本卷：共六大題 23小題 （時(shí)間：120分鐘 滿分：120分）
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）
1. 方程二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A. 1，，1B. ，，1C. 1，3，D. 1，3，1
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般式，對于一元二次方程，其中a、b、c是常數(shù)且，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng)，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：把原方程化為一般式為，
∴原方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為1，
故選：A．
2. 下列關(guān)于二次函數(shù)的圖象說法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A. 它的對稱軸是直線
B. 它的圖象有最低點(diǎn)
C. 它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是
D. 在對稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)解析式可知，函數(shù)開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則函數(shù)有最小值，在對稱軸左側(cè)y隨著x的增大而減小，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：A、它的對稱軸是直線，原說法正確，不符合題意；
B、由二次項(xiàng)系數(shù)大于0可知，函數(shù)開口向上，則它的圖象有最低點(diǎn)，原說法正確，不符合題意；
C、它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，原說法正確，不符合題意；
D、函數(shù)開口向上，在對稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而減小，原說法錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
3. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的配方法．把常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可做出判斷．
【詳解】解：，
移項(xiàng)得：，
配方得：，
整理得：，
故選：D．
4. 關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是
A. 且B. C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到?=≥0且a≠0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可．
【詳解】解：由題意可得：
?==≥0，a≠0
解得：且
故：選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式是解本題的關(guān)鍵．
5. 某種品牌運(yùn)動(dòng)服經(jīng)過兩次降價(jià)，每件零售價(jià)由560元降為315元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，求每次降價(jià)的百分率，設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，則第一次降價(jià)后的價(jià)格為元，第二次降價(jià)后的價(jià)格為元，據(jù)此列出方程即可．
【詳解】解：由題意得，，
故選：D．
6. 我們定義一種新函數(shù)：形如（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學(xué)畫出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），并寫出下列五個(gè)結(jié)論：其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝1；
③當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；
④當(dāng)x＝﹣1或x＝3時(shí)，函數(shù)的最小值是0；
⑤當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)的最大值是4
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】①由時(shí)，，由時(shí)，，，，，圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）可判斷①；②對稱軸x=從函數(shù)解析式上看函數(shù)y=部分的對稱軸為直線，從和部分的對稱軸也是直線，對稱軸是直線，可判斷② ；③根據(jù)當(dāng)或時(shí)函數(shù)的圖象，從左下向右上呈上升趨勢，函數(shù)值隨值的增大而增大，可判斷③；④函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)y＝0，求出相應(yīng)的的值為或，可判斷④；⑤由，解得，由，解得x=1，當(dāng)或時(shí)，，y=4不是函數(shù)的最大值，可判斷⑤．
【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，，，
∴（-1,0），（3,0）和（0,3）坐標(biāo)都滿足函數(shù)，
∴①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）是正確的；
②，
對稱軸x=，
∴從函數(shù)解析式上看函數(shù)y=部分的對稱軸為直線，和部分的對稱軸也是直線，
對稱軸可用對稱軸是直線，
∴②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝1是正確的；
③根據(jù)當(dāng)或時(shí)函數(shù)的圖象，從左下向右上呈上升趨勢，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，
∴③當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大是正確的；
④函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)y＝0，求出相應(yīng)的x的值為或，
∴④當(dāng)x＝﹣1或x＝3時(shí)，函數(shù)的最小值是0是正確的；
⑤由，解得，由，解得x=1，
當(dāng)或時(shí)，，
∴y=4不是函數(shù)的最大值，
∴⑤當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)最大值是4不正確；
∴正確結(jié)論有①②③④四個(gè)．
故選A．
【點(diǎn)睛】理解“鵲橋”函數(shù)的意義，掌握“鵲橋”函數(shù)與與二次函數(shù)之間的關(guān)系；兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的聯(lián)系和區(qū)別是解決問題的關(guān)鍵；二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)、對稱性、對稱軸及最值的求法以及增減性應(yīng)熟練掌握．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7. 若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是________________．
【答案】m≠1
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可；
【詳解】∵關(guān)于的方程是一元二次方程，
∴，
解得；
故答案是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．
8. 二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)式．把二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】解：把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式為：；
頂點(diǎn)坐標(biāo)為：．
故答案為：．
9. 已知，是一元二次方程的兩個(gè)根，則__．
【答案】1
【解析】
【分析】此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代入計(jì)算即可．
【詳解】解：，是一元二次方程的兩個(gè)根，
，．
∴．
故答案為：1．
10. a是方程一個(gè)根，則代數(shù)式的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把代入原方程得到，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵a是方程的一個(gè)根，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
11. 若、、為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則、、的大小關(guān)系是__________（用“”表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)值的大小，根據(jù)解析式可得二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，據(jù)此計(jì)算出三個(gè)點(diǎn)到對稱軸的距離即可得到答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式，，
∴二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線，
∴離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，
∵、、為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，且，
∴，
故答案為：．
12. 如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B、C，點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．若點(diǎn)P在射線上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，當(dāng)P在C的左邊時(shí)，則有，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；當(dāng)P在C的右邊時(shí)，如圖，過作軸于H，則，證明，得到，根據(jù)，得到，則，，據(jù)此可得答案.
【詳解】解： 如圖，當(dāng)P在C的左邊時(shí)，
∵，
∴，

設(shè)，
∴，解得，
∴；
當(dāng)P在C的右邊時(shí)，如圖，過作軸于H，則
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
此時(shí)的橫坐標(biāo)為1，則縱坐標(biāo)，
∴，
綜上：P的坐標(biāo)為：或．
故答案為：或．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此題考查了解一元二次方程.
（1）根據(jù)算術(shù)平方根的意義得到，解一元一次方程即可；
（2）配方化為，再利用開平方解方程即可.
【小問1詳解】
解：
∴
開平方得，
解得，
【小問2詳解】
∴
∴
開平方得，
解得
14. 我校七年級組織一次籃球賽，各班均組隊(duì)參賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩班之間都賽一場），共需安排45場比賽，求七年級有多少個(gè)班級．
【答案】10
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)七年級有x個(gè)班，“根據(jù)各班均組隊(duì)參賽，賽制為單循環(huán)形式且共需安排45場比賽”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可．
【詳解】解：設(shè)七年級有x班，
解得或（舍），
答：七年級有10個(gè)班級．
15. 下面是小明同學(xué)解一元二次方程的過程，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
解方程：．
解：方程兩邊同除以，得．…第一步
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得．…第二步
系數(shù)化為1，得．…第三步
任務(wù)：
（1）小明的解法從第_________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
（2）此題的正確結(jié)果是__________________．
（3）解方程：．
【答案】（1）一 （2），，
（3），．
【解析】
【分析】①先移項(xiàng)得，故第一步是錯(cuò)誤的，即可解答；
②利用解一元二次方程因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
③利用解一元二次方程因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了解一元二次方程因式分解法，熟練掌握解一元二次方程因式分解法是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：小明的解法從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，
故答案為：一；
【小問2詳解】
解：，
，
，
或，
，，
故答案為：，；
【小問3詳解】
解：，
，
，
或，
，．
16. 二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過．
（1）求該二次函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)值的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式和二次函數(shù)圖象的增減性是解題的關(guān)鍵．
（1）由拋物線頂點(diǎn)式表達(dá)式得：，將點(diǎn)代入上式即可求解；
（2）根據(jù)的取值范圍和函數(shù)圖象增減性即可求解．
【小問1詳解】
解：∵二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為：，
∵二次函數(shù)的圖象過，
代入拋物線解析式得：，
解得：，
故二次函數(shù)解析式為：；
【小問2詳解】
解：∵，其中，對稱軸直線，
∴在對稱軸直線左側(cè)隨的增大而減小，在對稱軸直線右側(cè)隨的增大而增大，
又∵到直線的距離大于到直線的距離，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的取值范圍是．
17. 已知拋物線．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）將該拋物線向右平移個(gè)單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移：
（1）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)平移規(guī)則，求出新的拋物線的解析式，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可．
【小問1詳解】
解：，
∴對稱軸為直線；
【小問2詳解】
∵將該拋物線向右平移個(gè)單位長度，
∴新的拋物線的解析式為：，
把代入，得：，
解得：（負(fù)值舍去）．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18. 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
（1）求的取值范圍
（2）若滿足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系，解一元二次方程；
（1）由一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系得出不等式求解即可；
（2）由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合題中條件得出方程求解即可．
【小問1詳解】
解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，解得：；
【小問2詳解】
解：∵關(guān)于x的一元二次方程，
，，
∵，
∴，即，十字相乘因式分解得：，，
∵，
∴．
19. 已知二次函數(shù)（a是實(shí)數(shù)）．
（1）若函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的對稱軸．
（2）求證：二次函數(shù)圖象過定點(diǎn)．
【答案】（1）二次函數(shù)表達(dá)式為，對稱軸為直線
（2）見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)對稱軸，二次函數(shù)的性質(zhì)等等：
（1）先把點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式求出函數(shù)解析式，再根據(jù)對稱軸計(jì)算公式求出對稱軸即可；
（2）求出當(dāng)時(shí)的函數(shù)值即可證明結(jié)論．
【小問1詳解】
解：把代入中得：，
解得，
∴二次函數(shù)表達(dá)式為，
∴二次函數(shù)對稱軸直線；
【小問2詳解】
證明：在中，當(dāng)時(shí)，，
∴二次函數(shù)圖象過定點(diǎn)．
20. 新定義：已知關(guān)于x的一元二次方程的兩根之和與兩根之積，分別是另一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，則一元二次方程稱為一元二次方程的“再生韋達(dá)方程”，一元二次方程稱為“原生方程”．
比如：一元二次方程的兩根分別為，則，所以它的“再生韋達(dá)方程”為．
（1）已知一元二次方程，求它的“再生韋達(dá)方程”；
（2）已知“再生韋達(dá)方程”，求它的“原生方程”．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】題目主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及因式分解法解一元二次方程，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，然后根據(jù)新定義求解即可；
（2）令它的“原生方程”兩根分別為，根據(jù)題意得出，或，然后求解即可．
【小問1詳解】
解：解
得，
則，
所以一元二次方程的“再生韋達(dá)方程”為，
即；
【小問2詳解】
解得，
令它的“原生方程”兩根分別為，
則，或．
當(dāng)，則所求“原生方程”為；
當(dāng)，則所求“原生方程”為．
綜上所述，它的“原生方程”為或．
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21. 已知函數(shù)．

（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象．
（2）該函數(shù)可以由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移得到？
（3）該拋物線與x軸交于點(diǎn)__________，與y軸交于點(diǎn)__________．（寫坐標(biāo)）
（4）求該函數(shù)圖象關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式．
【答案】（1）見解得 （2）向右平移1個(gè)單位長度，向上平移4個(gè)單位長度得到
（3）；
（4）
【解析】
【分析】本題主要考查了畫二次函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的平移問題，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的角度坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形變化—軸對稱：
（1）先列表，再描點(diǎn)，最后連線畫出函數(shù)圖象即可；
（2）根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律求解即可；
（3）根據(jù)（1）所求即可得到答案；
（4）設(shè)為函數(shù)關(guān)于x軸對稱的函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則點(diǎn)為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，據(jù)此求出m、n的關(guān)系式即可得到答案．
【小問1詳解】
解：列表如下：
函數(shù)圖象如下所示：
【小問2詳解】
解：函數(shù)可以由函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，向上平移4個(gè)單位長度得到；
【小問3詳解】
解：由（1）可知該拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)0,3；
【小問4詳解】
解：設(shè)為函數(shù)關(guān)于x軸對稱的函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則點(diǎn)為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在函數(shù)的函數(shù)圖象上，
∴函數(shù)關(guān)于x軸對稱的函數(shù)為．
22. 閱讀材料題：
我們知道，所以代數(shù)式的最小值為0．學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項(xiàng)式的最小值．
例如，求的最小值問題．
解：∵，
又∵，
∴，
∴的最小值為．
請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：
（1）探究：________________；
（2）代數(shù)式有最________（填“大”或“小”）值為________；
（3）如圖，矩形花圃一面靠墻（墻足夠長），另外三面所圍成的提欄的總長是，樓欄如何圍能使花圃面積最大？最大面積是多少？
【答案】（1）2，1；
（2）大，；
（3）長為米，寬為米時(shí)，面積最大為．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半平方即可得到答案；
（2）將原式變形配方，再根據(jù)完全平方非負(fù)性即可得到答案；
（3）設(shè)花圃長為x，表示出寬，根據(jù)面積公式列出式子配方即可得到答案．
【小問1詳解】
解：由題意可得，
，
故答案為：2，1；
【小問2詳解】
解：原式，
∵，
∴，
∴，
故答案為：大，，
【小問3詳解】
解：設(shè)花圃長為x米，面積為S，則寬為米，由題意可得，
，
∵
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，面積最大為，
故應(yīng)該長為米，寬為米時(shí)，面積最大為．
【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式完全平方配方及最值，解題的關(guān)鍵是讀懂題意配方．
六、解答題（本大題共12分）
23. 如圖，點(diǎn)C為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，直線與該二次函數(shù)圖象交于、B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在y軸上)，與二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點(diǎn)D．
（1）求m的值及點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）連接，求
（3）在該二次函數(shù)的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在，請求出符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；
（2）3 （3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【解析】
【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求的值，利用待定系數(shù)法可求拋物線解析式；
（2）先求出，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（3）分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)求解．
【小問1詳解】
解：∵直線過點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
二次函數(shù)解析式為，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
【小問2詳解】
由（1）知，直線的解析式為，，二次函數(shù)對稱軸為，
∵直線與二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點(diǎn)D，
∴設(shè)點(diǎn)，
∴，
∴，
∴的面積
【小問3詳解】
存在點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴對稱軸為，
過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，
在中，．
（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，
在中，
∴
解之得
∴；
（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一得：，
∴，
∴；
（3）當(dāng)時(shí)，，
∴，．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…

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