一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 一個(gè)幾何體由6個(gè)面圍成，則這個(gè)幾何體不可能是（ ）
A. 四棱臺(tái)B. 四棱柱C. 四棱錐D. 五棱錐
【答案】C
【解析】對(duì)于A，四棱臺(tái)是上下兩個(gè)四邊形，四個(gè)側(cè)面有6個(gè)面，滿足題意；
對(duì)于B，四棱柱是上下兩個(gè)四邊形，四個(gè)側(cè)面有6個(gè)面，滿足題意；
對(duì)于C，四棱錐有一個(gè)底面，四個(gè)側(cè)面有5個(gè)面，不滿足題意；
對(duì)于D，五棱錐有一個(gè)底面，五個(gè)側(cè)面有6個(gè)面，滿足題意.
故選：C.
2. 若是第二象限角，則是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】B
【解析】由與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，可知若是第二象限角，則是第三象限角，
所以是第二象限角．
故選：B.
3. 已知四邊形是平行四邊形，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故選：D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由，得，
但由，得，不能推出，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
5. 已知為平面外一點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A. 過點(diǎn)只能作一個(gè)平面與平行B. 過點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與平行
C. 過點(diǎn)只能作一個(gè)平面與垂直D. 過點(diǎn)只能作一條直線與垂直
【答案】C
【解析】過平面外一點(diǎn)只能作一個(gè)平面與平行，故A正確；
平面外一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與平行，故B正確；
平面外一點(diǎn)只能作一條直線與垂直，故D正確；
平面外一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面與垂直，故C錯(cuò)誤.
故選：C.
6. （ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>即，
所以
.
故選：A.
7. 已知一個(gè)底面半徑為2，高為的圓錐，被一個(gè)過該圓錐高的中點(diǎn)且平行于該圓錐底面的平面所截，則截得的圓臺(tái)的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)題意可得圓臺(tái)的下底面半徑為2，上底面半徑為1，高為，
故該圓臺(tái)的體積.
故選：A.
8. 武當(dāng)山，位于湖北省西北部十堰市境內(nèi)，其自然風(fēng)光，以雄為主，兼有險(xiǎn)、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰猶如金鑄玉瑑的寶柱雄峙蒼穹，屹立于群峰之巔.環(huán)繞其周圍的群山，從四面八方向主峰傾斜，形成獨(dú)特的“七十二峰朝大頂，二十四澗水長(zhǎng)流”的天然奇觀，被譽(yù)為“自古無雙勝境，天下第一仙山”.如圖，若點(diǎn)為主峰天柱峰的最高點(diǎn)，為觀測(cè)點(diǎn)，且在同一水平面上的投影分別為，，，由點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為，米，由點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為且，則兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A. 684米B. 732米C. 746米D. 750米
【答案】C
【解析】如圖，過作交于，過作交于，
如圖所示，因?yàn)?，所以，又?br>則，，
則，
又，所以，
由正弦定理，得，
，
即，
又，所以，
所以，
則兩點(diǎn)到平面的高度差為
米.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的最小正周期為
B. 為奇函數(shù)
C. 的單調(diào)遞減區(qū)間為，
D. 最小值為
【答案】AD
【解析】對(duì)于A，的最小正周期，A正確；
對(duì)于B，，所以為偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，令，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)，即時(shí)，的最小值為，D正確.
故選：AD.
10. 已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存兩點(diǎn)，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存兩點(diǎn)，
且，所以，所以，
由，可知，所以角為第二象限的角，所以，
所以，所以A錯(cuò)誤，B正確；
所以，，所以CD正確.
故選：BCD.
11. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，銳角C滿足，則（ ）
A. 的面積為B.
C. D.
【答案】BC
【解析】在中，因?yàn)椋遥?br>由三角形的面積公式，可得，所以A錯(cuò)誤；
由為銳角，且，可得，所以B正確；
由余弦定理得，可得，
所以C正確；
由余弦定理得，所以D不正確.
故選：BC.
12. 已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4，圓心角為的扇形，將該圓錐加工打磨成一個(gè)球狀零件，則（ ）
A. 該圓錐的底面半徑為2
B. 該圓錐的高為
C. 該圓錐的表面積為
D. 能制作的零件體積的最大值為
【答案】BCD
【解析】由題意得該圓錐的母線長(zhǎng)為4，
設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，
由，得，A錯(cuò)誤；
則，B正確；
所以該圓錐的表面積為，C正確；
如圖，圓錐內(nèi)切球的半徑等于(軸截面)內(nèi)切圓的半徑，
設(shè)的內(nèi)切圓為圓，其半徑為，
由，
得，得，
故能制作的零件體積的最大值為，D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，則_______.
【答案】
【解析】由題可知，
則.
故答案為：.
14. 已知為邊長(zhǎng)為1等邊三角形，，則_______.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
所以.
故答案為：.
15. 在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，則_______.若，，則_______.
【答案】
【解析】設(shè)的外接圓半徑為，則
，
由二倍角的余弦公式可得，
由余弦定理可得，故.
故答案為： .
16. 在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課中，小華進(jìn)行了如下探究：如圖，這是注入了一定量水的正方體密閉容器，現(xiàn)將該正方體容器的一個(gè)頂點(diǎn)A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三條棱與水平面所成角均相等，此時(shí)水平面恰好經(jīng)過BB1的中點(diǎn)，若AB=1，則該水平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面的面積為___.
【答案】
【解析】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AD，AB，AA1與平面A1BD所成的角是相等的，
所以水平面平行于平面A1BD，
又水平面恰好經(jīng)過BB1的中點(diǎn)，則水平面截正方體所得的截面是過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，所以其面積.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題、共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知向量，，且與的夾角為.
（1）求的值；
（2）求在方向上的投影向量的模.
解：（1）由題可知，，
由數(shù)量積公式可知，即，解得.
（2）由（1）可得，
所以在方向上的投影向量的模為.
18. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求.
解：（1）
.
（2）因?yàn)?，所以，又?br>則，所以，
所以
.
19. 如圖，在三棱錐中，已知，，且，、分別為、的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值.
解：（1）證明：因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，
因?yàn)槠矫?，平面，因此，平?
（2）因?yàn)?，則異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，
因?yàn)?，，則為等邊三角形，且，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，且，
易知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，且，
因?yàn)?，、分別為、的中點(diǎn)，則，
取線段的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋?，則，
所以，，
因此，異面直線與所成角的余弦值為.
20. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
（1）求的解析式；
（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.
解：（1）由圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，則，
所以，，
因?yàn)椋傻茫?br>因?yàn)?，則，所以，，解得，
因此，.
（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
可得到函數(shù)的圖象，
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，
則，
當(dāng)時(shí)，，則，所以，，
因此，在上值域?yàn)?
21. 在中，角所對(duì)的邊分別為，__________．
在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線上，并加以解答．
（1）求角；
（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
解：（1）若選擇條件①；
由正弦定理，
得，
即，
因?yàn)?，所以，所以，則．
若選擇條件②；
因?yàn)?，由正弦定理可得?br>即，
所以，
因?yàn)椋?，所以?br>又因?yàn)椋裕?br>（2）由余弦定理，可得，則，
所以，則，
由正弦定理，得，
因?yàn)?，所以?br>所以，
即取值范圍為．
22. 如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在平面的射影為．
（1）證明：為的垂心．
（2）若，且點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，求三棱錐的體積．
解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又點(diǎn)在平面的射影為，即平面，
又平面，所以，
因?yàn)?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br>同理可證，所以為的垂心.
（2）因?yàn)椋裕?br>記的中點(diǎn)為，則也是的中點(diǎn)，，由（1）知，
由（1）知，又在正方形中，，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>過作交于，則平面，
則平面，因?yàn)槠矫?，所以與重合，
在四邊形中，，
因?yàn)辄c(diǎn)在平面的射影為，點(diǎn)在平面的射影為，
所以，易知相似，
所以，得，同理得，
則，
易知平面，
所以.

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