一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因集合，
所以，故A正確，BCD錯(cuò)誤.
故選：A.
2. 設(shè)，則的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故選：D.
3. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. B. 9C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過，
則有，所以，即，所以.
故選：D.
4. 若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以，
所以的定義域是，故對(duì)于函數(shù)，有，解得，
從而函數(shù)的定義域是0，2.
故選；A.
5. 若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，
所以且，則，
所以，則.
故選：D．
6. 已知，為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由，得，所以，則充分性成立；
由，得，則，所以，則必要性成立.
綜上可知，“”是“”的充要條件.
故選：C.
7. 已知，當(dāng)取最大值時(shí)，則的值為（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由已知可得，
則，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，，此時(shí).
故選：B．
8. 已知定義在上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)，，都有，若，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得，令，
則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由，得，
由，得，即，
則，解得，所以原不等式的解集為.
故選：C.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列能夠表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】對(duì)于A，在中，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，
與集合不對(duì)應(yīng)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，在中，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為都屬于集合，故B正確；
對(duì)于C，在中，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，與集合不對(duì)應(yīng)，
故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在中，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為都屬于集合，故D正確.
故選：BD.
10. 關(guān)于x的不等式（其中），其解集可能是（ ）
A. B. RC. D.
【答案】BCD
【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以解集不可能為，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，即解集為R，故B正確；
C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，不等式解集為，故C正確；
D選項(xiàng)，當(dāng)，，不等式的解集為，故D正確．
故選：BCD．
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù) B. 既有最大值又有最小值
C. 在上單調(diào)遞增 D. 的圖象恒過定點(diǎn)
【答案】ACD
【解析】A，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以為偶函?shù)，A正確；
B，因?yàn)?，所以?br>則有最大值，沒有最小值，B錯(cuò)誤；
C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
C正確；
D，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象恒過定點(diǎn)，D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 命題“”的否定是__________.
【答案】
【解析】根據(jù)“”的否定是“，
可得命題“”的否定是“”.
13. 若函數(shù)且的圖象經(jīng)過第一?二?三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象可知，要使函數(shù)的圖象經(jīng)過第一?二?三象限，
則，且，所以且，
解得，故實(shí)數(shù)取值范圍為.
14. 已知二次函數(shù)滿足有兩個(gè)相等實(shí)根，且不等式的解集為．當(dāng)時(shí)，在上的取值范圍為，則______，______．
【答案】 1
【解析】由一元二次不等式的解集為可知，
二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且2是方程的一個(gè)根．
設(shè)，又由，即有兩個(gè)相等實(shí)根，
則解得，，
故，其對(duì)稱軸為直線．且當(dāng)時(shí)，.
因在上的取值范圍為，可得，所以，
則在上單調(diào)遞減，則，，
即是方程的兩個(gè)根，
由，得，
所以，，
解得，，，
又，故，．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，．
（1）求；
（2）定義，求．
解：（1）因?yàn)?，所以?br>所以.
（2）因?yàn)?，且，?br>所以.
16. 已知二次函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求y的最小值；
（2）若，恒成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍．
解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
當(dāng)時(shí)y取到最小值，為．
（2）由恒成立，即，恒成立，
當(dāng)，不恒成立，
只需滿足，即，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
17. 已知函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于，都有，
且，
所以函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（2）函數(shù)在R上單調(diào)遞增，證明如下：
對(duì)于，且，
，
因?yàn)?，所以?br>則，
則，即，
故函數(shù)在R上單調(diào)遞增.
18. 為提高水果銷售量，助力鄉(xiāng)村振興，某鎮(zhèn)欲建立一個(gè)水果箱加工廠，每年需投入固定成本萬元，當(dāng)年產(chǎn)量（單位：萬件）低于10萬件時(shí)，流動(dòng)成本（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量（單位：萬件）不低于10時(shí)，（萬元）.經(jīng)調(diào)研，每件水果箱售價(jià)為元，每年加工的水果箱能全部售完.
（1）求年利潤關(guān)于年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式；（注：年利潤年銷售額固定成本流動(dòng)成本）
（2）求年產(chǎn)量（單位：萬件）為多少時(shí)，年利潤取得最大值，并求出的最大值.
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以.
（2）當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得等號(hào)．
因?yàn)椋阅戤a(chǎn)量為萬件時(shí)，年利潤取得最大值21萬元．
19. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，滿足，那么函數(shù)的圖象稱為關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)就是其對(duì)稱中心．如果，且，使得，滿足，那么函數(shù)的圖象稱為關(guān)于點(diǎn)的弱中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)就是其弱對(duì)稱中心．
（1）若函數(shù)的圖象是關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，求實(shí)數(shù)的值；
（2）判斷函數(shù)的圖象是否為關(guān)于原點(diǎn)的弱中心對(duì)稱圖形，并說明理由；
（3）若函數(shù)的圖象是弱中心對(duì)稱圖形，且弱對(duì)稱中心為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）由，解得．
當(dāng)時(shí)，，對(duì)于任意的，
都有，
所以函數(shù)的圖象是關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，
故．
（2）函數(shù)的圖象不是關(guān)于原點(diǎn)的弱中心對(duì)稱圖形．
理由如下：假設(shè)，使得，
解得，與矛盾，
所以函數(shù)的圖象不是關(guān)于原點(diǎn)的弱中心對(duì)稱圖形.
（3）由題意可知，存在，且，使得，
當(dāng)時(shí)，，則，
所以，
又知對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，所以；
當(dāng)時(shí)，，則不成立；
當(dāng)時(shí)，，則，
，
令，則在上單調(diào)遞增，所以，
所以．
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

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