滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測(cè)試期末真題精選(壓軸60題20個(gè)考點(diǎn)專練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2021春?楊浦區(qū)期末）某市為了美化環(huán)境，計(jì)劃在一定的時(shí)間內(nèi)完成綠化面積200萬(wàn)畝的任務(wù)，后來(lái)市政府調(diào)整了原定計(jì)劃，不但綠化面積在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上增加20%，而且要提前1年完成任務(wù)．經(jīng)測(cè)算，要完成新的計(jì)劃，平均每年的綠化面積必須比原計(jì)劃多20萬(wàn)畝，求原計(jì)劃平均每年的綠化面積．
2．（2021春?黃浦區(qū)期末）某中學(xué)八年級(jí)學(xué)生到離學(xué)校15千米的青少年?duì)I地舉行慶祝十四歲生日活動(dòng)，先遣隊(duì)與大部隊(duì)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)．已知先遣隊(duì)每小時(shí)比大部隊(duì)多行進(jìn)1千米，預(yù)計(jì)比大部隊(duì)早半小時(shí)到達(dá)目的地．求先遣隊(duì)與大部隊(duì)每小時(shí)各行進(jìn)了多少千米．
3．（2020春?浦東新區(qū)期末）八年級(jí)的學(xué)生去距學(xué)校10千米的科技館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過(guò)了25分鐘，其余的學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，已知每小時(shí)汽車的速度比騎自行車學(xué)生速度的2倍還多10千米，求騎車學(xué)生每小時(shí)行多少千米？
4．（2020春?黃浦區(qū)期末）某公司生產(chǎn)的新產(chǎn)品需要精加工后才能投放市場(chǎng)，為此王師傅承擔(dān)了加工300個(gè)新產(chǎn)品的任務(wù)．在加工了80個(gè)新產(chǎn)品后，王師傅接到通知，要求加快新產(chǎn)品加工的進(jìn)程，王師傅在保證加工零件質(zhì)量的前提下，平均每天加工新產(chǎn)品的個(gè)數(shù)比原來(lái)多15個(gè)，這樣一共用6天完成了任務(wù)．問(wèn)接到通知后，王師傅平均每天加工多少個(gè)新產(chǎn)品？
5．（2019秋?普陀區(qū)期末）某服裝廠準(zhǔn)備加工400套運(yùn)動(dòng)裝，在加工完160套后，采用了新技術(shù)，使得工作效率比原來(lái)提高1倍，結(jié)果共用了14天完成任務(wù)，問(wèn)原來(lái)每天加工服裝多少套？
6．（2019春?長(zhǎng)寧區(qū)期末）小王開(kāi)車從甲地到乙地，去時(shí)走A線路，全程約100千米，返回時(shí)走B線路，全程約60千米．小王開(kāi)車去時(shí)的平均速度比返回時(shí)的平均速度快20千米/小時(shí)，所用時(shí)間卻比返回時(shí)多15分鐘．若小王返回時(shí)的平均車速不低于70千米/小時(shí)，求小王開(kāi)車返回時(shí)的平均速度．
7．（2021秋?靜安區(qū)期末）某校美術(shù)社團(tuán)為練習(xí)素描，他們第一次用120元買(mǎi)了若干本資料，第二次又用240元在同一商家買(mǎi)同樣的資料，這次商家每本優(yōu)惠4元，結(jié)果比上次多買(mǎi)了20本．求第一次買(mǎi)了多少本資料？
8．（2018春?浦東新區(qū)期末）從甲地到乙地有兩條公路：一條是全長(zhǎng)400千米的普通公路，一條是全長(zhǎng)360千米的高速公路．某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度快50千米/時(shí)，從甲地到乙地由高速公路上行駛所需的時(shí)間比普通公路上行駛所需的時(shí)間少6小時(shí)．求該客車在高速公路上行駛的平均速度．
9．（2018春?浦東新區(qū)期末）黃浦區(qū)政府為殘疾人辦實(shí)事，在道路改造工程中為盲人修建一條長(zhǎng)3000米的盲道，根據(jù)規(guī)劃設(shè)計(jì)和要求，某工程隊(duì)在實(shí)際施工中增加了施工人員，每天修建的盲道比原計(jì)劃多250米，結(jié)果提前2天完成工程，問(wèn)實(shí)際每天修建盲道多少米．
10．（2020春?普陀區(qū)期末）小金到一文具店用12元錢(qián)買(mǎi)某種練習(xí)本若干本，隔了一段時(shí)間他再去那個(gè)店，發(fā)現(xiàn)這種練習(xí)本正在“讓利銷售”中，每1本降價(jià)0.2元，這樣用12元可以比上次多買(mǎi)3本，求小金第一次買(mǎi)的練習(xí)本的數(shù)量．
11．（2019秋?浦東新區(qū)期末）某書(shū)店老板去圖書(shū)批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)某種圖書(shū)．第一次用1200元購(gòu)書(shū)若干本，并按該書(shū)定價(jià)7元出售，很快售完．由于該書(shū)暢銷，第二次購(gòu)書(shū)時(shí)，每本書(shū)的批發(fā)價(jià)已比第一次提高了20%，他用1500元所購(gòu)該書(shū)數(shù)量比第一次多10本．當(dāng)按定價(jià)售出200本時(shí)，出現(xiàn)滯銷，便以定價(jià)的4折售完剩余的書(shū)．試問(wèn)該老板這兩次售書(shū)總體上是賠錢(qián)了，還是賺錢(qián)了（不考慮其它因素）？若賠錢(qián)，賠多少？若賺錢(qián)，賺多少？
二．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式（共1小題）
12．（2017春?閔行區(qū)期末）如圖是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象．
（1）根據(jù)圖象，求直線y＝kx+b的表達(dá)式；
（2）在圖中畫(huà)出函數(shù)y＝﹣2x+2的圖象；
（3）當(dāng)y＝kx+b的函數(shù)值大于y＝﹣2x+2的函數(shù)值時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍．
三．一次函數(shù)的應(yīng)用（共13小題）
13．（2019春?濟(jì)寧期末）某廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計(jì)劃用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件．已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9kg，乙種原料3kg，可獲利潤(rùn)700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需甲種原料4kg，乙種原料10kg，可獲利潤(rùn)1200元．
（1）按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有幾種方案請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來(lái)；
（2）設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品總利潤(rùn)是y元，其中一種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)是x．試寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明（1）中的哪種生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
14．（2017春?松江區(qū)期末）某市為鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，自來(lái)水公司按分段收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，如圖反映的是每月水費(fèi)y（元）與用水量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系．
（1）當(dāng)用水量≥10噸時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（并寫(xiě)出定義域）；
（2）按上述分段收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，小明家四、五月份分別交水費(fèi)42元和27元，問(wèn)五月份比四月份節(jié)約用水多少噸？
15．（2021秋?普陀區(qū)期末）甲、乙兩車分別從A地將一批物資運(yùn)往B地，兩車離A地的距離s（千米）與其相關(guān)的時(shí)間t（小時(shí)）變化的圖象如圖所示．讀圖后填空：
（1）A地與B地之間的距離是千米；
（2）甲車由A地前往B地時(shí)所對(duì)應(yīng)的s與t的函數(shù)解析式是；
（3）甲車出發(fā) 小時(shí)后被乙車追上；
（4）甲車由A地前往B地比乙車由A地前往B地多用了小時(shí)．
16．（2018春?普陀區(qū)期末）小軍和爸爸同時(shí)從家騎自行車去圖書(shū)館，爸爸先以150米/分的速度騎行一段時(shí)間，休息了5分鐘，再以m米/分的速度到達(dá)圖書(shū)館，小軍始終以同一速度騎行，兩人行駛的路程y（米）與時(shí)間x（分）的關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象，解答下列問(wèn)題：
（1）a＝ b＝，m＝；
（2）若小軍的速度是120米/分，求小軍在途中與爸爸第二次相遇時(shí)，距圖書(shū)館的距離；
（3）在（2）的條件下，爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書(shū)館前，何時(shí)與小軍相距100米？
17．（2020春?浦東新區(qū)期末）已知甲、乙兩地相距90km，A、B兩人沿同一公路從甲地出發(fā)到乙地，A騎摩托車，B騎電動(dòng)車，圖中DE、OC分別表示A、B離開(kāi)甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系的圖象，根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：
（1）A比B遲出發(fā) 小時(shí)，B的速度是 km/h；
（2）在B出發(fā)后幾小時(shí)，兩人相遇？
18．（2018春?青浦區(qū)期末）慶華社區(qū)有一塊空地需要綠化，某綠化組承擔(dān)了此項(xiàng)任務(wù)，綠化組工作一段時(shí)間后，提高了工作效率．該綠化組完成的綠化面積S（單位：m2）與工作時(shí)間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求提高效率后，s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該綠化組提高工作效率后每小時(shí)完成的綠化面積比提高工作效率前每小時(shí)完成的綠化面積多多少？
19．（2017春?浦東新區(qū)期末）已知彈簧秤內(nèi)的彈簧在一定限度內(nèi)，它的長(zhǎng)度y（厘米）與所掛重物質(zhì)量x（千克）是一次函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)圖象如圖所示．
（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；
（2）該彈簧秤掛上一個(gè)重物時(shí)，量出彈簧的長(zhǎng)度是7.2厘米，那么這個(gè)重物的質(zhì)量是多少千克？
20．（2017春?楊浦區(qū)期末）A，B兩地盛產(chǎn)柑桔，A地有柑桔200噸，B地有柑桔300噸．現(xiàn)將這些柑桔運(yùn)到C、D兩個(gè)冷藏倉(cāng)庫(kù)，已知C倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存240噸，D倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存260噸；從A地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元．設(shè)從A地運(yùn)往C倉(cāng)庫(kù)的柑桔重量為x噸，A、B兩地運(yùn)往兩倉(cāng)庫(kù)的柑桔運(yùn)輸費(fèi)用分別為yA元和yB元．
（1）請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表后分別求出yA，yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．
（2）試討論A，B兩地中，哪個(gè)運(yùn)費(fèi)較少？
21．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）A、B兩地相距600千米，甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)駛向B地，甲車到達(dá)B地后立即返回，它們各自離A地的距離y（千米）與行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示．
（1）求甲車行駛過(guò)程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)它們行駛了7小時(shí)時(shí)，兩車相遇，求乙車的速度．
22．（2021春?越秀區(qū)校級(jí)期末）光華農(nóng)機(jī)租賃公司共有50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型20臺(tái)，乙型30臺(tái)，先將這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往A、B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺(tái)派往A地區(qū)，20臺(tái)派往B地區(qū)．兩地區(qū)與該農(nóng)機(jī)租賃公司商定的每天的租賃價(jià)格見(jiàn)表：
（1）設(shè)派往A地區(qū)x臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金為y（元），求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）若使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于79 600元，說(shuō)明有多少種分配方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來(lái)；
（3）如果要使這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請(qǐng)你為光華農(nóng)機(jī)租賃公司提一條合理化建議．
23．（2018春?靜安區(qū)期末）某大型物件快遞公司送貨員每月的工資由底薪加計(jì)件工資兩部分組成，計(jì)件工資與送貨件數(shù)成正比例．有甲乙兩名送貨員，如果送貨量為x件時(shí)，甲的工資是y1（元），乙的工資是y2（元），如圖所示，已知甲的每月底薪是800元，每送一件貨物，甲所得的工資比乙高2元
（1）根據(jù)圖中信息，分別求出y1和y2關(guān)于x的函數(shù)解析式；（不必寫(xiě)定義域）
（2）如果甲、乙兩人平均每天送貨量分別是12件和14件，求兩人的月工資分別是多少元？（一個(gè)月為30天）
24．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期末）李老師準(zhǔn)備網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)，現(xiàn)有甲、乙兩家網(wǎng)站供李老師選擇，已知甲網(wǎng)站的收費(fèi)方式是：月使用費(fèi)7元，包時(shí)上網(wǎng)時(shí)間25小時(shí)，超時(shí)費(fèi)每分鐘0.01元；乙網(wǎng)站的月收費(fèi)方式如圖所示．設(shè)李老師每月上網(wǎng)的時(shí)間為x小時(shí)，甲、乙兩家網(wǎng)站的月收費(fèi)金額分別是y1、y2．
（1）請(qǐng)根據(jù)圖象信息填空：乙網(wǎng)站的月使用費(fèi)是元，超時(shí)費(fèi)是每分鐘元；
（2）寫(xiě)出y1與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）李老師選擇哪家網(wǎng)站在線學(xué)習(xí)比較合算？
25．（2017春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知水銀體溫計(jì)的讀數(shù)y（℃）與水銀柱的長(zhǎng)度x（cm）之間是一次函數(shù)關(guān)系．現(xiàn)有一支水銀體溫計(jì)，其部分刻度線不清晰（如圖），表中記錄的是該體溫計(jì)部分清晰刻度線及其對(duì)應(yīng)水銀柱的長(zhǎng)度．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫(xiě)出函數(shù)的定義域）；
（2）用該體溫計(jì)測(cè)體溫時(shí)，水銀柱的長(zhǎng)度為6.2cm，求此時(shí)體溫計(jì)的讀數(shù)．
四．三角形中位線定理（共1小題）
26．（2018春?浦東新區(qū)期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足為點(diǎn)D，M是邊AB的中點(diǎn)，AB＝20，AC＝10，求線段DM的長(zhǎng)．
五．平行四邊形的性質(zhì)（共2小題）
27．（2017春?楊浦區(qū)期末）如圖所示，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，下列式子中一定成立的是（）
A．AC⊥BDB．OA＝OCC．AC＝BDD．AO＝OD
28．（2020春?崇明區(qū)期末）如圖所示，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD＝2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB的中點(diǎn)．證明：
（1）BE⊥AC；
（2）EG＝EF．
六．平行四邊形的判定與性質(zhì)（共3小題）
29．（2017春?松江區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于E點(diǎn)，DF∥AC，∠DFC＝∠AEB，連接EF．
（1）求證：DF＝AE；
（2）求證：四邊形BCFE是平行四邊形．
30．（2018春?浦東新區(qū)期末）如圖，△ABC中，AD是邊BC上的中線，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，DE與AC、AE分別交于點(diǎn)O、點(diǎn)E，連接EC．
（1）求證：AD＝EC；
（2）當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形．
31．（2017春?靜安區(qū)期末）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且AE＝CG，AH＝CF，EG平分∠HEF．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）求證：四邊形EFGH是菱形．
七．菱形的性質(zhì)（共1小題）
32．（2019春?浦東新區(qū)期末）已知如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求證：四邊形AODE是矩形；
（2）若AB＝6，∠BCD＝120°，求四邊形AODE的面積．
八．菱形的判定（共1小題）
33．（2018春?奉賢區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC，且CE＝CD．
（1）求證：∠B＝∠DEC；
（2）求證：四邊形ADCE是菱形．
九．矩形的性質(zhì)（共3小題）
34．（2018秋?崇明區(qū)期末）如果從一個(gè)四邊形一邊上的點(diǎn)到對(duì)邊的視角是直角，那么稱該點(diǎn)為直角點(diǎn)．例如，如圖的四邊形ABCD中，點(diǎn)M在CD邊上，連接AM、BM，∠AMB＝90°，則點(diǎn)M為直角點(diǎn)．若點(diǎn)E、F分別為矩形ABCD邊AB、CD上的直角點(diǎn)，且AB＝5，BC＝，則線段EF的長(zhǎng)為．
35．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F和G分別平分線段AB、OD和OA．
（1）求證：四邊形OFGE是平行四邊形．
（2）猜想：當(dāng)∠ABD＝ °時(shí)四邊形OFGE是菱形，并證明．
36．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，矩形ABCO中，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣6，8）．矩形ABCO沿直線BD折疊，使得點(diǎn)A落在對(duì)角線OB上的點(diǎn)E處，折痕與OA、x軸分別交于點(diǎn)D、F．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)N是平面內(nèi)任一點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使M、N、E、O為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
一十．正方形的性質(zhì)（共5小題）
37．（2020秋?浦東新區(qū)期末）如圖在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交CB、DC延長(zhǎng)線于E、F點(diǎn)且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，則EF＝．
38．（2018春?嘉定區(qū)期末）已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四邊形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE＝2．
（1）如圖1，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，求△GFC的面積；
（2）如圖2，當(dāng)四邊形EFGH為菱形時(shí)，設(shè)BF＝x，△GFC的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域．
39．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，CE⊥AC與AD邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形BCED是平行四邊形；
（2）延長(zhǎng)DB至點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF，若CF＝BD，求∠BCF的大?。?br>40．（2017春?楊浦區(qū)期末）已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為厘米，對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)．點(diǎn)E從點(diǎn)A，點(diǎn)F從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，沿對(duì)角線以1厘米/秒的相同速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角邊于H，過(guò)F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角邊于G，連接HG，EB．設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1，AE，EB，BA圍成的圖形面積為S2（這里規(guī)定：線段的面積為0）E到達(dá)C，F(xiàn)到達(dá)A停止．若E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，解答下列問(wèn)題：
（1）如圖，判斷四邊形EFGH是什么四邊形，并證明；
（2）當(dāng)0＜x＜8時(shí)，求x為何值時(shí)，S1＝S2；
（3）若y是S1與S2的和，試用x的代數(shù)式表示y．（如圖為備用圖）
41．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長(zhǎng)為．
一十一．正方形的判定（共2小題）
42．（2018春?青浦區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE∥BD，AE與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，DE交AB于F．
（1）求證：BC＝BE；
（2）連接CF，若∠ADF＝∠BCF且AD＝2AF，求證：四邊形ABCD是正方形．
43．（2018春?浦東新區(qū)期末）已知：如圖，在等邊三角形ABC中，過(guò)邊AB上一點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，過(guò)邊AC上一點(diǎn)G作GF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，BE＝CF，聯(lián)結(jié)DG．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）連接AF，當(dāng)∠BAF＝3∠FAC時(shí)，求證：四邊形DEFG是正方形．
一十二．梯形（共5小題）
44．（2021春?浦東新區(qū)期末）已知梯形的兩底邊長(zhǎng)分別為6和8，一腰長(zhǎng)為7，則另一腰長(zhǎng)a的取值范圍是．
45．（2020春?閔行區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，E為BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)ED，BD．
（1）求證：四邊形ABED是平行四邊形；
（2）如果∠ADB+∠DCB＝90°，求證：四邊形ABED是菱形．
46．（2020春?松江區(qū)期末）如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC．AD＝AB，BC＝2AD．E是BC邊的中點(diǎn)，AE、BD相交于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；
（2）設(shè)邊CD的中點(diǎn)為G，聯(lián)結(jié)EG．求證：四邊形FEGD是矩形．
47．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，45°＜∠B＜90°，設(shè)BP＝x，四邊形APCD的面積為y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（2）聯(lián)結(jié)PD，當(dāng)△APD是以AD為腰的等腰三角形時(shí)，求四邊形APCD的面積．
48．（2019春?浦東新區(qū)期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，EF∥AD，點(diǎn)P與AD在直線EF的兩側(cè)，∠EPF＝90°，PE＝PF，射線EP、FP與邊BC分別相交于點(diǎn)M、N，設(shè)AE＝x，MN＝y(tǒng)．
（1）求邊AD的長(zhǎng)；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；
（3）如果MN的長(zhǎng)為2，求梯形AEFD的面積．
一十三．等腰梯形的性質(zhì)（共1小題）
49．（2017春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，D是AC上一點(diǎn)，DE∥AB交BC于點(diǎn)E，且AD＝DE，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，BF＝BE，連接FD．
（1）試判斷四邊形ADEB的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）求證：BE＝FD．
一十四．等腰梯形的判定（共2小題）
50．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＞BC，AB＝DC，E是AD．上方一點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)EA、ED、EB、EC，已知EA＝ED，點(diǎn)F、G分別是EB、EC與AD的交點(diǎn)．
求證：四邊形FBCG是等腰梯形．
51．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD上的點(diǎn)（不與CD的中點(diǎn)重合），DE＝AB，∠BAC＝∠D，AD＝AC．
（1）求證：四邊形AECB是等腰梯形；
（2）點(diǎn)F是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BC＝CF，聯(lián)結(jié)CF、EF，若AC⊥EF，求證：四邊形AECF是菱形．
一十五．梯形中位線定理（共1小題）
52．（2018春?閔行區(qū)期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，如果AD＝4，BC＝10，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，那么EF＝．
一十六．*平面向量（共4小題）
53．（2021春?虹口區(qū)校級(jí)期末）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)非零向量、、，它們的模都相等，并且兩兩的夾角均為120度，則++＝．
54．（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上．
（1）填空：+＝ .﹣＝；
（2）求作：+（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，寫(xiě)出結(jié)果）
55．（2019春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)E在四邊形ABCD的邊AB上，設(shè)＝，＝，＝．
（1）試用向量、和表示向量，；
（2）在圖中求作：+﹣．（不要求寫(xiě)出作法，只需寫(xiě)出結(jié)論即可）
56．（2018春?黃浦區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)E在平行四邊形ABCD的邊AB上，設(shè)＝，＝，＝，再用圖中的線段作向量，
（1）寫(xiě)出與平行的向量．
（2）試用向量、、表示向量、.＝；＝．
（3）求作．
一十七．隨機(jī)事件（共1小題）
57．（2017春?楊浦區(qū)期末）“太陽(yáng)每天從東方升起”，這是一個(gè) 事件．（填“確定”或“不確定”）
一十八．概率公式（共1小題）
58．（2021春?閔行區(qū)期末）從一副未曾啟封的撲克牌中取出1張紅桃，2張黑桃的牌共3張，洗勻后，從這3張牌中任取1張牌恰好是黑桃的概率是（）
A．B．C．D．1
一十九．列表法與樹(shù)狀圖法（共1小題）
59．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）某商場(chǎng)開(kāi)展購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中有4個(gè)標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的質(zhì)地、大小相同的小球，顧客任意摸取一個(gè)小球，然后放回，再摸取一個(gè)小球，若兩次摸出的數(shù)字之和為“8”是一等獎(jiǎng)，數(shù)字之和為“6”是二等獎(jiǎng)，數(shù)字之和為其它數(shù)字則是三等獎(jiǎng)，請(qǐng)分別求出顧客抽中一、二、三等獎(jiǎng)的概率．
二十．游戲公平性（共1小題）
60．（2019春?長(zhǎng)寧區(qū)期末）甲、乙兩人玩抽撲克牌游戲，游戲規(guī)則是：從牌面數(shù)字分別為5，6，7的三張撲克牌中，隨機(jī)抽取一張，放回后，再隨機(jī)抽取一張．若所抽的兩張牌面數(shù)字的積為奇數(shù)，則甲獲勝；若所抽的兩張牌面數(shù)字的積為偶數(shù)，則乙獲勝．這個(gè)游戲．（填“公平”或“不公平”）
倉(cāng)庫(kù)產(chǎn)地
C
D
總計(jì)
A
x噸
200噸
B
300噸
總計(jì)
240噸
260噸
500噸
每臺(tái)甲型收割機(jī)的租金
每臺(tái)乙型收割機(jī)的租金
A地區(qū)
1800
1600
B地區(qū)
1600
1200
水銀柱的長(zhǎng)度x（cm）
4.2
…
8.2
9.8
體溫計(jì)的讀數(shù)y（℃）
35.0
…
40.0
42.0
上海八年級(jí)下期末真題精選（壓軸60題20個(gè)考點(diǎn)專練）
一．分式方程的應(yīng)用（共11小題）
1．（2021春?楊浦區(qū)期末）某市為了美化環(huán)境，計(jì)劃在一定的時(shí)間內(nèi)完成綠化面積200萬(wàn)畝的任務(wù)，后來(lái)市政府調(diào)整了原定計(jì)劃，不但綠化面積在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上增加20%，而且要提前1年完成任務(wù)．經(jīng)測(cè)算，要完成新的計(jì)劃，平均每年的綠化面積必須比原計(jì)劃多20萬(wàn)畝，求原計(jì)劃平均每年的綠化面積．
【分析】本題的相等關(guān)系是：原計(jì)劃完成綠化時(shí)間﹣實(shí)際完成綠化實(shí)際＝1．設(shè)原計(jì)劃平均每年完成綠化面積x萬(wàn)畝，則原計(jì)劃完成綠化完成時(shí)間年，實(shí)際完成綠化完成時(shí)間：年，列出分式方程求解．
【解答】解：設(shè)原計(jì)劃平均每年完成綠化面積x萬(wàn)畝，
根據(jù)題意，可列出方程，
去分母整理得：x2+60x﹣4000＝0
解得：x1＝40，x2＝﹣100…（2分）
經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝40，x2＝﹣100都是原分式方程的根，
因?yàn)榫G化面積不能為負(fù)，所以取x＝40．
答：原計(jì)劃平均每年完成綠化面積40萬(wàn)畝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用．分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．列分式方程解應(yīng)用題的檢驗(yàn)要分兩步：第一步檢驗(yàn)它是否是原方程的根，第二步檢驗(yàn)它是否符合實(shí)際問(wèn)題．
2．（2021春?黃浦區(qū)期末）某中學(xué)八年級(jí)學(xué)生到離學(xué)校15千米的青少年?duì)I地舉行慶祝十四歲生日活動(dòng)，先遣隊(duì)與大部隊(duì)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)．已知先遣隊(duì)每小時(shí)比大部隊(duì)多行進(jìn)1千米，預(yù)計(jì)比大部隊(duì)早半小時(shí)到達(dá)目的地．求先遣隊(duì)與大部隊(duì)每小時(shí)各行進(jìn)了多少千米．
【分析】設(shè)先遣隊(duì)每小時(shí)行進(jìn)x千米，則大部隊(duì)每小時(shí)行進(jìn)（x﹣1）千米；根據(jù)“先遣隊(duì)和大隊(duì)同時(shí)出發(fā)，預(yù)計(jì)比大部隊(duì)早半小時(shí)到達(dá)”列分式方程解出即可．
【解答】解：設(shè)先遣隊(duì)每小時(shí)行進(jìn)x千米，則大部隊(duì)每小時(shí)行進(jìn)（x﹣1）千米．
根據(jù)題意，得．
解得 x1＝6，x2＝﹣5．
經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝6，x2＝﹣5是原方程的根，x2＝﹣5不合題意，舍去．
∴原方程的根為x＝6．
∴x﹣1＝6﹣1＝5．
答：先遣隊(duì)與大部隊(duì)每小時(shí)分別行進(jìn)6千米和5千米．
【點(diǎn)評(píng)】本題是分式方程的應(yīng)用，屬于行程問(wèn)題；有兩個(gè)隊(duì)：先遣隊(duì)和大隊(duì)；路程都是15千米，時(shí)間相差半小時(shí)，速度：先遣隊(duì)每小時(shí)比大部隊(duì)多行進(jìn)1千米；根據(jù)速度的關(guān)系設(shè)未知數(shù)，根據(jù)時(shí)間關(guān)系列方程，注意未知數(shù)的值有實(shí)際意義并檢驗(yàn)．
3．（2020春?浦東新區(qū)期末）八年級(jí)的學(xué)生去距學(xué)校10千米的科技館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過(guò)了25分鐘，其余的學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，已知每小時(shí)汽車的速度比騎自行車學(xué)生速度的2倍還多10千米，求騎車學(xué)生每小時(shí)行多少千米？
【分析】先將25分鐘化成小時(shí)為小時(shí)，再設(shè)騎車學(xué)生每小時(shí)走x千米，根據(jù)汽車所用的時(shí)間＝學(xué)生騎車時(shí)間﹣，列分式方程：，求出方程的解即可．
【解答】解：設(shè)騎車學(xué)生每小時(shí)走x千米，
據(jù)題意得：，
整理得：x2﹣7x﹣120＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣8，
經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝15，x2＝﹣8是原方程的解，
因?yàn)閤＝﹣8不符合題意，所以舍去，
答：騎車學(xué)生每小時(shí)行15千米．
【點(diǎn)評(píng)】本題是分式方程的應(yīng)用，找等量關(guān)系是本題的關(guān)鍵；這是一道行程問(wèn)題，汽車和學(xué)生的路程、速度、時(shí)間三個(gè)量要準(zhǔn)確把握，以走完全程的時(shí)間為依據(jù)列分式方程，注意單位要統(tǒng)一．
4．（2020春?黃浦區(qū)期末）某公司生產(chǎn)的新產(chǎn)品需要精加工后才能投放市場(chǎng)，為此王師傅承擔(dān)了加工300個(gè)新產(chǎn)品的任務(wù)．在加工了80個(gè)新產(chǎn)品后，王師傅接到通知，要求加快新產(chǎn)品加工的進(jìn)程，王師傅在保證加工零件質(zhì)量的前提下，平均每天加工新產(chǎn)品的個(gè)數(shù)比原來(lái)多15個(gè)，這樣一共用6天完成了任務(wù)．問(wèn)接到通知后，王師傅平均每天加工多少個(gè)新產(chǎn)品？
【分析】根據(jù)關(guān)鍵句子“王師傅在保證加工零件質(zhì)量的前提下，平均每天加工新產(chǎn)品的個(gè)數(shù)比原來(lái)多15個(gè)，這樣一共用6天完成了任務(wù)”找到等量關(guān)系列出方程求解即可．
【解答】解：設(shè)接到通知后，王師傅平均每天加工x個(gè)新產(chǎn)品．
根據(jù)題意，得．
x2﹣65x+550＝0，
x1＝55，x2＝10．
經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝55，x2＝10都是原方程的解，但x2＝10不符合題意，舍去．
答：接到通知后，王師傅平均每天加工55個(gè)新產(chǎn)品．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5．（2019秋?普陀區(qū)期末）某服裝廠準(zhǔn)備加工400套運(yùn)動(dòng)裝，在加工完160套后，采用了新技術(shù)，使得工作效率比原來(lái)提高1倍，結(jié)果共用了14天完成任務(wù)，問(wèn)原來(lái)每天加工服裝多少套？
【分析】設(shè)原來(lái)每天加工x套，采用了新技術(shù)，使得工作效率為2x，根據(jù)完成任務(wù)用了14天列出方程，并解答．注意需要驗(yàn)根．
【解答】解：設(shè)原來(lái)每天加工服裝x套，則采用了新技術(shù)后每天加工2x套．
則+＝14，
解得x＝20，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原方程的根，并符合題意．
答：原來(lái)每天加工服裝20套．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用．利用分式方程解應(yīng)用題時(shí)，一般題目中會(huì)有兩個(gè)相等關(guān)系，這時(shí)要根據(jù)題目所要解決的問(wèn)題，選擇其中的一個(gè)相等關(guān)系作為列方程的依據(jù)，而另一個(gè)則用來(lái)設(shè)未知數(shù)．
6．（2019春?長(zhǎng)寧區(qū)期末）小王開(kāi)車從甲地到乙地，去時(shí)走A線路，全程約100千米，返回時(shí)走B線路，全程約60千米．小王開(kāi)車去時(shí)的平均速度比返回時(shí)的平均速度快20千米/小時(shí)，所用時(shí)間卻比返回時(shí)多15分鐘．若小王返回時(shí)的平均車速不低于70千米/小時(shí)，求小王開(kāi)車返回時(shí)的平均速度．
【分析】設(shè)小王開(kāi)車返回時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)（x≥70），則小王開(kāi)車去時(shí)的平均速度為（x+20）千米/小時(shí)，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度結(jié)合去時(shí)與返回時(shí)時(shí)間的關(guān)系即可得出關(guān)于x的分式方程，解之并檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)小王開(kāi)車返回時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)（x≥70），
則小王開(kāi)車去時(shí)的平均速度為（x+20）千米/小時(shí)，
根據(jù)題意得：﹣＝，
解得：x＝80或x＝60（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝80是原方程的解．
答：小王開(kāi)車返回時(shí)的平均速度為80千米/小時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度結(jié)合去時(shí)與返回時(shí)時(shí)間的關(guān)系列出關(guān)于x的分式方程是解題的關(guān)鍵．
7．（2021秋?靜安區(qū)期末）某校美術(shù)社團(tuán)為練習(xí)素描，他們第一次用120元買(mǎi)了若干本資料，第二次又用240元在同一商家買(mǎi)同樣的資料，這次商家每本優(yōu)惠4元，結(jié)果比上次多買(mǎi)了20本．求第一次買(mǎi)了多少本資料？
【分析】設(shè)第一次買(mǎi)了x本資料，根據(jù)“第一次購(gòu)買(mǎi)單價(jià)﹣第二次購(gòu)買(mǎi)單價(jià)＝4”列分式方程求解可得．
【解答】解：設(shè)第一次買(mǎi)了x本資料，
根據(jù)題意，得：，
整理，得：x2+50x﹣600＝0．
解得：x1＝﹣60，x2＝10，
經(jīng)檢驗(yàn)：它們都是方程的根，但x1＝﹣60不符合題意，舍去，
答：第一次買(mǎi)了10本資料．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系，并據(jù)此列出方程．
8．（2018春?浦東新區(qū)期末）從甲地到乙地有兩條公路：一條是全長(zhǎng)400千米的普通公路，一條是全長(zhǎng)360千米的高速公路．某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度快50千米/時(shí)，從甲地到乙地由高速公路上行駛所需的時(shí)間比普通公路上行駛所需的時(shí)間少6小時(shí)．求該客車在高速公路上行駛的平均速度．
【分析】可設(shè)該客車在高速公路上行駛的平均速度是x千米/小時(shí)，根據(jù)等量關(guān)系：從甲地到乙地由高速公路上行駛所需的時(shí)間＝普通公路上行駛所需的時(shí)間﹣6小時(shí)，列出方程求解即可．
【解答】解：設(shè)該客車在高速公路上行駛的平均速度是x千米/小時(shí)，依題意有
﹣＝6，
整理得3x2﹣170x﹣9000＝0，
解得x1＝90，x2＝﹣（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝90是原方程的解．
答：該客車在高速公路上行駛的平均速度是90千米/小時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
9．（2018春?浦東新區(qū)期末）黃浦區(qū)政府為殘疾人辦實(shí)事，在道路改造工程中為盲人修建一條長(zhǎng)3000米的盲道，根據(jù)規(guī)劃設(shè)計(jì)和要求，某工程隊(duì)在實(shí)際施工中增加了施工人員，每天修建的盲道比原計(jì)劃多250米，結(jié)果提前2天完成工程，問(wèn)實(shí)際每天修建盲道多少米．
【分析】直接利用每天修建的盲道比原計(jì)劃多250米，結(jié)果提前2天完成工程，得出等式求出答案．
【解答】解：設(shè)實(shí)際每天修建盲道x米，根據(jù)題意可得：
﹣＝2，
解得：x1＝﹣500（不合題意舍去），x2＝750，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝750是原方程的根，
答：實(shí)際每天修建盲道750米．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
10．（2020春?普陀區(qū)期末）小金到一文具店用12元錢(qián)買(mǎi)某種練習(xí)本若干本，隔了一段時(shí)間他再去那個(gè)店，發(fā)現(xiàn)這種練習(xí)本正在“讓利銷售”中，每1本降價(jià)0.2元，這樣用12元可以比上次多買(mǎi)3本，求小金第一次買(mǎi)的練習(xí)本的數(shù)量．
【分析】設(shè)小金第一次買(mǎi)了x本，則第二次買(mǎi)了（x+3）本，然后依據(jù)第二次每本比第一次每本降價(jià)0.2元，列方程求解即可．
【解答】解：設(shè)小金第一次買(mǎi)了x本，則第二次買(mǎi)了（x+3）本．
根據(jù)題意得：﹣＝0.2，
解得：x＝12或x＝﹣15（舍去）．
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝12是原方程的解，
答：小金第一次買(mǎi)了12本練習(xí)本．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是分式方程的應(yīng)用，依據(jù)題意列出關(guān)于x的分式方程是解題的關(guān)鍵．
11．（2019秋?浦東新區(qū)期末）某書(shū)店老板去圖書(shū)批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)某種圖書(shū)．第一次用1200元購(gòu)書(shū)若干本，并按該書(shū)定價(jià)7元出售，很快售完．由于該書(shū)暢銷，第二次購(gòu)書(shū)時(shí)，每本書(shū)的批發(fā)價(jià)已比第一次提高了20%，他用1500元所購(gòu)該書(shū)數(shù)量比第一次多10本．當(dāng)按定價(jià)售出200本時(shí)，出現(xiàn)滯銷，便以定價(jià)的4折售完剩余的書(shū)．試問(wèn)該老板這兩次售書(shū)總體上是賠錢(qián)了，還是賺錢(qián)了（不考慮其它因素）？若賠錢(qián)，賠多少？若賺錢(qián)，賺多少？
【分析】先考慮購(gòu)書(shū)的情況，設(shè)第一次購(gòu)書(shū)的單價(jià)為x元，則第二次購(gòu)書(shū)的單價(jià)為1.2x元，第一次購(gòu)書(shū)款1200元，第二次購(gòu)書(shū)款1500元，第一次購(gòu)書(shū)數(shù)目，第二次購(gòu)書(shū)數(shù)目，第二次購(gòu)書(shū)數(shù)目多10本．關(guān)系式是：第一次購(gòu)書(shū)數(shù)目+10＝第二次購(gòu)書(shū)數(shù)目．
再計(jì)算兩次購(gòu)書(shū)數(shù)目，賺錢(qián)情況：賣書(shū)數(shù)目×（實(shí)際售價(jià)﹣當(dāng)次進(jìn)價(jià)），兩次合計(jì)，就可以回答問(wèn)題了．
【解答】解：設(shè)第一次購(gòu)書(shū)的單價(jià)為x元，
∵第二次每本書(shū)的批發(fā)價(jià)已比第一次提高了20%，
∴第二次購(gòu)書(shū)的單價(jià)為1.2x元．
根據(jù)題意得：．（4分）
解得：x＝5．
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝5是原方程的解．（6分）
所以第一次購(gòu)書(shū)為1200÷5＝240（本）．
第二次購(gòu)書(shū)為240+10＝250（本）．
第一次賺錢(qián)為240×（7﹣5）＝480（元）．
第二次賺錢(qián)為200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元）．
所以兩次共賺錢(qián)480+40＝520（元）（8分）．
答：該老板兩次售書(shū)總體上是賺錢(qián)了，共賺了520元．（9分）
【點(diǎn)評(píng)】本題具有一定的綜合性，應(yīng)該把問(wèn)題分成進(jìn)書(shū)這一塊，和賣書(shū)這一塊，分別考慮，掌握這次活動(dòng)的流程．分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
二．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式（共1小題）
12．（2017春?閔行區(qū)期末）如圖是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象．
（1）根據(jù)圖象，求直線y＝kx+b的表達(dá)式；
（2）在圖中畫(huà)出函數(shù)y＝﹣2x+2的圖象；
（3）當(dāng)y＝kx+b的函數(shù)值大于y＝﹣2x+2的函數(shù)值時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍．
【分析】（1）先寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）利用描點(diǎn)法畫(huà)直線y＝﹣2x+2；
（3）利用所畫(huà)圖象，寫(xiě)出直線y＝kx+b在直線y＝﹣2x+2上方所對(duì)應(yīng)的自變量的值即可．
【解答】解：（1）由圖得：點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，2），
∵直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，
∴，解得，
∴所求直線表達(dá)式為y＝x+2；
（2）如圖，
（3）當(dāng) x＞0時(shí)，kx+b＞﹣2x+2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時(shí)，先設(shè)y＝kx+b；將自變量x的值及與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫(xiě)出函數(shù)解析式．
三．一次函數(shù)的應(yīng)用（共13小題）
13．（2019春?濟(jì)寧期末）某廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計(jì)劃用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件．已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9kg，乙種原料3kg，可獲利潤(rùn)700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需甲種原料4kg，乙種原料10kg，可獲利潤(rùn)1200元．
（1）按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有幾種方案請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來(lái)；
（2）設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品總利潤(rùn)是y元，其中一種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)是x．試寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明（1）中的哪種生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
【分析】（1）設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品為（50﹣x）件，那么根據(jù)每種產(chǎn)品需要的原料數(shù)量可列不等式組進(jìn)行解答，求出范圍，從而得出生產(chǎn)方案；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，根據(jù)每種產(chǎn)品的獲利情況，列解析式，根據(jù)（1）中x的取值范圍求出最值即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品為（50﹣x）件，根據(jù)題意，得
解得30≤x≤32．因?yàn)閤是自然數(shù)，所以x只能取30，31，32．
所以按要求可設(shè)計(jì)出三種生產(chǎn)方案：
方案一：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品20件；
方案二：生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品19件；
方案三：生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品18件；
（2）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50﹣x）件，由題意，得
y＝700x+1200（50﹣x）＝﹣500x+60000
因?yàn)閍＜0，由一次函數(shù)的性質(zhì)知，y隨x的增大而減?。?br>因此，在30≤x≤32的范圍內(nèi)，當(dāng)x取最小值時(shí)y最大，
所以當(dāng)x＝30時(shí)，y取最大值，且y最大值＝45000（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】（1）利用一次函數(shù)求最值時(shí)，主要應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)；
（2）用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題是近年中考中的熱點(diǎn)問(wèn)題．
14．（2017春?松江區(qū)期末）某市為鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，自來(lái)水公司按分段收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，如圖反映的是每月水費(fèi)y（元）與用水量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系．
（1）當(dāng)用水量≥10噸時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（并寫(xiě)出定義域）；
（2）按上述分段收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，小明家四、五月份分別交水費(fèi)42元和27元，問(wèn)五月份比四月份節(jié)約用水多少噸？
【分析】（1）觀察函數(shù)圖象找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出當(dāng)用水量≥10噸時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求出當(dāng)0≤x≤10時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，分別求出四、五月份的用水量，二者做差后即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)x≥10時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝kx+b，
將點(diǎn)（10，30）、（20，70）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴當(dāng)用水量≥10噸時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝4x﹣10（x≥10）．
（2）設(shè)當(dāng)0≤x≤10時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝mx，
將點(diǎn)（10，30）代入y＝mx，
30＝10m，解得：m＝3，
∴y＝3x（0≤x≤10）．
當(dāng)y＝4x﹣10＝42時(shí)，x＝13；
當(dāng)y＝3x＝27時(shí)，x＝9．
13﹣9＝4（噸）．
答：五月份比四月份節(jié)約用水4噸．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，分別求出四、五月份的用水量．
15．（2021秋?普陀區(qū)期末）甲、乙兩車分別從A地將一批物資運(yùn)往B地，兩車離A地的距離s（千米）與其相關(guān)的時(shí)間t（小時(shí)）變化的圖象如圖所示．讀圖后填空：
（1）A地與B地之間的距離是 60 千米；
（2）甲車由A地前往B地時(shí)所對(duì)應(yīng)的s與t的函數(shù)解析式是 s＝20t ；
（3）甲車出發(fā) 1.5 小時(shí)后被乙車追上；
（4）甲車由A地前往B地比乙車由A地前往B地多用了 2 小時(shí)．
【分析】（1）由圖象直接得出A地與B地之間的距離是60千米；
（2）設(shè)s與t的函數(shù)解析式是s＝kt，代入（3，60），得出答案即可；
（3）甲車的函數(shù)解析式建立方程求得答案即可；
（4）由圖象兩車由A地前往B地所用時(shí)間，再進(jìn)一步得出答案即可．
【解答】解：（1）A地與B地之間的距離是60千米；
（2）甲車由A地前往B地時(shí)所對(duì)應(yīng)的s與t的函數(shù)解析式是乙車由A地前往B地時(shí)所對(duì)應(yīng)的s與t的函數(shù)解析式，代入（3，60），得s＝20t；
（3）由題意可知20t＝30，
解得t＝1.5．
所以甲車出發(fā)1.5小時(shí)后被乙車追上；
（4）甲車由A地前往B地比乙車由A地前往B地多用了3﹣1＝2小時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用．解決此類識(shí)圖題，同學(xué)們要注意分析其中的“關(guān)鍵點(diǎn)”，還要善于分析各圖象的變化趨勢(shì)．
16．（2018春?普陀區(qū)期末）小軍和爸爸同時(shí)從家騎自行車去圖書(shū)館，爸爸先以150米/分的速度騎行一段時(shí)間，休息了5分鐘，再以m米/分的速度到達(dá)圖書(shū)館，小軍始終以同一速度騎行，兩人行駛的路程y（米）與時(shí)間x（分）的關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象，解答下列問(wèn)題：
（1）a＝ 10 b＝ 15 ，m＝ 200 ；
（2）若小軍的速度是120米/分，求小軍在途中與爸爸第二次相遇時(shí)，距圖書(shū)館的距離；
（3）在（2）的條件下，爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書(shū)館前，何時(shí)與小軍相距100米？
【分析】（1）根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度，即可求出a值，結(jié)合休息的時(shí)間為5分鐘，即可得出b值，再根據(jù)速度＝路程÷時(shí)間，即可求出m的值；
（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出線段BC、OD所在直線的函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再用3000去減交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）結(jié)論結(jié)合二者之間相距100米，即可得出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
【解答】解：（1）1500÷150＝10（分鐘），
10+5＝15（分鐘），
（3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200（米/分）．
故答案為：10；15；200．
（2）BC段關(guān)系式為：y1＝200x﹣1500，
OD段關(guān)系式為：y2＝120x，
相遇時(shí)，即y1＝y(tǒng)2，即120x＝200x﹣1500
解得：x＝18.75
此時(shí)：y1＝y(tǒng)2＝2250
距離圖書(shū)館：3000﹣2250＝750（米）
答：小軍在途中與爸爸第二次相遇時(shí)，距圖書(shū)館的距離是750米．
（3）當(dāng)y1﹣y2＝100時(shí)，解得x＝20
當(dāng)y2﹣y1＝100時(shí)，解得x＝17.5
答：爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書(shū)館前，17.5分鐘時(shí)和20分鐘時(shí)與小軍相距100米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、解含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程以及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計(jì)算；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出線段BC、OD所在直線的函數(shù)解析式；（3）結(jié)合（2）找出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程
17．（2020春?浦東新區(qū)期末）已知甲、乙兩地相距90km，A、B兩人沿同一公路從甲地出發(fā)到乙地，A騎摩托車，B騎電動(dòng)車，圖中DE、OC分別表示A、B離開(kāi)甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系的圖象，根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：
（1）A比B遲出發(fā) 1 小時(shí)，B的速度是 20 km/h；
（2）在B出發(fā)后幾小時(shí)，兩人相遇？
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可以得到A比B遲出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間，由圖象知B出發(fā)3小時(shí)行駛60km，從而可以求得B的速度；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象和圖象中的數(shù)據(jù)可以O(shè)C和DE對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，然后聯(lián)立方程組即可求得B出發(fā)后幾小時(shí)，兩人相遇．
【解答】解：（1）由圖象可得，
A比B遲出發(fā)1小時(shí)，B的速度是：60÷3＝20km/h，
故答案為：1，20；
（2）設(shè)OC段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y＝kx，
則3k＝60，得k＝20，
即OC段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y＝20x，
設(shè)DE段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y＝ax+b，
，得，
即DE段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y＝45x﹣45，
，得，
∴B出發(fā)小時(shí)，兩人相遇．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．
18．（2018春?青浦區(qū)期末）慶華社區(qū)有一塊空地需要綠化，某綠化組承擔(dān)了此項(xiàng)任務(wù)，綠化組工作一段時(shí)間后，提高了工作效率．該綠化組完成的綠化面積S（單位：m2）與工作時(shí)間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求提高效率后，s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該綠化組提高工作效率后每小時(shí)完成的綠化面積比提高工作效率前每小時(shí)完成的綠化面積多多少？
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法可求直線AB的解析式，
（2）根據(jù)函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出當(dāng)x＝2時(shí)，y的值，再根據(jù)工作效率＝工作總量÷工作時(shí)間，列出算式求出該綠化組提高工作效率前每小時(shí)完成的綠化面積．
【解答】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，則
，
解得．
故直線AB的解析式為y＝450x﹣600，
（2）∵直線AB的解析式為y＝450x﹣600，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝450×2﹣600＝300，
300÷2＝150（m2）．
450﹣150＝300（m2）．
答：該綠化組提高工作效率后每小時(shí)完成的綠化面積比提高工作效率前每小時(shí)完成的綠化面積多300m2．
【點(diǎn)評(píng)】考查了一次函數(shù)的應(yīng)用和函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是根據(jù)待定系數(shù)法求出該綠化組提高工作效率后的函數(shù)解析式，同時(shí)考查了工作效率＝工作總量÷工作時(shí)間的知識(shí)點(diǎn)．
19．（2017春?浦東新區(qū)期末）已知彈簧秤內(nèi)的彈簧在一定限度內(nèi)，它的長(zhǎng)度y（厘米）與所掛重物質(zhì)量x（千克）是一次函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)圖象如圖所示．
（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；
（2）該彈簧秤掛上一個(gè)重物時(shí)，量出彈簧的長(zhǎng)度是7.2厘米，那么這個(gè)重物的質(zhì)量是多少千克？
【分析】（1）設(shè)y＝kx+b，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；
（2）y＝7.2時(shí)，求出x的值即可解決問(wèn)題；
【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，
由題意，
解得，
∴所求的函數(shù)解析式為y＝x+6．
（2）y＝7.2時(shí)，，解得x＝2，
答：這個(gè)重物的質(zhì)量是2千克．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象的知識(shí)點(diǎn)，此題考查的是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，比較簡(jiǎn)單．
20．（2017春?楊浦區(qū)期末）A，B兩地盛產(chǎn)柑桔，A地有柑桔200噸，B地有柑桔300噸．現(xiàn)將這些柑桔運(yùn)到C、D兩個(gè)冷藏倉(cāng)庫(kù)，已知C倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存240噸，D倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存260噸；從A地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元．設(shè)從A地運(yùn)往C倉(cāng)庫(kù)的柑桔重量為x噸，A、B兩地運(yùn)往兩倉(cāng)庫(kù)的柑桔運(yùn)輸費(fèi)用分別為yA元和yB元．
（1）請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表后分別求出yA，yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．
（2）試討論A，B兩地中，哪個(gè)運(yùn)費(fèi)較少？
【分析】（1）首先根據(jù)題意填表，然后由題意結(jié)合表格找到等量關(guān)系，繼而求得yA，yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別從當(dāng)yA＝y(tǒng)B時(shí)，當(dāng)yA＞yB時(shí)，當(dāng)yA＜yB時(shí)去分析，利用一元一次方程與一元一次不等式的知識(shí)，即可求得答案．
【解答】解：（1）
∴yA＝20x+25（200﹣x）＝﹣5x+5000（0≤x≤200），
yB＝15（240﹣x）+18（60+x）＝3x+4680（0≤x≤200）．
（2）當(dāng)yA＝y(tǒng)B時(shí)，﹣5x+5000＝3x+4680，x＝40；
當(dāng)yA＞yB時(shí)，﹣5x+5000＞3x+4680，x＜40；
當(dāng)yA＜yB時(shí)，﹣5x+5000＜3x+4680，x＞40．
∴當(dāng)x＝40時(shí)，yA＝y(tǒng)B即兩地運(yùn)費(fèi)相等；
當(dāng)0≤x＜40時(shí)，yA＞yB即B地運(yùn)費(fèi)較少；
當(dāng)40＜x≤200時(shí)，yA＜yB即A地費(fèi)用較少．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，考查了一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系求得函數(shù)解析式．
21．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）A、B兩地相距600千米，甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)駛向B地，甲車到達(dá)B地后立即返回，它們各自離A地的距離y（千米）與行駛時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示．
（1）求甲車行駛過(guò)程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)它們行駛了7小時(shí)時(shí)，兩車相遇，求乙車的速度．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可以得到甲車行駛過(guò)程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）求得函數(shù)解析式，可以得到當(dāng)x＝7時(shí)的y值，然后用求得的y值除以7即可求得乙車的速度．
【解答】解：（1）當(dāng)0≤x≤6時(shí)，設(shè)甲車行駛過(guò)程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝mx，
把（6，600）代入y＝mx，
6m＝600，
解得m＝100，
∴y＝100x；
當(dāng)6＜x≤14時(shí)，設(shè)甲車行駛過(guò)程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，
把（6，600）、（14，0）代入y＝kx+b，
得
解得，
∴y＝﹣75x+1 050；
即甲車行駛過(guò)程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝；
（2）當(dāng)x＝7時(shí)，y＝﹣75x+1 050
解得，y＝﹣75×7+1 050＝525，
525÷7＝75（千米/時(shí)），
即乙車的速度為75千米/時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．
22．（2021春?越秀區(qū)校級(jí)期末）光華農(nóng)機(jī)租賃公司共有50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型20臺(tái)，乙型30臺(tái)，先將這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往A、B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺(tái)派往A地區(qū)，20臺(tái)派往B地區(qū)．兩地區(qū)與該農(nóng)機(jī)租賃公司商定的每天的租賃價(jià)格見(jiàn)表：
（1）設(shè)派往A地區(qū)x臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金為y（元），求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）若使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于79 600元，說(shuō)明有多少種分配方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來(lái)；
（3）如果要使這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請(qǐng)你為光華農(nóng)機(jī)租賃公司提一條合理化建議．
【分析】（1）在A、B兩地分配甲、乙兩種類型的收割機(jī)，注意各數(shù)之間的聯(lián)系；
（2）由租金總額不低于79 600元求出x的取值范圍設(shè)計(jì)分配方案；
（3）此為求函數(shù)的最大值問(wèn)題．
【解答】解：（1）若派往A地區(qū)的乙型收割機(jī)為x臺(tái)，
則派往A地區(qū)的甲型收割機(jī)為（30﹣x）臺(tái)，
派往B地區(qū)的乙型收割機(jī)為（30﹣x）臺(tái)，
派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為20﹣（30﹣x）＝（x﹣10）臺(tái)．
∴y＝1600x+1800（30﹣x）+1200（30﹣x）+1600（x﹣10）＝200x+74 000，
x的取值范圍是：10≤x≤30，（x是正整數(shù)）；
（2）由題意得200x+74 000≥79 600，解不等式得x≥28，
由于10≤x≤30，x是正整數(shù)，
∴x取28，29，30這三個(gè)值，
∴有3種不同的分配方案．
①當(dāng)x＝28時(shí)，即派往A地區(qū)的甲型收割機(jī)為2臺(tái)，乙型收割機(jī)為28臺(tái)；派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為18臺(tái)，乙型收割機(jī)為2臺(tái)；
②當(dāng)x＝29時(shí)，即派往A地區(qū)的甲型收割機(jī)為1臺(tái)，乙型收割機(jī)為29臺(tái)；派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為19臺(tái)，乙型收割機(jī)為1臺(tái)；
③當(dāng)x＝30時(shí)，即30臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往A地區(qū)；20臺(tái)甲型收割機(jī)全部派往B地區(qū)；
（3）由于一次函數(shù)y＝200x+74 000的值y是隨著x的增大而增大的，
所以當(dāng)x＝30時(shí)，y取得最大值，
如果要使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得租金最高，只需x＝30，此時(shí)y＝6000+74 000＝80 000．
建議農(nóng)機(jī)租賃公司將30臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往A地區(qū)；20臺(tái)甲型收割機(jī)全部派往B地區(qū)，可使公司獲得的租金最高．
【點(diǎn)評(píng)】本題是貼近社會(huì)生活的應(yīng)用題，賦予了生活氣息，使學(xué)生真切地感受到“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的“有用性”．這樣設(shè)計(jì)體現(xiàn)了《新課程標(biāo)準(zhǔn)》的“問(wèn)題情景﹣建立模型﹣解釋、應(yīng)用和拓展”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式．
23．（2018春?靜安區(qū)期末）某大型物件快遞公司送貨員每月的工資由底薪加計(jì)件工資兩部分組成，計(jì)件工資與送貨件數(shù)成正比例．有甲乙兩名送貨員，如果送貨量為x件時(shí)，甲的工資是y1（元），乙的工資是y2（元），如圖所示，已知甲的每月底薪是800元，每送一件貨物，甲所得的工資比乙高2元
（1）根據(jù)圖中信息，分別求出y1和y2關(guān)于x的函數(shù)解析式；（不必寫(xiě)定義域）
（2）如果甲、乙兩人平均每天送貨量分別是12件和14件，求兩人的月工資分別是多少元？（一個(gè)月為30天）
【分析】（1）設(shè)y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為y1＝kx+800，將（200，4800）代入，利用待定系數(shù)法即可求出y1＝20x+800；根據(jù)每送一件貨物，甲所得的工資比乙高2元，可設(shè)y2關(guān)于x的函數(shù)解析式為y2＝18x+b，將（200，4800）代入，利用待定系數(shù)法即可求出y2＝18x+1200；
（2）根據(jù)甲、乙兩人平均每天送貨量分別是12件和14件，得出甲、乙兩人一個(gè)月送貨量分別是12×30＝360件和14×30＝420件．再把x＝360代入y1＝20x+800，x＝420代入y2＝18x+1200，計(jì)算即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為y1＝kx+800，
將（200，4800）代入，
得4800＝200k+800，解得k＝20，
即y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為y1＝20x+800；
∵每送一件貨物，甲所得的工資比乙高2元，
而每送一件貨物，甲所得的工資是20元，
∴每送一件貨物，乙所得的工資比乙高18元．
設(shè)y2關(guān)于x的函數(shù)解析式為y2＝18x+b，
將（200，4800）代入，
得4800＝18×200+b，解得b＝1200，
即y2關(guān)于x的函數(shù)解析式為y2＝18x+1200；
（2）如果甲、乙兩人平均每天送貨量分別是12件和14件，
那么甲、乙兩人一個(gè)月送貨量分別是12×30＝360件和14×30＝420件．
把x＝360代入y1＝20x+800，得y1＝20×360+800＝8000（元）；
把x＝420代入y2＝18x+1200，得y2＝18×420+1200＝8760（元）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求直線的解析式，以及代數(shù)式求值，讀懂題目信息，理解函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．
24．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期末）李老師準(zhǔn)備網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)，現(xiàn)有甲、乙兩家網(wǎng)站供李老師選擇，已知甲網(wǎng)站的收費(fèi)方式是：月使用費(fèi)7元，包時(shí)上網(wǎng)時(shí)間25小時(shí)，超時(shí)費(fèi)每分鐘0.01元；乙網(wǎng)站的月收費(fèi)方式如圖所示．設(shè)李老師每月上網(wǎng)的時(shí)間為x小時(shí)，甲、乙兩家網(wǎng)站的月收費(fèi)金額分別是y1、y2．
（1）請(qǐng)根據(jù)圖象信息填空：乙網(wǎng)站的月使用費(fèi)是 10 元，超時(shí)費(fèi)是每分鐘 0.01 元；
（2）寫(xiě)出y1與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）李老師選擇哪家網(wǎng)站在線學(xué)習(xí)比較合算？
【分析】（1）由圖象可知乙超時(shí)25小時(shí)費(fèi)用多出15元，可按比例求解．
（2）關(guān)鍵題意，甲上網(wǎng)時(shí)間與所付費(fèi)用之間是一次函數(shù)關(guān)系，且比例系數(shù)已知，用待定系數(shù)法求解．
（3）可用圖象法或分析法求解．
【解答】解：（1）由圖象可知；乙網(wǎng)站的月使用費(fèi)是10元；
當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)50小時(shí)就開(kāi)始收取超時(shí)費(fèi)：
15÷25÷60＝0.01 （元）
即：超時(shí)費(fèi)每分鐘是0.01元．
（2）當(dāng)0≤x≤25時(shí)，y1＝7．
當(dāng)x＞25時(shí)，設(shè)y1 與x之間的關(guān)系式：y1＝kx+b
其中，k＝0.6，當(dāng)x＝25時(shí) y1＝7
即：7＝0.6×25+b
解之得b＝﹣8
所以當(dāng)x＞25時(shí)，y1＝0.6x﹣8．
（3）y2＝，
當(dāng)x＝30時(shí)，因?yàn)閥1＝0.6×30﹣8＝10（元），y2＝10，
所以，當(dāng)x＝30時(shí)，選擇哪家都一樣
當(dāng) x＜30時(shí)，y2＝10（元），y1＜0.6×30﹣8＝10（元），故選擇甲網(wǎng)站比較合算
當(dāng)30＜x≤50時(shí)，選擇乙網(wǎng)站比較合算；
當(dāng)x＞50時(shí)，y1＞y2，選擇乙網(wǎng)站比較合算；
故x＜30時(shí)，選擇甲網(wǎng)站比較合算；
x＝30時(shí)，選擇哪家都一樣；
x＞30時(shí)，選擇乙網(wǎng)站比較合算．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的圖象及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)圖象的意義．
25．（2017春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知水銀體溫計(jì)的讀數(shù)y（℃）與水銀柱的長(zhǎng)度x（cm）之間是一次函數(shù)關(guān)系．現(xiàn)有一支水銀體溫計(jì)，其部分刻度線不清晰（如圖），表中記錄的是該體溫計(jì)部分清晰刻度線及其對(duì)應(yīng)水銀柱的長(zhǎng)度．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫(xiě)出函數(shù)的定義域）；
（2）用該體溫計(jì)測(cè)體溫時(shí)，水銀柱的長(zhǎng)度為6.2cm，求此時(shí)體溫計(jì)的讀數(shù)．
【分析】（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，由統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)建立方程組求出其解即可；
（2）當(dāng)x＝6.2時(shí)，代入（1）的解析式就可以求出y的值．
【解答】解：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，由題意，得
，
解得：，
∴y＝x+29.75．
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝+29.75；
（2）當(dāng)x＝6.2時(shí)，
y＝×6.2+29.75＝37.5．
答：此時(shí)體溫計(jì)的讀數(shù)為37.5℃．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，由解析式根據(jù)自變量的值求函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
四．三角形中位線定理（共1小題）
26．（2018春?浦東新區(qū)期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足為點(diǎn)D，M是邊AB的中點(diǎn)，AB＝20，AC＝10，求線段DM的長(zhǎng)．
【分析】延長(zhǎng)AD交BC于E，根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD＝DE，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．
【解答】解：延長(zhǎng)AD交BC于E，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝＝10，
∵CD平分∠ACB，AD⊥CD，
∴∠ACD＝∠ECD，∠ADC＝∠EDC＝90°，
∴∠CAD＝∠CED，
∴CA＝CE＝10，
∴AD＝DE，
∵M(jìn)是邊AB的中點(diǎn)，
∴DM＝BE＝×（10﹣10）＝5﹣5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
五．平行四邊形的性質(zhì)（共2小題）
27．（2017春?楊浦區(qū)期末）如圖所示，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，下列式子中一定成立的是（）
A．AC⊥BDB．OA＝OCC．AC＝BDD．AO＝OD
【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分即可判斷．
【解答】解：A、菱形的對(duì)角線才相互垂直．故不對(duì)．
B、根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可知此題選B．
C、只有平行四邊形為矩形時(shí)，其對(duì)角線相等，故也不對(duì)．
D、只有平行四邊形為矩形時(shí)，其對(duì)角線相等且平分．故也不對(duì)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)．即平行四邊形的對(duì)角線互相平分．
28．（2020春?崇明區(qū)期末）如圖所示，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD＝2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB的中點(diǎn)．證明：
（1）BE⊥AC；
（2）EG＝EF．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證得BC＝BO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出EG＝AB，由三角形中位線定理求得EF＝DC，根據(jù)AB＝DC即可得到結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AB＝DC，BD＝2OB＝2OD，
∵BD＝2AD，
∴OB＝BC，
∵E為OB中點(diǎn)，
∴BE⊥AC（三線合一定理）；
（2）∵∠AEB＝90°，
∵G為AB中點(diǎn)，
∴AB＝2EG（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∵AB＝CD，
∴CD＝2EG，
∵E、F分別是OC、OD中點(diǎn)，
∴CD＝2EF，
∴EG＝EF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出EG＝AB，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)．
六．平行四邊形的判定與性質(zhì)（共3小題）
29．（2017春?松江區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于E點(diǎn)，DF∥AC，∠DFC＝∠AEB，連接EF．
（1）求證：DF＝AE；
（2）求證：四邊形BCFE是平行四邊形．
【分析】（1）首先證明四邊形DECF是平行四邊形，推出DF＝CE，再證明AE＝CE即可；
（2）只要證明EF∥BC，EF＝BC即可；
【解答】證明：（1）∵DF∥AC，
∴∠DFC+∠FCE＝180°，
∵∠DFC＝∠DEC，
∴∠DEC+∠FCE＝180°，
∴CF∥DE，
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∴DF＝EC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE＝CE，
∴DF＝AE．
（2）∵DF＝AE，DF∥AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD＝EF，AD∥EF，
∵AD＝BC，AD∥BC，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴四邊形BCFE是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是首先證明四邊形ECFD是平行四邊形．
30．（2018春?浦東新區(qū)期末）如圖，△ABC中，AD是邊BC上的中線，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，DE與AC、AE分別交于點(diǎn)O、點(diǎn)E，連接EC．
（1）求證：AD＝EC；
（2）當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形．
【分析】（1）先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證四邊形ADCE是平行四邊形，即得AD＝CE；
（2）由∠BAC＝90°，AD是邊BC上的中線，即得AD＝BD＝CD，證得四邊形ADCE是平行四邊形，即證；
【解答】證明：（1）∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE∥BD，且AE＝BD
又∵AD是BC邊的中線，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，
∵AE∥CD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴AD＝EC；
（2）∵∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的中線，
∴AD＝BD＝CD，
又∵四邊形ADCE是平行四邊形，
∴四邊形ADCE是菱形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，（1）證得四邊形ABDE，四邊形ADCE為平行四邊形即得；（2）由∠BAC＝90°，AD上斜邊BC上的中線，即得AD＝BD＝CD，證得四邊形ADCE是平行四邊形，從而證得四邊形ADCE是菱形．
31．（2017春?靜安區(qū)期末）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且AE＝CG，AH＝CF，EG平分∠HEF．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）求證：四邊形EFGH是菱形．
【分析】（1）由于四邊形ABCD是平行四邊形，易得∠A＝∠C，∠B＝∠D，結(jié)合AE＝CG，AH＝CF，利用SAS可證△AEH≌△CGF，于是
EH＝FG，而AB＝CD，AD＝BC，利用等式性質(zhì)易得BE＝DG，BF＝DH，再利用SAS可證△BEF≌△DGH，于是EF＝GH，易證四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）由（1）知四邊形EFGH是平行四邊形，那么EF∥GH，那么∠HGE＝∠FEG，而EG是角平分線，易得∠HEG＝∠FEG，
等量代換可得∠HEG＝∠HGE，從而有HE＝HG，易證四邊形EFGH是菱形．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
又∵AE＝CG，AH＝CF，
∴△AEH≌△CGF，
∴EH＝FG，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△BEF≌△DGH，
∴EF＝GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴HG∥EF，
∴∠HGE＝∠FEG，
∵∠HEG＝∠FEG，
∴∠HEG＝∠HGE，
∴HE＝HG，
∴四邊形EFGH是菱形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定．解題的關(guān)鍵是掌握兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
七．菱形的性質(zhì)（共1小題）
32．（2019春?浦東新區(qū)期末）已知如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求證：四邊形AODE是矩形；
（2）若AB＝6，∠BCD＝120°，求四邊形AODE的面積．
【分析】（1）先判斷出四邊形AODE是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直可得AC⊥BD，然后根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明；
（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠ABC＝60°，判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OA、OB，然后得到OD，再根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解．
【解答】（1）證明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形AODE是平行四邊形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四邊形AODE是矩形；
（2）解：∵∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴OA＝×6＝3，OB＝×6＝3，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴OD＝OB＝3，
∴四邊形AODE的面積＝OA?OD＝3×3＝9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定，平行四邊形的判定，主要利用了有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，熟練掌握矩形，菱形與平行四邊形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
八．菱形的判定（共1小題）
33．（2018春?奉賢區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC，且CE＝CD．
（1）求證：∠B＝∠DEC；
（2）求證：四邊形ADCE是菱形．
【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理證明即可；
（2）首先證明AD＝EC，AD∥EC，可得四邊形ADCE是平行四邊形，再根據(jù)CD＝CE可得四邊形是菱形；
【解答】（1）證明：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CD＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∵DE∥BC，
∴∠DCB＝∠CDE，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠B＝∠CED．
（2）證明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠B＝∠DEC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴AD∥EC，
∵EC＝CD＝AD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵CD＝CE，
∴四邊形ADCE是菱形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
九．矩形的性質(zhì)（共3小題）
34．（2018秋?崇明區(qū)期末）如果從一個(gè)四邊形一邊上的點(diǎn)到對(duì)邊的視角是直角，那么稱該點(diǎn)為直角點(diǎn)．例如，如圖的四邊形ABCD中，點(diǎn)M在CD邊上，連接AM、BM，∠AMB＝90°，則點(diǎn)M為直角點(diǎn)．若點(diǎn)E、F分別為矩形ABCD邊AB、CD上的直角點(diǎn)，且AB＝5，BC＝，則線段EF的長(zhǎng)為或．
【分析】作FH⊥AB于點(diǎn)H，利用已知得出△ADF∽△FCB，進(jìn)而得出＝，求得構(gòu)造的直角三角形的兩條直角邊即可得出答案．
【解答】解：作FH⊥AB于點(diǎn)H，連接EF．
∵∠AFB＝90°，
∴∠AFD+∠BFC＝90°，
∵∠AMD+∠DAM＝90°，
∴∠DAF＝∠BFC
又∵∠D＝∠C，
∴△ADF∽△FCB，
∴＝，即＝，
∴FC＝2或3．
∵點(diǎn)F，E分別為矩形ABCD邊CD，AB上的直角點(diǎn)，
∴AE＝FC，
∴當(dāng)FC＝2時(shí)，AE＝2，EH＝1，
∴EF2＝FH2+EH2＝（）2+12＝7，
∴EF＝．
當(dāng)FC＝3時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合，即EF＝BC＝，
綜上，EF＝或．
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)和勾股定理，得出△ADF∽△FCB是解題關(guān)鍵．
35．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F和G分別平分線段AB、OD和OA．
（1）求證：四邊形OFGE是平行四邊形．
（2）猜想：當(dāng)∠ABD＝ 30 °時(shí)四邊形OFGE是菱形，并證明．
【分析】（1）由三角形中位線知識(shí)可得OE∥FG，OE＝FG，進(jìn)而可以得到四邊形OFGE是平行四邊形；
（2）證明△AOD為等邊三角形，可得當(dāng)∠ABD＝30°時(shí)，四邊形OFGE是菱形．
【解答】（1）證明：∵矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，
∴OD＝OB＝OA，
又∵點(diǎn)E、F和G分別平分線段AB、OD和OA，
∴OE為△ABD的中位線，F(xiàn)G為△AOD的中位線，
∴，OE∥AD，F(xiàn)G∥AD，，
∴OE∥FG，OE＝FG，
∴四邊形OFGE是平行四邊形；
（2）解：由（1）知，四邊形OFGE是平行四邊形，當(dāng)四邊形OFGE是菱形時(shí)，
則OF＝FG，
∴OD＝AD，
∴△AOD為等邊三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∴當(dāng)∠ABD＝30°時(shí)，四邊形OFGE是菱形．
故答案為：30．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的性質(zhì)．
36．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，矩形ABCO中，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣6，8）．矩形ABCO沿直線BD折疊，使得點(diǎn)A落在對(duì)角線OB上的點(diǎn)E處，折痕與OA、x軸分別交于點(diǎn)D、F．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)N是平面內(nèi)任一點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使M、N、E、O為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得：BE＝AB＝6，∠BED＝∠BAD＝90°，DE＝AD，求出OE＝BO﹣BE＝4，∠OED＝90°，設(shè)D（0，a），則OD＝a，DE＝AD＝OA﹣OD＝8﹣a，在Rt△EOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）①當(dāng)OM、OE都為菱形的邊時(shí)，OM＝OE＝4，得出M的坐標(biāo)為（4，0）或（﹣4，0）；
②當(dāng)OM為菱形的邊，OE為對(duì)角線時(shí)，MN垂直平分OE，垂足為G，則OG＝OE＝2，根據(jù)勾股定理求出OM即可；
③當(dāng)OM為菱形的對(duì)角線，OE為邊時(shí)，同②得：M（﹣，0）；即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣6，8）．
∴∠BAD＝∠OCB＝90°，AB＝OC＝6，OA＝BC＝8，
∴BO＝＝10；
由折疊的性質(zhì)得：BE＝AB＝6，∠BED＝∠BAD＝90°，DE＝AD，
∴OE＝BO﹣BE＝10﹣6＝4，∠OED＝90°，
設(shè)D（0，a），則OD＝a，DE＝AD＝OA﹣OD＝8﹣a，
在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2＝OD2，
即（8﹣a）2+42＝a2，解得：a＝5，
∴D（0，5）；
（2）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣，0）；理由如下：
①當(dāng)OM、OE都為菱形的邊時(shí)，OM＝OE＝4，
∴M的坐標(biāo)為（4，0）或（﹣4，0）；
②當(dāng)OM為菱形的邊，OE為對(duì)角線時(shí)，MN垂直平分OE，垂足為G，如圖1所示：
則OG＝OE＝2，
∵OA＝8，OD＝5，
∴AD＝DE＝3，
∴E到y(tǒng)軸的距離＝＝＝，
∴OH＝，
∵EM2﹣MH2＝42﹣（）2，
∴OM2﹣（OM﹣）2＝42﹣（）2，
解得：OM＝，
∴M（﹣，0）；
③當(dāng)OM為菱形的對(duì)角線，OE為邊時(shí)，如圖2所示：
同②得：M（﹣，0）；
綜上所述，在x軸上存在點(diǎn)M，使以M、N、E、O為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角函數(shù)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．
一十．正方形的性質(zhì)（共5小題）
37．（2020秋?浦東新區(qū)期末）如圖在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交CB、DC延長(zhǎng)線于E、F點(diǎn)且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，則EF＝ 6 ．
【分析】把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AD，交CD于點(diǎn)G，證明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE＝7﹣1＝6．
【解答】解：如圖，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到DA，交CD于點(diǎn)G，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAG+∠BAF＝45°，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠GAF＝45°，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF＝GF，
∵BE＝1，DF＝7，
∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE＝7﹣1＝6，
故答案為6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，注意旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用．
38．（2018春?嘉定區(qū)期末）已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四邊形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE＝2．
（1）如圖1，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，求△GFC的面積；
（2）如圖2，當(dāng)四邊形EFGH為菱形時(shí)，設(shè)BF＝x，△GFC的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域．
【分析】（1）只要證明△AEH≌△BFE．推出BF＝AE＝2，由△MGF≌△BFE，推出△MGF≌△AEH，求出FC、GM即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC，垂足為M，連接HF，根據(jù)S△GFC＝FC?GM，計(jì)算即可．
【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC，垂足為M．
由矩形ABCD可知：∠A＝∠B＝90°，
由正方形EFGH可知：
∠HEF＝90°，EH＝EF，
∴∠1+∠2＝90°，
又∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△AEH≌△BFE．
∴BF＝AE＝2，
同理可證：△MGF≌△BFE，
∴△MGF≌△AEH，
∴GM＝AE＝2，
又 FC＝BC﹣BF＝12﹣2＝10，
∴S△GFC＝FC?GM＝×10×2＝10．
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC，垂足為M，連接HF．
由矩形ABCD得：AD∥BC，
∴∠AHF＝∠HFM，
由菱形EFGH得：EH∥FG，EH＝FG，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
又∠A＝∠M＝90°，EH＝FG，
∴△MGF≌△AEH，
∴GM＝AE＝2，
又 BF＝x，∴FC＝12﹣x，
∴S△GFC＝FC?GM＝（12﹣x）?2＝12﹣x，
即：S＝12﹣x，
定義域：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
39．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，CE⊥AC與AD邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形BCED是平行四邊形；
（2）延長(zhǎng)DB至點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF，若CF＝BD，求∠BCF的大?。?br>【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得出AC⊥DB，BC∥AD，再利用平行線的判定與性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的判定方法得出答案；
（2）利用正方形的性質(zhì)結(jié)合直角三角形的性質(zhì)得出∠OFC＝30°，即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥DB，BC∥AD，
∵CE⊥AC，
∴∠AOD＝∠ACE＝90°，
∴BD∥CE，
∴四邊形BCED是平行四邊形；
（2）解：連接AF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，BD＝AC＝2OB＝2OC，
即OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，
∵Rt△OCF中，CF＝BD＝2OC，
∴∠OFC＝30°，
∴∠BCF＝60°﹣45°＝15°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和直角三角形的性質(zhì)，正確應(yīng)用正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
40．（2017春?楊浦區(qū)期末）已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為厘米，對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)．點(diǎn)E從點(diǎn)A，點(diǎn)F從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，沿對(duì)角線以1厘米/秒的相同速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角邊于H，過(guò)F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角邊于G，連接HG，EB．設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1，AE，EB，BA圍成的圖形面積為S2（這里規(guī)定：線段的面積為0）E到達(dá)C，F(xiàn)到達(dá)A停止．若E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，解答下列問(wèn)題：
（1）如圖，判斷四邊形EFGH是什么四邊形，并證明；
（2）當(dāng)0＜x＜8時(shí)，求x為何值時(shí)，S1＝S2；
（3）若y是S1與S2的和，試用x的代數(shù)式表示y．（如圖為備用圖）
【分析】（1）首先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相同得出AE＝CF，再由正方形的性質(zhì)及已知EH⊥AC，F(xiàn)G⊥AC得出△CGF與△AHE都是等腰直角三角形，然后根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形得出結(jié)論；
（2）首先由勾股定理求出正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為16．再連接BD交AC于O，則BO＝8．然后用含x的代數(shù)式分別表示S1，S2，當(dāng)S1＝S2時(shí)得出關(guān)于x的方程，解方程即可；
（3）因?yàn)楫?dāng)x＝8時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，此時(shí)S1＝0，y＝S2．故應(yīng)分0≤x＜8與8≤x≤16兩種情況討論．
【解答】解：（1）四邊形EFGH是矩形．理由如下：
∵點(diǎn)E從點(diǎn)A，點(diǎn)F從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，沿對(duì)角線以1厘米/秒的相同速度運(yùn)動(dòng)，
∴AE＝CF．
∵EH⊥AC，F(xiàn)G⊥AC，
∴EH∥FG．
∵ABCD為正方形，
∴AD＝DC，∠D＝90°，∠GCF＝∠HAE＝45°，
又∵EH⊥AC，F(xiàn)G⊥AC，
∴∠CGF＝∠AHE＝45°，
∴∠GCF＝∠CGF，∠HAE＝∠AHE，
∴AE＝EH，CF＝FG，∴EH＝FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵EH⊥AC
∴平行四邊形EFGH是矩形；
（2）∵正方形邊長(zhǎng)為，∴AC＝16．
∵AE＝x，連接BD交AC于O，則BO⊥AC且BO＝8，
∴S2＝?AE?BO＝4x．
∵CF＝GF＝AE＝x，∴EF＝16﹣2x，
∴S1＝EF?GF＝x（16﹣2x）．
當(dāng)S1＝S2時(shí)，x（16﹣2x）＝4x，
解得x1＝0（舍去），x2＝6．
∴當(dāng)x＝6時(shí)，S1＝S2；
（3）①當(dāng)0≤x＜8時(shí)，y＝x（16﹣2x）+4x＝﹣2x2+20x．
②當(dāng)8≤x≤16時(shí)，AE＝x，CE＝HE＝16﹣x，EF＝16﹣2（16﹣x）＝2x﹣16．
∴S1＝（16﹣x）（2x﹣16）．
∴y＝（16﹣x）（2x﹣16）+4x＝﹣2x2+52x﹣256．
綜上，可知y＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．
41．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長(zhǎng)為 +3 ．
【分析】根據(jù)陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，得出陰影部分的面積為6，空白部分的面積為3，進(jìn)而依據(jù)△BCG的面積以及勾股定理，得出BG+CG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出其周長(zhǎng)．
【解答】解：∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，
∴陰影部分的面積為×9＝6，
∴空白部分的面積為9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為×3＝，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
設(shè)BG＝a，CG＝b，則ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+CG＝，
∴△BCG的周長(zhǎng)＝+3，
故答案為：+3．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形面積問(wèn)題．解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
一十一．正方形的判定（共2小題）
42．（2018春?青浦區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE∥BD，AE與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，DE交AB于F．
（1）求證：BC＝BE；
（2）連接CF，若∠ADF＝∠BCF且AD＝2AF，求證：四邊形ABCD是正方形．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得：AD∥BC，AD＝BC，又由平行四邊形的判定得：四邊形AEBD是平行四邊形，又由平行四邊形的對(duì)邊相等可得結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）：四邊形AEBD是平行四邊形，對(duì)角線互相平分可得：AF＝BF＝AB，EF＝FD，從而證明AD＝AB，即鄰邊相等，證明EF＝FC＝FD，得∠FDC＝∠FCD，從而∠BCD＝90°，根據(jù)有一個(gè)角是直角，鄰邊相等的平行四邊形是正方形可得結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE∥BD，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
∴AD＝EB，
∴BC＝BE；
（2）由（1）知：四邊形AEBD是平行四邊形，
∴AF＝BF＝AB，EF＝FD，
∵AD＝2AF，
∴AB＝AD，
∵AD∥EC，
∴∠ADF＝∠BCF，
∴∠FEC＝∠BCF，
∴EF＝FC＝FD，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴∠ADF+∠FDC＝∠FCD+∠BCF，
即∠ADC＝∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝90°，
∴四邊形ABCD是正方形．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、正方形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，正確利用平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
43．（2018春?浦東新區(qū)期末）已知：如圖，在等邊三角形ABC中，過(guò)邊AB上一點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，過(guò)邊AC上一點(diǎn)G作GF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，BE＝CF，聯(lián)結(jié)DG．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）連接AF，當(dāng)∠BAF＝3∠FAC時(shí)，求證：四邊形DEFG是正方形．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定證明即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定解答即可．
【解答】證明：（1）在等邊三角形ABC中，
∵DE⊥BC，GF⊥BC，
∴∠DEF＝∠GFC＝90°，
∴DE∥GF，
∵∠B＝∠C＝60°，BE＝CF，∠DEB＝∠GFC＝90°，
∴△BDE≌△CGF，
∴DE＝GF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）如圖，連接AF，
在平行四邊形DEFG中，
∵∠DEF＝90°，
∴平行四邊形DEFG是矩形，
∵∠BAC＝60°，∠BAF＝3∠FAC，
∴∠GAF＝15°，
在△CGF中，
∵∠C＝60°，∠GFC＝90°，
∴∠CGF＝30°，
∵∠CGF＝∠GAF+∠GFA＝30°，
∴∠GFA＝15°，
∴∠GAF＝∠GFA，
∴GA＝GF，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B＝60°，
∴△DAG是等邊三角形，
∴GA＝GD，
∴GD＝GF，
∴矩形DEFG是正方形．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定解答．
一十二．梯形（共5小題）
44．（2021春?浦東新區(qū)期末）已知梯形的兩底邊長(zhǎng)分別為6和8，一腰長(zhǎng)為7，則另一腰長(zhǎng)a的取值范圍是 5＜a＜9 ．
【分析】作輔助線：平移一腰，則構(gòu)造了一個(gè)三角形：三邊是兩腰和梯形的兩底之差．再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和＞第三邊，兩邊之差＜第三邊．則另一腰＞7﹣2而＜7+2，即5＜a＜9．
【解答】解：已知AD＝6，BC＝8，AB＝7，DC＝a，過(guò)D點(diǎn)作DE∥AB
∵AD∥BC，DE∥AB
∴四邊形ADEB為平行四邊形
∴AD＝BE＝6，DE＝AB＝7
∴EC＝BC﹣AD＝2
在△DEC中：DE+EC＞DC，即a＜9
DE﹣EC＜DC，即a＞5
∴另一腰長(zhǎng)a的取值范圍是：5＜a＜9．
【點(diǎn)評(píng)】注意梯形中常見(jiàn)的輔助線：平移一腰．
45．（2020春?閔行區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，E為BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)ED，BD．
（1）求證：四邊形ABED是平行四邊形；
（2）如果∠ADB+∠DCB＝90°，求證：四邊形ABED是菱形．
【分析】（1）因?yàn)锳D∥BC，若要四邊形AECD是平行四邊形，即證明AD＝BE即可；
（2）證明△BDC是直角三角形，根據(jù)E是BC的中點(diǎn)，證明DE＝BE，則可得四邊形EFDG是菱形．
【解答】證明：（1）∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝BC，
∵AD＝BC，
∴BE＝AD，
∵AD∥BE，
∴四邊形ABED為平行四邊形；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠ADB+∠DCB＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，
在△BDC中，∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝90°，
∴△BDC是直角三角形，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴DE＝BC，
∵BE＝BC，
∴DE＝BE，
∵四邊形ABED為平行四邊形，
∴四邊形EFDG是菱形．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了梯形，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
46．（2020春?松江區(qū)期末）如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC．AD＝AB，BC＝2AD．E是BC邊的中點(diǎn)，AE、BD相交于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；
（2）設(shè)邊CD的中點(diǎn)為G，聯(lián)結(jié)EG．求證：四邊形FEGD是矩形．
【分析】（1）根據(jù)“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明；
（2）根據(jù)題意，首先判定四邊形DFEG是平行四邊形，然后推知其有一內(nèi)角為直角，此題得證．
【解答】（1）證明：如圖，∵AD∥BC，
∴AD∥EC．
∵BC＝2AD，E是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD＝EC．
∴四邊形AECD是平行四邊形；
（2）證明：如圖，連接GE，
由（1）知，四邊形AECD是平行四邊形，則FE∥DG．
又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，
∴EG∥BD，即EG∥FD，
∴四邊形DFEG是平行四邊形．
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠1＝∠2．
又∵AD＝AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，即BF是∠ABE的平分線．
∵BC＝2AD，E是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD＝BE．
∴AB＝BE，
∴BF⊥AE，
∴平行四邊形FEGD是矩形．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了梯形，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，解題時(shí)，需要熟練掌握矩形與平行四邊形間的關(guān)系．
47．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，45°＜∠B＜90°，設(shè)BP＝x，四邊形APCD的面積為y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（2）聯(lián)結(jié)PD，當(dāng)△APD是以AD為腰的等腰三角形時(shí)，求四邊形APCD的面積．
【分析】（1）作AH⊥BC于H．設(shè)AH＝h．構(gòu)建方程求出h即可解決問(wèn)題．
（2）分兩種情形分別討論求解即可；
【解答】（1）解：作AH⊥BC于H．設(shè)AH＝h．
由題意：+10+h＝24，
整理得：h2﹣14h+48＝0，
解得h＝8或6（舍棄），
∴y＝（10+24﹣x）×8，即y＝﹣4x+136（0＜x＜24）
（2）解：①當(dāng)AP＝AD＝10時(shí)，∵AB＝AD＝10，
∴AP＝AB＝10，
∵BH＝6，
∴BP＝2BH＝12，
即x＝12，
∴y＝88．
②當(dāng)PD＝AD＝10時(shí)，四邊形ABPD是平行四邊形或等腰梯形，
∴BP＝AD＝10或BP＝2BH+AD＝22，
即x＝10或22，
∴y＝96或48，
綜上所述，四邊形APCD的面積為88或96或48．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查梯形、等腰三角形的性質(zhì)勾股定理、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．
48．（2019春?浦東新區(qū)期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，EF∥AD，點(diǎn)P與AD在直線EF的兩側(cè)，∠EPF＝90°，PE＝PF，射線EP、FP與邊BC分別相交于點(diǎn)M、N，設(shè)AE＝x，MN＝y(tǒng)．
（1）求邊AD的長(zhǎng)；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；
（3）如果MN的長(zhǎng)為2，求梯形AEFD的面積．
【分析】（1）過(guò)D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點(diǎn)G、H，從而判定四邊形ABHD是矩形，在RT△DHC中求出CH的長(zhǎng)，利用AD＝BH＝BC﹣CH可得出AD的長(zhǎng)．
（2）首先確定PM＝PN，過(guò)點(diǎn)P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，根據(jù)∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，繼而可得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，也能得出定義域．
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，由MN＝2及（2）的結(jié)論得2＝﹣3x+10，AE＝，可求得梯形的面積，②當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD外部時(shí)，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，可求得梯形的面積．
【解答】解：（1）過(guò)D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點(diǎn)G、H，
∵梯形ABCD中，∠B＝90°，
∴DH∥AB，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABHD是矩形，
∵∠C＝45°，
∴∠CDH＝45°，
∴CH＝DH＝AB＝8，
∴AD＝BH＝BC﹣CH＝6．
（2）∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，
∴FG＝DG＝AE＝x，
∵EG＝AD＝6，
∴EF＝x+6，
∵PE＝PF，EF∥BC，
∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
過(guò)點(diǎn)P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，
∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，
∴PQ＝EF＝，PR＝MN＝，
∵QR＝BE＝8﹣x，
∴，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣3x+10．定義域?yàn)?≤x＜．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，由MN＝2及（2）的結(jié)論得2＝﹣3x+10，AE＝，
∴（AD+EF）?AE＝，
當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD外部時(shí)，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，
∴（AD+EF）?AE＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查梯形及有實(shí)際問(wèn)題列一次函數(shù)關(guān)系式的知識(shí)，屬于綜合性較強(qiáng)的題目，難度較大，對(duì)于此類題目要學(xué)會(huì)由小及大，將所求的問(wèn)題縮小，一步一步求解．
一十三．等腰梯形的性質(zhì)（共1小題）
49．（2017春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，D是AC上一點(diǎn)，DE∥AB交BC于點(diǎn)E，且AD＝DE，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，BF＝BE，連接FD．
（1）試判斷四邊形ADEB的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）求證：BE＝FD．
【分析】（1）結(jié)論：四邊形ADEB是等腰梯形．首先證明四邊形ADEB是梯形，再證明∠A＝∠B即可；
（2）只要證明四邊形BEDF是平行四邊形即可；
【解答】解：（1）結(jié)論：四邊形ADEB是等腰梯形．
理由：∵AC、BC是△ABC的兩邊，
∴AC與BC不平行，即BE與AD不平行，
∵DE∥AB，
∴四邊形ADEB是梯形，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴梯形ADEB是等腰梯形．
（2）∵梯形ADEB是等腰梯形，
∴AD＝BE，
∵AD＝ED，
∴BE＝DE，
∵BE＝BF，
∴DE＝BF，
∵DE∥AB，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴BE＝FD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰梯形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰梯形的判定方法，平行四邊形的判定方法，屬于中考?？碱}型．
一十四．等腰梯形的判定（共2小題）
50．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＞BC，AB＝DC，E是AD．上方一點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)EA、ED、EB、EC，已知EA＝ED，點(diǎn)F、G分別是EB、EC與AD的交點(diǎn)．
求證：四邊形FBCG是等腰梯形．
【分析】證明△ABE≌△CDE（SAS），可得EB＝EC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EFG＝∠EGF，所以EF＝EG，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．
【解答】證明：∵AB＝DC，
∴∠BAD＝∠CDA，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAB＝∠BAD+∠EAD，∠EDC＝∠CDA+∠EDA，
∴∠EAB＝∠EDC，
在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠EFG，∠ECB＝∠EGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝EG，
∴FB＝GC，
∵FG∥BC，
∴四邊形FBCG是等腰梯形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．
51．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD上的點(diǎn)（不與CD的中點(diǎn)重合），DE＝AB，∠BAC＝∠D，AD＝AC．
（1）求證：四邊形AECB是等腰梯形；
（2）點(diǎn)F是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BC＝CF，聯(lián)結(jié)CF、EF，若AC⊥EF，求證：四邊形AECF是菱形．
【分析】（1）由AD＝AC，證得∠D＝∠ACD，由∠BAC＝∠D，推出∠ACD＝∠BAC，由平行線的判定推出AB∥DE，根據(jù)三角形的判定證得△ADE≌△CAB，即可證得AE＝BC，由等腰梯形的判定即可證得結(jié)論；
（2）通過(guò)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝CE，推出四邊形AECF是平行四邊形，然后由菱形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵AD＝AC，
∴∠D＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠D，
∴∠ACD＝BAC，
∴AB∥DE，
在△ADE和△CAB中，，
∴△ADE≌△CAB，
∴AE＝BC，
∴四邊形AECB是等腰梯形；
（2）由（1）得AE＝BC，∠AEC＝∠BCE，AB∥EC，
∴∠FAC＝∠ACE，
∵BC＝CF，
∴AE＝CF，∠FBC＝∠BFC，
∴∠BFC＝∠AEC，
在△AEC和△CFA中，，
∴△AEC≌△AFC，
∴AF＝CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴?AECF是菱形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
一十五．梯形中位線定理（共1小題）
52．（2018春?閔行區(qū)期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，如果AD＝4，BC＝10，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，那么EF＝ 7 ．
【分析】根據(jù)梯形中位線定理得到EF＝（AD+BC），然后把AD＝4，BC＝10代入可求出EF的長(zhǎng)．
【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，
∴EF為梯形ABCD的中位線，
∴EF＝（AD+BC）＝（4+10）＝7．
故答案為7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．
一十六．*平面向量（共4小題）
53．（2021春?虹口區(qū)校級(jí)期末）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)非零向量、、，它們的模都相等，并且兩兩的夾角均為120度，則++＝．
【分析】延長(zhǎng)AO到T，使得OT＝OA，連接TB．證明+＝+＝，再證明BT∥OC，BT＝OC，可得結(jié)論．
【解答】解：延長(zhǎng)AO到T，使得OT＝OA，連接TB．
∵＝，
∴+＝+＝，
∵OB＝OT，∠BOT＝60°，
∴△OBT是等邊三角形，
∴∠T＝∠TOC＝60°，
∴BT∥OC，BT＝OC，
∴+＝，
∴++＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量，三角形法則等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用三角形法則解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
54．（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上．
（1）填空：+＝ .﹣＝；
（2）求作：+（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，寫(xiě)出結(jié)果）
【分析】（1）根據(jù)向量的平行四邊形法則寫(xiě)出+即可，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得＝，然后根據(jù)向量的三角形法則求解即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得＝，然后根據(jù)向量的平行四邊形法則作出以DC、DE為鄰邊的平行四邊形，其對(duì)角線即為所求．
【解答】解：（1）+＝，
∵＝，
∴﹣＝﹣＝；
故答案為：；．
（2）如圖，即為所求+．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，向量的問(wèn)題，熟練掌握平行四邊形法則和三角形法則是解題的關(guān)鍵．
55．（2019春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)E在四邊形ABCD的邊AB上，設(shè)＝，＝，＝．
（1）試用向量、和表示向量，；
（2）在圖中求作：+﹣．（不要求寫(xiě)出作法，只需寫(xiě)出結(jié)論即可）
【分析】（1）由＝，＝，＝，直接利用三角形法則求解，即可求得答案；
（2）由三角形法則可得：+﹣＝﹣＝，繼而可求得答案．
【解答】解：（1）∵＝，＝，＝，
∴＝﹣＝﹣；＝﹣＝﹣（﹣）＝﹣+；
（2）+﹣＝﹣＝．
如圖：即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的知識(shí)．注意掌握三角形法則的應(yīng)用．
56．（2018春?黃浦區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)E在平行四邊形ABCD的邊AB上，設(shè)＝，＝，＝，再用圖中的線段作向量，
（1）寫(xiě)出與平行的向量、和．
（2）試用向量、、表示向量、.＝ ﹣ ；＝ ﹣+ ．
（3）求作．
【分析】（1）與平行的向量即與共線的向量；
（2）根據(jù)三角形法則填空；
（3）利用三角形法則將轉(zhuǎn)化為，然后解答．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴與平行的向量有：、和．
故答案是：、和．
（2）＝﹣＝﹣，即；
＝﹣＝﹣+，即．
故答案是：﹣，﹣+；
（3）∵，
∴為所求作向量．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量、三角形法則等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形法則解決問(wèn)題，屬于中考基礎(chǔ)題．
一十七．隨機(jī)事件（共1小題）
57．（2017春?楊浦區(qū)期末）“太陽(yáng)每天從東方升起”，這是一個(gè) 確定事件．（填“確定”或“不確定”）
【分析】根據(jù)事件的可能性得到相應(yīng)事件的類型即可．
【解答】解：根據(jù)生活常識(shí)，知
“太陽(yáng)每天從東方升起”，一定發(fā)生，這是一個(gè)確定事件．
【點(diǎn)評(píng)】解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．
用到的知識(shí)點(diǎn)為：必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
一十八．概率公式（共1小題）
58．（2021春?閔行區(qū)期末）從一副未曾啟封的撲克牌中取出1張紅桃，2張黑桃的牌共3張，洗勻后，從這3張牌中任取1張牌恰好是黑桃的概率是（）
A．B．C．D．1
【分析】讓黑桃張數(shù)除以總張數(shù)3即可求得從這3張牌中任取1張牌恰好是黑桃的概率．
【解答】解：∵1紅桃，2黑桃的牌共3，
∴這3牌中任取1張牌恰好是黑桃的概率是．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了概率的計(jì)算方法：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，難度適中．
一十九．列表法與樹(shù)狀圖法（共1小題）
59．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）某商場(chǎng)開(kāi)展購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中有4個(gè)標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的質(zhì)地、大小相同的小球，顧客任意摸取一個(gè)小球，然后放回，再摸取一個(gè)小球，若兩次摸出的數(shù)字之和為“8”是一等獎(jiǎng)，數(shù)字之和為“6”是二等獎(jiǎng)，數(shù)字之和為其它數(shù)字則是三等獎(jiǎng)，請(qǐng)分別求出顧客抽中一、二、三等獎(jiǎng)的概率．
【分析】列舉出符合題意的各種情況的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．
【解答】解：列表得：
∴一共有16種情況，兩次摸出的數(shù)字之和為“8”的有一種，數(shù)字之和為“6”的有3種情況，數(shù)字之和為其它數(shù)字的有12種情況，
∴抽中一等獎(jiǎng)的概率為，抽中二等獎(jiǎng)的概率為，抽中三等獎(jiǎng)的概率為．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
二十．游戲公平性（共1小題）
60．（2019春?長(zhǎng)寧區(qū)期末）甲、乙兩人玩抽撲克牌游戲，游戲規(guī)則是：從牌面數(shù)字分別為5，6，7的三張撲克牌中，隨機(jī)抽取一張，放回后，再隨機(jī)抽取一張．若所抽的兩張牌面數(shù)字的積為奇數(shù)，則甲獲勝；若所抽的兩張牌面數(shù)字的積為偶數(shù)，則乙獲勝．這個(gè)游戲不公平．（填“公平”或“不公平”）
【分析】根據(jù)游戲規(guī)則可知：牌面數(shù)字分別為5，6，7的三張撲克牌中，隨意抽取2張，積有9種情況，其中5種是偶數(shù)，4種是奇數(shù)．那么甲、乙兩人取勝的概率不相等；故這個(gè)游戲不公平．
【解答】解：從5、6、7中任意找兩個(gè)數(shù)，積有35、30、42、25、36、49，其中30、35、42都是兩次，即共9種情況，其中奇數(shù)的有4種，偶數(shù)的有5種，顯然是不公平的．
故答案為：不公平
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
倉(cāng)庫(kù)產(chǎn)地
C
D
總計(jì)
A
x噸
200噸
B
300噸
總計(jì)
240噸
260噸
500噸
地
產(chǎn)
倉(cāng)
庫(kù)
C
D
總計(jì)
A
x噸
（200﹣x）噸
200噸
B
（240﹣x）噸
（60+x）噸
300噸
總計(jì)
240噸
260噸
500噸
每臺(tái)甲型收割機(jī)的租金
每臺(tái)乙型收割機(jī)的租金
A地區(qū)
1800
1600
B地區(qū)
1600
1200
水銀柱的長(zhǎng)度x（cm）
4.2
…
8.2
9.8
體溫計(jì)的讀數(shù)y（℃）
35.0
…
40.0
42.0
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）

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