一、選擇題（本大題6小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）
1. 一次函數(shù)必過以下點（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查一次函數(shù)圖像上點坐標特征，熟練掌握一次函數(shù)圖像上點坐標特征是解題關鍵．
將點坐標代入函數(shù)解析式進行驗證即可．
【詳解】解：A．當時，則，即經(jīng)過點，故本項不符合題意；
B．當時，則，即經(jīng)過點1,0，故本項符合題意；
C．當時，則，即經(jīng)過點，故本項不符合題意；
D．當時，則，即經(jīng)過點，故本項不符合題意．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的概念，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵，根據(jù)一元二次方程的概念：只有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程，形如的方程是一元二次方程，形逐一判斷即可得到答案．
【詳解】解：A、 ，不是整式方程，故此選項錯誤；
B、變形后為，最高次數(shù)為1，故此選項錯誤；
C、，符合一元二次方程的定義，此選項正確；
D、，當時，此方程才是一元二次方程，故此選項錯誤．
故選：C．
3. 用配方法解一元二次方程，將它轉化為的形式，則的值為（ ）
A. B. 2024C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查配方法，一移，二配，三變形，將方程配方后，求出的值，進而求出的值即可．
【詳解】解：，
，
∴，
∴，
∴；
故選C．
4. 某商品原價為元，經(jīng)連續(xù)兩次降價后售價為元，設平均每次降價的百分率為，則下面所列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設平均每次降價的百分率為 x，那么第一次降價后的售價是原來的，那么第二次降價后的售價是原來的，根據(jù)題意列出方程即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得兩次降價后售價為，
方程為：，
故選：B．
【點睛】本題考查的是一元二次方程的應用，要掌握求平均變化率的方法，若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為：．
5. 已知拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）過A（﹣3，0），B（1，0），C（﹣5，y1），D（﹣2，y2）四點，則y1與y2的大小關系是（ ）
A. y1＞y2B. y1=y2C. y1＜y2D. 不能確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)A（-3，0）、B（1，0）兩點可確定拋物線的對稱軸，再根據(jù)開口方向，C、D兩點與對稱軸的遠近，判斷y1與y2的大小關系．
【詳解】∵拋物線過A（-3，0）、B（1，0）兩點，
∴拋物線的對稱軸為x==-1，
∵a＜0，拋物線開口向下，離對稱軸越遠，函數(shù)值越小，
比較可知C點離對稱軸遠，對應的縱坐標值小，
即y1＜y2．
故選C．
【點睛】考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，比較拋物線上兩點縱坐標的大小，關鍵是確定對稱軸，開口方向，兩點與對稱軸的遠近．
6. 定義：是一元二次方程的倒方程．則下列四個結論錯誤的是（ ）
A. 如果，那么這兩個方程一定都有兩個不相等的實數(shù)根
B. 如果是的倒方程的解，則
C. 如果一元二次方程無解，則它的倒方程也無解
D. 如果是一元二次方程的根，則也是倒方程的根
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了根的判別式、一元二次方程的解，根據(jù)判別式判斷一元二次方程的解是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程的解，根的判別式逐項分析判斷即可．
【詳解】解：A、對于方程和，
其根的判別式均為，
∵，
∴，
又∵，
∴的取值不確定，故無法確定這兩個方程一定都有兩個不相等的實數(shù)根，選項A不正確，符合題意；
B、是一元二次方程的倒方程，
將代入，解得，故選項B正確，不符合題意；
C、∵一元二次方程無解，
∴，它的倒方程的根的判別式也為，
∴它的倒方程也無解，故選項C正確，不符合題意；
D、若是一元二次方程的根，
則有，
∴，
即也是倒方程的根，
故選項D正確，不符合題意．
故選：A．
二、填空題（本大題6小題，每小題3分，共18分）
7. 二次函數(shù)y=+2的頂點坐標為_________．
【答案】（1，2）.
【解析】
【詳解】試題分析：由二次函數(shù)的解析式可求得答案．∵y=（x﹣1）2+2，∴拋物線頂點坐標為（1，2）.
故答案為（1，2）．
考點：二次函數(shù)的性質．
8. 寫出一個開口向上，經(jīng)過點（1，0）的二次函數(shù)____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)開口向上，所寫出的二次函數(shù)a＞0且函數(shù)經(jīng)過（1，0）即可．
【詳解】解：二次函數(shù) 開口向上，且經(jīng)過（1，0）．
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質，解題關鍵是利用二次函數(shù)圖象開口方向和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
9. 如圖，菱形的對角線相交于點O，點E邊的中點，連接．若，，則長為________．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的性質和勾股定理求出的長，利用斜邊上的中線即可得解．
【詳解】解：∵菱形的對角線相交于點O，
∴，，
∴，
∴，
∵點E邊的中點，
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查菱形的性質，斜邊上的中線．熟練掌握菱形的對角線互相垂直平分，是解題的關鍵．
10. 一元二次方程的兩根為，則的值為__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根與系數(shù)的關系，代數(shù)式求值．熟練掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根與系數(shù)的關系，代數(shù)式求值是解題的關鍵．
由題意知，，，則，，然后代入求解即可．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為，
∴，，
∴，，
∴，
故答案為：3．
11. 如圖，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則關于的不等式組的解集為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式．利用函數(shù)圖象，寫出在軸上方且函數(shù)的函數(shù)值小于函數(shù)的函數(shù)值對應的自變量的范圍即可．
【詳解】解：當時，；
當時，，
所以不等式組的解集為．
故答案為：：．
12. 已知關于的一元二次方程和有且只有一個相同的實數(shù)根．則的值為__________．
【答案】或1或
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的意義、因式分解法解方程等知識，求出方程的兩個解是解題的關鍵．先利用因式分解法解方程，得到，，再分別將，代入，求出的值即可．
【詳解】解：將整理可得 ，
分解因式，得，
解得，，
當時，，
解得；
當時，，
解得或，
所以的值為或1或．
故答案為：或1或．
三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13. 如圖，點在的邊上，，請從以下三個選項中①；②；③，選擇一個合適的選項作為已知條件，使為矩形．

（1）你添加的條件是_________（填序號）；
（2）添加條件后，請證明為矩形．
【答案】（1）答案不唯一，①或②
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形進行選?。?br>（2）通過證明可得，然后結合平行線的性質求得，從而得出為矩形．
【小問1詳解】
解：①或②
【小問2詳解】
添加條件①，為矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴為矩形；
添加條件②，為矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形
【點睛】本題考查矩形的判定，全等三角形的判定和性質，掌握平行四邊形的性質和矩形的判定方法（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）是解題關鍵．
14. 用你喜歡的方法解下列方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程．熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小問1詳解】
解：，
，
，
∴或，
解得，．
【小問2詳解】
解：，
，
，
，
∴或，
解得，．
15. 王明在學習了用配方法解一元二次方程后，解方程的過程如下：
解：移項，得． 第一步
二次項系數(shù)化為1，得． 第二步
配方，得． 第三步
因此． 第四步
由此得或． 第五步
解得． 第六步
（1）王明的解題過程從第______步開始出現(xiàn)了錯誤；
（2）請利用配方法正確地解方程．
【答案】（1）二 （2）
【解析】
【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵，配方法的一般步驟：(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；(2)把二次項的系數(shù)化為1；(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
（1）由配方法解一元二次方程即可判斷錯誤的步驟；
（2）由配方法解一元二次方程即可得到答案；
【小問1詳解】
解題過程從第二步開始出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是系數(shù)化為1時，等式右邊的-3未除以2，
故答案為：二；
【小問2詳解】
．
移項，得：，
二次項系數(shù)化為1，得：，
配方，得：，
因此，
由此得：或，
解得：．
16. 已知關于一次函數(shù)．
（1）若該函數(shù)的圖象與軸的交點在軸下方，求的取值范圍；
（2）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，求的取值范圍．
【答案】（1）且
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，一次函數(shù)的定義：
（1）對于一次函數(shù)y=kx+bk≠0，若其圖象與軸的交點在軸下方，那么b小于0，據(jù)此列出不等式求解即可；
（2）對于一次函數(shù)y=kx+bk≠0，若其函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，那么，據(jù)此列出不等式求解即可。
【小問1詳解】
解：一次函數(shù)圖象與軸的交點在軸下方，
解得且，
即的取值范圍為且．
【小問2詳解】
解：一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，
解得，
即的取值范圍為．
17. 已知k為實數(shù)，關于x的方程為x2﹣2（k+1）x+k2=0．
（1）請判斷x=﹣1是否可為此方程的根，說明理由．
（2）設方程的兩實根為x1，x2，當2x1+2x2+1=x1x2時，試求k的值．
【答案】（1）x=﹣1不是此方程的根；（2）k=5．
【解析】
【分析】(1) 當x=-1時, 方程左邊==≠0, 右邊=0≠左邊, 得出x=-1不是此方程的根;
(2)由根與系數(shù)的關系得:,, 由已知得出方程, 解方程即可.
【詳解】解：（1）x=﹣1不是此方程的解；理由如下：
當x=﹣1時，方程左邊=1+2（k+1）+k2=（k+1）2+2≠0，右邊=0≠左邊，
∴x=﹣1不是此方程的根；
（2）由根與系數(shù)的關系得：x1+x2=2（k+1），x1x2=k2，
∵2x1+2x2+1=x1x2，
∴4（k+1）+1=k2，
解得：k=﹣1（方程無實根，舍去），或k=5，
∴k=5．
【點睛】本題主要考查一元二次方程的解及根與系數(shù)的關系.
四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18. 如圖，平行四邊形中，P是邊上的一點（不與點A，B重合），，過點P作，交于點Q，連接．
（1）若，求證：四邊形是矩形；
（2）在（1）的條件下，當，時，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）的長是
【解析】
【分析】本題考查矩形判定及性質，全等三角形判定及性質，勾股定理等．
（1）根據(jù)題意得，繼而得，即可得到本題答案；
（2）利用矩形性質可知，再判定，利用勾股定理即可得到本題答案．
【小問1詳解】
解：證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴平行四邊形是矩形；
【小問2詳解】
解：∵四邊形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
設，則，
在中，，
∴，
解得：，
∴的長是．
19. 古今中外，曾經(jīng)有許多數(shù)學家研究過一元二次方程的幾何解法，如數(shù)學家歐幾里得的著作《幾何原本》中給出了形如（）的方程的圖解法：如圖，以和b為兩直角邊作，再在斜邊上截取，則的長就是所求方程的正根．請你利用求根公式驗證該圖的解法．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理，利用求根公式求出方程的解，勾股定理求出的長，進而求出的長，即可得出結論．
【詳解】解：解方程
移項得，
，
∴，
在中，，，，
由勾股定理可得，，
∴的長就是所求方程的正根．
20. 已知二次函數(shù)．
（1）求二次函數(shù)圖像的頂點坐標；
（2）在平面直角坐標系中，畫出二次函數(shù)的圖像；
（3）當時，結合函數(shù)圖像，直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）把一般式配成頂點式得到拋物線的頂點坐標；
（2）先確定拋物線與坐標軸的交點坐標，然后利用描點法畫出二次函數(shù)圖象；
（3）結合二次函數(shù)圖象，寫出當時對應的y的取值范圍．
【小問1詳解】
∵，
∴該二次函數(shù)圖象頂點坐標為；
【小問2詳解】
列表：
描點，連線，如圖：
；
【小問3詳解】
由圖象可知，當時，．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，二次函數(shù)圖形上點的坐標特征，數(shù)形結合是解題的關鍵．
五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21. 隨著南昌成為新晉“網(wǎng)紅”旅游城市，滕王閣已成為必去的經(jīng)典景點，其紀念品很受游客喜愛，每個紀念幣的進價為10元，某商家經(jīng)過市場調查發(fā)現(xiàn)，每天銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如表所示：
（1）求y與x之間的函數(shù)關系式及x的取值范圍；
（2）若商家每天銷售這種紀念幣獲利192元，則銷售單價為多少元？
【答案】（1）
（2）18元或22元
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一元二次方程的應用，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和解一元二次方程是解題的關鍵．
（1）直接利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；
（2）直接利用（1）中所求，表示出總利潤，進而解方程，即可得出答案．
【小問1詳解】
解：設y與x之間的函數(shù)關系式為（），由所給函數(shù)圖象可知：，
解得，
當時，即，
解得，
∴，
故y與x的函數(shù)關系式為．
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意得：
，
解得：，
答：銷售單價應18元或22元．
22. 【綜合與實踐】
【實踐任務】研究小組利用函數(shù)的相關知識研究某種化學試劑的揮發(fā)情況，在兩種不同的場景下做對比實驗，并收集該試劑揮發(fā)過程中剩余質量隨時間變化的數(shù)據(jù)．
【實驗數(shù)據(jù)】該試劑揮發(fā)過程中剩余質量（克）隨時間（分鐘）變化的數(shù)據(jù)（），并分別繪制在平面直角坐標系中，如圖所示：
場景A 場景B
（1）任務一：求出函數(shù)表達式
經(jīng)過描點構造函數(shù)模型來模擬兩種場景下y隨x變化的函數(shù)關系，發(fā)現(xiàn)場景A的圖象是拋物線的一部分，場景的圖像是直線的一部分，分別求出場景A、B相應的函數(shù)表達式；
（2）任務二：探究該化學試劑的揮發(fā)情況
查閱文獻可知，該化學試劑發(fā)揮作用的最低質量為3克，在上述實驗中，該化學試劑在哪種場景下發(fā)揮作用的時間更長？
【答案】（1）場景A：，場景B：
（2）場景A
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的應用、一次函數(shù)的應用，正確求得函數(shù)解析式是解答關鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求兩個函數(shù)解析式即可；
（2）求得時的x值即可求解．
【小問1詳解】
解：對于場景A：將、代入中，
得，解得，
∴場景A 對應的函數(shù)解析式為；
場景B：將、代入中，
得，解得，
∴場景B對應的函數(shù)解析式為；
【小問2詳解】
解：場景A：當時，由得，（舍去），
場景B：當時，由得，
∵，
∴該化學試劑在場景A下發(fā)揮作用的時間更長．
六、（本大題共12分）
23. 如圖，四邊形是一張放在平面直角坐標系中的正方形紙片，點O與坐標原點重合，點A在x軸上，點C在y軸上，，點E在邊上，點N的坐標為，過點N且平行于y軸的直線與交于點M．現(xiàn)將紙片折疊，使頂點C落在上，并與上的點G重合，折痕為．
（1）求點G的坐標，并求直線的解析式；
（2）若直線l：平行于直線，且與長方形有公共點，請直接寫出n的取值范圍；
（3）設點P為x軸上的點，是否存在這樣的點P，使得以P，O，G為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1），；
（2）；
（3）存在，點P的坐標為或或或．
【解析】
【分析】（1）由圖形折疊的性質可得的長度，從而可求的長度，可得G的坐標；利用待定系數(shù)法代入點G的坐標，可得直線解析式；
（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質，可得直線l的解析式為，結合圖形，分別求出直線過點M、A時n的值，可得n的取值范圍；
（3）依據(jù)等腰三角形的性質，將兩腰相等的情況分為三類，分別求解即可．
【小問1詳解】
解：由折疊的性質可知，，
由勾股定理得，
∴點G的坐標為，
設直線的解析式為，
將代入，得，
∴直線的解析式為．
【小問2詳解】
解：∵直線l：平行于直線，
∴，即直線l的解析式為，
當直線l經(jīng)過點時，
解得，，
當直線l經(jīng)過點時，
解得，，
∴直線l與長方形有公共點時．
【小問3詳解】
解：存在，點P的坐標為或或或，理由如下：
①當時，
若點P在原點左側，點P的坐標為，
若點P在原點右側，點P的坐標為；
②當時，
，
，
點P的坐標為；
③當時，
可得，
在中，，即，
解得，，點P的坐標為，
綜上所述，以P，O，G為頂點的三角形為等腰三角形時，點P的坐標為或或或．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
0
3
…
銷售單價x/元
…
12
13
14
…
每天銷售數(shù)量y/件
…
36
34
32
…

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