中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn)突破訓(xùn)練專題06 全等三角形中的截長(zhǎng)補(bǔ)短模型（2份，原卷版+解析版）

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【模型證明】
【題型演練】
一、解答題
1．閱讀下面文字并填空：
數(shù)學(xué)習(xí)題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1，在中，AD平分，．求證：．
李老師給出了如下簡(jiǎn)要分析：“要證就是要證線段的和差問(wèn)題，所以有兩個(gè)方法，方法一：‘截長(zhǎng)法’如圖2，在AC上截取，連接DE，只要證__________即可，這就將證明線段和差問(wèn)題__________為證明線段相等問(wèn)題，只要證出____________________，得出及_________，再證出_____________________，進(jìn)而得出，則結(jié)論成立．此種證法的基礎(chǔ)是‘已知AD平分，將沿直線AD對(duì)折，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)E處’成為可能．
方法二：“補(bǔ)短法”如圖3，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)F，使．只要證即可．此時(shí)先證__________，再證出__________________，則結(jié)論成立．”
“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問(wèn)題常用的方法．
2．【閱讀理解】截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線段與另一短邊相等，從而解決問(wèn)題．
（1）如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．
解題思路：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，根據(jù)，可證，易證得≌，得出是等邊三角形，所以，從而探尋線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．
根據(jù)上述解題思路，請(qǐng)寫(xiě)出、、之間的數(shù)量關(guān)系是______，并寫(xiě)出證明過(guò)程；
【拓展延伸】
（2）如圖2，在中，，，若點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【知識(shí)應(yīng)用】
（3）如圖3，兩塊斜邊長(zhǎng)都為的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點(diǎn)之間的距離的平方為多少？
3．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，∠BAP＝（30°＜＜60°），作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)交直線AP于點(diǎn)E，連接BE．
（1）依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出∠AEB的度數(shù)；
（2）用等式表示線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
分析：①涉及的知識(shí)要素：圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)……
②通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短，利用60°角構(gòu)造等邊三角形，進(jìn)而構(gòu)造出全等三角形，從而達(dá)到轉(zhuǎn)移邊的目的．
請(qǐng)根據(jù)上述分析過(guò)程，完成解答過(guò)程．
4．閱讀材料：
“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來(lái)證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系．截長(zhǎng)，即在長(zhǎng)線段上截取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段；補(bǔ)短，即延長(zhǎng)其中一條短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一條線段，再證明延長(zhǎng)后的線段等于長(zhǎng)線段．
依據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：
如圖，在等邊中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊作等邊，連接CF．
(1)如圖，若點(diǎn)D在邊BC上，試說(shuō)明；（提示：在線段CD上截取，連接EG．）
(2)如圖，若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．
5．在“教、學(xué)、練、評(píng)一體化”學(xué)習(xí)活動(dòng)手冊(cè)中，全等三角形專題復(fù)習(xí)課，學(xué)習(xí)過(guò)七種作輔助線的方法，其中有“截長(zhǎng)補(bǔ)短”作輔助線的方法．
截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；
補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等．
這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法．
請(qǐng)用這兩種方法分別解決下列問(wèn)題：
已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P為AD上任一點(diǎn)，求證：AB－AC＞PB－PC
6．例：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過(guò)延長(zhǎng)或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問(wèn)題．
（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC=120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．
解題思路：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，則 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等邊三角形，所以AD=DE，從而解決問(wèn)題．
根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是___________；
（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC=90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
7．閱讀材料并完成習(xí)題：
在數(shù)學(xué)中，我們會(huì)用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法來(lái)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．請(qǐng)看這個(gè)例題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四邊形ABCD的面積．
解：延長(zhǎng)線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面積．
（1）根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為 cm2．
（2）請(qǐng)你用上面學(xué)到的方法完成下面的習(xí)題．

如圖2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五邊形FGHMN的面積．
8．【閱讀理解】截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線段與另一長(zhǎng)邊相等，從而解決問(wèn)題．
（1）如圖①，△是等邊三角形，點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，連結(jié)，且，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系．
解題思路：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，根據(jù)，則，因?yàn)榭勺C，易證得△≌△，得出△是等邊三角形，所以，從而探尋線段之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請(qǐng)直接寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
【拓展延伸】
（2）如圖②，在Rt△中，，．若點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【知識(shí)應(yīng)用】
（3）如圖③，兩塊斜邊長(zhǎng)都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知所對(duì)直角邊等于斜邊一半，則的長(zhǎng)為_(kāi)____________cm．（結(jié)果無(wú)需化簡(jiǎn)）
9．【閱讀理解】截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線段與另一短邊相等，從而解決問(wèn)題．
(1)如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．
解題思路：延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請(qǐng)直接寫(xiě)出DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是______；
【拓展延伸】
(2)如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【知識(shí)應(yīng)用】
(3)如圖3，兩塊斜邊長(zhǎng)都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點(diǎn)之間的距離PQ的長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．
10．現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問(wèn)題：
截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種常見(jiàn)輔助線的做法．在證明線段的和、差、倍、分等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩余的線段與另一段線段相等．補(bǔ)短法：就是延長(zhǎng)較短線段與較長(zhǎng)線段相等，而后證延長(zhǎng)的部分等于另一條線段．
請(qǐng)用截長(zhǎng)法解決問(wèn)題（1）
（1）已知：如圖1等腰直角三角形中，，是角平分線，交邊于點(diǎn)．求證：．
請(qǐng)用補(bǔ)短法解決問(wèn)題（2）
（2）如圖2，已知，如圖2，在中，，是的角平分線．求證：．
11．?dāng)?shù)學(xué)課上，小白遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：
如圖1，在等腰中，，，，求證；
在此問(wèn)題的基礎(chǔ)上，老師補(bǔ)充：
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
小白通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，與有某種數(shù)量關(guān)系；
小明通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短”，再通過(guò)進(jìn)一步推理，可以得出結(jié)論．
閱讀上面材料，請(qǐng)回答下面問(wèn)題：

（1）求證；
（2）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
12．【初步探索】
截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過(guò)延長(zhǎng)或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問(wèn)題．
（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系；
【靈活運(yùn)用】
（2）如圖2，△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為BC邊上一點(diǎn)，∠ADE交直線a于點(diǎn)E，且∠ADE＝60°．求證：CD＋CE＝CA；
【延伸拓展】
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，滿足EF＝BE＋FD，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．
13．截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過(guò)延長(zhǎng)或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問(wèn)題．
（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．
解題思路：延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，使CE＝BD，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE，易證△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而解決問(wèn)題．
根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是；（直接寫(xiě)出結(jié)果）
（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC＝90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
14．【閱讀】在證明線段和差問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，再利用全等圖形求線段的數(shù)量關(guān)系．截長(zhǎng)法：將較長(zhǎng)的線段截取為兩段，證明截取的兩段分別與給出的兩段相等．補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短兩條線段中的一條，使得與較長(zhǎng)線段相等，證明延長(zhǎng)的那一段與另一條較短線段相等．
【應(yīng)用】把兩個(gè)全等的直角三角形的斜邊重合，，組成一個(gè)四邊形，以D為頂點(diǎn)作，交邊于M、N．
(1)若，，證明：；經(jīng)過(guò)思考，小紅得到了這樣的解題思路：利用補(bǔ)短法，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接，先證明，再證明，即可求得結(jié)論．按照小紅的思路，請(qǐng)寫(xiě)出完整的證明過(guò)程；
(2)當(dāng)時(shí)，三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不用證明）
(3)如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在的延長(zhǎng)線上，完成圖③，其余條件不變，則之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．
特點(diǎn)
如圖，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC邊上的中線AD的取值范圍。
解決此問(wèn)題可以用如下方法：
延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，再連接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值
【證明】
延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE,如圖所示，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中，
BD=CD
∠BDE=∠ADC
DE=AE
∴△BDE≌△CDA(SAS)
∴BE=AC=8
在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB-BE＜AE＜AB+BE
∴12-8＜AE＜12+8
∴2＜AD＜10
結(jié)論
截長(zhǎng)法和補(bǔ)短法在證明線段的和、差、倍、分等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長(zhǎng)，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.
解決方案
如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF，求證：BE+CF＞EF.
【證明】
延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接BM,EM,如圖所示，
同上例得△BMD≌△CFD(SAS)
∴BM=CF
∵DE⊥DF,DM=DF
∴EM=EF
在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM
如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70°角，角的兩邊分別交AB,AD于E,F兩點(diǎn)連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.
【證明】
延長(zhǎng)AB至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN,如圖所示
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°
∴∠NBC=∠D
在△NBC和△FDC中
BN=DF
∠NBC=∠D
BC=DC
∴△NBC≌△FDC（SAS）
∴CN=CF,∠NCB=∠FCD
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°
∴∠BCE+∠FCD=70°
∴∠ECN=70°=∠ECF
在△NCE和△FCE中
CN=CF
∠ECN=∠ECF
CE=CE
∴△NCE≌△FCE(SAS)
∴EN=EF
∴BE+DF=EF.