1.復數(6+i)(1?7i)在復平面內對應的點位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(2,m),b=(m,3)，若a?b=5，則實數m=( )
A. ? 2B. 0C. 1D. 43
3.在△ABC中，a=3，b= 7，B=60°，則c等于( )
A. 1B. 2C. 1或2D. 2或3
4.若向量a=(2.3),b=(?1,1)，則b在a上的投影向量的坐標是( )
A. (213,?313)B. (213,313)C. (?213,313)D. (?213,?313)
5.某城市有學校700所，其中大學20所，中學200所，小學480所，現用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為70的樣本進行某項調查，則應抽取的中學數為( )
A. 70B. 20C. 48D. 2
6.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是( )
A. 若m⊥n，m⊥α，則n/?/α或n?α
B. 若m⊥β，n⊥β，則n/?/m
C. 若α/?/β，m?α，n?β，則m與n平行或異面
D. 若α⊥β，m?α，n?β，則m與n相交或平行
7.已知圓錐的頂點為P，母線長為2，軸截面為△PAB，∠APB=120°，若C為底面圓周上異于A，B的一點，且二面角P?AC?B的大小為π4，則△PAC的面積為( )
A. 2B. 3C. 2 2D. 2 3
8.在三棱錐A?BCD中，△ABD和△BCD均為邊長為2的等邊三角形，AC=3，則該三棱錐的外接球的表面積是( )
A. 82π9B. 83π9C. 28π3D. 28π
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數z=2+ 3i，則( )
A. z的虛部為 3B. z是純虛數
C. z的模是 7D. z在復平面內對應的點位于第四象限
10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列對△ABC的個數的判斷正確的是( )
A. 當a=2 2,c=4,A=30°時，有兩解
B. 當a=5，b=7，A=60°時，有一解
C. 當a= 2,b=4,A=30°時，無解
D. 當a=6，b=4，A=60°時，有兩解
11.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知E，F是線段B1D1上的兩個動點，且EF=13，則( )
A. △BEF的面積為定值
B. EF⊥AC
C. 點A到直線EF的距離為定值
D. 平面DEB與平面ABC所成角為60°
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知復數z=2?3ii3，則|z|= ______．
13.某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度(棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標)，所得數據都在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有______根在棉花纖維的長度小于20mm．
14.在△ABC中，已知向量AB與AC滿足(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，且AB?AC=0，則角B= ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知一圓錐的底面半徑為6cm．
(1)若圓錐的高為8cm，求圓錐的體積；
(2)若圓錐的母線長為10cm，求圓錐的表面積．
16.(本小題15分)
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b= 2,c=2,csC=? 33．
(1)求sinB和a的值；
(2)求△ABC的面積．
17.(本小題15分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，AD⊥DC，且AB=AD=1，PD=DC=2，E是PC的中點．
(1)求證：BE//平面PAD；
(2)在線段PB上是否存在一點Q，使得PC⊥平面DEQ？若存在，求出PBQB的值；若不存在，請說明理由．
18.(本小題17分)
如圖，在△ABC中，D，E是邊BC上的兩點，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠BAC=2π3．
(1)若sin∠DAE=513，求AECE的值；
(2)求證：sin∠AED= 3(AB+AC)2BC．
19.(本小題17分)
如圖，在三棱錐A?BCD中，∠DBC=90°，BD=3，BC=4，△ABC為等邊三角形，cs∠ACD=25，點E，F分別是線段AD，CD的中點．
(1)證明：BD⊥平面ABC；
(2)求直線AD與平面ABC所成角的正弦值；
(3)求點C到平面BEF的距離．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因為(6+i)(1?7i)=6?42i+i+7=13?41i，
所以復數(6+i)(1?7i)在復平面內對應的點為(13,?41)，位于第四象限．
故選：D．
根據復數的乘法運算，結合復數的幾何意義即可求解．
本題主要考查復數的四則運算，以及復數的幾何意義，屬于基礎題．
2.【答案】C
【解析】解：因為向量a=(2,m),b=(m,3)，
所以a?b=2m+3m=5m=5，解得m=1．
故選：C．
由數量積的坐標表示列方程即可求解．
本題考查平面向量數量積的坐標運算，屬于基礎題．
3.【答案】C
【解析】解：a=3，b= 7，B=60°，
則b2=a2+c2?2ac?csB，即7=9+c2?2×3×c×12，
則c2?3c+2=0，解得c=1或c=2．
故選：C．
根據余弦定理運算求解．
本題主要考查余弦定理的應用，屬于基礎題．
4.【答案】B
【解析】解：a=(2.3),b=(?1,1)，
則b在a上的投影向量為a?b|a|?a|a|=2×(?1)+3×1( 13)2?(2,3)=(213,313)．
故選：B．
根據已知條件，結合投影向量的公式，即可求解．
本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎題．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查分層抽樣方法，屬于基礎題．
本題解題的關鍵是在抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，這是解題的依據．根據所給的總體數和樣本容量做出每個個體被抽到的概率，根據中學所有的數目做出要抽取的數目．
【解答】
解：∵該城市有學校700所，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為70的樣本，
∴每個學校被抽到的概率是70700=110，
∵該城市中有中學200所，
∴要抽取的中學數為200×110=20(所)，
故選B．
6.【答案】D
【解析】解：若m⊥α，m⊥n，則n?α或n/?/α，故A正確；
若m⊥β，n⊥β，由線面垂直的性質定理可得n/?/m，故B正確；
若α/?/β，m?α，n?β，則n與m的位置關系是平行或異面，故C正確；
若α⊥β，m?α，n?β，可得m與n的位置關系是相交或平行或異面，故D錯誤．
故選：D．
由空間中直線與直線、直線與平面的位置關系逐一分析四個選項得答案．
本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基礎題．
7.【答案】A
【解析】解：如圖所示，
記O為AB的中點，則PO垂直于底面⊙O，
所以PO⊥AB，
又PA=PB=2，∠APB=120°，
所以∠APO=∠OPB=60°，
所以PO=1,OA=OB= 3，
取AC的中點D，連接PD，OD，
因為OA=OC，
所以OD⊥AC，
因為PO垂直于底面⊙O，AC?底面⊙O，
所以PO⊥AC，
又OD∩PO=O，OD?面POD，PO?面POD，
所以AC⊥面POD，
又PD?面POD，
所以PD⊥AC，
即二面角P?AC?B的平面角為∠PDO=π4，
所以PO=DO=1，
所以PD= 2，則AC=2AD=2 PA2?PD2=2 2，
所以△PAC的面積為12AC?PD=12×2 2× 2=2．
故選：A．
記O為AB的中點，則PO垂直于底面⊙O，由線面垂直的性質定理可得PO⊥AB，求出PO，OA，OB長，取AC的中點D，連接PD，OD，則二面角P?AC?B的平面角為∠PDO，進而可得答案．
本題考查二面角，解題中注意轉化思想的應用，屬于中檔題．
8.【答案】C
【解析】解：由題意如圖所示：設E為BD的中點，連接AE，CE，設P，G分別為△ABD，△BCD的外接圓的圓心，
過P，G分別作兩個半平面的垂線，交于O，則可得O為該三棱錐的外接球的球心，
連接OC，OE，則OC為外接球的半徑，
由△ABD與△BCD均為邊長為2的等邊三角形，則AE=CE= 32×2= 3
又AC=3，則由余弦定理可得cs∠AEC=AE2+CE2?AC22AE?CE=3+3?92× 3× 3=?12，
所以∠AEC=120°，
因為P，G分別為△ABD，△BCD的外接圓的圓心，
所以CG=23CE=2 33，EG=13CE= 33，
可得△OPE?△OGE，可得∠OEC=60°，而∠OGE=90°，
所以OG= 3EG=1，
在△OGC中：R2=OC2=OG2+CG2=12+(2 33)2=73，
所以外接球的表面積S=4πR2=28π3．
故選：C．
取BD的中點E，設△ABD和△BCD的外接圓的圓心P，G分別在AE，CE上，過P，G分別作兩個半平面的垂線，交于O，可得O為三棱錐的外接球的球心，且可得∠OEC=60°，由等邊三角形的邊長為2，可得EG，G及OG的值，進而求出外接球的半徑OC的值，再求出外接球的表面積．
本題考查三棱錐的外接球問題，屬于中檔題．
9.【答案】AC
【解析】解：對A：由虛部定義知z的虛部為 3，故A正確；
對B：純虛數要求實部為0，故B錯誤；
對C：|z|= 22+( 3)2= 7，故C正確；
對D：z在復平面內對應的點為(2, 3)，位于第一象限，故D錯誤．
故選：AC．
根據復數的基本概念，以及復數的幾何意義，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇．
本題主要考查了復數的基本概念，屬于基礎題．
10.【答案】AC
【解析】解：對于A，因為a=2 2,c=4,A=30°，
可得2 2sin30°=4sinC，
可得sinC= 22，
又因為0°1，無解，故B錯誤；
對于C,sinB=bsinAa=4×12 2= 2>1，無解，故C正確；
對于D,sinB=bsinAa=4× 326= 33< 32，
又b1，即可判斷；
對于D，利用正弦定理可求sinB= 33< 32，又b0，解得a= 63．
所以sinB= 33,a= 63．
(2)由(1)知，a= 63,sinC= 63，
所以△ABC的面積S△ABC=12absinC=12× 63× 2× 63= 23．
【解析】(1)根據同角的三角函數關系求出sinC，結合正、余弦定理計算即可求解；
(2)由(1)，結合三角形的面積公式計算即可求解．
本題主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應用，屬于中檔題．
17.【答案】解：(1)證明：取PD中點F，連接EF，AF，
∵E，F分別為PC，PD中點，
∴EF?//12CD，
又AB?//12CD，
∴AB?//EF，
∴四邊形ABEF為平行四邊形，
∴BE/?/AF，
又BE?平面PAD，AF?平面PAL
∴BE/?/平面PAD．
(2)解：取CD中點G，連接BG，BD，
則由題意可得四邊形ABGD為正方形，
∴BC= 2，
∵PD⊥平面ABCD，BD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BD，PD⊥BC，
又PD=2，易得BD= 2，
∴PB= 22+( 2)2= 6，
∵BD=BC= 2，CD=2，
∴BD⊥BC，
又PD∩BD=D，PD，BD?平面PBD，
∴BC⊥平面PBD，
∴BC⊥DQ，
假設線段PB上存在點Q，使PC⊥平面DEQ，則PC⊥DQ，
可證DQ⊥平面PBC，
∴DQ⊥PB，
又在Rt△PBD中，cs∠PBD=BDPB= 2 22+( 2)2= 33，
在Rt△BDQ中，BQ=BD?cs∠PBD= 2× 33= 63，
∵PB= 6，
∴PBQB=3，
∴在線段PB上存在點Q，使PC⊥平面DEQ，且PBQB=3．
【解析】(1)取PD中點F，連接EF，AF，通過證明四邊形ABEF為平行四邊形，可知BE/?/AF，進而利用線面平行的判定即可證明BE//平面PAD．
(2)取CD中點G，連接BG，BD，則由題意利用線面垂直的性質，勾股定理，線面垂直的判定可證BC⊥平面PBD，利用線面垂直的性質可證BC⊥DQ，假設線段PB上存在點Q，使PC⊥平面DEQ，可證DQ⊥PB，在Rt△PBD中，可求cs∠PBD=BDPB= 33，在Rt△BDQ中，可求BQ=BD?cs∠PBD= 63，即可求解PBQB=3，由此得解．
本題考查了線面平行的判定，線面垂直的性質，勾股定理，線面垂直的判定，考查了空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．
18.【答案】(1)解：因為AE平分∠BAC，∠BAC=2π3，
所以∠CAE=π3，因為AD⊥BC，sin∠DAE=513，
所以cs∠DAE= 1?sin2∠DAE=1213．
在△ACE中，sin∠AEC=cs∠DAE=1213，∠AEC>π2，cs∠AEC=?513，
sinC=sin(∠AEC+π3)=sin∠AEC×12+cs∠AEC× 32=12?5 326，
AEEC=sinCsin∠CAE=12?5 326 32=4 3?513；
(2)證明：因為∠BAC=2π3，∠BAE=∠CAE=π3．
由S△BAC=S△BAE+S△CAE，得12AB?ACsin2π3=12AB?AEsinπ3+12AC?AEsinπ3．
整理得AE=AB?ACAB+AC．
因為AD⊥BC,12AB?ACsin2π3=12AD?BC，
所以AD= 3AB?AC2BC，所以sin∠AED=ADAE= 3(AB+AC)2BC．
【解析】(1)利用兩角和公式計算sinC，再根據正弦定理即可得AECE的值；
(2)利用面積相等，分別表示AD，AE，即可證明．
本題考查正弦定理，同角函數關系，兩角和差公式，屬于中檔題．
19.【答案】解：(1)證明：因為∠DBC=90°，BD=3，BC=4，所以CD=5，
又△ABC為等邊三角形，所以AC=BC=4，
在△ACD中，由余弦定理得cs∠ACD=AC2+CD2?AD22AC?CD=42+52?AD22×4×5=25，
即16+25?AD2=16，
即AD2=25，
解得AD=5，
所以AB2+BD2=AD2，即BD⊥BA，
因為BD⊥BC，BA∩BC=B，BA，BC?平面ABC，
所以BD⊥平面ABC．
(2)由(1)易知，直線AD與平面ABC所成角為∠DAB，
sin∠DAB=BDAD=35．
(3)取BC中點O，連接AO，
因為△ABC為等邊三角形，所以AO⊥BC，

又由(1)可知BD⊥平面ABC，AO?平面ABC，
所以BD⊥AO，
又因為BD∩BC=B，且BD，BC?平面BCD，
所以AO⊥平面BCD，
因為F為CD的中點，
所以點C到平面BEF的距離等于點D到平面BEF的距離，
在Rt△BCD中，可知BF=CD2=52，
在Rt△ABD中，可知BE=AD2=52，
因為EF是△ACD的中位線，
所以EF=AC2=2，
可得△BEF的面積S△BEF=12×2× (52)2?12= 212，
設點D到平面BEF的距離為d，
則三棱錐D?BEF的體積V三棱錐D?BEF=13× 212×d= 216d，
又△DBF的面積S△DBF=12×3×4×12=3，
點E到平面DBF的距離為OA2= AC2?OC22= 42?(12×4)22= 3，
所以三棱錐E?DBF的體積V三棱錐E?DBF=13S△DBF?OA2=13×3× 3= 3，
由 216d= 3，得d=6 77，
即點C到平面BEF的距離為6 77．
【解析】(1)利用勾股定理證出BD⊥BA，結合∠DBC=90°，根據線面垂直的判定定理即可得證；
(2)先得出直線AD與平面ABC所成角為∠DAB，再計算即可；
(3)利用等體積法求解即可．
本題考查線面垂直的判定以及線面角的計算，考查等體積法求點到平面的距離，屬于中檔題．

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