【知識梳理】
一、正數(shù)和負(fù)數(shù)
1、在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號“-”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+”“-”號叫做它的符號．
2、 既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是 0的數(shù)，負(fù)數(shù)是 0的數(shù)．
3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個(gè)量，它包含兩個(gè)要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．
二、有理數(shù)
1、有理數(shù)的概念： 和 統(tǒng)稱為有理數(shù)．
2、如果一個(gè)數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的 和 都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理數(shù)．
3、有理數(shù)的分類：
三、數(shù)軸
（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了 、 、 的直線叫做數(shù)軸．
數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長度，正方向．
（2）數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)．（一般取右方向?yàn)檎较?，?shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù)．）
（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．
四、相反數(shù)
（1）相反數(shù)的概念：只有 不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．
（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等．
（3）多重符號的化簡：與“+”個(gè)數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“-”號結(jié)果為 ，有偶數(shù)個(gè)“-”號，結(jié)果為 ．
（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“ ”，如a的相反數(shù)是-a，m+n的相反數(shù)是-（m+n），這時(shí)m+n是一個(gè)整體，在整體前面添負(fù)號時(shí)，要用小括號．
五、絕對值
（1）概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的 叫做這個(gè)數(shù)的絕對值．
①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對值 ；
②絕對值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．
③有理數(shù)的絕對值都是 ．
（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a 絕對值要由字母a本身的取值來確定：
①當(dāng)a是 時(shí)，a的絕對值是它本身a；
②當(dāng)a是 時(shí)，a的絕對值是它的相反數(shù)-a；
③當(dāng)a是 時(shí)，a的絕對值是零．
（3）絕對值的非負(fù)性
任意一個(gè)數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對值相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．
根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值．
六、科學(xué)記數(shù)法
（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成 的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】
（2）規(guī)律方法總結(jié)：
①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．
②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號．
【典例剖析】
【考點(diǎn)1】正數(shù)和負(fù)數(shù)
【例1】（2021·四川·榮縣一中七年級階段練習(xí)）在，，，+，0中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【變式1.1】（2021·湖南·常德市第二中學(xué)七年級期中）如果把向東走3km記作+3km，那么﹣2km表示的實(shí)際意義是（ ）
A．向東走2kmB．向西走2kmC．向南走2kmD．向北走2km
【變式1.2】（2022·全國·七年級課時(shí)練習(xí)）下列各組數(shù)中，具有相反意義的量是( )
A．盈利40元和運(yùn)出貨物20噸B．向東走4千米和向南走4千米
C．身高180 cm和身高90 cmD．收入500元和支出200元
【變式1.3】（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）規(guī)定：（↑30）表示零上30°C，記作+30，（↓5）表示零下5°C，記作（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)2】有理數(shù)
【例2】（2021·甘肅·白銀市平川區(qū)第二中學(xué)七年級期中）在-3.5，227，0，π，0.6161161116…（相鄰兩個(gè)6之間1的個(gè)數(shù)逐次加1）中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式2.1】（2021·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（ ）．
A．有理數(shù)分為正數(shù)、0和負(fù)數(shù)B．有理數(shù)分為正整數(shù)、0和負(fù)數(shù)
C．有理數(shù)分為分?jǐn)?shù)和整數(shù)D．有理數(shù)分為正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)
【變式2.2】（2021·重慶·墊江第八中學(xué)校七年級階段練習(xí)）在下列六個(gè)數(shù)中：0，，，0.101001，-10%，，分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【變式2.3】（2022·全國·七年級期中）在下列各數(shù)：中，屬于整數(shù)的有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【考點(diǎn)3】“0”的 意義
【例3】（2022·全國·七年級課時(shí)練習(xí)）課堂上老師要求就數(shù)“”發(fā)表自己的意見，四位同學(xué)共說了下列四句話：
①是整數(shù)，但不是自然數(shù)；②既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；
③不是整數(shù)，是自然數(shù)；④沒有實(shí)際意義．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【變式3.1】（2021·黑龍江·密山市教師進(jìn)修學(xué)校期末）下列說法正確的是（ ）
A．一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)B．0是正數(shù)
C．0不是自然數(shù)D．自然數(shù)中除0外都是正數(shù)
【變式3.2】（2021·天津南開·七年級期中）下列說法中正確的是（ ）
A．整數(shù)一定是正數(shù)B．有這樣的有理數(shù)，它既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)
C．零是最小的整數(shù)D．有這樣的有理數(shù)，它既是正數(shù)，也是負(fù)數(shù)
【變式3.3】．（2022·全國·七年級課時(shí)練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．0是最小的自然數(shù)B．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)
C．是零上溫度和零下溫度的分界線D．海拔高度是0米表示沒有高度
【考點(diǎn)4】數(shù)軸
【例4】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)南苑學(xué)校七年級）數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長度為，若在數(shù)軸上畫出一條長的線段，則蓋住的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．2005或2006B．2006或2007C．2007或2008D．無法確定
【變式4.1】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)南苑學(xué)校七年級）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)M所表示的數(shù)可能是（ ）
A．1.5B．C．D．
【變式4.2】（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）數(shù)軸上兩點(diǎn)M，N表示的數(shù)分別為2，n，若MN＝3，則n＝（ ）
A．﹣1或5B．1或一5C．﹣1D．1
【變式4.3】（2022·河南·延津縣清華園學(xué)校七年級階段練習(xí)）正方形紙板ABCD在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A，D對應(yīng)的數(shù)分別為1和0，若正方形紙板ABCD繞著頂點(diǎn)順時(shí)針方向在數(shù)軸上連續(xù)無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，則在數(shù)軸上與2022對應(yīng)的點(diǎn)是（ ）
A．DB．CC．BD．A
【考點(diǎn)5】相反數(shù)
【例5】（2021·江蘇·南通市東方中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列各對數(shù)中，互為相反數(shù)的是（ ）
A．+（﹣2）和﹣|﹣2|B．﹣5和﹣（﹣5）
C．+（﹣3）和﹣3D．﹣和2
【變式5.1】（2022·黑龍江哈爾濱·期末）下列關(guān)于相反數(shù)的說法中，不正確的是（ ）．
A．兩個(gè)數(shù)的和為零，這兩數(shù)為互為相反數(shù)
B．?dāng)?shù)軸上在原點(diǎn)兩旁，到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)是互為相反數(shù)
C．兩個(gè)數(shù)的商為-1，則這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)
D．符號不相同的兩個(gè)數(shù)為互為相反數(shù)
【變式5.2】（2021·江蘇淮安·七年級期中）如圖，若代數(shù)式2a的相反數(shù)是－1，則表示a的值的點(diǎn)落在（ ）
A．段①B．段②C．段③D．段④
【變式5.3】（2022·全國·七年級單元測試）如圖，在不完整的數(shù)軸上，點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b，且a與b互為相反數(shù)，若AB＝8，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（ ）
A．－4B．0C．4D．8
【考點(diǎn)6】絕對值
【例6】（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)七年級期末）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，若a與c互為相反數(shù)，則a，b，c中絕對值最大的數(shù)是（ ）
A．a(chǎn)B．bC．cD．無法確定
【變式6.1】（2022·黑龍江大慶·期末）的相反數(shù)是（ ）
A．－6B．C．D．6
【變式6.2】（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)七年級期末）下列說法正確的是（ ）
A．互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對值相等B．有理數(shù)的絕對值一定比0大
C．若兩個(gè)數(shù)的絕對值相等，則這兩個(gè)數(shù)相等D．有理數(shù)的相反數(shù)一定比0小
【變式6.3】（2022·河南鄭州·七年級期末）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，化簡（ ）
A．B．C．D．
【考點(diǎn)7】絕對值的非負(fù)性
【例7】（2022·河北唐山·七年級期末）已知，則的值為（）
A．2019B．C．D．1
【變式7.1】（2022·全國·七年級課時(shí)練習(xí)）若，則與的大小關(guān)系是（ ）
A．與不相等B．與互為相反數(shù)C．與互為倒數(shù)D．
【變式7.2】（2022·全國·七年級課時(shí)練習(xí)）如果，則a的值為 （ ）
A．正數(shù)B．負(fù)數(shù)C．非正數(shù)D．非負(fù)數(shù)
【變式7.3】（2022·河北·模擬預(yù)測）若＜0，則的取值范圍是（ ）
A．＜0B．＞0C．≠0D．為任意實(shí)數(shù)
【考點(diǎn)8】科學(xué)記數(shù)法
【例8】（2021·四川綿陽·二模）時(shí)至今日，云計(jì)算已經(jīng)取代了傳統(tǒng)的IT設(shè)備，成為大數(shù)據(jù)時(shí)代的基礎(chǔ)，我國鐵路部門的訂票網(wǎng)站12306就運(yùn)用云計(jì)算分擔(dān)其數(shù)據(jù)處理量最大的查詢業(yè)務(wù)，基于云計(jì)算架構(gòu)的支持讓12306網(wǎng)站經(jīng)受住了高峰日1490億次的網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)擊訪問量而保持穩(wěn)定，若將1490億用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)是（ ）
A．0.149×1012B．1.49×1012C．14.9×1011D．1.49×1011
【變式8.1】（2022·云南·模擬預(yù)測）我國的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是21500000米．將數(shù)字21500000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
【變式8.2】（2022·遼寧鞍山·中考真題）教育部2022年5月17日召開第二場“教育這十年”“1＋1”系列新聞發(fā)布會(huì)，會(huì)上介紹我國已建成世界最大規(guī)模高等教育體系，在學(xué)總?cè)藬?shù)超過44300000人．將數(shù)據(jù)44300000用科學(xué)記數(shù)法表示為_________．
【變式8.3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）一個(gè)整數(shù)6250…0用科學(xué)記數(shù)法表示為，則原數(shù)中“0”的個(gè)數(shù)為______．
【考點(diǎn)9】近似數(shù)
【例9】（2021·江蘇·南通市八一中學(xué)七年級階段練習(xí)）用四舍五入法將3.695精確到0.01，所得到的近似數(shù)為______．
【變式9.1】（2021·吉林·長春吉大附中力旺實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）用四舍五入法把1.30302精確到百分位得到的近似數(shù)是___．
【變式8.2】（2022·江蘇南京·八年級期末）用四舍五入法取近似數(shù)，2.026≈_______（精確到百分位）．
【變式9.3】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）2020年12月8日，國家主席習(xí)近平同尼泊爾總統(tǒng)班達(dá)里互致信函，共同宣布珠穆朗瑪峰最新高程——8848.86米，把8848.86精確到百位的近似數(shù)是______．
【考點(diǎn)10】有理數(shù)的分類綜合問題
【例10】（2021·廣西·梧州市第十中學(xué)七年級階段練習(xí)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的橫線上：
，（－1）3，0.86，，－（－2），0，，，－3.14
正分?jǐn)?shù)： ；
負(fù)分?jǐn)?shù)： ；
非負(fù)數(shù)： ．
【變式10.1】（2021·廣西·梧州市第十中學(xué)七年級期中）把下面的有理數(shù)填在相應(yīng)的橫線上，將各數(shù)用逗號分開：
15，，0，-30，-0.15，-128，，+20，-2.6，0.333 3…
正數(shù)： ；
負(fù)數(shù)： ；
整數(shù)： ；
非負(fù)數(shù)： ．
【變式10.2】（2021·江蘇·南通市海門區(qū)中南中學(xué)七年級階段練習(xí)）請你把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)的集合內(nèi)：
﹣2，20%，﹣0.13，﹣7，0， 4.7，
正有理數(shù)集合：{ …}；
整數(shù)集合：{ …}；
負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{ …}．
自然數(shù)集合：{ …}．
【變式10.3】（2021·西藏·林芝市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號內(nèi)：．
有理數(shù)集合{ …}；
整數(shù)集合{ …}，
分?jǐn)?shù)集合{ …}，
非負(fù)整數(shù)集合{ …}，
非負(fù)有理數(shù)集合{ …}．
【考點(diǎn)11】絕對值與相反數(shù)綜合問題
【例11】（2022·全國·七年級課時(shí)練習(xí)）a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：
(1)求_______
(2) 、、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則：化簡：；
(3)求的最大值，并求出此時(shí)x的范圍．
【變式11.1】（2022·全國·七年級）已知有理數(shù)a，b，其中數(shù)a在如圖所示的數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)M，b是負(fù)數(shù)，且b在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為3
(1)a＝ ，b＝ ．
(2)寫出大于﹣的所有負(fù)整數(shù)；
(3)在數(shù)軸上標(biāo)出表示﹣，0，﹣|﹣1|，﹣b的點(diǎn)，并用“＜“連接起來．
【變式11.2】（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：
(1)判斷正負(fù)，用“＞”或“＜”填空：b﹣c______0，a+b______0，c﹣a______0．
(2)化簡：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
【變式11.3】（2022·江西上饒·七年級期末）數(shù)學(xué)課上李老師說：咱們一起來玩兒一個(gè)找原點(diǎn)的游戲吧！
(1)如圖1，在數(shù)軸上標(biāo)有A，B兩點(diǎn)，已知A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)互為相反數(shù)．
①如果點(diǎn)A所表示的數(shù)是，那么點(diǎn)B所表示的數(shù)是_______；
②在圖1中標(biāo)出原點(diǎn)O的位置；
(2)圖2是小敏所畫的數(shù)軸，數(shù)軸上標(biāo)出的點(diǎn)中任意相鄰兩點(diǎn)間的距離都相等．
根據(jù)小敏提供的信息，標(biāo)出隱藏的原點(diǎn)O的位置，并寫出此時(shí)點(diǎn)C所表示的數(shù)是____________；
(3)如圖3，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)分別為a，b，c．若數(shù)軸上標(biāo)出的若干個(gè)點(diǎn)中每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位（如AB=1），且．
①試求a的值；
②若點(diǎn)D也在這條數(shù)軸上，且CD=2，求出點(diǎn)D所表示的數(shù)．
【考點(diǎn)12】數(shù)軸有關(guān)綜合問題
【例12】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）A、B分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為﹣10，B點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為90．
(1)請寫出與A，B兩點(diǎn)距離相等的M點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；
(2)若當(dāng)電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以3個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多長的時(shí)間2只電子螞蟻在數(shù)軸上相距35個(gè)單位長度？
【變式12.1】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)南苑學(xué)校七年級）數(shù)軸上，點(diǎn)M表示，現(xiàn)從M點(diǎn)開始先向右移動(dòng)3個(gè)單位到達(dá)P點(diǎn)，再從P點(diǎn)向左移動(dòng)5個(gè)單位到達(dá)Q點(diǎn)．
(1)點(diǎn)P、Q各表示什么數(shù)？
(2)到達(dá)Q點(diǎn)后，再向哪個(gè)方向移動(dòng)幾個(gè)單位，才能回到原點(diǎn)？
(3)一只螞蟻從數(shù)軸上點(diǎn)M出發(fā)，爬了7個(gè)單位長度到點(diǎn)N，則點(diǎn)N表示的數(shù)是什么？
【變式12.2】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)A、B、C是數(shù)軸上從左到右排列的三個(gè)點(diǎn)，分別對應(yīng)的數(shù)為﹣5、b、4．某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B對應(yīng)刻度1.8cm，點(diǎn)C對齊刻度5.4cm．
(1)在圖1的數(shù)軸上，AC＝ 個(gè)長度單位；在圖2中，AC＝ cm；數(shù)軸上的一個(gè)長度單位對應(yīng)刻度尺上的 cm；
(2)求在數(shù)軸上點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)b；
(3)若點(diǎn)Q是數(shù)軸上一點(diǎn)，且滿足AQ＝2AB，通過計(jì)算，求點(diǎn)Q所表示的數(shù)．
【變式12.3】（2022·安徽·定遠(yuǎn)縣第一初級中學(xué)七年級期末）如圖，已知A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為－10，，點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)N以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O向右運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M、點(diǎn)N同時(shí)出發(fā)）
(1)數(shù)軸上點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是______．
(2)經(jīng)過幾秒，點(diǎn)M、點(diǎn)N重合？

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