廣東省廣州市華僑中學(xué)等三校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

這是一份廣東省廣州市華僑中學(xué)等三校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4，共19頁。試卷主要包含了選擇題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)方程可得斜率，進(jìn)而可得傾斜角.
【詳解】由直線，可得，
即其斜率，
設(shè)直線的傾斜角為，
則，，
故選：D.
2. 已知空間向量，，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直得，即可求出的值.
【詳解】.
故選：B.
3. 圓的圓心到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.
【詳解】由題意得，即，
則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.
故選：D.
4. 有位男生和位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動(dòng)，從該位同學(xué)中任取人，至少有名女生的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將位男生分別記為、、，位女生分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定事件“從這位同學(xué)中任取人，至少有名女生”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】將位男生分別記為、、，位女生分別記為、，
從這位同學(xué)中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，
其中，事件“從這位同學(xué)中任取人，至少有名女生”包含的基本事件有：、、、、、、、、，共種，
因此，所求概率為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解古典概型概率的方法如下：
（1）列舉法；
（2）列表法；
（3）樹狀圖法；
（4）排列、組合數(shù)的應(yīng)用.
5. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，A表示事件“第一次拋擲，骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)是3”，B表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)之和是4”，C表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)之和是7”，則（ ）
A. A與B互斥B. B與C互為對(duì)立C. A與B相互獨(dú)立D. A與C相互獨(dú)立
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義判斷AB，根據(jù)相互獨(dú)立事件的判斷公式判斷CD.
【詳解】對(duì)于A，A與B有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，除了B，C以外還有其他事件發(fā)生，不是對(duì)立事件，B錯(cuò)誤；
第一次拋擲，骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)是3，包含的樣本點(diǎn)為，故，
兩次拋擲，骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)之和是4，包含的樣本點(diǎn)為，
故，
同時(shí)發(fā)生的事件包含樣本點(diǎn)為，故，
所以，即不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；
兩次拋擲，骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)之和是7，包含的樣本點(diǎn)為，故，
同時(shí)發(fā)生的事件包含的樣本點(diǎn)為，故，
所以，即A與C相互獨(dú)立，故D正確.
故選：D
6. 已知空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面得出，再分類結(jié)合基本不等式計(jì)算求解.
【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，得出，都不是0，
當(dāng)時(shí)，，計(jì)算可得，的最大值為18，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，
當(dāng)時(shí)，，
所以的最大值為18，
故選：C.
7. 已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由表示圓可得，點(diǎn)A（1，2）在圓C外可得，求解即可
【詳解】由題意，表示圓
故，即或
點(diǎn)A（1，2）在圓C：外
故，即
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或
即
故選：A
8. 互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，但如果平面坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，則這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.如圖，在斜坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其在軸和軸上的截距分別作為點(diǎn)的坐標(biāo)和坐標(biāo)，記.若斜坐標(biāo)系中，軸正方向和軸正方向的夾角為，則該坐標(biāo)系中和兩點(diǎn)間的距離為（ ）

A.
B.
C
D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出直角坐標(biāo)，即可得解.
【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),原x軸正方向?yàn)閤軸，垂直于x軸的方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則在直角坐標(biāo)系下，，,
則
.
故選：A.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部份分.
9. 下列命題正確的有（ ）
A. 兩平行線間的距離為2
B. 過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有兩條
C. 直線的方向向量可以是
D. 直線與直線平行，則或2
【答案】AB
【解析】
【分析】計(jì)算平行直線的距離得到A正確；截距相等的直線有和，B正確；直線的一個(gè)方向向量是，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，兩直線重合，D錯(cuò)誤.
【詳解】A，兩平行線間的距離為，A正確；
B，過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線：截距為0時(shí)，
截距不為0時(shí)，設(shè)，代入，可得，故直線方程為：，B正確；
C，直線的一個(gè)方向向量是，與不平行，C錯(cuò)誤；
D，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，兩直線重合，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則（ ）
A. B.
C. 若A與B相互獨(dú)立，則D. 一定有
【答案】ABC
【解析】
【分析】對(duì)于A，利用對(duì)立事件的概率公式即可判斷；對(duì)于BC，利用和事件與交事件的概率公式，結(jié)合相互獨(dú)立事件的定義計(jì)算判斷即可；對(duì)于D，舉反例即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋裕蔄正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>又，且，則，
所以，即，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，則，
則，故C正確；
對(duì)于D，記事件“拋擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)小于3”，
事件“拋擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為4”，
則滿足，，但不成立，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC
11. 如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A. 當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐體積為定值4
B. 當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是
C. 若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是
D. 使直線與平面所成的角為的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
【答案】BD
【解析】
【分析】對(duì)A：由的面積不變，點(diǎn)到平面的距離不變，求出體積即可；對(duì)B：以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，結(jié)合向量的夾角公式，可判定B正確；對(duì)C：設(shè)，求得平面的一個(gè)法向量為，得到，可判定C錯(cuò)誤；對(duì)D：由直線與平面所成的角為，作平面，得到點(diǎn)的軌跡，可判定D正確.
【詳解】解：對(duì)于A：的面積不變，點(diǎn)到平面的距離為正方體棱長(zhǎng)，
所以三棱錐的體積不變，
且，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
可得，
設(shè)，則，，
設(shè)與所成角為，
＝＝，
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，
可得，所以，
當(dāng)時(shí)，＝，
由，
所以，
所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B正確；
對(duì)于C，由，
設(shè)，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
取，可得，
所以，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，可得，
所以＝＝，
當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)橹本€與平面所成的角為，
由平面，得直線與所成的角為，
若點(diǎn)在平面和平面內(nèi)，
因?yàn)?，，故不成立?br>在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；
在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；
在平面內(nèi)，作平面，如圖所示，
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以，所以?br>所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的四分之一圓，
所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，
綜上，點(diǎn)的軌跡的總長(zhǎng)度為，所以D正確.
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知點(diǎn)在圓上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由得到，可知的外接圓是以為直徑的圓，然后求出圓的半徑與圓心坐標(biāo)，可得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】解：根據(jù)題意，經(jīng)過三點(diǎn)的圓是的外接圓，
由，，，可知，
因?yàn)?，所以的外接圓是以為直徑的圓，
由，可知圓半徑，
結(jié)合圓心為的中點(diǎn)，可得圓的方程為.
故答案為：.
13. 在棱長(zhǎng)為4的正四面體ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，則＝______.
【答案】8.
【解析】
【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算求出結(jié)果.
【詳解】如圖所示：
＝＝8.
故答案為：8.
14. 甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為．假定每局之間相互獨(dú)立且無平局，第二局由上一局負(fù)者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲、乙各勝一局的概率為________．
【答案】
【解析】
【分析】分兩種情況討論：（1）第一局甲勝，第二局乙勝：（2）第一局乙勝，第二局甲勝.分析出每局輸贏的情況，結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】分兩種情況討論：
（1）第一局甲勝，第二局乙勝：
若第一局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為，
若第一局乙執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為，
所以，第一局甲勝，第二局乙勝的概率為；
（2）第一局乙勝，第二局甲勝：
若第一局甲執(zhí)黑子先下，則乙勝第一局的概率為，第二局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為，
若第一局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝第一局的概率為，第二局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為，
所以，第一局乙勝，第二局甲勝的概率為.
綜上所述，甲、乙各勝一局的概率為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共62分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 直線l經(jīng)過兩直線：和：的交點(diǎn).
（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；
（2）若點(diǎn)到直線l的距離為5，求直線l的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立方程組，求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系求得斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方程，即可求解；
（2）分直線的斜率存在與不存在，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得斜率，利用點(diǎn)斜式方程，即可求解.
【小問1詳解】
解：聯(lián)立方程組，解得交點(diǎn)，
又直線與直線垂直，所以直線斜率為，
則直線的方程為，即.
【小問2詳解】
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，滿足點(diǎn)到直線的距離為5；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
則點(diǎn)到直線的距離為，求得，
故直線的方程為，即，
綜上可得，直線的方程為或.
16. 已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知線段MN的端點(diǎn)M的坐標(biāo)，另一端點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段MN的中點(diǎn)G的軌跡方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，可知圓心過線段的垂直平分線，將其與直線聯(lián)立可求得圓心C，再求半徑，即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)線段MN的中點(diǎn)，由G為線段MN的中點(diǎn)可得，代入圓C的方程，即可得到G的軌跡方程.
【小問1詳解】
因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，
所以圓心C在線段的垂直平分線上，即上，
聯(lián)立可解得，即，
所以圓C的半徑為
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
【小問2詳解】
設(shè)線段MN的中點(diǎn)，
又M的坐標(biāo)，且G為線段MN的中點(diǎn)，
所以，
又N在圓C上運(yùn)動(dòng)，
可得，
化簡(jiǎn)可得，
所以，線段MN的中點(diǎn)G的軌跡方程.
17. 質(zhì)量監(jiān)督局檢測(cè)某種產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)，用綜合指標(biāo)核定該產(chǎn)品的等級(jí).若，則核定該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下：
（1）利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率；
（2）在該樣品的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)均滿足”，求事件的概率.
【答案】（1）0.6；（2）.
【解析】
【分析】（1）分別計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)，找出滿足條件的件數(shù)，除以總的10件，即可估計(jì)總的一等品率；
（2）寫出所有的基本事件并得其種數(shù)，找出滿足條件綜合指標(biāo)均有的基本事件數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式求得答案.
【詳解】（1）計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)，如下表：
其中的有共6件，故該樣本的一等品率為，
從而估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6.
（2）在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為：
共15種.
在該樣本的一等品中，綜合指標(biāo)均滿足的產(chǎn)品編號(hào)分別為，
則事件發(fā)生的所有可能結(jié)果為 共3種，
所以.
【點(diǎn)睛】本題考查用樣本的概率估計(jì)總體概率，還考查了古典概型問題求概率，屬于簡(jiǎn)單題.
18. 如圖，在四棱錐A－BCDE中，△BCE為等邊三角形，平面ACD⊥平面CDE，AC⊥CD，二面角D－AC－E的大小為60°．
（1）求證：∥平面ABE；
（2）若AC＝BC＝2，點(diǎn)G為線段AB上的點(diǎn)，若直線CB與平面CEG所成角的正弦值為，求線段AG的長(zhǎng)度．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；
（2）建立坐標(biāo)系用向量法求解即可
【小問1詳解】
四棱錐中，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面?br>所以平面；
又CE,CD?平面，
所以，，
所以為二面角的平面角，
所以，
又，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
小問2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，則，
又，
所以，
又平面，平面，
所以，
所以，，兩兩垂直．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線為軸建立的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，，
設(shè)，
所以
設(shè)平面的法向量為，
則即，
令，可得，，
所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
解得，
所以的長(zhǎng)為．
19. 在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架，的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在平面互相垂直，活動(dòng)彈子分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且和的長(zhǎng)度保持相等，記，活動(dòng)彈子在上移動(dòng).

（1）求證：直線平面；
（2）為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）證明見解析.
（2）.
【解析】
【分析】（1）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接.由已知可證明.進(jìn)而根據(jù)線面平行以及面面平行的判定定理得出平面平面.然后即可根據(jù)面面平行的性質(zhì)，得出證明；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，求出，以及平面的一個(gè)法向量.設(shè)線面角為，根據(jù)向量表示出.分以及結(jié)合基本不等式，即可得出答案.
【小問1詳解】
在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，

由，得，而，，
則，，，于是，
又，則，而平面，，平面，
因此平面，同理平面，又平面，平面，，
則平面平面，而平面，
所以直線平面.
【小問2詳解】
由平面平面，平面平面，，
平面，得平面，又，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，，
，，，
設(shè)是平面的法向量，則，取，得，
設(shè)與平面所成的角為，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，
因此，，
產(chǎn)品編號(hào)
質(zhì)量指標(biāo)（）
產(chǎn)品編號(hào)
質(zhì)量指標(biāo)（）
產(chǎn)品編號(hào)
4
5
6
5
6
5
6
6
3
4