?2022年秋季學(xué)期百色市普通高中期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試
高一數(shù)學(xué)
（滿分：150分；考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘）
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合是（ ）

A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圖表示的進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】圖中陰影部分表示的集合是，
因?yàn)?，?br /> 所以.
故選：B
2. 設(shè)命題，則的否定為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)特稱命題的否定即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以.
故選：B
3. 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的兩角和的正弦公式求解.
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
故選：A
4. 已知函數(shù)，則的定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意列式求解定義域即可.
【詳解】由題意得：，所以，
所以的定義域?yàn)?
故選：D
5. 折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB，其中，，則扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意和扇形的面積公式分別求出扇形AOB、COD的面積即可得解.
【詳解】由題意可得，扇形AOB的面積是，
扇形COD的面積是．
則扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積是．
故選：A
6. 設(shè)，則的零點(diǎn)所在大致區(qū)間為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.
【詳解】因?yàn)榕c在定義域上單調(diào)遞增，
所以在定義域上單調(diào)遞增，且為連續(xù)函數(shù)，
又，，即，
所以的零點(diǎn)所在大致區(qū)間為.
故選：C
7. 已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算，利用中間量法即可得出答案.
【詳解】，
，
因?yàn)?，所以?br /> 所以.
故選：D.
8. 設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，滿足，且，若在上單調(diào)遞增，則不等式的解為（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得出上的單調(diào)性，然后分類討論解不等式.
【詳解】由和定義域可得，為奇函數(shù)，
由在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)得在上是增函數(shù)，且，
顯然不滿足，
又，
于是由，可得或，解得，
類似的，的解集為，
所以不等式等價(jià)為，解得，
或，解得，
綜上所述，的解為.
故選：B.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知實(shí)數(shù)，其中，則下列關(guān)系中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)可判斷A，C；舉反例判斷B；利用作差法判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由于，故兩邊同乘以b，即，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，不成立，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由于，故，C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t，
故，故，D正確，
故選：ACD
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)
B. 是的充分不必要條件
C. 函數(shù)的最小正周期為
D. 函數(shù)的最小值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】對(duì)于A，根據(jù)指數(shù)型函數(shù)相關(guān)性質(zhì)直接計(jì)算；
對(duì)于B，根據(jù)充分不必要條件的相關(guān)概念直接判斷；
對(duì)于C，根據(jù)三角函數(shù)周期性直接判斷；
對(duì)于D，根據(jù)基本不等式，結(jié)合取等條件進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，令，得，此時(shí)，該函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，是的充分不必要條件顯然正確，故B正確；
對(duì)于C，函數(shù)的最小正周期為顯然正確，故C正確；
對(duì)于D，函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)，無實(shí)數(shù)解，故取不到最小值2，即函數(shù)的最小值不為2，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
11. 函數(shù)（，且）與在同一坐標(biāo)系中圖像可能是（ ）
A. . B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)直接判斷.
【詳解】由題意得，中若，，則，
若，，則；
中表示縱截距.
對(duì)于A，圖像中，圖像中，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，圖像中，圖像中，故B正確；
對(duì)于C，圖像中，圖像中，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，圖像中，圖像中，故D正確；
故選：BD
12. 已知奇函數(shù)對(duì)于都有成立.現(xiàn)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)是奇函數(shù)
B. 為函數(shù)的一條對(duì)稱軸
C. 若，則有
D. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】BC
【解析】
【分析】利用已知條件求出的周期可得，再利三角函數(shù)圖象的平移伸縮變換得的解析式，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得可判斷A；由是否取得最值可判斷B；利用正弦的二倍角公式計(jì)算可判斷C：求出的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.
【詳解】，
對(duì)于都有成立，所以，，
所以對(duì)于都成立，
可得的周期，所以，所以，
又函數(shù)為奇函數(shù)有，即，由可求，
故函數(shù)，圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，
再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍可得，
對(duì)于選項(xiàng)A：，
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：函數(shù)，
所以是它的一條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：若，則有，
于是，故C正確：
對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：BC.
三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若點(diǎn)在角的終邊上，則________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)正弦函數(shù)的定義可求的值.
【詳解】因?yàn)椋?，故?br /> 故答案為：.
14. 冪函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，則______；
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)相關(guān)性質(zhì)直接求解.
【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，
所以，則，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意.
所以.
故答案為：2
15. 已知，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】對(duì)平方，結(jié)合的平方關(guān)系，計(jì)算.
【詳解】因?yàn)椋傻?，所?
故答案為：
16. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有個(gè)不同根，則整數(shù)的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】
【分析】令，結(jié)合函數(shù)圖象，可知有2個(gè)不同的解，可能一個(gè)在上，一個(gè)在上，也可能兩個(gè)都在上，構(gòu)造，結(jié)合二次函數(shù)根的分布，列出不等式，解出的范圍，可得結(jié)論.
【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖：關(guān)于x的方程有6個(gè)不同根，
令，，即方程有2個(gè)不同的解，
可能一個(gè)在上，一個(gè)在上，也可能兩個(gè)都在上.
令，
若在上和上各有一個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，解得，
若在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，該不等式組無解，
綜上，∴.
故答案為：
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于作出的圖象，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷概的位置，從而得解.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 計(jì)算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)根式的運(yùn)算，化簡(jiǎn)可得答案；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求得答案.
【小問1詳解】
；
【小問2詳解】




.
18. 已知集合，，，
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件得到，再結(jié)合交集和補(bǔ)集運(yùn)算求解即可；
（2）根據(jù)得到，根據(jù)和分類討論即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 所以或
【小問2詳解】
若，則有，即
當(dāng)時(shí)，則，得；
當(dāng)時(shí)，則，即，則；
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為或
19. 已知
（1）求值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，再由兩角和的正切展開式即可求出；
（2）由、可求解.
【小問1詳解】
依題意，，
即可得，
于是；
【小問2詳解】
由（1）有，又，
解得，，又與同號(hào)，
于是或.
20. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

（1）求的解析式；
（2）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合圖像的最高點(diǎn)可求出，根據(jù)軸上的數(shù)據(jù)可求出周期，然后在代入一個(gè)點(diǎn)可求出解析式；
（2）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解.
【小問1詳解】
依題意，由圖知，，，即，
得，所以，
又，所以，，
即，，由得，所以.
【小問2詳解】
由（1）可知，，
則，
因?yàn)?，所以?br /> 根據(jù)正弦函數(shù)在上遞增可知，
所以，即，
所以m的取值范圍為.
21. 十九大指出中國(guó)的電動(dòng)汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國(guó)正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃.2022年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本2000萬元，每生產(chǎn)x（百輛），需另投入成本（萬元），且．由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車售價(jià)5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完．
（1）求出2022年的利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）2022年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．
【答案】（1）
（2）當(dāng)時(shí)，即2022年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為2300萬元．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)年利潤(rùn)銷售額投入的總成本固定成本，分和兩種情況得到利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)時(shí)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求的最大值，最后再比較即可．
【小問1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，所有當(dāng)時(shí)，為最大值，
當(dāng)時(shí)，，
，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
，
即當(dāng)時(shí)，取到最大值2300，
，
當(dāng)時(shí)，即2022年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為2300萬元．
22. 已知函數(shù).
（1）求證：是奇函數(shù)；
（2）若對(duì)任意，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）計(jì)算化簡(jiǎn)，得出即可證明；
（2）根據(jù)奇函數(shù)得出，再根據(jù)單調(diào)性得出，進(jìn)而得出恒成立，令，可得，利用單調(diào)性求出的最大值即可.
【詳解】（1）證明：的定義域是R，又，
且，
所以，是奇函數(shù).
（2）解：由，
得，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，
所以，
即.
又因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，
所以，
即，
所以，對(duì)任意，恒成立，
設(shè)，.
則.
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即，則，
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】本題考查奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)是奇函數(shù)和單調(diào)遞增得出恒成立，換元得出，再利用單調(diào)性求出最大值.


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