全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.）
1. 設(shè)全集，集合，，則圖中的陰影部分表示的集合為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，根據(jù)集合的運(yùn)算求解即可．
【詳解】由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，
∵，
∴．
故選：B．
2. 已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】化簡復(fù)數(shù)為，利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，可得.
故選：C.
3. 已知直線，和平面（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)線面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)分別判斷即可．
【詳解】對A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；
對B，若，，則或異面，故B錯(cuò)誤；
對C，若，，則由線面垂直的性質(zhì)可得，故C正確；
對D，若，，則或，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由是否得出，判定充分性；由是否推出，判定必要性是否成立．
【詳解】∵等價(jià)于，
當(dāng)或時(shí)，不成立；
∴充分性不成立；
又∵等價(jià)于，有；
∴必要性成立；
∴“”是“”的必要不充分條件．
故選：B．
5. 如圖，在矩形ABCD中，，E為邊AB上的任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），O為AC的中點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】法一：設(shè)，然后用，分別表示出，，從而由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算并結(jié)合的范圍求得結(jié)果；
法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出，，從而由向量的坐標(biāo)運(yùn)算并結(jié)合m的范圍求得結(jié)果．
【詳解】法一：設(shè)，
因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以，
所以．又，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以；
法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x，y軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，設(shè)，
所以，，所以．
因?yàn)椋裕?br>即.
故選：A．
6. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，曲線上存在一點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】畫出圖形，用雙曲線定義和勾股定理構(gòu)造方程求解即可.
【詳解】如圖所示，為等腰直角三角形，且，
運(yùn)用勾股定理，知道根據(jù)．由雙曲線定義，知道，
即，解得，故離心率為：.
故選：C.
7. 已知正四棱臺上底面邊長為，下底面邊長為，體積為，則正四棱臺的側(cè)棱與底面所成角的正切值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】畫出相應(yīng)圖形，借助正四棱臺的性質(zhì)及體積公式可得其高，結(jié)合線面角定義計(jì)算即可得解.
【詳解】如圖所示，作于點(diǎn)，
則，即，
，
則，
由正四棱臺的側(cè)棱與底面所成角即為與底面所成角，
設(shè)其為，則，即.
故答案為：.
8. 若函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將條件與只有1個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)換為函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，參數(shù)分離求出a，再構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性求解即可.
【詳解】函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
即只有一個(gè)零點(diǎn)，即只有一個(gè)零點(diǎn).
令，則，.
當(dāng)時(shí)，?′x>0，所以?x在0,1上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，?′x0.
所以，，.
函數(shù)?x的大致圖象如圖
因?yàn)?，所?
原不等式，即.
令，
顯然時(shí)，該函數(shù)為增函數(shù)，且，
所以，的解集為.
故選：D.
二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.）
9. 已知事件滿足，，則下列說法正確的是（ ）
A. 若事件A與事件B相互獨(dú)立，則它們的對立事件也相互獨(dú)立
B. 事件A與事件B可能對立事件
C. 若事件A與事件B相互獨(dú)立，則
D. 若事件A與事件B互斥，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A，利用相互獨(dú)立事件的定義，即可求解；選項(xiàng)B，利用對立事件的概率和為1，即可求解；選項(xiàng)C，利用相互獨(dú)立事件的概率公式，即可求解；選項(xiàng)D，利用互斥事件的概率公式，即可求解.
【詳解】對于選項(xiàng)A，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義易知選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)B，對立事件的概率和為1，但．故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義，，故選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D，事件A與事件B互斥，則，故選項(xiàng)D正確.
故選：ACD．
10. 已知函數(shù)的圖象上，對稱中心與對稱軸的最小距離為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)的一個(gè)對稱點(diǎn)為
B. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為
C. 若，則的值為
D. 要得到函數(shù)的圖象，只需要將的圖象向右平移個(gè)單位
【答案】BC
【解析】
【分析】由周期求出ω，由圖象的對稱性求出 φ的值，可得f（x）的解析式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝2cs（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的圖象上，對稱中心與對稱軸x＝的最小距離為 ×＝，
∴ω＝2．再根據(jù)，可得，故,令可得，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為，故B正確；
若，
則
，故C正確；
將的圖象向右平移個(gè)單位，可得y＝2cs（2x﹣）的圖象，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定對稱中心，最值，利用三角恒等變換求值，根據(jù)平移得解析式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
11. 已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（ ）
A.
B. 關(guān)于點(diǎn)對稱
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】用特殊值法，假設(shè)，可判斷選項(xiàng)A；對進(jìn)行變形處理，即可判斷其對稱性，從而判斷選項(xiàng)B；對兩邊求導(dǎo)，可得，根據(jù)可判斷的周期性和對稱性，再根據(jù)特殊值關(guān)系，即可判斷選項(xiàng)C；由特殊值關(guān)系得到，，化簡，即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】假設(shè)，則，則，與都為偶函數(shù)，
則所設(shè)函數(shù)符合題意，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，
令，則，所以關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即，即，
因?yàn)?，所以，所以?br>則，故，
所以，所以，又，，
所以，所以無法確定的值，所以C錯(cuò)誤；
又，，所以，
由，得，則，所以，
由知函數(shù)周期為4，則的周期也為4，則

，所以 D正確.
故選：BD.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：
對稱性有關(guān)結(jié)論：
若，則關(guān)于直線對稱；
若，則關(guān)于直線對稱；
若，則關(guān)于點(diǎn)中心對稱；
若，則關(guān)于點(diǎn)中心對稱；
周期性結(jié)論：
若，則函數(shù)的周期為.
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 的展開式中常數(shù)項(xiàng)是__________（用數(shù)字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】寫出二項(xiàng)式展開通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).
【詳解】
其二項(xiàng)式展開通項(xiàng)：
當(dāng)，解得
的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是掌握的展開通項(xiàng)公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
13. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出公差，再求出的值.
【詳解】等差數(shù)列an中，由，得，解得，
于是數(shù)列an的公差，，
所以.
故答案為：
14. 如下圖，對大于或等于2的自然數(shù)的次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”：
仿此，的“分裂”中最大的數(shù)是___________；的“分裂”中最大的數(shù)是___________；
【答案】 ①. 11 ②.
【解析】
【分析】分析“分裂”所得到的數(shù)，由此確定出最大的數(shù)；歸納“分裂”時(shí)最大的數(shù)的規(guī)律，由此確定出的“分裂”中最大的數(shù).
【詳解】因?yàn)椤胺至选笨傻玫降臄?shù)為：，所以的“分裂”中最大的數(shù)是；
由“分裂圖”可歸納出：(為奇數(shù))的“分裂”的最大數(shù)是，
所以的“分裂”中最大的數(shù)為：，
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于分析“分裂”的方式，注意的奇偶對分裂的影響，對“分裂”所得到數(shù)字個(gè)數(shù)的影響.
四.解答題：（本題共5小題，共77分.）
15. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的極值．
【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間和，單調(diào)減區(qū)間為
（2）極大值16，極小值
【解析】
【分析】（1）對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值即可.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)，
令，解得，
則，隨的變化情況如下表：
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為;
【小問2詳解】
由小問1知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值16;
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值．
16. 中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
（1）求；
（2）若，的面積為，求的周長.
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）已知，由正弦定理和輔助角公式可得，解得 .
（2）由余弦定理和三角形面積公式，可解求，，則得到周長.
【小問1詳解】
中，已知，
由正弦定理可得，
∵，∴
，△ABC中，，∴ ，
∴.
【小問2詳解】
，的面積為 ，
∴ ，解得.
由余弦定理可得：
化為.
聯(lián)立 ，解得
∴，所以周長為6.
17. 如圖，在三棱錐中，平面平面ABC，，，，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面PAB；
（2）線段PC上是否存在點(diǎn)N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理可得證；
（2）過點(diǎn)M作垂足為F，根據(jù)線面垂直的判定可證平面BMN，然后根據(jù)平面幾何知識求出，進(jìn)而求出即可得.
【小問1詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面，，平面平面ABC，
所以平面ABC，平面ABC，所以，
又，，所以,
又，所以，
所以，又，是平面內(nèi)的兩條相交直線，
所以平面，又平面，
所以平面平面PAB
【小問2詳解】
存，當(dāng)時(shí)，平面BMN，
過點(diǎn)M作垂足為F，
由（1）知平面ABC，平面ABC，所以，
又點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，，
所以，，是平面內(nèi)的兩條相交直線，
所以平面，又平面，
所以，，是平面BMN內(nèi)的兩條相交直線，
所以平面BMN，
由已知得，又，
即，又，
所以，所以，
故當(dāng)時(shí)，平面BMN，
18. 已知動圓P過點(diǎn)，并且與圓外切，設(shè)動圓的圓心P的軌跡為C.
（1）直線與圓相切于點(diǎn)Q，求的值；
（2）求曲線C的方程；
（3）過點(diǎn)的直線與曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)直線，點(diǎn)，直線交于點(diǎn)M，證明直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1）
（2），；
（3）證明見解析，定點(diǎn)
【解析】
【分析】（1）利用直線與圓相切的幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，即可求解；
（2）由圓與圓的位置關(guān)系，構(gòu)造雙曲線的定義，即可求解；
（3）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，并聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理表示，即可求解定點(diǎn).
【小問1詳解】
由直線與圓的位置關(guān)系可知，，
所以點(diǎn)；
【小問2詳解】
由題意可知，設(shè)動圓半徑為，，，，
即，
所以點(diǎn)是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，，，則，
所以曲線的方程為，；
【小問3詳解】
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，
直線，當(dāng)，得，即，直線，
此時(shí)直線過點(diǎn)1,0，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，
直線，當(dāng)時(shí)，，
，
聯(lián)立，得，
，，，
下面證明直線經(jīng)過點(diǎn)，即證，，
把，代入整理得，
即，
所以直線經(jīng)過點(diǎn)1,0，
綜上可知，直線經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為1,0.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
19. 題目：給定一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)遞增正項(xiàng)數(shù)列，任意給定，稱滿足的三元子集為數(shù)列的一個(gè)集，其個(gè)數(shù)記作，出現(xiàn)集的概率記為.
（1）已知是數(shù)列A：1，2，3，4，5，6的一個(gè)集，求j；
（2）已知，，，并且都是數(shù)列的集，求數(shù)列A的通項(xiàng)公式；
（3）已知，，，并且都是數(shù)列的集，求證：.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定的集定義，將已知代入等式求解；
（2）利用集的定義建立數(shù)列相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，從而推導(dǎo)出通項(xiàng)公式；
（3）先求出表達(dá)式，再通過分析數(shù)列的性質(zhì)來證明其范圍.
【小問1詳解】
根據(jù)集的定義，已知是數(shù)列的一個(gè)集，，，，，，未知.
由，即.
設(shè)，則.
等式兩邊同乘，得，解得，所以.
【小問2詳解】
因?yàn)槎际菙?shù)列的集.
根據(jù)集的定義，，即，這表明數(shù)列是等差數(shù)列.
已知，.
設(shè)等差數(shù)列的公差為.
根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，則.
把，，代入得.
移項(xiàng)得，解得.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
【小問3詳解】
首先求，因?yàn)槎际菙?shù)列的集.
根據(jù)集的定義.
設(shè)，則，那么.
由于，，，則.
又因?yàn)?，所以，則.
根據(jù)等比數(shù)列求和公式，所以.
對于，三元子集的個(gè)數(shù)，
這里，則，而滿足-集的三元子集個(gè)數(shù)，
因?yàn)槎际羌?，所?
概率.
因?yàn)?，?
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是讀懂?dāng)?shù)列新定義，然后將其轉(zhuǎn)化為已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列求和問題，綜合了數(shù)列,不等式放縮，組合，概率問題，屬于難題.2
0
0
取極大值
取極小值

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