廣東省廣州市華僑中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試港澳班數(shù)學(xué)試題

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每小題5分．
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，再利用交集的定義求解即得.
【詳解】解不等式，得，即，解得，則，
解不等式，得，，
所以.
故選：A
2. 復(fù)數(shù)的模為（ ）
A. 1B. 2C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可得解.
【詳解】
所以復(fù)數(shù)的模為1，
故選：A
3. 已知直線：，直線：，則命題：是命題：的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求解.
【詳解】由可得：，
解得：或，
當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不合題意，
當(dāng)時(shí)，兩直線平行.
故選：C.
4. 若，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即得.
【詳解】由，得，而，解得或，
所以的取值范圍是.
故選：D
5. 函數(shù)的反函數(shù)是（ ）
A. B.
C. D. （）
【答案】A
【解析】
【分析】把y看作常數(shù)，解方程求出，x，y互換，得到即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?br>x，y互換，得：，.
故選：A
6. 函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
則有，
則；
故選：．
7. 正三棱柱各棱長(zhǎng)均為，為的中點(diǎn)，那么四面體 的體積（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意畫(huà)出圖，然后表示出四面體的體積，再計(jì)算即可求得.
【詳解】如圖所示，

為正三棱柱，且棱長(zhǎng)均為
底面為正三角形，側(cè)面為正方形，則
故選：D.
8. 在一個(gè)盒子中有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，這5個(gè)球除顏色外沒(méi)有其他差異.現(xiàn)從中依次不放回地隨機(jī)抽取出2個(gè)球.則兩次取到的球顏色相同的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)3個(gè)紅球?yàn)锳,B,C,2個(gè)黑球?yàn)?分別列出試驗(yàn)的樣本空間和所求事件含的基本事件，利用古典概型概率公式計(jì)算即得.
【詳解】設(shè)3個(gè)紅球?yàn)锳,B,C,2個(gè)黑球?yàn)?
因?yàn)樵囼?yàn)為“從中依次不放回地隨機(jī)抽取出2個(gè)球”，
故試驗(yàn)的樣本空間為：，
記“兩次取到的球顏色相同”,則，
由古典概型概率公式，可得.
故選：B.
9. 已知直線，若直線與連接、兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合求出直線的斜率的取值范圍.
【詳解】直線的方程化為，由，解得，
因此直線過(guò)定點(diǎn)，線的斜率，
直線的斜率，
如下圖所示，由直線與線段總有公共點(diǎn)，得直線的斜率有或，
又直線的斜率，
所以直線的斜率的范圍為.
故選：A
10. 若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】畫(huà)出曲線和直線圖形，利用圓和直線的位置關(guān)系再由點(diǎn)到直線的距離即可求得的取值范圍.
【詳解】將曲線整理可得,
因此曲線表示的是以2,3為圓心，半徑為2的下半圓，
若直線與曲線有公共點(diǎn)，如下圖所示：
當(dāng)直線在直線的位置，即時(shí)，直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)直線在直線的位置，即直線與曲線相切，
此時(shí)，解得，（舍）；
只有直線位于兩直線之間時(shí)，滿(mǎn)足題意，即.
故選：A
11. 圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 1B. -3C. 1或-3D. -1或3
【答案】B
【解析】
【分析】求出圓心坐標(biāo)，代入直線方程即可求解.
【詳解】的圓心坐標(biāo)為，
因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
所以圓心在直線上，也即，
解得：或.
當(dāng)時(shí)，可得：，符合圓的方程；
當(dāng) 時(shí)，可得：，配方可得：，舍去.
故選：B
12. 古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，.點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)點(diǎn)所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. 的方程為
B. 在上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為3
C. 在上存在點(diǎn)，使得
D. 上的點(diǎn)到直線的最小距離為1
【答案】C
【解析】
【分析】對(duì)A：設(shè)點(diǎn)Px,y，由兩點(diǎn)的距離公式代入化簡(jiǎn)判斷；對(duì)B：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的取值范圍，由此分析判斷；對(duì)C：設(shè)點(diǎn)Mx,y，求點(diǎn)M的軌跡方程，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷；對(duì)D：結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得C上的點(diǎn)到直線的最大距離，由此分析判斷.
【詳解】對(duì)A：設(shè)點(diǎn)Px,y，
∵，則，整理得，
故C的方程為，故A正確；
對(duì)B：的圓心，半徑為，
∵點(diǎn)到圓心的距離，
則圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍為，
而，故在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)的距離為9，故B正確；
對(duì)C：設(shè)點(diǎn)Mx,y，
∵，則，整理得，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，
又，則兩圓內(nèi)含，沒(méi)有公共點(diǎn)，
∴在C上不存在點(diǎn)M，使得，C不正確；
對(duì)D：∵圓心到直線的距離為，
∴C上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故D正確；
故選：C.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)判定B，利用圓與圓的位置關(guān)系來(lái)判定C，結(jié)合數(shù)形思想即可.
二、填空題：本大題共6題，每小題5分．
13. 已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】由表示圓可得，點(diǎn)A（1，2）在圓C外可得，求解即可.
【詳解】由題意，表示圓，
故，即或，
點(diǎn)A（1，2）圓C：外，
故，即
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或，
故答案為：.
14. 直線上的一點(diǎn)，到與的距離之差的絕對(duì)值的最大值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最大值，即可得解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，

則，即，所以①．
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線上，
所以，即②．
由①②得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
又，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最大值.
故的最大值為.
故答案為：.
15. 直線與圓C：相交所形成的弦中長(zhǎng)度最短的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____
【答案】2
【解析】
【分析】求出直線所過(guò)定點(diǎn)，再利用圓的性質(zhì)求出最短弦長(zhǎng).
【詳解】直線恒過(guò)定點(diǎn)，
而圓的圓心，半徑，
，即點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線被圓截得弦長(zhǎng)最短，
所以所求最短弦長(zhǎng)為.
故答案為：2
16. 如圖是一個(gè)古典概型的樣本空間和事件和事件，其中，，，，那么 _______
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得事件的樣本點(diǎn)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，求解即可.
【詳解】由題可知，.
故答案為：.
17. 已知，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過(guò)直線反射回到時(shí)點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為_(kāi)____．
【答案】
【解析】
【分析】求出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，再求得關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，線段的長(zhǎng)即為所求路程．
【詳解】直線的方程為：
點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
則，，解得，．
，
光線所經(jīng)過(guò)的路程．
故答案為：．
18. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，點(diǎn)，若平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為法向量，是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則平面的方程為：.由以上的理論，已知一平面和直線垂直，為其垂足，若，平面的方程式是_________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)，可求得平面的法向量，注意到點(diǎn)在平面內(nèi)，即可由平面方程得到答案.
【詳解】由題意可知：
平面的法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，
根據(jù)平面的方程公式可得：，
化簡(jiǎn)得：.
故答案為：.
三、解答題：本大題共4小題，每題15分，共60分
19. 直線l經(jīng)過(guò)兩直線：和：的交點(diǎn).
（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；
（2）若點(diǎn)到直線l的距離為5，求直線l的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立方程組，求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系求得斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方程，即可求解；
（2）分直線的斜率存在與不存在，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得斜率，利用點(diǎn)斜式方程，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：聯(lián)立方程組，解得交點(diǎn)，
又直線與直線垂直，所以直線的斜率為，
則直線的方程為，即.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，滿(mǎn)足點(diǎn)到直線的距離為5；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
則點(diǎn)到直線的距離為，求得，
故直線方程為，即，
綜上可得，直線的方程為或.
20. 已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知線段MN的端點(diǎn)M的坐標(biāo)，另一端點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段MN的中點(diǎn)G的軌跡方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，可知圓心過(guò)線段的垂直平分線，將其與直線聯(lián)立可求得圓心C，再求半徑，即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)線段MN的中點(diǎn)，由G為線段MN的中點(diǎn)可得，代入圓C的方程，即可得到G的軌跡方程.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，
所以圓心C在線段的垂直平分線上，即上，
聯(lián)立可解得，即，
所以圓C的半徑為
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)線段MN的中點(diǎn)，
又M的坐標(biāo)，且G為線段MN的中點(diǎn)，
所以，
又N在圓C上運(yùn)動(dòng)，
可得，
化簡(jiǎn)可得，
所以，線段MN的中點(diǎn)G的軌跡方程.
21. 質(zhì)量監(jiān)督局檢測(cè)某種產(chǎn)品三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)，用綜合指標(biāo)核定該產(chǎn)品的等級(jí).若，則核定該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下：
（1）利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率；
（2）在該樣品的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)均滿(mǎn)足”，求事件的概率.
【答案】（1）0.6；（2）.
【解析】
【分析】（1）分別計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)，找出滿(mǎn)足條件的件數(shù)，除以總的10件，即可估計(jì)總的一等品率；
（2）寫(xiě)出所有的基本事件并得其種數(shù)，找出滿(mǎn)足條件綜合指標(biāo)均有的基本事件數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式求得答案.
【詳解】（1）計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)，如下表：
其中的有共6件，故該樣本的一等品率為，
從而估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6.
（2）在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為：
共15種.
在該樣本的一等品中，綜合指標(biāo)均滿(mǎn)足的產(chǎn)品編號(hào)分別為，
則事件發(fā)生的所有可能結(jié)果為 共3種，
所以.
【點(diǎn)睛】本題考查用樣本的概率估計(jì)總體概率，還考查了古典概型問(wèn)題求概率，屬于簡(jiǎn)單題.
22. 在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架，的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在平面互相垂直，活動(dòng)彈子分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且和的長(zhǎng)度保持相等，記，活動(dòng)彈子在上移動(dòng).

（1）求證：直線平面；
（2）為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析.
（2）.
【解析】
【分析】（1）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接.由已知可證明.進(jìn)而根據(jù)線面平行以及面面平行的判定定理得出平面平面.然后即可根據(jù)面面平行的性質(zhì)，得出證明；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，求出，以及平面的一個(gè)法向量.設(shè)線面角為，根據(jù)向量表示出.分以及結(jié)合基本不等式，即可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，

由，得，而，，
則，，，于是，
又，則，而平面，，平面，
因此平面，同理平面，又平面，平面，，
則平面平面，而平面，
所以直線平面.
【小問(wèn)2詳解】
由平面平面，平面平面，，
平面，得平面，又，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，，
，，，
設(shè)是平面的法向量，則，取，得，
設(shè)與平面所成的角為，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，
因此，，
所以與平面所成角的正弦值的最大值為.產(chǎn)品編號(hào)
質(zhì)量指標(biāo)（）
產(chǎn)品編號(hào)
質(zhì)量指標(biāo)（）
產(chǎn)品編號(hào)
4
5
6
5
6
5
6
6
3
4