本試卷分試題卷和答題卷兩部分，滿分120分，考試試卷120分鐘。
答題前，必須在答題卡上填寫(xiě)校名，班級(jí)，姓名，座位號(hào)。
不允許使用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，凡題目中沒(méi)有要求取近似值的，結(jié)果應(yīng)保留根號(hào)或
一、選擇題（本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．(本題3分)下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一進(jìn)行判斷．
【詳解】
解：A、B等式的右邊不是整式，不是二次函數(shù)，故A、B錯(cuò)誤；
C、符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)正確；
D、自變量的最高次數(shù)為1次，因而不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的定義，要知道：形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)， b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)．x為自變量，y為因變量．等號(hào)右邊自變量的最高次數(shù)是2．
2．(本題3分)將一枚均勻的骰子投擲一次，則出現(xiàn)向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
投擲這個(gè)骰子會(huì)出現(xiàn)1到6共6個(gè)數(shù)字，每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同，即有6個(gè)可能結(jié)果，而這6個(gè)數(shù)中有2，4，6三個(gè)偶數(shù)，則有3種可能，根據(jù)概率公式即可得出答案．
【詳解】
解：在這6個(gè)整數(shù)中偶數(shù)有2、4、6共三個(gè)數(shù)，
當(dāng)投擲這個(gè)骰子一次，則出現(xiàn)向上一面的數(shù)字為偶數(shù)的概率是：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種結(jié)果，那么事件的概率（A）．
3．(本題3分)已知，相似比為，則與的面積比為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】
∵，相似比為
∴與的面積比為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
考查相似三角形的性質(zhì)，理解相似三角形的面積比等于相似比的平方是關(guān)鍵．
4．(本題3分)如圖所示，在圓內(nèi)有折線，其中，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．19B．16C．18D．20
【答案】B
【分析】
延長(zhǎng)AO交BC于D，作OH⊥BC于H，由∠A=∠B=60°，可判斷△ABD為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)有∠ADB=90°，AD=BD=AB=10，則OD=AD-OA=4，在Rt△ODH中，由∠ODH=60°得∠DOH=30°，則DH=OD=2，則可得到BH=BD-DH=8，根據(jù)垂徑定理由OH⊥BC得BH=CH=8，所以BC=2BH=16．
【詳解】
解：延長(zhǎng)AO交BC于D，作OH⊥BC于H，如圖，
∵∠A=∠B=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD=AB=10，
∴OD=AD-OA=10-6=4，
在Rt△ODH中，∠ODH=60°，
∴∠DOH=30°，
∴DH=OD=2，
∴BH=BD-DH=10-2=8，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH=8，
∴BC=2BH=16．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．
5．(本題3分)如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的半徑為3，，則弧的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】
連接OB、OC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出∠BOD的度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【詳解】
解：連接、，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
，
，
由圓周角定理得，，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理以及弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)、弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
6．(本題3分)如圖，已知的半徑為5，弦，則上到弦所在直線的距離為2的點(diǎn)有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【答案】B
【分析】
作圓的直徑CE⊥AB于點(diǎn)D，連接OA，根據(jù)勾股定理求出OE的長(zhǎng)，求得C、E到弦AB所在的直線距離，與2比較大小，即可判斷．
【詳解】
解：作圓的直徑CE⊥AB于點(diǎn)D，連接OA，
∵AB=8，
∴AD=4．
∵OA=5，
∴OD==3，
∴CD=OC-3=5-3=2，即C到弦AB所在的直線距離為2，
∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直線距離為2的點(diǎn)只有C點(diǎn)；
∵DE=5+3=8＞2，
∴在優(yōu)弧AEB上到弦AB所在的直線距離為2的點(diǎn)有2個(gè)，即圓上到弦AB所在的直線距離為2的點(diǎn)有3個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂徑定理，轉(zhuǎn)化為C、E到弦AB所在的直線距離，與2比較大小是關(guān)鍵．
7．(本題3分)典典、諾諾、悅悅?cè)藚⒓訉W(xué)校的“幸運(yùn)就是我”節(jié)目．幸運(yùn)的是，她們都得到了一件精美的禮物．其過(guò)程是這樣的：墻上掛著兩串禮物（如下圖），每次只能從其中一串的最下端取一件，直到禮物取完為止．典典第一個(gè)取得禮物，然后諾諾、悅悅依次取得第2件、第3件禮物．事后她們打開(kāi)這些禮物品仔細(xì)比較發(fā)現(xiàn)禮物B最精美，那么取得禮物B可能性最大的是（ ）
A．典典B．諾諾C．悅悅D．無(wú)法確定
【答案】C
【分析】
因?yàn)閿?shù)量不多，所以可直接列舉出所有情況，比較得到B的可能性即可．
【詳解】
解：∵取得禮物共有三種情況：（1）典典A，諾諾B，悅悅C；（2）典典C，諾諾A，悅悅B；（3）典典A，諾諾C，悅悅B．
∴典典取得禮物B的概率=0；諾諾取得禮物B的概率；悅悅?cè)〉枚Y物B的概率
∴悅悅?cè)〉枚Y物B可能性最大
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查隨機(jī)事件發(fā)生的可能性，當(dāng)數(shù)量不大時(shí)可直接列舉出所有的情況，當(dāng)數(shù)量比較大時(shí)通常都會(huì)用列表法或是樹(shù)狀圖來(lái)列舉．
8．(本題3分)如圖，在，，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且，，則a等于（ ）
A．B．
C．1D．2
【答案】A
【分析】
證明△ABC∽△DAC得，然后列方程求解即可．
【詳解】
解：∵，
∴∠B=∠C
又∵，
∴∠C=∠DAC
∴△ABC∽△DAC
∴
∴
解得，或（舍去）
故選：A
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
9．(本題3分)勾股定理是幾何中一個(gè)重要定理．著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯用如圖①所示的圖形驗(yàn)證了勾股定理，把圖①放入矩形內(nèi)得到圖②，∠ACB＝90°，BC＝2AC，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形MNOP的邊上，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
如圖所示，延長(zhǎng)交于 過(guò)作于 設(shè)BC＝2AC＝2a，由題意可知，AC＝CD＝DE＝AE＝a，BH＝HI＝CI＝BC＝2a，由勾股定理可得，AB＝，可得AB＝BG＝FG＝AF＝a，再利用相似三角形的性質(zhì)分別用含的代數(shù)式表示，即可得到答案．
【詳解】
解：如圖所示，延長(zhǎng)交于 過(guò)作于

設(shè)BC＝2AC＝2a，
由題意可知，AC＝CD＝DE＝AE＝a，BH＝HI＝CI＝BC＝2a，
由勾股定理可得，AB＝，
∴AB＝BG＝FG＝AF＝a，
∵∠AKI＝∠ACB＝90°，∠CAB＝∠IAK，
∴△AKI∽△ACB，
∴，
∴IK＝，
∴MP＝MJ+JP＝IK+AF＝
∴AK＝，
同理可得：△AEJ∽△BAC，
∴，
∴AJ＝，
同理可得：△ABC∽△HIN，
∴，
∴，
∴MN＝MI+IN＝AJ+AK+IN＝，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，矩形，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握利用相似三角形的性質(zhì)尋求邊與邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
10．(本題3分)如圖，AB是O的直徑，AB＝4，C為的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦AP的中點(diǎn)D，則線段CD的最大值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】
取OA的中點(diǎn)Q，連接DQ，OD，CQ，根據(jù)條件可求得CQ長(zhǎng)，再由垂徑定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求得QD長(zhǎng)，根據(jù)當(dāng)C,Q,D三點(diǎn)共線時(shí)，CD長(zhǎng)最大求解.
【詳解】
解：如圖，取AO的中點(diǎn)Q,連接CQ，QD，OD，
∵C為的三等分點(diǎn)，
∴的度數(shù)為60°，
∴∠AOC=60°,
∵OA=OC,
∴△AOC為等邊三角形，
∵Q為OA的中點(diǎn)，
∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°,
∴OQ= ,
由勾股定理可得，CQ= ,
∵D為AP的中點(diǎn),
∴OD⊥AP，
∵Q為OA的中點(diǎn)，
∴DQ= ,
∴當(dāng)D點(diǎn)CQ的延長(zhǎng)線上時(shí)，即點(diǎn)C,Q,D三點(diǎn)共線時(shí)，CD長(zhǎng)最大，最大值為 .
故選D

【點(diǎn)睛】
本題考查利用弧與圓心角的關(guān)系及垂徑定理求相關(guān)線段的長(zhǎng)度，并且考查線段最大值問(wèn)題，利用圓的綜合性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
二、填空題（本大題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分）
11．(本題4分)將拋物線向上平移個(gè)單位后，所得拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為_(kāi)_____．
【答案】6
【分析】
先根據(jù)拋物線的平移規(guī)律得出平移后的拋物線的解析式，再將點(diǎn)代入求解即可得．
【詳解】
由平移規(guī)律得：平移后的拋物線的解析式為
將點(diǎn)代入得：
解得
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的圖象平移規(guī)律，熟記圖象平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．對(duì)于二次函數(shù)的平移規(guī)律為：（1）向左平移b個(gè)單位長(zhǎng)度可得到，向右平移b個(gè)單位長(zhǎng)度可得到；（2）向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度可得到，向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度可得到；可總結(jié)為“左加右減、上加下減”．
12．(本題4分)如圖，在中，，．動(dòng)點(diǎn)分別在直線上運(yùn)動(dòng)，且始終保持．設(shè)，，則與之間的函數(shù)關(guān)系可以表示為_(kāi)_______．
【答案】y=
【分析】
由AB＝AC，∠BAC＝20°，得∠ABC＝80°，即∠P+∠PAB＝80°，由∠BAC＝20°，∠PAQ＝100°，得∠PAB+∠QAC＝80°，由此可得∠P＝∠QAC，同理可證∠PAB＝∠Q，從而證明△PAB∽△AQC，利用相似比求函數(shù)關(guān)系式．
【詳解】
解：∵AB＝AC，∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝（180°-∠BAC）÷2＝80°，即∠P+∠PAB＝80°，
又∵∠BAC＝20°，∠PAQ＝100°，
∴∠PAB+∠QAC＝80°，
∴∠P＝∠QAC，
同理可證∠PAB＝∠Q，
∴△PAB∽△AQC，
∴，即，
∴y=，
故答案為：y=．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)證明角相等，從而證明三角形相似，利用相似比得函數(shù)關(guān)系式．
13．(本題4分)三張完全相同的卡片上分別寫(xiě)有函數(shù)，，，從中隨機(jī)抽取一張，則所得卡片上函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)隨的增大而增大的概率是__________．
【答案】
【分析】
根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)，依次分析題中一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)在第一象限的特征，通過(guò)計(jì)算求解概率．
【詳解】
（1）一次函數(shù)在第一象限內(nèi)，隨的增大而增大；
（2）反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)，隨的增大而減小；
（3）二次函數(shù)在第一象限內(nèi)，隨的增大而增大；
這３個(gè)函數(shù)，在第一象限內(nèi)有兩個(gè)是隨的增大而增大；
卡片上函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)隨的增大而增大的概率是： ；
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖像性質(zhì)及概率，掌握函數(shù)圖像性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
14．(本題4分)如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)，，則____．
【答案】
【分析】
由，，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得的度數(shù)，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，即可求得的度數(shù)，然后利用三角形的外角的性質(zhì)，即可求得的度數(shù)．
【詳解】
解：，，
，
∵，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
此題考查了圓周角定理、平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半定理的應(yīng)用．
15．(本題4分) 圖1是一款優(yōu)雅且穩(wěn)定的拋物線型落地?zé)簦阑菽窩為拋物線支架的最高點(diǎn)，燈罩D距離地面1.86米，燈柱AB及支架的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示．若茶幾擺放在燈罩的正下方，則茶幾到燈柱的距離AE為_(kāi)____米．
【答案】2.7
【分析】
由題意構(gòu)造直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意可知：防滑螺母C為拋物線支架的最高點(diǎn)，由圖象中的數(shù)據(jù)，就可得到頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)燈罩D距離地面1.86米，茶幾擺放在燈罩的正下方，將y＝1.86代入函數(shù)解析式求出x的值，就可得到茶幾到燈柱的距離AE．
【詳解】
解：如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
由題意可知：防滑螺母C為拋物線支架的最高點(diǎn)
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（1.5，2.5），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1.5），
設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x?1.5）2＋2.5，
將點(diǎn)B（0，1.5）代入得：a（0?1.5）2＋2.5＝1.5，
解之：a＝，
∴，
∵燈罩D距離地面1.86米，茶幾擺放在燈罩的正下方，
當(dāng)y＝1.86時(shí)，
解得：x1＝0.3，x2＝2.7，
∵茶幾在對(duì)稱軸的右側(cè)
∴x＝2.7，
∴茶幾到燈柱的距離AE為2.7m
故答案為：2.7．
【點(diǎn)睛】
本題考查了將二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的抽象能力以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式與點(diǎn)的坐標(biāo)的能力．
16．(本題4分)如圖，在銳角三角形ABC中，，，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將沿DE折疊得到．若，則的值為_(kāi)______；的值為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】
由已知條件可知,≌，根據(jù)，可推出，即可得到∽，則，設(shè)，與交于點(diǎn)，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等計(jì)算出：、、、的長(zhǎng)，即可得到答案．
【詳解】
由已知條件可知，≌，，
∴，
又∵，
∴，
又∵在和中，，，
∴∽，
∴，
∴，
如圖，設(shè)，則，與交于點(diǎn)，則，
∴，，
∴，
∵，
∴，，均為等腰直角三角形，
∴，，
在中，由勾股定理可知，,
，
∴，
∴
故答案為：；．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形、相似比、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)準(zhǔn)未知數(shù)，找準(zhǔn)比例關(guān)系，利用比值進(jìn)行求解．
三、解答題（本大題有7小題，共66分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．(本題6分)已知二次函數(shù)的圖象以為頂點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)．
（1）求該函數(shù)的關(guān)系式；
（2）求該函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根據(jù)圖象的頂點(diǎn)來(lái)設(shè)該二次函數(shù)的關(guān)系式，然后將點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出即可；
（2）令，然后將其代入函數(shù)關(guān)系式，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可．
【詳解】
解：（1）由頂點(diǎn)，可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為
∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)
∴
∴
∴二次函數(shù)的關(guān)系式是．
（2）∵令，則
∴圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．
故答案是：（1）；（2）
【點(diǎn)睛】
本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線的解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
18．(本題8分)小明周末要乘坐公交車到植物園游玩，從地圖上查找路線發(fā)現(xiàn)，幾條線路都需要換乘一次．在出發(fā)站點(diǎn)可選擇空調(diào)車A、空調(diào)車B、普通車a，換乘站點(diǎn)可選擇空調(diào)車C，普通車b、普通車c，且均在同一站點(diǎn)換乘．空調(diào)車投幣2元，普通車投幣1元．用樹(shù)狀圖或列表法求小明到達(dá)植物園恰好花費(fèi)3元公交費(fèi)的概率．
【答案】
【分析】
首先利用樹(shù)狀圖法列舉出所有的結(jié)果進(jìn)而得出答案．
【詳解】
解：如圖所示：
一共有9種組合，只有Ab，Ac，Bb，Bc，aC組合恰好花費(fèi)3元，
故小明到達(dá)植物園恰好花費(fèi)3元公交費(fèi)的概率為：.
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了概率公式，正確列舉出所有的可能是解題關(guān)鍵．
19．(本題8分)（1）我們知道，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，使AP＞PB，點(diǎn)P把線段AB分成兩條線段AP和BP，且，點(diǎn)P就是線段AB的黃金分割點(diǎn)，此時(shí)的值為 （填一個(gè)實(shí)數(shù)）：
（2）如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，現(xiàn)以C為圓心、CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交邊AC于D，再以A為圓心、AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交邊AB于E．
求證：點(diǎn)E是線段AB的黃金分割點(diǎn)．
【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析
【分析】
（1）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可；
（2）設(shè)BC=a，根據(jù)題意用a表示出AB、AC，結(jié)合圖形、根據(jù)黃金分割的定義判斷即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)AB長(zhǎng)為1，P為線段AB上符合題意的一點(diǎn)，AP=x，則BP=1﹣x，
根據(jù)題意得，，
解得，（舍去），
故，
故答案為：；
（2）設(shè)BC=a，則AB=2a，
則AC=a，
由題意得，CD=BC=a，
∴AE=AD=a﹣a，
BE=AB﹣AE=3a﹣a，
∴=，=，
∴=，即點(diǎn)E是線段AB的黃金分割點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，掌握把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割是解題的關(guān)鍵．
20．(本題10分)如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別是、、，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到．
（1）在正方形網(wǎng)格中作出；
（2）求點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)中的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留）．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）
【分析】
（1）根據(jù)△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C1，得出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置畫(huà)出圖象即可；
（2）利用弧長(zhǎng)公式求出點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)度即可；
【詳解】
解：（1）如圖所示：
（2）由題意可得：OA=OA1=，
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)度為：.
【點(diǎn)睛】
本題考查了作圖—旋轉(zhuǎn)變換，弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
21．(本題10分)如圖，在中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中點(diǎn)，連結(jié)OC，點(diǎn)F，E分別在邊AB和BC上，過(guò)E點(diǎn)作EM⊥AB，垂足為M，滿足∠FCO=∠EFM．
（1）求證：CF=EF；
（2）求證：．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）證明見(jiàn)解析．
【分析】
（1）證∠FCE=∠FEC即可；
（2）證△EMF≌△FOC，再通過(guò)平行列比例式，通過(guò)線段相等進(jìn)行代換即可．
【詳解】
（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵O是AB的中點(diǎn)，
∴CO⊥AB，∠BOC=90°，
∴∠BCO=45°，
∠FCE=∠BCO+∠FCO=45°+∠FCO，
∠FEC=∠B+∠EFM=45°+∠EFM，
∵∠FCO=∠EFM，
∴∠FCE=∠FEC，
∴CF=EF；
（2）∵EM⊥AB，
∴∠EMF=∠COF=90°，
∵EF=CF，∠FCO=∠EFM，
∴△EMF≌△FOC，
∴FM=OC=OB，
∵EM∥CO，
∴，
∵EM∥NO，
∴，
∴
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，整合已知條件，進(jìn)行推理證明．
22．(本題12分)已知二次函數(shù)．
（1）求證：二次函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)；
（2）若點(diǎn)，在函數(shù)圖象上，，求該函數(shù)的表達(dá)式；
（3）若該函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，求證：．
【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）或；（3）見(jiàn)詳解
【分析】
（1）把二次函數(shù)解析式化成兩點(diǎn)式，進(jìn)而問(wèn)題可求解；
（2）把點(diǎn)，代入解析式，然后結(jié)合，進(jìn)而問(wèn)題可求解；
（3）由題意可得當(dāng)y=0時(shí)，則是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系可進(jìn)行求解．
【詳解】
（1）證明：由二次函數(shù)可化為，
∴令y=0時(shí)，則有，
解得：，
∴二次函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)；
（2）解：由（1）可得：，則把點(diǎn)，代入得：
，，
∵，
∴，
解得：，
∴該函數(shù)表達(dá)式為：或；
（3）證明：由題意得：當(dāng)y=0時(shí)，則是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)的綜合及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
23．(本題12分)如圖，等邊內(nèi)接于，是上任一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連接、，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求和的度數(shù)；
（2）求證：；
（3）若，，求四邊形的面積；
（4）在（3）的條件下，求的長(zhǎng)度．
【答案】（1）∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）見(jiàn)解析；（3）；（4）
【分析】
（1）由△ABC是等邊三角形，可知∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，由圓周角定理可知∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）利用上題中得到的相等的角和等邊三角形中相等的線段利用AAS證得兩三角形全等即可；
（3）根據(jù)CM∥BP說(shuō)明四邊形PBCM是梯形，利用上題證得的兩三角形全等判定△PCM為等邊三角形，進(jìn)而求得PH的長(zhǎng)，利用梯形的面積公式計(jì)算四邊形的面積即可；
（4）過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AP，交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，連接OB，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，在△ABC中，利用等邊三角形的性質(zhì)求出BN，在△BON中利用勾股定理求出OB，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出弧AB的長(zhǎng).
【詳解】
解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∵，，
∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）證明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，
∠PCM=∠BPC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠PCM=∠BPC=60°，
∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，
∴∠M=∠BPC=60°，
又∵A、P、B、C四點(diǎn)共圓，
∴∠PAC+∠PBC=180°，
∵∠MAC+∠PAC=180°
∴∠MAC=∠PBC
∵AC=BC，
在△ACM和△BCP中，，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；
（3）∵CM∥BP，
∴四邊形PBCM為梯形，
作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP，AM=BP，
又∠M=60°，
∴△PCM為等邊三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=，
∴S四邊形PBCM=（PB+CM）×PH=(2+3)×=；
（4）過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AP，交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，連接OB，
∵∠APC=∠BPC=60°，
∴∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=PB=1，
∴在△BPQ中，BQ=，
∴在△AQB中，AB=，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AN經(jīng)過(guò)圓心O，
∴BN=AB=，
∴AN=，
在△BON中，設(shè)BO=x，則ON=，
∴，
解得：x=，
∵∠BOA＝2∠BCA＝120°，
∴=.
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，四邊形的面積，勾股定理，弧長(zhǎng)公式，是一道比較復(fù)雜的幾何綜合題，解題關(guān)鍵是能夠掌握并靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．

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