?2023年春季期玉林市高一期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)
本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)?考號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上.
2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).
3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.
一?單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 復(fù)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.
【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，可得.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力.
2. 在以下調(diào)查中，適合用全面調(diào)查的是（ ）
A. 調(diào)查一個(gè)水庫(kù)所有魚中草魚所占的比例
B. 調(diào)查一批玉米種子的發(fā)芽率
C. 調(diào)查一批炮彈的殺傷半徑
D. 調(diào)查一個(gè)縣各村的糧食播種面積
【答案】D
【解析】
【分析】利用全面調(diào)查的定義逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】全面調(diào)查是對(duì)調(diào)查對(duì)象的所有單位一一進(jìn)行調(diào)查的調(diào)查方式，
對(duì)于A，調(diào)查一個(gè)水庫(kù)所有魚中草魚所占的比例，調(diào)查數(shù)目較多，不適合全面調(diào)查；
對(duì)于B，調(diào)查一批玉米種子的發(fā)芽率，調(diào)查數(shù)目較多，不適合全面調(diào)查；
對(duì)于，調(diào)查一批炮彈的殺傷半徑，調(diào)查數(shù)目較多，且具有破壞性，可以使用抽樣調(diào)查；
對(duì)于D，調(diào)查一個(gè)縣各村的糧食播種面積適合全面調(diào)查.
故選：D.
3. 若平面四邊形滿足，在方向上的數(shù)量投影是0，則該四邊形一定是（ ）
A. 直角梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
【答案】C
【解析】
【分析】首先根據(jù)向量相等判斷四邊形為平行四邊形，再根據(jù)投影為零得到對(duì)角線互相垂直，即可判斷；
【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以平面四邊形為平行四邊形?br /> 又，在方向上的數(shù)量投影是0，即，即，所以平行四邊形為菱形；
故選：C
4. 如圖為2022年北京冬奧會(huì)首鋼滑雪大跳臺(tái)示意圖，為測(cè)量大跳臺(tái)最高點(diǎn)距地面距離，小明同學(xué)在場(chǎng)館內(nèi)的A點(diǎn)測(cè)得的仰角為，，，（單位：），（點(diǎn)在同一水平地面上），則大跳臺(tái)最高高度（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中由正弦定理算出，在中，得到.
【詳解】在中, ，，所以，又，由正弦定理可得,
,
,
在中，,
所以，（m）
故選：C.
5. 用斜二測(cè)畫法作出的水平放置的直觀圖如圖所示，其中，則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后所形成的幾何體的表面積為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直觀圖可得原圖形，即可根據(jù)圓錐的表面積公式求解.
【詳解】由題意，可得原圖形的圖形如圖所示，

其中，則，
繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后所形成的幾何體為以為底面圓半徑，為高的圓錐，
該圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為，
所以圓錐的表面積.
故選：D
6. 一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為的5張標(biāo)簽，無(wú)放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，則兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列出總的基本事件的總數(shù)，其中兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的事件數(shù)，利用列舉法即可求概率.
【詳解】由題意得：總的基本事件為，共10個(gè).
其中兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的事件為，共4個(gè).
所以兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率是.
故選：C.
7. 已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則以下命題正確的是（ ）
A. 若，，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)空間線與線、線與面、面與面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】解：A項(xiàng)中，若，，，則平面有可能平行，也有可能相交，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
B項(xiàng)中，若，，則或，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
C項(xiàng)中，若，，則直線與平面可能平行，可能相交，也可能，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
D項(xiàng)中，若，，則，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
8. 如圖，在中，為上一點(diǎn)，且滿足，若，則的值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的共線定理求得，再結(jié)合向量的數(shù)量積和向量模的運(yùn)算公式，即可求解.
【詳解】在中，由，為上一點(diǎn)，
且滿足，則，
又由三點(diǎn)共線，則，即，
因?yàn)椋?br /> 則，
則的值為.
故選：C.
二?多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 沙糖桔網(wǎng)店2022年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2022年這一年的收支情況，下列說(shuō)法中正確的是（ ）

A. 月收入最大值為90萬(wàn)元，最小值為30萬(wàn)元
B. 這一年的總利潤(rùn)超過400
C. 這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30
D. 11月份的利潤(rùn)最大
【答案】AC
【解析】
【分析】由收入折線圖判斷A；根據(jù)給定的收支折線圖求出利潤(rùn)表，再判斷BCD作答.
【詳解】觀察圖象知，月收入最大值為90萬(wàn)元，最小值為30萬(wàn)元，A正確；
由圖可知，月份的利潤(rùn)表，
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
利潤(rùn)/萬(wàn)元
20
30
20
10
30
30
60
40
30
30
50
30
因此月份的總利潤(rùn)為，B錯(cuò)誤；
由利潤(rùn)表可知，這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，C正確；
由利潤(rùn)表可知，7月份的利潤(rùn)最大，D錯(cuò)誤.
故選：AC
10. 已知是單位向量，且，則（ ）
A. 與垂直 B.
C. 與的夾角為 D. 在上投影向量的坐標(biāo)為
【答案】AD
【解析】
【分析】向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算法則，對(duì)夾角、模、投影進(jìn)行運(yùn)算.
【詳解】，因?yàn)槭菃挝幌蛄浚?br /> 所以，所以，所以，故A正確；
因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br /> 設(shè)與的夾角為，所以，
所以與的夾角為，故錯(cuò)誤；
在上的投影向量坐標(biāo)為，所以D對(duì).
故選：AD.
11. 在中，角的對(duì)邊分別是，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則有2個(gè)解
B. 若，則
C. 若，則為直角三角形
D. 若為銳角三角形，且，則的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】
【分析】由正弦定理及邊角關(guān)系判斷A、B；利用邊角關(guān)系及三角恒等變換化簡(jiǎn)條件為，即可判斷C；由已知得，利用三角恒等變換得到關(guān)于A的正弦型函數(shù)，進(jìn)而求范圍.
【詳解】：由正弦定理得，則，此時(shí)無(wú)解，錯(cuò)誤；
B：，則，又，所以，故正確；
C：因?yàn)椋裕?br /> 即，
所以，又，所以，
所以，所以，即為直角三角形，故正確；
：因?yàn)?，所?
所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，
所以，則，故的取值范圍為，正確.
故選：BCD.
12. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)，則（ ）

A. 點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等
B. 直線與平面所成角的正弦值為
C. 二面角的余弦值為
D. 平面截正方體所得的截面面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行判斷A選項(xiàng),應(yīng)用線面角判斷B選項(xiàng),根據(jù)二面角判斷C選項(xiàng),結(jié)合截面判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于，如圖1所示，取的中點(diǎn)，連接，
則有平面,平面,平面.
.，,平面.平面平面,平面,平面,,
所以平面平面.
又因?yàn)槠矫?，所以平面，點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，故正確；

對(duì)于，如圖2所示，連接，又平面，所以為直線與平面所成角，由已知得：，
所以中，，即B錯(cuò)誤；

對(duì)C，如圖3所示，因?yàn)槠矫?，作交延長(zhǎng)線于，
連接，則，故設(shè)二面角的平面角為，
由得，
所以，即C正確；
對(duì)于D，如圖4所示，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，
所以四點(diǎn)共面，所以截面即為等腰梯形.
，梯形的高為，
所以梯形的面積為，故D正確.

故選：ACD
三?填空題（共4小題，每小題5分，共20分）
13. 設(shè)與的兩邊分別平行，若，則__________.
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)等角定理即可得到答案．
【詳解】根據(jù)等角定理：一個(gè)角的兩邊平行于另外一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
所求角為或.
故答案為：或.
14. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分”問題：“開倉(cāng)受納，有甲戶米一千五百三十四石到廊．驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，乃于樣內(nèi)取米一捻，數(shù)計(jì)二百五十四粒，內(nèi)有谷二十八顆．今欲知米內(nèi)雜谷多少．”意思是：官府開倉(cāng)接受百姓納糧，甲戶交米1534石到廊前，檢驗(yàn)出米里夾雜著谷子，于是從米樣粒取出一捻，數(shù)出共254粒，其中有谷子28顆，則這批米內(nèi)有谷子約_____________石（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；
【答案】
【解析】
【分析】求出米內(nèi)夾谷的比例，再乘以即可得解.
【詳解】依題意可得米內(nèi)夾谷的比例為，
所以這批米內(nèi)有谷子石.
故答案為：.
15. 若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的向量分別為和，則的面積為__________.
【答案】##6.5
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得垂直關(guān)系，即可由模長(zhǎng)求解得面積.
【詳解】由題意，得，則，，
的面積為，
故答案為：.
16. 如圖，四邊形為菱形，，現(xiàn)將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為 _________.

【答案】
【解析】
【分析】由已知得三棱錐是棱長(zhǎng)為正四面體，其內(nèi)切球的半徑為，其外接球的半徑為，利用等體積法求得；又正四面體的棱長(zhǎng)可看成是正方體的面對(duì)角線，外接球的直徑即為體對(duì)角線的長(zhǎng)，可求得，再結(jié)合球的表面積公式即可求解.
【詳解】由已知得三棱錐是棱長(zhǎng)為正四面體，其內(nèi)切球的半徑為，其外接球的半徑為，
由內(nèi)切球球心與正四面體的表面構(gòu)成四個(gè)三棱錐，由體積分割可得，解得；
又正四面體的棱長(zhǎng)可看成是正方體的面對(duì)角線，外接球的直徑即為體對(duì)角線的長(zhǎng)，即有，即，則，
則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比為：.
故答案為：.
四?解答題（共6小題，其中第17題10分，其他每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過程或演算步驟.）
17. 甲?乙兩個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：
（1）2人中恰有1個(gè)人譯出密碼的概率；
（2）2人中至少有1人譯出密碼的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式，獨(dú)立事件的乘法公式，以及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算；
（2）利用互斥事件的概率加法公式，獨(dú)立事件的乘法公式，以及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算；
【小問1詳解】
設(shè)“甲獨(dú)立地譯出密碼”，“乙獨(dú)立地譯出密碼”，“甲不能獨(dú)立地譯出密碼”，“乙不能獨(dú)立地譯出密碼”，“2人中恰有1個(gè)人譯出密碼”，
為相互獨(dú)立事件，與與與相互獨(dú)立
且，
且兩個(gè)事件為互斥事件，

【小問2詳解】
設(shè)“2人中至少有1個(gè)人譯出密碼”，
方法一：.
方法二：.
18. 已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位.
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)；
（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，結(jié)合題意列出方程組，即可求解；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，列出不等式組，即可求解.
【小問1詳解】
解：由復(fù)數(shù)
因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，則滿足，解得，
故當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù).
【小問2詳解】
解：因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，
則滿足，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
19. 如圖，在正方體中為的中點(diǎn).

（1）求三棱錐的體積；
（2）若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)面面平行的的判定進(jìn)行證明.
【小問1詳解】
正方體中為的中點(diǎn)，
底面；
【小問2詳解】

方法一：證明：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
，且平面平面平面；
是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，
，且平面平面，
平面，且，平面,平面,
平面平面.
方法二：連接，且
中，且平面平面平面；
又中，且平面平面，
平面；且，平面,平面,
平面平面.
20. 在中，分別是角的對(duì)邊，.
（1）求角的大小；
（2）若是的內(nèi)角平分線，當(dāng)面積最大時(shí)，求的長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由得，再利用余弦定理即可求解；
（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得，從而求得當(dāng)面積最大時(shí)，再結(jié)合正弦定理即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋茫?br /> 所以，又，所以；
【小問2詳解】
在中，由余弦定理得，將
代入得，
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，
所以.
此時(shí).
在中，，
由正弦定理得，解得，
故的長(zhǎng)為.
21. 某學(xué)校為了了解高二年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，對(duì)高二年級(jí)的300名學(xué)生進(jìn)行了一次測(cè)試.已知參加此次測(cè)試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于45分到95分之間，該校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：，整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.

（1）求的值，并估計(jì)此次校內(nèi)測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均值；
（2）學(xué)校要求按照分?jǐn)?shù)從高到低選拔前30名的學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，試估計(jì)這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)；
（3）試估計(jì)這300名學(xué)生的分?jǐn)?shù)的方差，并判斷此次得分為52分和94分的兩名同學(xué)的成績(jī)是否進(jìn)入到了范圍內(nèi)？
（參考公式：，其中為各組頻數(shù)；參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1），75分
（2）90分 （3）答案見解析
【解析】
【分析】（1）先由各組的頻率和為1，求出，然后利用平均數(shù)的定義可求出，
（2）先求出這30 名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)就是該次校內(nèi)測(cè)試分?jǐn)?shù)的90%分位數(shù)，然后利用百分位的定義求解即可，
（3）先利用方差公式求出方差后再判斷即可
【小問1詳解】
，所以，
所以該次校內(nèi)考試測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)的估計(jì)值為：
分.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br /> 所以這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)就是該次校內(nèi)測(cè)試分?jǐn)?shù)的分位數(shù).

該次校內(nèi)考試測(cè)試分?jǐn)?shù)的分位數(shù)為
這30名學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)的估計(jì)值為90分.
【小問3詳解】

，
，
得分為52分的同學(xué)的成績(jī)沒有進(jìn)入到內(nèi)，
得分為94分的同學(xué)的成績(jī)進(jìn)入到了內(nèi).
即：得分為52分的同學(xué)的成績(jī)沒有進(jìn)入到范圍，
得分為94分的同學(xué)的成績(jī)進(jìn)入到范圍了.
22. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，是正三角形，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：平面平面；
（2）若平面平面.
①當(dāng)點(diǎn)恰為中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；
②在平面內(nèi)確定一點(diǎn)，使的值最小，并求此時(shí)的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）①；②答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的而判定定理證明即可；
（2）①作輔助線，根據(jù)平移法找到異面直線與所成角，解三角形即可求得其余弦值；②根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)說(shuō)明當(dāng) NF ^ PC 時(shí)， NF 最短，此時(shí)，點(diǎn) H 在棱 BP 上，然后通過解三角形求得相關(guān)線段長(zhǎng)，繼而求得的值.
【小問1詳解】
證明：連接 BD ，

∵四邊形 ABCD為菱形，∴ AD = AB ， BC ∥ AD ，
∵ DBAD = 60° ，∴為正三角形；
∵ 為正三角形，且 E 為 AD 中點(diǎn)，
∴ AD ^ PE ，且 AD ^ BE ，
∵ PEBE = E ，∴ AD ^ 平面 PBE ，
∵ BC ∥ AD ，∴ BC ^ 平面 PBE ，
∵ BC ì 平面 PBC ，∴平面 PBC ^ 平面 PBE .
【小問2詳解】
①取CD 的中點(diǎn) M ，連接 BM ， FM ，

∵ F 為 PC 中點(diǎn)，∴ MF ∥ PD ，MF =，
∴DBFM 就是異面直線 BF 和 PD 所成的角或所成角的補(bǔ)角.
∵平面 PAD ^ 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD = AD， PE^AD，
∴ PE ^ 平面 ABCD，∴ PE ^ BE ，
∵菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為 2， ，
∴ 與 是全等的正三角形，
∵ M 、 E 分別為CD 、 AD 的中點(diǎn)， ∴ PE = BE = BM=，
∴在 中，，
在中，，
∴ ，
∴在 中，;
②設(shè)為平面內(nèi)一點(diǎn)，延長(zhǎng)CB 到點(diǎn) N ，使得 BN = BC=2 ，

∵ BC ^ 平面 PBE ，
∴ ，∴CH = NH ，
∴CH + FH = NH + FH ,
∵ ，∴要使CH + FH最小只需 NF 最短即可，
由于點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn).，故當(dāng) NF ^ PC 時(shí)， NF 最短，此時(shí)，點(diǎn) H 在棱 BP 上，
在 中，，∴，
在 中， ，
∵DPCB = DFCN ，∴，∴，∴ ，
∵，
∴在 中，，
∴BH = BP - HP = ，∴ ，
∴當(dāng) H 在線段 BP 上，且滿足時(shí)，可使CH + FH的值最小.

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