2023年江西省南昌市紅谷灘區(qū)鳳凰城上海外國語學(xué)校中考數(shù)學(xué)二模試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共6小題，共18.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列各數(shù)中，負數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  實數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則，的大小關(guān)系為(    )
A.  B.  C.  D. 無法確定3.  下列運算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  由個有公共頂點的直角三角形拼成的圖形如圖所示，若，則的長為(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  如圖是由五個相同的正方體搭成的幾何體，這個幾何體的左視圖是(    )A.
B.
C.
D. 6.  如圖是小強散步過程中所走的路程單位：與步行時間單位：的函數(shù)圖象．其中有一時間段小強是勻速步行的．則這一時間段小強的步行速度為(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）7.  分解因式：          ．8.  如圖，、、、為一個外角為的正多邊形的頂點．若為正多邊形的中心，則          ．
 
  
 9.  已知關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是        ．10.  為了弘揚我國書法藝術(shù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的書寫能力，某校舉辦了書法比賽，學(xué)校準備為獲獎同學(xué)頒獎在購買獎品時發(fā)現(xiàn)，種獎品的單價比種獎品的單價多元，用元購買種獎品的數(shù)量與用元購買種獎品的數(shù)量相同設(shè)種獎品的單價是元，則可列分式方程為______ ．11.  如圖，矩形的對角線，相交于點，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點若，，則的長為______ ．
 
  
 12.  如圖，矩形的頂點在反比例函數(shù)的圖象上，矩形的面積為，則 ______ ．
 三、解答題（本大題共11小題，共88.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）13.  本小題分
計算：．
解不等式組：．14.  本小題分
以下是某同學(xué)化簡分式的部分運算過程：解：原式


 解：上面的運算過程中第______步出現(xiàn)了錯誤；
請你寫出完整的解答過程．15.  本小題分
為傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，提高學(xué)生文化素養(yǎng)，學(xué)校舉辦“經(jīng)典誦讀”比賽，比賽題目分為“詩詞之風(fēng)”“散文之韻”“小說之趣”“戲劇之雅”四組依次記為，，，小雨和莉莉兩名同學(xué)參加比賽，其中一名同學(xué)從四組題目中隨機抽取一組，然后放回，另一名同學(xué)再隨機抽取一組．
小雨抽到組題目的概率是______；
請用列表法或畫樹狀圖的方法，求小雨和莉莉兩名同學(xué)抽到相同題目的概率．16.  本小題分
如圖是的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖保留作圖痕跡．
在圖中作的角平分線；
在圖中過點作一條直線，使點，到直線的距離相等．17.  本小題分
如圖，將矩形紙片折疊，使點與點重合，點落在點處，折痕為．
求證：≌；
若，，求的長．
18.  本小題分
如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，過點作軸，垂足為，若．
求點的坐標及的值；
若，求一次函數(shù)的表達式．
19.  本小題分
如圖，是的外接圓，是的直徑，與過點的切線平行，，相交于點．
求證：；
若，求的長．
20.  本小題分
湖中小島上碼頭處一名游客突發(fā)疾病，需要救援．位于湖面點處的快艇和湖岸處的救援船接到通知后立刻同時出發(fā)前往救援．計劃由快艇趕到碼頭接該游客，再沿方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運到救援船上．已知在的北偏東方向上，在的北偏東方向上，且在的正南方向米處．
求湖岸與碼頭的距離結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：；
救援船的平均速度為米分，快艇的平均速度為米分，在接到通知后，快艇能否在分鐘內(nèi)將該游客送上救援船？請說明理由．接送游客上下船的時間忽略不計
21.  本小題分
某校為響應(yīng)“傳承屈原文化弘揚屈原精神”主題閱讀倡議，進一步深化全民閱讀和書香宜昌建設(shè)，隨機抽取了八年級若干名學(xué)生，對“雙減”后學(xué)生周末課外閱讀時間進行了調(diào)查．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，整理后得到下列不完整的圖表：時間段分鐘組中值______ 頻數(shù)人______ 數(shù)據(jù)分組后，一個小組的兩個端點的數(shù)的平均數(shù)，叫做這個小組的組中值．
請你根據(jù)圖表中提供的信息，解答下面的問題：
扇形統(tǒng)計圖中，分鐘時間段對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)是______；______；樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)位于____________分鐘時間段；
請將表格補充完整；
請通過計算估計該校八年級學(xué)生周末課外平均閱讀時間．
22.  本小題分
跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分如圖中實線部分所示，落地點在著陸坡如圖中虛線部分所示上，著陸坡上的基準點為飛行距離計分的參照點，落地點超過點越遠，飛行距離分越高．年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度為，基準點到起跳臺的水平距離為，高度為為定值設(shè)運動員從起跳點起跳后的高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系為．
的值為______；
若運動員落地點恰好到達點，且此時，，求基準點的高度；
若時，運動員落地點要超過點，則的取值范圍為______；
若運動員飛行的水平距離為時，恰好達到最大高度，試判斷他的落地點能否超過點，并說明理由．
23.  本小題分
【問題情境】
在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個三角板按照如圖所示的方式擺放．其中，，．
【問題探究】
小昕同學(xué)將三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)．
如圖，當(dāng)點落在邊上時，延長交于點，求的長．
若點、、在同一條直線上，求點到直線的距離．

連接，取的中點，三角板由初始位置圖，旋轉(zhuǎn)到點、、首次在同一條直線上如圖，求點所經(jīng)過的路徑長．
如圖，為的中點，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點到直線的距離的最大值是______．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是負數(shù)，，是正數(shù)，既不是正數(shù)也不是負數(shù)，
故選：．
根據(jù)負數(shù)的定義即可得出答案．
本題考查了實數(shù)，掌握在正數(shù)前面添加“”得到負數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：，，
，
故選：．
由數(shù)軸上在的右側(cè)可得與的大小關(guān)系．
本題考查實數(shù)與數(shù)軸，解題關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的定義．
 3.【答案】 【解析】解：、，故A不符合題意；
B、，故B符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、與不能合并，故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，負整數(shù)指數(shù)冪，合并同類項法則，進行計算逐一判斷即可解答．
本題考查了同底數(shù)冪乘法，冪的乘方與積的乘方，負整數(shù)指數(shù)冪，合并同類項，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則，正確的進行判斷．
 4.【答案】 【解析】解：由圖可知，，
，
，，
同理可得，，
，

．
故選：．
由，，可知：：：：：：：：，由此可求出的長．
本題主要考查含角的直角三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，掌握含角的直角三角形的三邊關(guān)系是解題基礎(chǔ)．
 5.【答案】 【解析】解：從左邊看，從左往右小正方形的個數(shù)依次為：，左視圖如下：

故選：．
細心觀察圖中幾何體中正方體擺放的位置，根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形判定則可．
本題主要考查了幾何體的三種視圖和學(xué)生的空間想象能力，視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上．
 6.【答案】 【解析】解：由函數(shù)圖象知，從分鐘時間段小強勻速步行，
這一時間段小強的步行速度為，
故選：．
根據(jù)小強勻速步行時的函數(shù)圖象為直線，根據(jù)圖象得出結(jié)論即可．
本題主要考查函數(shù)圖象的知識，根據(jù)函數(shù)圖象得出勻速步行的時間段是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】【分析】
直接用平方差公式進行分解．平方差公式：．
本題考查運用平方差公式進行因式分解，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．
【解答】
解：．
故答案為：．  8.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查了正多邊形的外角以及內(nèi)角，熟記公式是解答本題的關(guān)鍵．利用任意凸多邊形的外角和均為，正多邊形的每個外角相等即可求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)正多邊形中心角的計算方法得出，，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算即可．
【解答】
解：連接、，

正多邊形的每個外角都相等，且其和為，
據(jù)此可得多邊形的邊數(shù)為：，
，
，
．
故答案為：．  9.【答案】 【解析】解：方程有兩個相等的實數(shù)根，
，
解得：，
故答案為：．
先根據(jù)根的判別式的值為，進而得出等式求出即可．
本題主要考查了根的判別式，根據(jù)已知得出得出是解題關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：設(shè)種獎品的單價是元，則種獎品的單價是元，
依題意得：．
故答案為：．
設(shè)種獎品的單價是元，則種獎品的單價是元，根據(jù)數(shù)量總價單價，結(jié)合用元購買種獎品的數(shù)量與用元購買種獎品的數(shù)量相同，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：四邊形是矩形，
，
，
，，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，
又，
，
，

現(xiàn)根據(jù)矩形的性質(zhì)證明≌，然后求出，再解直角三角形即可．
本題考查矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形全等求出是解題關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：矩形的面積為，
，
又，
，
故答案為：．
根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得出答案．
本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，掌握反比例函數(shù)圖象上的一點分別向軸，軸作垂線，與坐標軸所圍成的長方形的面積等于是解決問題的關(guān)鍵．
 13.【答案】解：原式
；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式組的解集為：． 【解析】先計算零指數(shù)冪、代入三角函數(shù)值、化簡二次根式、計算絕對值，最后計算加減即可；
分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，繼而可得答案．
本題考查的是解一元一次不等式組和實數(shù)的運算，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：第步出現(xiàn)錯誤，原因是分子相減時未變號，
故答案為：；
原式，
，
，
，
．
故答案為：．
根據(jù)分式的運算法則：先乘方，再加減，最后乘除，有括號先算括號里面的計算即可．
本題主要考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則是解決本題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：小雨抽到組題目的概率是，
故答案為：；
畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中小雨和莉莉兩名同學(xué)抽到相同題目的結(jié)果有種，
小雨和莉莉兩名同學(xué)抽到相同題目的概率為．
直接由概率公式求解即可；
畫樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中小雨和莉莉兩名同學(xué)抽到相同題目的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．
此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 16.【答案】解：如圖中，射線即為所求；
如圖中，直線即為所求．
 【解析】連接，取的中點，作射線即可；
利用是相結(jié)合的射線畫出圖形即可．
本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
 17.【答案】證明：四邊形是矩形，
，，
由折疊得：，，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：如圖，過點作于，

，，
在中，由勾股定理得：，
設(shè)，
由知：，
，
，
由折疊得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
． 【解析】根據(jù)證明兩個三角形全等即可；
如圖，過點作于，由勾股定理計算，設(shè)，在中，由勾股定理得：，列方程可解答．
本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題關(guān)鍵．
 18.【答案】解：令，則，
，
，
設(shè)，
軸，
，
，
，
，
，
，
，
即，；
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
將代入到直線解析式中得，
一次函數(shù)的表達式為． 【解析】令，則，所以，得到，設(shè)，因為軸，所以，，因為的面積為，列出方程得到，所以，所以；
因為，在直角三角形中，利用勾股定理列出方程，得到，得到，從而，將坐標代入到一次函數(shù)中即可求解．
本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，設(shè)出交點的坐標，利用已知條件列出方程，是解決問題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：是的切線，
，
，
，
是直徑，
，
，
．
解：連接，
，
，
，，
，
∽，
，
即，
，，
，
，
解得：，
在中，，，
． 【解析】根據(jù)垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的判定定理解答即可；
根據(jù)相似三角形的判定定理，勾股定理解答即可．
本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：如圖，延長到，則于點，

根據(jù)題意可知：，米，，
，
米，
，
米，
米，
米
答：湖岸與碼頭的距離約為米；
設(shè)快艇在分鐘內(nèi)將該游客送上救援船，
救援船的平均速度為米分，快艇的平均速度為米分，
，
，
答：快艇能在分鐘內(nèi)將該游客送上救援船． 【解析】延長到，則于點，根據(jù)題意可得，米，，所以，然后根據(jù)含度角的直角三角形即可解決問題；
設(shè)快艇在分鐘內(nèi)將該游客送上救援船，根據(jù)救援船的平均速度為米分，快艇的平均速度為米分，列出方程，進而可以解決問題．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義．
 21.【答案】，，，；
，；
 分鐘，
答：估計該校八年級學(xué)生周末課外平均閱讀時間為分鐘． 【解析】解：分鐘時間段對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)是：，
本次調(diào)查的學(xué)生有：人，
，
的值是，
樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)位于分鐘時間段，
故答案為：，，，；
一個小組的兩個端點的數(shù)的平均數(shù)，叫做這個小組的組中值，
時間段的組中值為，
時間段的頻數(shù)為：，
故答案為：，；
見答案；
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和扇形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出本次抽取的學(xué)生人數(shù)，然后即可得到分鐘時間段對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)，的值以及樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)位于哪一時間段；
根據(jù)中的結(jié)果和表格中的數(shù)據(jù)，可以將表格補充完整；
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以計算出該校八年級學(xué)生周末課外平均閱讀時間．
本題考查頻數(shù)分布表、扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 22.【答案】   【解析】解：起跳臺的高度為，
，
把代入得：
，
故答案為：；
，，
，
基準點到起跳臺的水平距離為，
，
基準點的高度為；
，
，
運動員落地點要超過點，
時，，
即，
解得，
故答案為：；
他的落地點能超過點，理由如下：
運動員飛行的水平距離為時，恰好達到最大高度，
拋物線的頂點為，
設(shè)拋物線解析式為，
把代入得：
，
解得，
拋物線解析式為，
當(dāng)時，，
，
他的落地點能超過點．
根據(jù)起跳臺的高度為，即可得；
由，，知，根據(jù)基準點到起跳臺的水平距離為，即得基準點的高度為；
運動員落地點要超過點，即是時，，故，即可解得答案；
運動員飛行的水平距離為時，恰好達到最大高度，即是拋物線的頂點為，設(shè)拋物線解析式為，可得拋物線解析式為，當(dāng)時，，從而可知他的落地點能超過點．
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能根據(jù)題意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
 23.【答案】解：由題意得，，
在中，，，
；
當(dāng)點在上方時，
如圖，過點作于，
在中，，
，
，
在中，，，
，
在中，根據(jù)勾股定理得，，

，
，
當(dāng)點在下方時，如圖，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，
，
過點作于，
，
，
即點到直線的距離為；
如圖，連接，取的中點，

取的中點，連接，則，
，
，
點為的中點，點為的中點，
，
點是以點為圓心，為半徑的圓上，如圖，
三角板由初始位置圖，旋轉(zhuǎn)到點、、首次在同一條直線上時，點所經(jīng)過的軌跡為所對的圓弧，
點所經(jīng)過的路徑長為；
． 【解析】【分析】
此題是幾何變換綜合題，主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，弧長公式，三角形的中位線定理，三角形的面積，畫出圖形是解本題的關(guān)鍵．
根據(jù)銳角三角函數(shù)求解，即可求出答案；
當(dāng)點在上方時，如圖過點作于，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，，最后利用面積求解，即可求出答案；
當(dāng)點在下方時，同的方法，即可求出答案；
先求出，再判斷出點是以點為圓心，為半徑的圓上，最后用弧長公式求解，即可求出答案；
過點作于，求出，即可求出答案．
【解答】
解：見答案；
見答案；
見答案；
見答案；

如圖，過點作于，
點為的中點，，
，
，
由知，點是以點為圓心，為半徑的圓上，
點到直線的距離的最大值是，  

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