要考點(diǎn)，掌握分類討論法是解題關(guān)鍵．
16．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，在的正方形的網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．圖中的為格點(diǎn)三角形，在圖中最多能畫(huà)出______個(gè)不同的格點(diǎn)三角形與成軸對(duì)稱．
【答案】5
【分析】畫(huà)出所有與成軸對(duì)稱的三角形．
【詳解】解：如圖所示：
和對(duì)稱，
和對(duì)稱，
和對(duì)稱，
和對(duì)稱，
和對(duì)稱，
故答案是：5．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是掌握畫(huà)軸對(duì)稱圖形的方法．
17．（2022·上海·七年級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，那么正方形ABCD繞點(diǎn)M至少旋轉(zhuǎn)_________度與它本身重合．
【答案】360
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義即可得．
【詳解】點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，不是正方形ABCD的中心，
正方形ABCD繞點(diǎn)M至少旋轉(zhuǎn)360度才能與它本身重合，
故答案為：360．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，掌握理解定義是解題關(guān)鍵．
18．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）長(zhǎng)為5，寬為的長(zhǎng)方形紙片（），如圖那樣翻折，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形寬度的正方形（成為第一次操作）；再把剩下的長(zhǎng)方形如圖那樣翻折，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)長(zhǎng)方形寬度的正方形（稱為第二次操作）；若在第3次操作后，剩下的圖形為正方形，則的值為_(kāi)_________．
【答案】3或
【分析】先根據(jù)題意可知：當(dāng)＜a＜20時(shí)，第一次操作后剩下的矩形的長(zhǎng)為a、寬為5-a，第二次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為5-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為5-a、2a-5，然后分別從5-a＞2a-5與5-a＜2a-5去分析且列出一元一次方程求解即可得出正確答案．
【詳解】解：由題意可知：
當(dāng)＜a＜5時(shí)，
第一次操作后剩下的矩形的長(zhǎng)為a、寬為5-a，
∴第二次操作時(shí)剪下正方形的邊長(zhǎng)為5-a，
第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為5-a、2a-5．
此時(shí)，分兩種情況：
①如果5-a＞2a-5，則a＜，
即＜a＜，
那么第三次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為2a-5．
則2a-5=(5-a)-(2a-5)，
解得a=3；
②如果5-a＜2a-5，則a＞，
即＜a＜20，
那么第三次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為5-a．
則5-a=(2a-5)-(5-a)，
解得a=．
∴當(dāng)n=3時(shí)，a的值為3或．
故答案為:3或．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、一元一次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是 掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用以及注意折疊中的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
19．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）若a2+a﹣1=0，則代數(shù)式a4+3a的值為_(kāi)____．
【答案】2
【詳解】∵，
∴，，
∴.
20．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）下列圖形由大小相等的等邊三角形組成：圖1為一個(gè)白三角形；圖2在圖1外部，畫(huà)了3個(gè)黑三角形；圖3在圖2外部，畫(huà)了6個(gè)白三角形；圖4在圖3外部，畫(huà)了9個(gè)黑三角形；圖5在圖4外部，畫(huà)了12個(gè)白三角形；……；以此類推，那么圖（為大于1的整數(shù)）在前一個(gè)圖外部，畫(huà)了___個(gè)三角形（用含有的代數(shù)式表示）
【答案】3(n-1).
【分析】結(jié)合圖形，通過(guò)5幅圖中，后一幅圖比前一幅增加的三角形數(shù)量與序數(shù)之間的關(guān)系總結(jié)規(guī)律即可解答.
【詳解】解：觀察圖形可知，
第2幅圖比第1幅圖增加的三角形數(shù)量：3=3×1，
第3幅圖比第2幅圖增加的三角形數(shù)量：6=3×2，
第4幅圖比第3幅圖增加的三角形數(shù)量：9=3×3，
第5幅圖比第4幅圖增加的三角形數(shù)量：12=3×4，
如此可得規(guī)律為，圖（為大于1的整數(shù)）比前一個(gè)圖多了3(n-1)個(gè)三角形，
故答案為3(n-1).
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律的探索，通過(guò)示例圖形，根據(jù)問(wèn)題進(jìn)行規(guī)律的總結(jié)是解題關(guān)鍵.
21．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）若a, b, c 滿足，則________
【答案】
【分析】關(guān)鍵整式的乘法法則運(yùn)算，并整體代入變形即可.
【詳解】因?yàn)?br>所以 ，即
因?yàn)?br>所以
因?yàn)?br>所以
因?yàn)?br>所以
即


因?yàn)?br>即


故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的乘法，熟練掌握乘法法則并會(huì)對(duì)算式進(jìn)行變形是關(guān)鍵.
22．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）正數(shù)滿足，那么______．
【答案】64
【分析】將式子因式分解為(a-c)(b+2)=0，求得a=c,同理可得a=b=c,再=12可化為a2+4a-12=0，求出a的值，再求得值即可．
【詳解】解：∵，
∴ab-bc+2(a-c)=0,
即(a-c)(b+2)=0,
∵b﹥0,
∴b+2≠0,
∴a-c=0,
∴a=c,
同理可得a=b,b=c,
∴a=b=c,
∴=12可化為a2+4a-12=0
∴(a+6)(a-2)=0,
∵a為正數(shù)，
∴a+6≠0,
∴a-2=0,
∴a=2,
即a=b=c=2,
∴(2+2) ×(2+2) ×(2+2)=64
故答案為64．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用；能夠?qū)⑺o式子進(jìn)行正確的因式分解是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
23．（2022·上海·七年級(jí)期末）閱讀理解：對(duì)于形如這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式，就不能直接運(yùn)用公式了．此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)，使它與的和成為一個(gè)完全平方式，再減去，整個(gè)式子的值不變，于是有：＝＝＝＝，像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”．
請(qǐng)利用“配方法”進(jìn)行因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）都要如題中舉例，先對(duì)整式進(jìn)行配方，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解，注意（2）中配方時(shí)冪的指數(shù)要正確．
（1）
原式＝＝＝＝；
（2）
＝＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用完全平方公式進(jìn)行配方、利用平方差公式進(jìn)行因式分解，解題中注意整體法的運(yùn)用．
24．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，將邊長(zhǎng)為a的正方形的邊長(zhǎng)增加b，得到一個(gè)邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形.在圖1的基礎(chǔ)上，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)解釋驗(yàn)證(a+b)2=a2+2ab+b2的方案（詳見(jiàn)方案1）
方案1.如圖2，用兩種不同的方式表示邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形的面積.
方式1：S=(a+b)2
方式2：S=S1+S2+S3+S4=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
因此，(a+b)2=a2+2ab+b2
(1)請(qǐng)模仿方案1，在圖1的基礎(chǔ)上再設(shè)計(jì)一種方案，用以解釋驗(yàn)證(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)如圖3，在邊長(zhǎng)為a的正方形紙片上剪掉邊長(zhǎng)為b的正方形，請(qǐng)?jiān)诖嘶A(chǔ)上再設(shè)計(jì)一個(gè)方案用以解釋驗(yàn)證a2-b2=(a+b)(a-b).
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)a2-b2=(a+b)(a-b)
【分析】（1）先根據(jù)大正方形的邊長(zhǎng)求出面積，再根據(jù)部分面積之和等于整體面積計(jì)算大正方形的面積，根據(jù)面積相等，列出等式.
（2）圖3剩余部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積，剩余部分的面積根據(jù)矩形面積公式即可得出，根據(jù)它們的面積相等可得等式．
（1）
解：如圖所示：
，
即；
（2）
如圖所示：
用兩種不同的方式表示在邊長(zhǎng)為的正方形紙片上剪掉邊長(zhǎng)為的正方形后剩余的面積.
方式1：
方式2：
因此，
【點(diǎn)睛】本題是一道利用面積驗(yàn)證完全平方公式以及平方差公式的題目，需要掌握?qǐng)D形面積的表示方法.
25．（2022·上海寶山·七年級(jí)期末）小明在進(jìn)行兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算時(shí)，不小心把乘錯(cuò)抄成除以，結(jié)果得到，如果小明沒(méi)有錯(cuò)抄題目，并且計(jì)算依然正確，那么得到的結(jié)果應(yīng)該是什么？
【答案】3x3-12x2y+12xy2
【分析】根據(jù)被除式=商×除式，所求多項(xiàng)式是3x（x-2y），根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算即可．
【詳解】解：第一個(gè)多項(xiàng)式是：3x（x-2y）=3x2-6xy，
正確的結(jié)果應(yīng)該是：（3x2-6xy）（x-2y）
=3x3-6x2y-6x2y+12xy2
=3x3-12x2y+12xy2．
【點(diǎn)睛】題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，根據(jù)被除式、除式、商三者之間的關(guān)系列出等式是解題的關(guān)鍵，熟練掌握運(yùn)算法則也很重要．
26．（2022·上海浦東新·七年級(jí)期末）記，令，我們稱為這列數(shù)的“理想數(shù)”．例如：，則，，則．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出 ．
（2）如果，那么 ．
（3）已知的“理想數(shù)”為2004，那么8，的“理想數(shù)”是多少？
【答案】（1）；（2）80；（3）2008．
【分析】（1）先根據(jù)“理想數(shù)”的定義列出式子，再計(jì)算整式的加法即可得；
（2）先根據(jù)“理想數(shù)”的定義列出式子，再計(jì)算整式的加法，結(jié)合即可得；
（3）先根據(jù)“理想數(shù)”的定義可得一個(gè)關(guān)于的等式，再根據(jù)“理想數(shù)”的定義列出式子進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】解：（1），
故答案為：；
（2），
，
，
，
，
解得，
故答案為：80；
（3）由題意得：，
則，
即，
所以，
設(shè)的“理想數(shù)”是，
則，
，
，
，
，
，
故的“理想數(shù)”是2008．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式加法的應(yīng)用，掌握理解“理想數(shù)”的定義是解題關(guān)鍵．
27．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，現(xiàn)將長(zhǎng)方形向右平移，再向下平移后到長(zhǎng)方形的位置，
（1）當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)方形ABCD與長(zhǎng)方形A'B'C'D'的重疊部分面積等于________．
（2）如圖，用的代數(shù)式表示長(zhǎng)方形ABCD與長(zhǎng)方形的重疊部分的面積．
（3）如圖，用的代數(shù)式表示六邊形的面積．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)平移方向和距離可求出重疊部分的長(zhǎng)和寬，從而可求出重疊部分的面積；
（2）用x表示出重疊部分的長(zhǎng)和寬，然后根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式列式整理即可；
（3）利用平移前后長(zhǎng)方形的面積和加上兩個(gè)正方形的面積，然后再送去重疊部分的面積列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】解：（1）將長(zhǎng)方形向右平移，再向下平移
所以，重疊部分的長(zhǎng)為：10-4=6cm，寬為：8-5=3cm；
因此，重疊部分的面積為：；
（2）∵，，
∴重疊部分的長(zhǎng)為（10-x）cm，寬為[8-(x+1)]cm，
∴重疊部分的面積=
= ．
=
（3）
=．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)和整式的混合運(yùn)算，認(rèn)準(zhǔn)圖形，準(zhǔn)確列出所求部分的面積是解題的關(guān)鍵．
28．（2022·上海·七年級(jí)期末）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為a，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)G在邊上，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上，交邊于點(diǎn)H．連接、．
（1）用a，b表示的面積，并化簡(jiǎn)；
（2）如果點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、、，
①用a，b表示的面積，并化簡(jiǎn)；
②比較的面積和的面積的大?。?br>【答案】（1）；（2）①，②．
【分析】（1）延長(zhǎng)DC和EF交于點(diǎn)N，根據(jù)圖可知，求出和即可．
（2）①同理延長(zhǎng)DC和EF交于點(diǎn)N，根據(jù)圖可知，求出、和即可．
②用即可得到完全平方式，即可知，從而判斷的面積大于的面積．
【詳解】（1）延長(zhǎng)DC和EF交于點(diǎn)N，如圖，
∴，
∵，．
∴．
（2）①如圖，同樣延長(zhǎng)DC和EF交于點(diǎn)N．
∴．
根據(jù)題意可知NF=a-b．
∵M(jìn)為AE中點(diǎn)，AE=a+b，
∴，
∴，
即，
整理得：．
②，即，
∵，
∴，即．
故的面積大于的面積．
．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，整式的混合運(yùn)算以及完全平方式的運(yùn)用．作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
29．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17
請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問(wèn)題：
（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值
（2）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF作正方形，求陰影部分的面積．
【答案】（1）5；（2）28．
【分析】（1）設(shè)（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根據(jù)已知等式確定出所求即可；
（2）設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為x，進(jìn)而表示出MF與DF，求出陰影部分面積即可．
【詳解】解：（1）設(shè)（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，
則（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，
a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE＝1，CF＝3，
∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
∴（x﹣1）?（x﹣3）＝48，
∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴陰影部分的面積＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
設(shè)（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，
則（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，
a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴a＝8，b＝6，a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即陰影部分的面積是28．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，應(yīng)從整體和部分兩方面來(lái)理解完全平方公式的幾何意義，主要圍繞圖形面積展開(kāi)分析．
30．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）若將邊長(zhǎng)為 a 、b 的正方形 ABCD 按圖 ① 中的比例進(jìn)行分割，可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形A1 B1C1D1 不重疊、無(wú)縫隙），如圖②所示.
（1）根據(jù)圖①可以拼成圖②的面積關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出 a 、b 之間存在的關(guān)系式；
（2）已知圖③中，四邊形 QMNG 與四邊形EFGH 分別是以 a 、b 長(zhǎng)為邊的正方形與圖①中的 a 、b 相同），在圖 3 已有的四邊形中，面積相等的四邊形有幾組？請(qǐng)分別寫(xiě)出.
【答案】(1) (2)2組，矩形的面積=正方形的面積和矩形的面積=正方形的面積
【分析】(1)根據(jù)正方形、矩形的面積公式計(jì)算；
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得到，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：(1)由題意可得：
；
(2)由(1)可知,，
，
矩形的面積，
正方形的面積，
矩形的面積=正方形的面積，
則矩形的面積=正方形的面積。
【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于對(duì)于圖形面積的結(jié)合，利用面積相等去寫(xiě)出等式即可.
31．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“賈憲三角（賈憲是北宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家）”就是一例．如圖1，這個(gè)三角形中的數(shù)字給出了（n為正整數(shù)）的展開(kāi)式（按字母的降冪排列）的系數(shù)規(guī)律．例如：如圖2，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)是1，2,1，恰好對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1,3,3,1，恰好對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中的系數(shù)
（1）請(qǐng)根據(jù)上面的規(guī)律，寫(xiě)出 的展開(kāi)式
（2）利用上面的規(guī)律計(jì)算：
【答案】（1）;（2）.
【分析】（1）由，可得的各項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)除首尾兩項(xiàng)都是1外，其余各項(xiàng)系數(shù)都等于的相鄰兩個(gè)系數(shù)的和，由此可得的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、4、6、4、1；
（2）將寫(xiě)成“楊輝三角”的展開(kāi)式形式，逆推可得結(jié)果．
【詳解】（1）
（2）
【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化類，解題關(guān)鍵在于掌握規(guī)律型即可求解.
32．（2022·上海·七年級(jí)期末）已知多項(xiàng)式，多項(xiàng)式.當(dāng)x=1時(shí)，多項(xiàng)式A和B的值分別為4和2，求當(dāng)x=-1時(shí)，多項(xiàng)式A的值.
【答案】0.
【分析】由題意可得a+b+c+d+e+f=4，b+d+f=2，從而可求得a+c+e的值，繼而可求得當(dāng)x=-1時(shí)A的值.
【詳解】由題意可知當(dāng)x=1時(shí)，A=a+b+c+d+e+f=4，B=b+d+f=2，
所以a+c+e=2，
所以當(dāng)x=-1時(shí)，A=-a+b-c+d-e+f=-（a+c+e）+（b+d+f）=-2+2=0.
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的值，理解題意，正確得到a+c+e的值是解題的關(guān)鍵.
33．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)為的大正方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，分別將他們按照?qǐng)D①和圖②的形式擺放，
（1）用含有的代數(shù)式分別表示陰影面積： , ， .
（2）若，求的值；
（3）若，，，求出圖③中的陰影部分面積.
【答案】（1）a2-4ab+4b2；a2-2ab+b2；2b2-ab；（2）-34；（3）38
【分析】（1）用含a和b的代數(shù)式表示出兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)面積公式可得S1，S2的面積；用大正方形的面積減去左側(cè)長(zhǎng)方形的面積和兩個(gè)正方形的面積可得S3的面積；
（2）把S1和S3代入，整理后根據(jù)完全平方公式變形，然后把代入計(jì)算即可；
（3）由，，，可求出a2，b2，ab的值，然后用割補(bǔ)法求解即可.
【詳解】（1）∵圖①中間小正方形的邊長(zhǎng)是2b-a，
∴S1=(2b-a)2=a2-4ab+4b2；
∵圖①左上角正方形的邊長(zhǎng)a-b，
∴S2=(a-b)2=a2-2ab+b2；
S3= 2b2-ab；
（2）∵，
∴=2(a2-4ab+4b2)-3(2b2-ab)
=2a2+2b2-5ab
=2(a+b)2-9ab
=200-234
=-34；
（3）∵，，，
∴，
∴a2=76，b2=34，ab=50，
S陰影=a2+b2-b(a+b)- a2+b(a-b)
=a2
=38.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形之間的面積關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算，恰當(dāng)進(jìn)行代數(shù)式變形是解答本題的關(guān)鍵．．
34．（2022·上海·七年級(jí)期末）小麗是個(gè)愛(ài)思考的學(xué)生，最近，她發(fā)現(xiàn)一些特殊的兩位數(shù)乘法，如21x29=609：23x27=621：31x39=1209：52 x 58=3016…其因數(shù)和計(jì)算結(jié)果都存在一定的規(guī)律，（1）試寫(xiě)出一個(gè)與上述算式具有同樣特征的算式 ．
（2）為了反映上述規(guī)律，如果設(shè)其中一個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)字為a，個(gè)位上的數(shù)字為b，那么該因數(shù)可表示為 ，另一個(gè)因數(shù)可表示為 ，計(jì)算結(jié)果可表示為 ，從而上述算式的特征和規(guī)律可用一個(gè)等式表示為 ．
（3）試運(yùn)用你所學(xué)的知識(shí)說(shuō)明（2）中寫(xiě)出的等式是正確的．
【答案】（1）34×36＝1224；（2）10a＋b，10a＋10?b，100a（a＋1）＋b（10?b），（10a＋b）（10a＋10?b）＝100a（a＋1）＋b（10?b）；（3）見(jiàn)解析
【分析】（1）規(guī)律的算式其結(jié)果都等于十位數(shù)與十位數(shù)加1乘積的100倍再加上個(gè)位數(shù)的乘積即可得；
（2）根據(jù)總結(jié)的規(guī)律解答即可；
（3）根據(jù)整式的運(yùn)算即可驗(yàn)證其左右兩邊是否相等．
【詳解】（1）寫(xiě)出一個(gè)與上述算式具有同樣特征的算式為：34×36＝1224，
故答案為34×36＝1224；
（2）為了反映上述規(guī)律，如果設(shè)其中一個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，那么該因數(shù)可表示為10a＋b，另一個(gè)因數(shù)可表示為10a＋10?b，計(jì)算結(jié)果可表示為100a（a＋1）＋b（10?b），從而上述算式的特征和規(guī)律可用一個(gè)等式表示為：（10a＋b）（10a＋10?b）＝100a（a＋1）＋b（10?b）；
故答案為10a＋b，
10a＋10?b，
100a（a＋1）＋b（10?b），
（10a＋b）（10a＋10?b）＝100a（a＋1）＋b（10?b）；
（3）左邊＝100a2＋100a?10ab＋10ab＋10b?b2＝100a2＋100a＋10b?b2＝100a（a＋1）＋b（10?b）＝右邊，
∴（10a＋b）（10a＋10?b）＝100a（a＋1）＋b（10?b）,正確.
【點(diǎn)睛】此題主要考查運(yùn)算規(guī)律探索與運(yùn)用，認(rèn)真觀察算式中存在的規(guī)律，并結(jié)合它們靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，在證明中，整式的運(yùn)算法則是基礎(chǔ)．
35．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）閱讀下列例題的解題過(guò)程，再解答下面問(wèn)題
例題：已知，,求的值
解：
問(wèn)題：（1）已知，，求的值；
（2）已知的值
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）將等式化簡(jiǎn)，變形得出含有，的項(xiàng)，代入計(jì)算即可；
（2）將等式化簡(jiǎn)，變形得出含有，的項(xiàng)，代入計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）
當(dāng)，時(shí)
原式
（2）
當(dāng)，時(shí)，
原式
【點(diǎn)睛】此題考查了代數(shù)式化簡(jiǎn)求值，懂得將，化簡(jiǎn)成含有已知條件的情況，是解本題的關(guān)鍵．
36．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）已知：；，求
【答案】
【分析】先變成am×am+1的形式，再代入，最后把整式化簡(jiǎn)即可．
【詳解】∵；，
∴
=
=
=
.
【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)用，能利用同底數(shù)冪的乘法將化成是解決本題的關(guān)鍵，本題多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘展開(kāi)式較長(zhǎng)，一定要細(xì)心，在合并同類項(xiàng)時(shí)不能出現(xiàn)遺漏.
37．（2022·上海·七年級(jí)期末）如圖，有A型、B型、C型三種不同的紙板，其中A型：邊長(zhǎng)為a厘米的正方形；B型：長(zhǎng)為a厘米，寬為1厘米的長(zhǎng)方形；C型：邊長(zhǎng)為1厘米的正方形.
（1）A型2塊，B型4塊，C型4塊，此時(shí)紙板的總面積為 平方厘米；
①?gòu)倪@10塊紙板中拿掉1塊A型紙板，剩下的紙板在不重疊的情況下，可以緊密的排出一個(gè)大正方形，這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為 厘米；
②從這10塊紙板中拿掉2塊同類型的紙板，使得剩下的紙板在不重疊的情況下，可以緊密地排出兩個(gè)相同的大正方形，請(qǐng)問(wèn)拿掉的是2塊哪種類型的紙板？（計(jì)算說(shuō)明）
（2）A型12塊，B型12塊，C型4塊，從這28塊紙板中拿掉1塊紙板，使得剩下的紙板在不重疊的情況下，可以緊密地排出三個(gè)相同形狀的大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)為 .
【答案】（1）；①；②2塊C類；（2）.
【分析】（1）利用正方形的面積公式即可求解；①把（1）求得的總面積減去a2，然后利用完全平方公式因式分解，即可得到大正方形的邊長(zhǎng)；②把（1）求得的總面積減去2，利用完全平方公式因式分解，可得正方形的邊長(zhǎng)，故需拿掉2塊C類型的紙板；
（2）先求出這28塊紙板的總面積，再把它配方，再得到需要拿掉的紙板與大正方形的面積.
【詳解】（1）A型2塊，B型4塊，C型4塊，此時(shí)紙板的總面積為平方厘米；
①∵==，
∴這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為厘米；
②從這10塊紙板中拿掉2塊C類型的紙板，使得剩下的紙板在不重疊的情況下，可以緊密地排出兩個(gè)相同的大正方形，理由如下:
-2=,此時(shí)的兩個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為厘米；
（2）A型12塊，B型12塊，C型4塊，從這28塊紙板的面積為.
∵緊密地排出三個(gè)相同形狀的大正方形，
∴=
故需拿掉1塊C類型紙板，此時(shí)三個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為cm.
【點(diǎn)睛】此題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的變形運(yùn)用.
38．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：
（1）在④和⑤后面的橫線上分別寫(xiě)出相應(yīng)的等式；
④ ；⑤ ；
（2）根據(jù)上面算式的規(guī)律，請(qǐng)計(jì)算：1+3+5+…+99= ；
（3）通過(guò)猜想寫(xiě)出與第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式．
【答案】（1）1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52；（2）2500．（3）第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式：1+3+5+7…+2n﹣1=n2．
【分析】（1）有圖形即可得到所填的式子；
（2）從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)之和等于數(shù)個(gè)數(shù)的平方，令n=50即可求出所求式子的值；
（3）根據(jù)前面的等式的規(guī)律得到第n個(gè)點(diǎn)陣圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有n2個(gè)，它有從1開(kāi)始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，于是得到1+3+5+7+…+（2n-1）=n2．
【詳解】解：（1）④中，為從1開(kāi)始4個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，即1+3+5+7=42，
同理⑤中有1+3+5+7+9=52．
故答案為1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52．
（2）1+3+5+…+99=502=2500，
故答案為2500．
（3）（n≥1的整數(shù)）．
39．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）計(jì)算：
【答案】
【分析】先計(jì)算乘方，再化簡(jiǎn)分式，最后相加即可．
【詳解】解：
=
＝
=
=
=
=
=．
【點(diǎn)睛】考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和分式的加減法，解題關(guān)鍵是熟記其計(jì)算法則和運(yùn)算順序．
40．（2022·上海普陀·七年級(jí)期末）計(jì)算：．
【答案】
【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、乘法公式、分式的除法和減法運(yùn)算法則計(jì)算求解即可．
【詳解】解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、乘法公式、分式的除法和減法運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于正確的計(jì)算．
41．（2022·上海·七年級(jí)期末）閱讀下列材料，解決問(wèn)題：
在處理分?jǐn)?shù)和分式問(wèn)題時(shí)，有時(shí)由于分子比分母大，或者分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)往往難度比較大，這時(shí)我們可以考慮逆用分?jǐn)?shù)（分式）的加減法，將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（或整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)和（或差）的形式，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單式的分析來(lái)解決問(wèn)題，我們稱為分離整數(shù)法，此法在處理分式或整除問(wèn)題時(shí)頗為有效，現(xiàn)舉例說(shuō)明．
將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：＝．
這樣，分式就拆分成一個(gè)整式x﹣2與一個(gè)分式的和的形式．
（1）將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為 ．
（2）已知整數(shù)x使分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x＝ ．
【答案】（1）；（2）2或4或-10或16
【分析】（1）按照定義拆分即可，＝．
（2）先將拆分為一個(gè)整式與一個(gè)分式的和的形式，＝，若要值為整數(shù)，只需為整數(shù)即可，故x=2或4或-10或16．
【詳解】（1）
＝
．
（2）
＝
若要值為整數(shù)，只需為整數(shù)即可
當(dāng)x=2時(shí)
當(dāng)x=4時(shí)
當(dāng)x=-10時(shí)
當(dāng)x=16時(shí)
故x=2或4或-10或16．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)構(gòu)造新形式以及求使分式值為整數(shù)的未知數(shù)，理解逆用分?jǐn)?shù)加減法的化簡(jiǎn)方法是解題的關(guān)鍵．
42．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）為了應(yīng)對(duì)特殊時(shí)期，某口罩生產(chǎn)企業(yè)需要在若干天內(nèi)加工個(gè)口罩，在實(shí)際生產(chǎn)中，由于提高了生產(chǎn)技術(shù)水平，每天加工的個(gè)數(shù)為原來(lái)的倍，從而提前天完成任務(wù)
（1）問(wèn)該企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少個(gè)口罩？
（2）如果該企業(yè)按原計(jì)劃的工作效率加工了個(gè)口罩后，才將效率提高到原來(lái)的倍，則該企業(yè)完成這批口罩工作任務(wù)共用了多少天？（所得結(jié)果用含有的代數(shù)式表示：為大于零的整數(shù)）
【答案】（1）企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)2000個(gè)口罩；（2）該企業(yè)完成這批口罩工作任務(wù)共用了天
【分析】（1）設(shè)企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)個(gè)口罩，則提高效率后每天生產(chǎn)個(gè)口罩，根據(jù)“原計(jì)劃比實(shí)際多用2天完成”列出分式方程即可求出結(jié)論；
（2）根據(jù)“總時(shí)間=以原計(jì)劃的工作效率加工個(gè)口罩所用時(shí)間＋以提高效率后的工作效率加工（12000－a）個(gè)所用時(shí)間”即可求出結(jié)論．
【詳解】解：（1）設(shè)企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)個(gè)口罩，則提高效率后每天生產(chǎn)個(gè)口罩，
根據(jù)題意可得
解得：x=2000
經(jīng)檢驗(yàn)：x=2000是原方程的解，且符合題意
答：企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)2000個(gè)口罩．
（2）根據(jù)題意，該企業(yè)完成這批口罩工作任務(wù)共用（天）
答：該企業(yè)完成這批口罩工作任務(wù)共用了天．
【點(diǎn)睛】此題考查的是分式方程的應(yīng)用和利用代數(shù)式表示實(shí)際意義，掌握實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
43．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）在某班小組學(xué)習(xí)的過(guò)程中，同學(xué)們碰到了這樣的問(wèn)題：“已知，，，求的值”．根據(jù)已知條件中式子的特點(diǎn)，同學(xué)們會(huì)想起，于是問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：“已知，，，求的值”，這樣解答就方便了
（1）通過(guò)閱讀，試求的值；
（2）利用上述解題思路，請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：已知，求的值
【答案】（1）7；（2）34．
【分析】（1）將已知的三個(gè)等式，左右兩邊分別相加即可得；
（2）先根據(jù)已知等式可得，再利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】（1）由題意知，，
由①②③得：，
解得，
則；
（2）由得：，
則，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)與運(yùn)算、完全平方公式，熟練掌握分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
44．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定：．
例如：，，．
（1）填空：________；_______；_________；
（2）猜想：_________，并證明你的結(jié)論；
（3）求值：．
【答案】（1），，1；（2），證明見(jiàn)解析；（3）．
【分析】（1）根據(jù)給出的規(guī)定計(jì)算即可；
（2）根據(jù)給出的規(guī)定證明；
（3）運(yùn)用加法的交換律結(jié)合律，再根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算可求得結(jié)果．
【詳解】解：（1） =， =，,+=1，
（2），
理由為：
，
則．
（3）原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的加減，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．
45．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中.
【答案】.
【分析】先括號(hào)內(nèi)的代數(shù)式因式分解尋找最簡(jiǎn)公分母并進(jìn)行通分，再按照分式的除法法則運(yùn)算即可.
【詳解】解：原式=
代入，則原式=，
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，通過(guò)因式分解確定最簡(jiǎn)公分母是解題關(guān)鍵.
46．（2022·上海·七年級(jí)期末）如圖（1），已知中，，BC＝a，AC＝b，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．
(1)聯(lián)結(jié)，請(qǐng)直接寫(xiě)出是 三角形，并求出的面積．（用含字母a、b的代數(shù)式表示）
(2)將向左平移，使點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)落在AC邊上，標(biāo)記為，A點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)標(biāo)記為，請(qǐng)?jiān)趫D（2）中畫(huà)出平移后的圖形，聯(lián)結(jié)、．如果AB＝3，求四邊形的面積．
【答案】(1)等腰直角；
(2)圖見(jiàn)解析；
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可直接得知， 為等腰直角三角形；利用割補(bǔ)法求解三角形面積：，可通過(guò)計(jì)算出后面三個(gè)圖形面積化簡(jiǎn)得到答案；
（2）畫(huà)出圖形后可知，分別計(jì)算出后面兩個(gè)三角形的面積得到四邊形的面積．
(1)
等腰直角三角形；
延長(zhǎng)BC、交于D點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)得BC＝＝a，AC＝＝b，＝＝；
(2)
按要求畫(huà)出圖形；由題意可得：，
∴
＝
＝＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、割補(bǔ)法求解圖形面積，其中熟練掌握割補(bǔ)法求解圖形面積的技巧是解題關(guān)鍵．
47．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)M是線段CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AM，AB＝a，BM＝b．
(1)將線段AM沿著射線AD方向平移，使得點(diǎn)A與點(diǎn)D重合． 用代數(shù)式表示線段AM掃過(guò)平面部分的面積 ．（直接寫(xiě)出答案）
(2)將三角形ABM繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，點(diǎn)M落在點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)MN． 用代數(shù)式表示三角形CMN的面積 ．（直接寫(xiě)出答案）
(3)將三角形ABM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的三角形有一邊與正方形的一邊完全重合（第（2）小題的情況除外）．請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫(huà)出符合條件的3種情況，并寫(xiě)出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角．
【答案】(1)
(2)
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的面積計(jì)算即可；
（2）根據(jù)三角形的面積計(jì)算即可；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出圖形得出旋轉(zhuǎn)中心和角度即可．
（1）
解：線段AM掃過(guò)的平面部分的面積為；
故答案為：
（2）
解：將△ABM繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖所示，
則，，
∴△CMN的面積為＝＝，
故答案為：
（3）
①如圖1：旋轉(zhuǎn)中心：AB邊的中點(diǎn)O；順時(shí)針180°；
②如圖2：旋轉(zhuǎn)中心：點(diǎn)B；順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；
③如圖3：旋轉(zhuǎn)中心：正方形對(duì)角線交點(diǎn)O；順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角解答．
48．（2022·上海普陀·七年級(jí)期末）如圖1，長(zhǎng)方形紙片ABCD（AD＞AB），點(diǎn)O位于邊BC上，點(diǎn)E位于邊AD上，將紙片沿OE折疊，點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C′、D′．
(1)當(dāng)點(diǎn)C′與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2，如果AD＝12，CD＝8，聯(lián)結(jié)CE，那么△CDE的周長(zhǎng)是 ；
(2)如果點(diǎn)F位于邊AB上，將紙片沿OF折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′．
①當(dāng)點(diǎn)B′恰好落在線段OC′上時(shí)，如圖3，那么∠EOF的度數(shù)為 ；（直接填寫(xiě)答案）
②當(dāng)∠B′OC′＝20°時(shí)，作出圖形，并寫(xiě)出∠EOF的度數(shù)．
【答案】(1)；
(2)①；②見(jiàn)解析，
【分析】（1）證明DE+EC＝AD＝12，可得結(jié)論；
（2）①利用角平分線的定義以及平角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；
②分兩種情形，分別畫(huà)出圖形，利用角平分線的定義，平角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
（1）
解：如圖2中，點(diǎn)C′與點(diǎn)A重合時(shí)，
由翻折的性質(zhì)可知，EA＝EC，
∴DE+EC＝DE+EA＝AD＝12，
∴△CDE的周長(zhǎng)＝DE+EC+CD＝12+8＝20．
故答案為：20；
（2）
①如圖，
由翻折的性質(zhì)可知，∠BOF＝∠B′OF，∠EOC＝∠EOC′，
∵∠BOC＝180°，
∴∠EOF＝∠EOB′+∠FOB′＝（∠COB′+∠BOB′）＝∠BOC＝90°．
故答案為：90°；
②如圖，當(dāng)OB′在OC′的下方時(shí)，
∵∠B′OC′＝20°，
∴∠BOB′+∠COC′＝180°﹣20°＝160°，
∵∠FOB′＝∠BOB′，∠EOC′＝∠COC′，
∴∠FOB′+∠EOC′＝×160°＝80°，
∴∠EOF＝∠FOB′+∠EOC′+∠B′OC′＝100°．
如圖，當(dāng)OB′在OC′的上方時(shí)，
∵∠B′OC′＝20°，
∴∠BOB′+∠COC′＝180°+20°＝200°，
∵∠FOB′＝∠BOB′，∠EOC′＝∠COC′，
∴∠FOB′+∠EOC′＝×200°＝100°，
∴∠EOF＝∠FOB′+∠EOC′﹣∠B′OC′＝80°．
綜上所述，∠EOF的度數(shù)為100°或80°
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，幾何圖形中角度的計(jì)算，分類討論是解題的關(guān)鍵．
49．（2022·上海普陀·七年級(jí)期末）如圖，已知四邊形ABCD和直線MN．
(1)畫(huà)出四邊形A1B1C1D1，使四邊形A1B1C1D1與四邊形ABCD關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱；
(2)畫(huà)出四邊形A2B2C2D2，使四邊形A2B2C2D2與四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱；
(3)四邊形A1B1C1D1與四邊形A2B2C2D2的位置關(guān)系是 ．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)見(jiàn)解析；
(3)關(guān)于直線成軸對(duì)稱．
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可畫(huà)出四邊形A1B1C1D1，使四邊形A1B1C1D1與四邊形ABCD關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱；
（2）根據(jù)中心對(duì)稱性質(zhì)即可畫(huà)出四邊形A2B2C2D2，使四邊形A2B2C2D2與四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱；
（3）結(jié)合以上畫(huà)圖確定四邊形A1B1C1D1與四邊形A2B2C2D2的位置關(guān)系即可．
（1）
解：如圖，A1B1C1D1即為所求；
（2）
解：如圖，A2B2C2D2即為所求；
（3）
解：如圖可知: 四邊形A1B1C1D1與四邊形A2B2C2D2關(guān)于直線CO成軸對(duì)稱．
故答案為：關(guān)于直線CO成軸對(duì)稱．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、中心對(duì)稱的性質(zhì)以及抽對(duì)稱圖形的識(shí)別，掌握軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．
50．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)（與A，B兩點(diǎn)不重合），將繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使與重合，這時(shí)點(diǎn)E落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)．
（1）按照題目要求畫(huà)出圖形；
（2）若正方形邊長(zhǎng)為3，，求的面積；
（3）若正方形邊長(zhǎng)為m，，比較與的面積大小，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4；（3），見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意去旋轉(zhuǎn)，畫(huà)出圖象；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，求出AE和AF的長(zhǎng)，即可求出的面積；
（3）用（2）的方法表示出的面積，再用四邊形AECF的面積減去的面積得到的面積，比較它們的大?。?br>【詳解】（1）如圖所示：
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，
∴，，
∴；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及利用割補(bǔ)法求三角形面積的方法．
51．（2022·上海·七年級(jí)期末）如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)在小方格頂點(diǎn)上（小方格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度），按下列要求畫(huà)出圖形和回答問(wèn)題：
（1）在圖中畫(huà)出：繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后的圖形；
（2）在圖中畫(huà)出：（1）中的關(guān)于直線MN的軸對(duì)稱的圖形；
（3）在（2）中的可以用原通過(guò)怎樣的一次運(yùn)動(dòng)得到的？請(qǐng)你完整地描述這次運(yùn)動(dòng)的過(guò)程．
【答案】（1）圖見(jiàn)解析；（2）圖見(jiàn)解析；（3）將沿著翻折一次可得到．
【分析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義畫(huà)出點(diǎn)，再順次連接即可得；
（2）先根據(jù)軸對(duì)稱的定義畫(huà)出點(diǎn)，再順次連接即可得；
（3）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，與重合，再根據(jù)翻折的定義即可得．
【詳解】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義畫(huà)出點(diǎn)，再順次連接即可得，如圖所示：
（2）先根據(jù)軸對(duì)稱的定義畫(huà)出點(diǎn)，再順次連接即可得，如圖所示：
（3）由旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的性質(zhì)得：，，與重合，
則將沿著翻折一次即可得到．
【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形、畫(huà)軸對(duì)稱圖形、圖形的翻折，熟練掌握?qǐng)D形的運(yùn)動(dòng)是解題關(guān)鍵．
52．（2022·上海·七年級(jí)期末）已知點(diǎn)A（﹣1，3a﹣1）與點(diǎn)B（2b+1，﹣2）關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)C（a+2，b）與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）順次聯(lián)結(jié)點(diǎn)A、D、B、C，求所得圖形的面積．
【答案】（1）點(diǎn)A（?1，2），B（?1，?2），C（3，?1），D（?3，1）；（2）圖見(jiàn)詳解，12．
【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，分別求出a，b的值，進(jìn)而求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）把這些點(diǎn)按A?D?B?C?A順次連接起來(lái)，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算其面積即可．
【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A（?1，3a?1）與點(diǎn)B（2b＋1，?2）關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴2b＋1＝?1，3a?1＝2，
解得a＝1，b＝?1，
∴點(diǎn)A（?1，2），B（?1，?2），C（3，?1），
∵點(diǎn)C（a＋2，b）與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)D（?3，1）；
（2）如圖所示：
四邊形ADBC的面積為：×4×2＋×4×4＝12．
【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖?軸對(duì)稱變換，熟知關(guān)于x、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．
53．（2022·上?！ば轮谐跫?jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形方格的格點(diǎn)上．
（1）寫(xiě)出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)：A______，B_______，C______．
（2）畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1．
（3）△A1B1C1的面積為_(kāi)______．
【答案】（1）（﹣1，3），（2，0），（﹣3，﹣1）；（2）見(jiàn)解析；（3）9．
【分析】（1）利用點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法求解；
（2）先根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫(xiě)出A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；
（3）用一個(gè)矩形的面積分別減去三個(gè)三角形的面積去計(jì)算△A1B1C1的面積．
【詳解】（1）A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）；
（2）如圖，△A1B1C1為所作；
（3）△A1B1C1的面積＝4×5﹣×4×2﹣×3×3﹣×5×1＝9．
故答案為（﹣1，3），（2，0），（﹣3，﹣1）；9．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對(duì)稱變換：幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋?huà)一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開(kāi)始的．
54．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2）．設(shè)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C，點(diǎn)A繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ；
點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ；
點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ；
（2）順次聯(lián)結(jié)點(diǎn)A、B、C、D，那么四邊形ABCD的面積是 ．
【答案】（1）（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（2，﹣3）；（2）25
【分析】（1）由題意根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)為相反數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，橫坐標(biāo)為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，橫縱坐標(biāo)都為相反數(shù)，以及利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行分析即可．
（2）根據(jù)題意直接利用矩形面積減去兩個(gè)三角形求出即可．
【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為B，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣3，2），
∵點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣3，﹣2），
∵點(diǎn)A繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，﹣3），
故答案為：（﹣3，2），（﹣3，﹣2），（2，﹣3）；
（2）順次連接點(diǎn)A、B、C、D，
那么四邊形ABCD的面積是：5×6﹣×1×5﹣×1×5＝25．
故答案為：25.
【點(diǎn)睛】本題考查在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸，y軸及原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)橫縱坐標(biāo)的符號(hào)以及圖形面積求法，正確掌握點(diǎn)的變換坐標(biāo)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
55．（2022·上海·七年級(jí)期末）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)如圖所示．
（1）請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)：
點(diǎn)A1的坐標(biāo)是 ；
點(diǎn)B1的坐標(biāo)是 ；
點(diǎn)C1的坐標(biāo)是 ．
（2）將點(diǎn)A1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ．
（3）若點(diǎn)B1與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ．
（4）將C1沿x軸翻折得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ．
（5）分別聯(lián)結(jié)AB、BC、AC，得到△ABC，則△ABC的面積是 ．
【答案】（1）（3，0）；（﹣5，﹣3）；（3，2）；（2）（0，3）；（3）（5，3）；（4）（3，﹣2）；（5）．
【分析】（1）根據(jù)在坐標(biāo)系所處的位置即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（4）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（5）以AB為底，利用三角形的面積公式即可得到△ABC的面積．
【詳解】解：（1）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)如圖所示：
點(diǎn)A1的坐標(biāo)是（3，0）；點(diǎn)B1的坐標(biāo)是 （﹣5，﹣3）；點(diǎn)C1的坐標(biāo)是 （3，2），
故答案為：（3，0）；（﹣5，﹣3）；（3，2）；
（2）將點(diǎn)A1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，3），
故答案為：（0，3）；
（3）若點(diǎn)B1與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，3），
故答案為：（5，3）；
（4）將C1沿x軸翻折得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，﹣2），
故答案為：（3，﹣2）；
（5）分別連接AB、BC、AC，得到△ABC，則△ABC的面積是：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱，中心對(duì)稱，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).
56．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如圖1，，，,把繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，同時(shí)繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)停止旋轉(zhuǎn)時(shí)也隨之停止旋轉(zhuǎn).設(shè)旋轉(zhuǎn)后的兩個(gè)角分別記為、，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒.
（1）如圖2，直線垂直于，將沿直線翻折至，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的度數(shù)，不必說(shuō)明理由；
（2）如圖1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若射線與重合時(shí)，求的值；
（3）如圖1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的值，不必說(shuō)明理由.
【答案】（1） ；（2）；（3）5秒或9秒
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出∠MOD=MOD′=60°， 根據(jù)角的和差求出∠MOB，進(jìn)而可求出BOD′的值；
（2）求出∠BOC=70°，然后根據(jù)射線與重合時(shí)，射線比多走了70°列方程求解即可；
（3）分相遇前和相遇后兩種情況列方程求解即可．
【詳解】解：（1）如圖2，
∵，，，
∴∠MOD=MOD′=150°-90°=60°， ∠MOB=90°-50°=40°，
∴BOD′=60°-40°=20°；
（2）∵，，，
∴∠BOC=70°．
由題意得
20t-10t=70，
∴t=7；
（3）①相遇前，由題意得
20t-10t=70-20，
∴t=5；
②相遇后，由題意得
20t-10t=70+20，
∴t=9；
綜上可知，當(dāng)時(shí)，的值是5秒或9秒．
【點(diǎn)睛】本題考查的是用方程的思想解決角的旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
57．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，在的方格紙中，將向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到,關(guān)于直線對(duì)稱的圖形為，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得.
（1）在方格紙中畫(huà)出、和；
（2）在、和中，哪兩個(gè)三角形成軸對(duì)稱？
（3）在、和中，哪兩個(gè)三角形成中心對(duì)稱？
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）和；（3）△ABC和
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)圖即可；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的定義，觀察圖形解答即可；
（3）根據(jù)中心對(duì)稱的定義，觀察圖形解答即可；
【詳解】（1）如圖，、和即為所求；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的定義，和成軸對(duì)稱；
（3）根據(jù)中心對(duì)稱的定義，△ABC和成中心對(duì)稱；
【點(diǎn)睛】本題考查了平移作圖、軸對(duì)稱作圖、旋轉(zhuǎn)作圖，熟練掌握平移的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及中心對(duì)稱的定義是解答本題的關(guān)鍵．
58．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）在中，點(diǎn)在邊上，聯(lián)結(jié).
如圖，將沿著翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，若平分，則的值等于 ；

若.將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)，則的面積等于 .
【答案】(1)120;(2)3或9.
【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)列方程求解即可；
（2）分別按順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°兩種情畫(huà)出圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】解：（1）∵將沿著翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，
∴=,
∵平分，
∴∠ADB= =n°.
∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴n°+ n°=180°
解之得,n=120.
故答案為120.
(2)①當(dāng)△ABC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí),如圖所示:
∵是由繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,
∴ , ,
∵CD=4,
∴ =4-2=2.
∴的面積= =3;
②當(dāng)△ABC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí),如圖所示:
∵是由繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,
∴ , ,
∴.
∴的面積= =9.
綜上所述, 的面積等于3或9.
故答案為3或9.
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
59．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，在一個(gè)10×10的正方形網(wǎng)格中有一個(gè)△ABC．
（1）在網(wǎng)格中畫(huà)出△ABC向下平移4個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位得到的△A1B1C1；
（2）在網(wǎng)格中畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)P逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2；
（3）在（1）（2）的畫(huà)圖基礎(chǔ)上，聯(lián)結(jié)B1C2、A2C1，若小正方形的單位長(zhǎng)度為1，請(qǐng)求出四邊形A2C2B1C1的面積.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）根據(jù)平移的規(guī)律找到出平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，順次連接即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出旋轉(zhuǎn)后各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，順次連接即可；
（3）依據(jù)割補(bǔ)法進(jìn)行計(jì)算，即可得到四邊形A2C2B1C1的面積.
【詳解】（1）（2）如下圖所示；
（3）
.
【點(diǎn)睛】本題考查的是平移變換與旋轉(zhuǎn)變換作圖，作平移圖形時(shí)，找關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是關(guān)鍵的一步；作旋轉(zhuǎn)后的圖形的依據(jù)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，要注意旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和角度．
60．（2022·上海·七年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B在y軸的正半軸上，且OB＝2OA，將線段AB繞著A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B落在點(diǎn)C處．
（1）分別求出點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）在x軸上有一點(diǎn)D，使得△ACD的面積為3，求：點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】（1）B（0，4），C（2，﹣2） （2）D（1，0）或（﹣5，0）
【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；
（2）設(shè)D（m，0），由題意得?|m﹣2|?2＝3，即可求解.
【詳解】解：（1）由圖象可知，B（0，4），C（2，﹣2）；
（2）設(shè)D（m，0），由題意
?|m﹣2|?2＝3，
解得m＝﹣5和1，
∴D（1，0）或（﹣5，0）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形的變化，熟練掌握?qǐng)D形變化是解題的關(guān)鍵.
61．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）在三角形中，（如圖），將三角形繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到三角形（點(diǎn)、分別與點(diǎn)、對(duì)應(yīng)），如果與的度數(shù)之比為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于且小于時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).
【答案】50°或200°.
【分析】分CE在AC左側(cè)和右側(cè)兩種情況進(jìn)行分析求解，當(dāng)CE在AC左側(cè)時(shí)，+=80°；當(dāng)CE在AC右側(cè)時(shí)，=+80°.
【詳解】解：①當(dāng)CE在AC左側(cè)時(shí)，
由圖可知，+=80°，
再由與的度數(shù)之比為可得，，即旋轉(zhuǎn)角為50°；
②當(dāng)CE在AC右側(cè)時(shí)，
由圖可知，=+80°，
再由與的度數(shù)之比為可得，，即旋轉(zhuǎn)角為200°；
故旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50°或200°.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵.本題第一種情況較為簡(jiǎn)單，容易想到，而第二種情況則很容易忽略，要結(jié)合題干條件多作嘗試和全面思考，才能考慮所有情況.
62．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）填空：已知多項(xiàng)式________是一個(gè)完全平方.（請(qǐng)?jiān)跈M線上填上所以的適當(dāng)?shù)膯雾?xiàng)式.）
【答案】
【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．
【詳解】解：完全平方公式 ，分情況討論：
（1）當(dāng)相當(dāng)于項(xiàng)時(shí)， ，可滿足題意；
（2）當(dāng)相當(dāng)于項(xiàng)時(shí)，，可滿足題意；
（3）當(dāng)與相當(dāng)于a與b，則需要求的是項(xiàng)，則，可滿足題意.
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，以及單項(xiàng)式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
63．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）因式分解：
【答案】
【分析】先分組分解后提取公因式即可.
【詳解】
【點(diǎn)睛】本題考查的是分解因式，能正確的進(jìn)行分組是關(guān)鍵.
64．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）已知：，，，設(shè)，，，……，
（1）計(jì)算___________，____________，____________
（2）寫(xiě)出，，，四者之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，直接寫(xiě)出的值是_____________
【答案】（1）5，4，13；（2），見(jiàn)解析；（3）38
【分析】（1）s2=a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=1+4=5，由(a+b+c)3=﹣2(a3+b3+c3)+6abc+3(a2+b2+c2)，可求s3，由變形可求s4；
（2）sn=sn﹣1?(a+b+c)﹣(an﹣1b+an﹣1c+abn﹣1+cbn﹣1+acn﹣1+bcn﹣1)=sn﹣1?(a+b+c)﹣[sn﹣2?(ab+ac+bc)﹣abcn﹣2﹣abn﹣2c﹣an﹣2bc]=sn﹣1?(a+b+c)﹣sn﹣2?(ab+ac+bc)+sn﹣3?abc，將已知條件代入即可；
（3）利用所求關(guān)系式可得：s5=s4+2s3﹣s2=13+8﹣5=16，則s6=s5+2s4﹣s3=16+26﹣4=﹣38．
【詳解】（1）s2=a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=1+4=5，
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc=a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(a+c)+3c2(a+b)+6abc．
∵a+b+c=1，abc=﹣1，
∴(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2(1-a)+3b2(1-b)+3c2(1-c)+6abc
∴(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2-3a3+3b2-3b3+3c21-3c3+6abc
∴(a+b+c)3=﹣2(a3+b3+c3)-6+3(a2+b2+c2)，
∴s3=a3+b3+c3=4．
∵ab+bc+ac=-2，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
∴
∴s4=a4+b4+c4=13．
故答案為：5，4，13；
（2）關(guān)系為sn=sn﹣1﹣2sn﹣2﹣sn﹣3；理由：
sn=sn﹣1?(a+b+c)﹣(an﹣1b+an﹣1c+abn﹣1+cbn﹣1+acn﹣1+bcn﹣1)=sn﹣1?(a+b+c)﹣[sn﹣2?(ab+ac+bc)﹣abcn﹣2﹣abn﹣2c﹣an﹣2bc]=sn﹣1?(a+b+c)﹣sn﹣2?(ab+ac+bc)+sn﹣3?abc．
∵a+b+c=1，ab+bc+ca=﹣2，abc=﹣1，
∴sn=sn﹣1+2sn﹣2﹣sn﹣3；
（3）∵s5=s4+2s3﹣s2=13+8﹣5=16，
∴s6=s5+2s4﹣s3=16+26﹣4=﹣38，
∴a6+b6+c6的為38．
故答案為：38．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用；理解題意，將已知式子進(jìn)行合理的變形，再運(yùn)用因式分解進(jìn)行求解是解答本題的關(guān)鍵．
65．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）在長(zhǎng)方形中，，現(xiàn)將長(zhǎng)方形向上平移，再向左平移后到長(zhǎng)方形的位置(的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，其它類似)．
當(dāng)時(shí)，請(qǐng)畫(huà)出平移后的長(zhǎng)方形，并求出長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方形的重疊部分的面積．
當(dāng)滿足什么條件時(shí)，長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方形有重疊部分(邊與邊疊合不算在內(nèi))，請(qǐng)用的代數(shù)式表示重疊部分的面積．
在平移的過(guò)程中，總會(huì)形成一個(gè)六邊形，試用來(lái)表示六邊形的面積．
【答案】（1）長(zhǎng)方形見(jiàn)詳解，重疊部分的面積=；（2）重疊部分的面積=，；（3）．
【分析】（1）根據(jù)題意，畫(huà)出長(zhǎng)方形，進(jìn)而可得重疊部分的面積；
（2）根據(jù)題意得長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方形的重疊部分的長(zhǎng)為，寬為，從而得重疊部分的面積，由重疊部分的長(zhǎng)與寬的實(shí)際意義，列出關(guān)于x的不等式組，進(jìn)而即可求解；
（3）延長(zhǎng)A1D1，CD交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)A1B1，CB交于點(diǎn)N，根據(jù)割補(bǔ)法，求出六邊形的面積，即可．
【詳解】（1）長(zhǎng)方形，如圖所示：
∵在長(zhǎng)方形中，，將長(zhǎng)方形向上平移，再向左平移后到長(zhǎng)方形的位置，
∴長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方形的重疊部分的面積=；
（2）∵，將長(zhǎng)方形向上平移，再向左平移后到長(zhǎng)方形的位置，
∴長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方形的重疊部分的長(zhǎng)為，寬為，
∴重疊部分的面積=，
∵且且，
∴；
（3）延長(zhǎng)A1D1，CD交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)A1B1，CB交于點(diǎn)N，
六邊形的面積=
=
=．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的平移變換以及用代數(shù)式表示幾何圖形的數(shù)量關(guān)系，掌握平移變換的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
66．（2018·上海楊浦·七年級(jí)期末）用冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算：．（結(jié)果表示為含冪的形式）
【答案】
【分析】先將、、轉(zhuǎn)化為底數(shù)為2和3的形式，然后按照同底冪的乘法、除法法則運(yùn)算可得．
【詳解】解：原式
【點(diǎn)睛】本題考查負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是將底數(shù)不同的指數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的形式．
67．（2022·上海·七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，（b＞a＞0），將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△．
(1)畫(huà)出△．
(2)將△ABC沿射線CB方向平移，平移后得△．
①當(dāng)平移距離等于a（點(diǎn)C2和點(diǎn)B重合）時(shí)，求四邊形的面積．（用a，b的代數(shù)式表示）
②若a＝1，b＝2，當(dāng)△的面積和△的面積相等時(shí)，平移距離多少？（直接寫(xiě)出答案）
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)①四邊形的面積為，②平移距離為2.5或3.5
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和方向，畫(huà)出示意圖即可；
（2）①把四邊形的面積分割成梯形與三角形的面積之和計(jì)算即可；
②設(shè)平移的距離為h，分h小于a+b和大于a+b，兩種情形求解即可．
（1）
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫(huà)圖如下，
則△即為所求．
（2）
①當(dāng)平移距離等于a（點(diǎn)C2和點(diǎn)B重合）時(shí)，如圖所示，
=
=．
②∵a＝1，b＝2，如圖2所示，設(shè)平移的距離為h，
當(dāng)△的面積和△面積相等時(shí)，根據(jù)題意，得，
∴，
解得h=2.5；
∵a＝1，b＝2，如圖3所示，設(shè)平移的距離為h，
當(dāng)△的面積和△面積相等時(shí)，根據(jù)題意，得，
∴，
解得h=3.5；
∴當(dāng)△的面積和△面積相等時(shí)，平移距離為2.5或3.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，圖形面積分割法計(jì)算，正確進(jìn)行圖形分割和分類計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
68．（2022·上海·新中初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）已知是等邊三角形．
（1）將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到，BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O．
①如圖a，當(dāng)時(shí)，與是否全等？ （填“是”或“否”）， 度；
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時(shí)，求的度數(shù)；
（2）如圖c，在AB和AC上分別截取點(diǎn)和，使，連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到，BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O，請(qǐng)利用圖c探索的度數(shù)，直接寫(xiě)出結(jié)果，不必說(shuō)明理由．
【答案】（1）①是，120°；②120°；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，然后利用“邊角邊”證明△ABD與△ACE全等；根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABD與∠AEC的度數(shù)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為20°求出∠BAE的度數(shù)，然后利用四邊形的內(nèi)角和公式求解即可；
②先利用“邊角邊”證明△BAD和△CAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADB＝∠AEC，再利用四邊形ABOE的內(nèi)角和等于360°推出∠BOE+∠DAE＝180°，再根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都是60°得到∠DAE＝60°，從而得解；
（2）同過(guò)是等邊三角形推出是等邊三角形，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得，，推出從而可以得到∠BOC，通過(guò)討論，得出結(jié)論．
【詳解】（1）①∵△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)θ得到，△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝20°，
在△ABD與△ACE中，
AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE ，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
∵θ＝20°，
∴∠ABD＝∠AEC= (180°?20°)= 80°，
又∵∠BAE＝θ+∠BAC＝20°+60°＝80°，
∴在四邊形ABOE中，∠BOE＝360°?80°?80°?80°＝120°；；
②由已知得：和是全等的等邊三角形，
∴，
∵是由繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到的，
∴，
∴，∴；
設(shè)DB、AC交于點(diǎn)M
在中，；
在中，；
∴
所以
（2）∵是等邊三角形，
又∵，∴是等邊三角形
根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得，，
∴，
∴，
∴
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)找出證明全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵．
69．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）已知：如圖①長(zhǎng)方形紙片ABCD中，．將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在AD邊上，記作點(diǎn)F，如圖②．

（1）當(dāng)，時(shí)，求線段FD的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)、，如果再將沿直線EF向右起折，使點(diǎn)A落在射線FD上，記作點(diǎn)G，若線段，請(qǐng)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，并求出x的值；
（3）設(shè)．，沿直線EF向右翻折后交CD邊于點(diǎn)H，連接FH，當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】（1）4；（2）圖見(jiàn)解析，或；（3）=
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AF=AB=6，從而求出結(jié)論；
（2）根據(jù)點(diǎn)G的位置分類討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)折疊的性質(zhì)分別用x表示出FD和DG，根據(jù)題意列出方程即可求出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)H作HM⊥EF于M，根據(jù)用a和b表示出S△HFE和S四邊形ABCD，結(jié)合已知等式即可求出結(jié)論．
【詳解】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得AF=AB=6
∵
∴FD=AD－AF=4；
（2）若點(diǎn)G落在線段FD上時(shí)，如下圖所示
由折疊的性質(zhì)可得：FG=AF=AB=x
∴FD=AD－AF=10－x，
∴DG=FD－FG=10－2x
∵
∴
解得：；
若點(diǎn)G落在線段FD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如下圖所示
由折疊的性質(zhì)可得：FG=AF=AB=x
∴FD=AD－AF=10－x，
∴DG=FG－FD=2x－10
∵
∴
解得：；
綜上：或；
（3）如下圖所示，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥EF于M
∴HM=FD，
由題意可知：AF=AB=b，EF=AB=b，
∴FD=AD－AF=a－b
∴HM=a－b
∴S△HFE=EF·HM=b（a－b），S四邊形ABCD=AD·AB=ab
∵
∴
整理可得：
∴=．
【點(diǎn)睛】此題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
70．（2018·上海市延安初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知三角形紙片，將紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕分別與邊交于點(diǎn)．
（1）畫(huà)出直線；
（2）若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)；
（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)，如果的面積為2，的面積為，那么的面積等于 ．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）12
【分析】（1）畫(huà)出線段AC的垂直平分線即為直線DE；
（2）作出點(diǎn)B關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F即可；
（3）先求得S△AEC=8，＝2，再求得＝＝和 ＝＝，再代入S△AEC的面積即可求得．
【詳解】（1）直線DE如圖所示：
（2）點(diǎn)F如圖所：
（3）連接AE，如圖所示：
由對(duì)折可得：S△AED=S△DEC,S△BDE=S△DEF，
∴S△AEC=8，＝2，
設(shè)△BED中BE邊上的高為h，
，即，則2BE=EC，
設(shè)△AEC中EC邊上的高為h'，則：
，
∴．
【點(diǎn)睛】考查作圖-軸對(duì)稱變換，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
71．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，正方形，點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線一點(diǎn)，連結(jié)，，
（1）將線段沿著射線運(yùn)動(dòng)，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，用代數(shù)式表示線段掃過(guò)的平面部分的面積.
（2）將三角形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得與重合，點(diǎn)落在點(diǎn)，用代數(shù)式表示線段掃過(guò)的平面部分的面積.
（3）將三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的三角形有一邊與正方形的一邊完全重合（第（2）小題的情況除外），請(qǐng)?jiān)谌鐖D中畫(huà)出符合條件的3種情況，并寫(xiě)出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角
【答案】（1）；（2）或；（3）見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的面積計(jì)算即可；
（2）根據(jù)扇形的面積計(jì)算即可；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出圖形得出旋轉(zhuǎn)中心和角度即可．
【詳解】解：（1）
答：線段掃過(guò)的平面部分的面積為
（2）三角形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得與重合，則三角形旋轉(zhuǎn)的角度是90°或270°
∴或
∴或
答：扇形的面積為或
（3）如圖1，旋轉(zhuǎn)中心：邊的中點(diǎn)為，順時(shí)針
如圖2，旋轉(zhuǎn)中心：點(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
如圖3，旋轉(zhuǎn)中心：正方形對(duì)角線交點(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角解答．
72．（2019·上海楊浦·七年級(jí)期末）在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上時(shí)，試判斷DE與AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B、D、E三點(diǎn)恰好在一直線上時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α=__°，此時(shí)直線CE與AB的位置關(guān)系是__．
（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)AE，設(shè)△BDC的面積S1，△AEC的面積S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是_____．
（4）如圖3，當(dāng)點(diǎn)B、D、E三點(diǎn)不在一直線上時(shí)，（3）中的S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立嗎？試說(shuō)明理由．
【答案】（1）DE∥AC (2) 120°，EC⊥AB；（3）S1=S2；(4) S1=S2仍然成立
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠EDC=∠BAC，DC=AC結(jié)合∠BAC=60°，可得△ADC是等邊三角形，從而可得∠DCA=∠EDC=60°，由此可得DE∥AC；
（2）如圖2，在△ABC中，由∠C=90°，∠BAC=60°可得∠ABC=30°，延長(zhǎng)EC交AB于點(diǎn)F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=BE，∠E=∠ABC=30°，結(jié)合B、D、E的三點(diǎn)在同一直線上可得∠CBE=∠E=30°，從而可得旋轉(zhuǎn)角∠BCE=120°，結(jié)合∠BCE=∠ABC+∠BFC，∠ABC=30°，可得∠BFC=90°，從而可得EC⊥AB；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，由∠DCF=∠ACB=90°易得∠ACF=∠DCH，結(jié)合∠AFC=∠DHC=90°，AC=DC可得△ACF≌△DCH，從而可得AF=DH，結(jié)合BC=EC即可得到S1=S2；
（4）如圖3，過(guò)D作DH⊥BC于H，過(guò)A作AG⊥EC交EC的延長(zhǎng)線于G，與（3）同理可得△AGC≌△DHC，從而可得AG=HD，結(jié)合EC=BC即可得到S1=S2仍然成立.
【詳解】（1）DE∥AC．理由：
∵△ABC旋轉(zhuǎn)后與△DCE全等，
∴∠A=∠CDE，AC=DC．
∵∠BAC=60°，AC=DC，
∴△DAC是等邊三角形．
∴∠DCA=60°．
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠DCA=∠CDE=60°，
∴DE∥AC．
（2）120°；EC⊥AB，理由如下：
如圖2，延長(zhǎng)EC交AB于點(diǎn)F，
∵在△ABC中，由∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CE=BE，∠E=∠ABC=30°，
∵B、D、E的三點(diǎn)在同一直線上，
∴∠CBE=∠E=30°，
∴旋轉(zhuǎn)角∠BCE=120°，
又∵∠BCE=∠ABC+∠BFC，∠ABC=30°，
∴∠BFC=120°-30°=90°，
∴EC⊥AB于點(diǎn)F；
（3）S1=S2，理由如下：
如圖2，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，
∴∠AFC=∠DHC=90°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACF=∠DCH，
又∵AC=DC，
∴△ACF≌△DCH，
∴AF=DH，
又∵EC=BC，
∴CE·AF=BC·DH，即S1=S2；
（4）S1=S2仍然成立，理由如下：
如圖3所示：過(guò)D作DH⊥BC于H，過(guò)A作AG⊥EC交EC的延長(zhǎng)線于G．
∵DH⊥BC，AG⊥EC，
∴∠AGC=∠DHC=90°
∵△ABC旋轉(zhuǎn)后與△DCE全等
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC，BC=CE．
∵∠ACE+∠BCD=180°，∠GCA+∠ECA=180°，
∴∠ACG=∠DCH，
又∵∠AGC=∠DHC，AC=DC，
∴△AGC≌△DHC，
∴AG=DH，
∴EC?AF=CB?DG，即S1=S2．
【點(diǎn)睛】（1）解第3小題的關(guān)鍵是作出如圖所示的輔助線，構(gòu)造出△ACF≌△DCH，從而可得AF=DH，這樣結(jié)合EC=BC即可證得S1=S2了；（2）解第4小題的關(guān)鍵是通過(guò)作出如圖所示的輔助線，即可把圖形轉(zhuǎn)化成和第3小題相似的結(jié)構(gòu)，這樣即可參照第3小題的解題思路來(lái)解決本題了.

相關(guān)試卷

滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期中【易錯(cuò)46題考點(diǎn)專練】（2份，原卷版+解析版）：

這是一份滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期中【易錯(cuò)46題考點(diǎn)專練】（2份，原卷版+解析版），文件包含滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期中易錯(cuò)46題考點(diǎn)專練原卷版doc、滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期中易錯(cuò)46題考點(diǎn)專練解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共23頁(yè)， 歡迎下載使用。

滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期中【?？?0題考點(diǎn)專練】（2份，原卷版+解析版）：

這是一份滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期中【常考60題考點(diǎn)專練】（2份，原卷版+解析版），文件包含滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期中?？?0題考點(diǎn)專練原卷版doc、滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期中?？?0題考點(diǎn)專練解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共26頁(yè)， 歡迎下載使用。

滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期末【易錯(cuò)40題考點(diǎn)專練】（2份，原卷版+解析版）：

這是一份滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期末【易錯(cuò)40題考點(diǎn)專練】（2份，原卷版+解析版），文件包含滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期末易錯(cuò)40題考點(diǎn)專練原卷版doc、滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期末易錯(cuò)40題考點(diǎn)專練解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共22頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期末【夯實(shí)基礎(chǔ)80題考點(diǎn)專練】（2份，原卷版+解析版）

滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期末【夯實(shí)基礎(chǔ)80題考點(diǎn)專練】（2份，原卷版+解析版）
滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期末【常考60題考點(diǎn)專練】（2份，原卷版+解析版）

滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)期期末【常考60題考點(diǎn)專練】（2份，原卷版+解析版）
浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上學(xué)期期末【壓軸75題考點(diǎn)專練】（2份，原卷版+解析版）

浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上學(xué)期期末【壓軸75題考點(diǎn)專練】（2份，原卷版+解析版）
滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測(cè)試期末真題精選(壓軸60題20個(gè)考點(diǎn)專練)(原卷版+解析)

滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測(cè)試期末真題精選(壓軸60題20個(gè)考點(diǎn)專練)(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部