本試卷分試題卷和答題卷兩部分，滿分120分，考試試卷120分鐘。
答題前，必須在答題卡上填寫校名，班級，姓名，座位號。
不允許使用計算器進行計算，凡題目中沒有要求取近似值的，結(jié)果應(yīng)保留根號或
一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．(本題3分)（2021·浙江·杭州市杭州中學(xué)九年級期中）拋物線y＝2x2﹣1的對稱軸是（ ）
A．直線x＝﹣1B．直線C．x軸D．y軸
【答案】D
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】
解：∵拋物線y＝2x2﹣1，
∴對稱軸為y軸．
故選：D．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握該知識點是解題關(guān)鍵．
2．(本題3分)（2021·浙江杭州·九年級期末）一個布袋里裝有3個只有顏色不同的球，其中2個紅球，1個白球．從布袋里摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出一個球，則兩次摸到的球都是紅球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先畫出樹狀圖，從而可得兩次摸球的所有可能的結(jié)果，再找出兩次摸到的球都是紅球的結(jié)果，然后利用概率公式即可得．
【詳解】
解：由題意，將2個紅球，1個白球分別記為，
畫出樹狀圖如下：
由圖可知，兩次摸球的所有可能的結(jié)果共有9種，它們每一種出現(xiàn)的可能性都相等；其中，兩次摸到的球都是紅球的結(jié)果有4種，
則所求的概率為，
故選：C．
【點睛】
本題考查了利用列舉法求概率，正確畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵．
3．(本題3分)（2021·浙江杭州·九年級月考）把拋物線y＝2(x﹣1)2+3先向右平移3個單位，再向上平移1個單位，得到的拋物線的解析式是（ ）
A．y＝2(x+2)2+4B．y＝2(x﹣4)2+4
C．y＝2(x+2)2+2D．y＝2(x﹣4)2+2
【答案】B
【分析】
根據(jù)平移的性質(zhì)先得到平移后得到的拋物線的頂點坐標為 ，即可求解．
【詳解】
解：∵拋物線y＝2(x﹣1)2+3的頂點坐標為 ，
∴把拋物線y＝2（x﹣1）2+3先向右平移3個單位，再向上平移1個單位后，得到的拋物線的頂點坐標為 ，
∴平移后拋物線的解析式是y＝2（x﹣4）2+4，
故選：B．
【點睛】
本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握函數(shù)圖象的平移法則是解題的關(guān)鍵．
4．(本題3分)（2021·浙江·杭州市杭州中學(xué)九年級期中）若P是線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，若AP＝4﹣4，則線段AB的長為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】
先根據(jù)黃金分割的定義得，列式求解即可．
【詳解】
解：∵P是線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，AP＝4﹣4，
∴，
∴AB＝．
故選：D．
【點睛】
本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．
5．(本題3分)（2021·浙江·杭州市杭州中學(xué)九年級期中）①三點確定一個圓；②平分弦的直徑平分弦所對的弧；③同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等；④在半徑為4的圓中，30°的圓心角所對的弧長為；從上述4個命題中任取一個，是真命題的概率是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】
先根據(jù)確定圓的條件對①進行判斷；根據(jù)垂徑定理的推論對②進行判斷；根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對③進行判斷；根據(jù)弧長公式對④進行判斷．然后利用概率公式進行計算即可．
【詳解】
①不在同一直線上的三點可以確定一個圓，故①說法錯誤，是假命題；
②平分弦（非直徑）的直徑平分弦所對的弧，所以②錯誤，是假命題；
③在同圓或等圓中，弦相等，所對的圓心角相等，所以③正確，是真命題；
④在半徑為4的圓中，30°的圓心角所對的弧長為，所以④錯誤，是假命題．
其中真命題有1個，所以是真命題的概率是：，
故選：D．
【點睛】
本題考查了真假命題的判斷及概率公式，解題的關(guān)鍵是：先判斷命題的真假．
6．(本題3分)（2021·浙江杭州·九年級期末）如圖，為的弦，半徑交于點D，，，，則長為（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】
連接OB，根據(jù)⊙O的半徑為5，CD=1得出OD的長，再由垂徑定理的推論得出OC⊥AB，由勾股定理求出BD的長，進而可得出結(jié)論．
【詳解】
解：連接OB，如圖所示：
∵⊙O的半徑為5，CD=1，
∴OD=5-1=4．
∵AD=DB，
∴OC⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∴BD==3，
∴AB=2BD=6．
故選：C．
【點睛】
本題考查的是垂徑定理以及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
7．(本題3分)（2020·浙江杭州·九年級）如圖，的正方形網(wǎng)格中，在四個點中任選三個點，能夠組成等腰三角形的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先列舉所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計算可得．
【詳解】
解：在A，B，C，D四個點中任選三個點，有四種情況：
△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，
其中能夠組成等腰三角形的有△ACD、△BCD兩種情況，
則能夠組成等腰三角形的概率為，
故選A．
【點睛】
此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．
8．(本題3分)（2021·浙江杭州·九年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)為AD上兩點，且．點P為線段EF上一動點，分別以AP，DP為邊在正方形ABCD內(nèi)部作正方形AMNP和正方形PQRD，點G，H分別為MN和QR的中點，連接GH，并取GH的中點O，則A、O兩點間距離的最大值為（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【分析】
分別以AB，BC為坐標軸建立平面直角坐標系，設(shè)P（m，6）（1≤m≤5），根據(jù)正方形的性質(zhì)分別表示M(0，6-m)，N(m，6-m)，Q(m，m)，R(6，m)，再根據(jù)中點坐標公式表示出，，由兩點間距離公式表示出AO，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】
解：分別以AB，BC為坐標軸建立平面直角坐標系，如圖所示，
設(shè)P（m，6）（1≤m≤5）
∵正方形的邊長為6，
∴AB=BC=CD=DA=6
∴A(0，6)，B(0，0)，C（6，6）
∵AE=DF=1
∴E（1，6），F(xiàn)（5，6）
又∵四邊形APNM和PDRQ為正方形，
∴AP=PN=NM=AM=m，PD=DR=RQ=PQ=6-m
∴M(0，6-m)，N(m，6-m)，Q(m，m)，R(6，m)
又∵G，H分別為MN，QR的中點，
∴
∵O是GH的中點，
∴
∴
∵1≤m≤5
當m=5時，A、O兩點間距離的最大值為5，
故選：B
【點睛】
此題主要考查了正方形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，中點坐標公式勾股定理以及求二次函數(shù)最大值等知識，正確構(gòu)建平面直角坐標系是解答本題的關(guān)鍵．
9．(本題3分)（2021·浙江杭州·一模）如圖，在中，，CD是的角平分線，過點D作交BC于點E．和的面積分別為和，若，則的值為（ ）．
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】
過點D作DM⊥BC于點M，DN⊥AC于點N，由題意易證△AND∽△DMB，進而可得，設(shè)，則有，得出BE，AC，然后求出，問題可進行求解．
【詳解】
解：過點D作DM⊥BC于點M，DN⊥AC于點N，如圖所示：
∵，CD是的角平分線，，
∴，
∴，
∵，
∴△AND∽△DMB，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則有，
∴，
∴，
∵，
∴；
故選C．
【點睛】
本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
10．(本題3分)（2020·浙江杭州·九年級期末）如圖，圓O的半徑為R，正內(nèi)接于圓O，將按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，它的兩邊與AB相交于點D、E，則以下說法正確的個數(shù)是（ ）
①；②；③；④
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
根據(jù)圓內(nèi)接正三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，則，于是可得到；在△中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，，，再利用“”可證明△△，則，所以；根據(jù)對頂角相等可得到；在△中利用勾股定理可得到，而，則，把代入得到．
【詳解】
解：連接，，，，如圖，
是正角三角形，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到△，
△為等邊三角形，
，
而點為△的內(nèi)心，
，
又，，
△是等腰直角三角形，
，
，
，所以①正確；
，
而，
，
，，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，所以②錯誤；
，所以③正確；
在△中，，
，
，
而，
，
，所以④錯誤．
故選：B．
【點睛】
本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和圓內(nèi)接正三角形的性質(zhì)；會運用勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進行幾何運算．
二、填空題（本大題有6個小題，每小題4分，共24分）
11．(本題4分)（2021·浙江·杭州市十三中教育集團（總校）九年級開學(xué)考試）設(shè)，，是拋物線上的三點，則，，的大小關(guān)系為 __（用“”連接）
【答案】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝1，然后根據(jù)三個點離對稱軸的遠近判斷函數(shù)值的大小．
【詳解】
解：，
拋物線的開口向下，對稱軸為直線，
而離直線的距離最遠，在直線上，
．
故答案為．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
12．(本題4分)（2021·江蘇·常熟市實驗中學(xué)八年級月考）已知線段a＝4，b＝16，則a，b的比例中項線段的長是_______．
【答案】8
【分析】
設(shè)線段a，b的比例中項為c，根據(jù)比例中項的定義可得c2＝ab，代入數(shù)據(jù)可直接求出c的值，注意兩條線段的比例中項為正數(shù)．
【詳解】
解：設(shè)線段a，b的比例中項為c，
∵c是長度分別為4、16的兩條線段的比例中項，
∴c2＝ab＝4×16，
∴c2＝64，
∴c＝8或-8（負數(shù)舍去），
∴a、b的比例中項為8；
故答案為：8．
【點睛】
本題主要考查了比例線段．掌握比例中項的定義，是解題的關(guān)鍵．
13．(本題4分)（2021·浙江杭州·九年級月考）一天晚上，小偉幫媽媽清洗茶杯，三個茶杯只有顏色不同，其中一個無蓋，突然停電了，小偉只好把杯蓋與茶杯隨機地搭配在一起，則花色完全搭配正確的概率是___．
【答案】
【分析】
列舉出所有情況，看花色完全搭配正確的情況占總情況的多少即可．
【詳解】
解:設(shè)3個茶杯分別為A、B、C，A的杯蓋是a，B的杯蓋是b，
所有情況如下樹狀圖：
共有6種等可能的結(jié)果，其中花色完全搭配正確有2種，
所以花色完全搭配正確的概率為，
故答案為：．
【點睛】
本題考查隨機事件概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．
14．(本題4分)（2021·浙江杭州·九年級期末）在等腰中，，以BC邊的中點O為圓心，長為半徑畫圓，該圓分別交AB，AC邊于點D，E，P是圓上一動點（與點D，E不重合），連結(jié)PD，PE，則__________．
【答案】50°或130°
【分析】
連接OD，OE，求出∠DOE，再分當點P 在優(yōu)弧DBE上時和當點P在劣弧DE上時，分別求出∠DPE即可．
【詳解】
解：連接OD，OE，
∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠B=∠C==70°，
∵OD=OB=OC=OE，
∴∠ODB=∠B=∠C=∠OEC=70°，
∴∠BOD=∠COE=40°，
∴∠DOE=100°，
當點P 在優(yōu)弧DBE上時，∠DP1E=∠DOE=50°，
當點P在劣弧DE上時，∠DP2E=180°-∠DP1E=130°，
∴∠DPE=130°或50°，
故答案為：130°或50°．
【點睛】
本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓心角，圓周角定理，理解題意，畫出圖形，進行分類討論是解題的關(guān)鍵．
15．(本題4分)（2019·浙江杭州·九年級）如圖，正方形和正方形在平面直角坐標系中，點，，在上，點為坐標原點． 點為的中點，拋物線經(jīng)過，，三點，則的值為________．
【答案】
【分析】
設(shè)正方形OABC的邊長為m，CDEF的邊長為n,中點的性質(zhì)，可知CM=由此表示出點M，點B和點E的坐標，代入點B的坐標求得函數(shù)解析式，進一步代入點E，用n表示m，從而求出的值.
【詳解】
解：設(shè)正方形OABC的邊長為m，CDEF的邊長為n，
∵點M為OC的中點，
∴點M為（0，），點B為（m，m），點E為（n，m+n），
∵拋物線經(jīng)過M，B，E三點，
將點M和點B分別代入
得：，
，
解得：，
∴拋物線，
把點E（n，m+n）代入拋物線得
解得：或（不合題意，舍去）
∴CB=,
∴
【點睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)，中點性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合性知識，解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意，熟練正方形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的過程.
16．(本題4分)（2021·浙江杭州·九年級期末）如圖，矩形ABCD中，AB=6，點P為對角線AC上一點，，過點P作直線EF分別交邊AD，BC于點F，點E．現(xiàn)過點P作交矩形ABCD一邊于點Q，若，且點Q恰好落在的角平分線上，則BC的長為____．
【答案】．
【分析】
連接FQ，F(xiàn)Q與AP相交于點O，由角平分線的性質(zhì)定理，得到，然后利用相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，求出，，解方程即可求出答案．
【詳解】
解：連接FQ，F(xiàn)Q與AP相交于點O，如圖
∵點Q恰好落在的角平分線上，
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴≌，
∴，
∵，，
∴≌，
∴，，
設(shè)，則
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴∽，
∴，
即，
解得（負值已舍去）；
∴BC的長為．
故答案為：．
【點睛】
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的作出輔助線，從而進行解題．
三、解答題（本大題有7小題，共66分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．(本題6分)（2020·浙江浙江·九年級期末）如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，墻的最大可用長度為9米．設(shè)花圃的寬為米，面積為平方米．
（1）求與的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；
（2）求花圃面積的最大值．
【答案】（1）與的函數(shù)關(guān)系式為，自變量的取值范圍為；（2）花圃面積的最大值為45平方米．
【分析】
（1）先根據(jù)籬笆的長求出BC的長，再根據(jù)長方形的面積公式即可得；根據(jù)“墻的最大可用長度為9米”列出不等式，即可求出x的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】
（1）由題意得：米，且
即
解得
故與的函數(shù)關(guān)系式為，自變量的取值范圍為；
（2）由（1）知，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，S隨x的增大而減小
則當時，S取最大值，最大值為（平方米）
故花圃面積的最大值為45平方米．
【點睛】
本題考查了根據(jù)實際問題求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，依據(jù)題意，正確求出函數(shù)的解析式和自變量x的取值范圍是解題關(guān)鍵．
18．(本題8分)（2020·浙江杭州·九年級期末）甲口袋中裝有兩個相同的小球，它們的標號分別為2和7，乙口袋中裝有兩個相同的小球，它們的標號分別為4和5，丙口袋中裝有三個相同的小球，它們的標號分別為3，8，9，從這三個口袋中各隨機的取出一個小球，
(1)求取出的三個小球的標號全是偶數(shù)的概率是多少？
(2)已取出的三個小球的標號分別表示三條線段的長度，求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）分別求出取出三個口袋中偶數(shù)的概率，相乘即可得到結(jié)果；
（2）畫樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出三條線段能構(gòu)成三角形的情況數(shù)，即可求出所求的概率；
【詳解】
解：
（1）根據(jù)題意得，畫畫樹狀圖如下圖：
共有12種可能，其中滿足條件的只有2,4,8這一種情況，
∴.
（2）畫樹狀圖如下圖：
共有12種可能，其中三條線段能構(gòu)成三角形的情況有：2，4，3； 7，4，8；7，4，9；7，5，3；7，5，8；7，5，9，共6種，
∴P==；
【點睛】
本題主要考查了列表法與樹狀圖法，掌握列表法與樹狀圖法是解題的關(guān)鍵.
19．(本題8分)（2021·浙江·杭州市杭州中學(xué)九年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延長線于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求證：ADE∽DBE；
（2）若DE＝2cm，AE＝8cm，求DC的長．
【答案】（1）見解析；（2）3cm
【分析】
（1）由平行四邊形的對角相等，可得∠A＝∠C，即可求得∠A＝∠EDB，又由公共角∠E＝∠E，可證得△ADE∽△DBE；
（2）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得，求出BE，即可求得DC的值；
【詳解】
（1）證明：平行四邊形ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：平行四邊形ABCD中，DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴，
（cm），
AB＝AE﹣BE＝8﹣5＝3（cm），
∴DC＝AB＝3（cm）．
【點睛】
此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要注意仔細識圖．
20．(本題10分)（2021·浙江·諸暨市濱江初級中學(xué)九年級期中）如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C，在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為，
（1）畫出平面直角坐標系．
（2）僅用一把無刻度的直尺，利用網(wǎng)格，找出該圓弧的圓心并直接寫出圓心的坐標．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】（1）見解析；（2）見解析，（-2，-1）
【分析】
（1）根據(jù)點A的坐標為（-3，2）即可確定平面直角坐標系；
（2）利用網(wǎng)格即可畫出線段的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而即可寫出圓心坐標．
【詳解】
解：（1）直角坐標系如圖；
（2）畫法如圖：
結(jié)論：點P就是所求圓心．
圓心坐標為（-2，-1）．
【點睛】
本題考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖，解決本題的關(guān)鍵是利用網(wǎng)格畫線段的垂直平分線．
21．(本題10分)（2021·浙江·杭州外國語學(xué)校九年級期中）如圖，已知矩形的兩條對角線相交于點O，過點作分別交、于點、．
（1）求證：；
（2）連接，若．求證：．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）易證△BEG∽△AEB，利用對應(yīng)邊成比例即可解決；
（2）由（1）的結(jié)論及BE=CE，易證明△CEG∽△AEC，從而可得∠CGE=∠ACE，由OB=OC，可得．
【詳解】
（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴∠ABE=90°
∴∠ABG+∠EBG=90°
∵
∴∠ABG+∠BAG=90°
∴∠EBG=∠BAG
∴Rt△BEG∽Rt△AEB
∴
∴
（2）由（1）有：
∵BE=CE
∴
∴
∵∠CEG=∠AEC
∴△CEG∽△AEC
∴∠CGE=∠ACE
∵四邊形ABCD是矩形
∴AC=BD
∴OB=OC
∴∠DBC=∠ACE
∴
【點睛】
本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．(本題12分)（2021·浙江·杭州市公益中學(xué)九年級期中）已知二次函數(shù)y1＝ax2﹣bx＋c，y2＝cx2﹣bx＋a，這里a、b、c為常數(shù)，且a＞0，c＜0，a＋c≠0
（1）若b＝0，令y＝y(tǒng)1＋y2，求y的函數(shù)圖象與x軸的交點數(shù)；
（2）若x＝x0時，y1＝p，y2＝q，若p＞q，求x0的取值范圍；
（3）已知二次函數(shù)y1＝ax2﹣bx＋c的頂點是（﹣1，﹣4a），且（m﹣1）a﹣b＋c≤0，m為正整數(shù)，求m的值．
【答案】（1）函數(shù)與x軸沒有交點，即與x軸的交點個數(shù)為0；（2）或；（3）或
【分析】
（1）根據(jù)，即可得到，然后利用一元二次方程根的判別式進行求解即可；
（2）當時，，，則，從而得到，由此即可得到答案；
（3）由題意得，則，，由，得到，解不等式即可．
【詳解】
解：（1）∵二次函數(shù)y1＝ax2﹣bx＋c，y2＝cx2﹣bx＋a，b＝0，
∴，
令，則
∴，
∵，
∴，
∴，
∴函數(shù)與x軸沒有交點，即與x軸的交點個數(shù)為0；
（2）∵y1＝ax2﹣bx＋c，y2＝cx2﹣bx＋a，
∴當時，，，
∵，
∴，
∴，
∵a＞0，c＜0，
∴，
∴，
∴或；
（3）∵二次函數(shù)y1＝ax2﹣bx＋c的頂點是（﹣1，﹣4a），
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵m為正整數(shù)，
∴或．
【點睛】
本題主要考查了一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，解不等式等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)．
23．(本題12分)（2020·浙江杭州·九年級期末）已知點D為所在平面上的任意一點，根據(jù)下列條件解決問題：
（1）如右圖當為銳角時，．這樣的點D有______個；
（2）若交于點P；
①求的度數(shù)．
②設(shè)，△PDC面積為y．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】（1）2；（2）①90°；②
【分析】
（1）根據(jù)∠ADB=2∠ACB，借助圓周角定理得到點D的位置；
（2）①取AB中點O，連接DO，CO，證明四邊形AOCD和四邊形DCBO為菱形，得到△DOC為等邊三角形，再利用圓周角定理可得結(jié)果；②連接PO，延長PO交DC于點M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)計算出PO和MO，以及CD，利用三角形面積公式得到函數(shù)關(guān)系式．
【詳解】
解：（1）∵∠ADB=2∠ACB，DA=DB,
則這樣的點D有2個，作△ABC的外接圓，
∴∠ACB為圓周角，
則∠ACB所對的弧AB所對應(yīng)的圓心角∠ADB=2∠ACB，弧AB的兩側(cè)各有一個；
（2）①取AB中點O，連接DO，CO，
∵O為AB中點，
∴AO=OB，
∵DC=AD=AB，
∴DC=AD=AO，
∵DC∥AO，
∴四邊形AOCD為菱形，同理：四邊形DCBO也為菱形，
∴DO=OB=AO=OC=DC，
∴△DOC為等邊三角形，
將AB看作圓的直徑，AO、OD、OC、OB為半徑，且∠ADB=∠ACB，
∴∠ACB=90°；
②連接PO，延長PO交DC于點M，
∵∠ADB=∠ACB，由圓的對稱性可得：MO⊥AB，
∵△DOC為等邊三角形，四邊形AOCD為菱形，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，
∴AC平分∠DAB，
∴∠CAB=（180°-120°）÷2=30°，
∵AB=x，PO⊥AB，AO=AB=，
∴PO==，DC=OD=AO=，
而MO===，
∴MP=，
∴y=MP·DC=．
【點睛】
本題考查了圓周角定理，二次函數(shù)，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角的關(guān)系聯(lián)想到圓周角定理，適當添加輔助線構(gòu)造常見的幾何圖形．

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