構造直角三角形的一般思路:
構造直角三角形，用的是“兩線一圓”：分別過已知線段的兩個端點作已知線段的垂線，再以已知線段為直徑作圓.
解題思路
是否存在一點，使之與另外兩個定點構成直角三角形的問題：首先弄清題意，注意區(qū)分直角頂點；其次借助于動點所在圖形的解析式，表示出動點的坐標；然后按分類的情況，利用幾何知識建立方程(組)，求出動點坐標，注意要根據題意舍去不符合題意的點．
方法一：利用勾股定理進行邊長的計算，從而來解決問題；
方法二：往往可以利用到一線等三角之K字（90°）類型和母子相似型類型，嘗試建構相應的相似來進行處理；
方法三：兩條直線互相垂直的條件，即=-1來解決．
典例剖析
類型一：利用勾股定理來解決直角三角形的存在性問題
例1：（2020廣元中考改編）如圖，直線分別與x軸，y軸交于點A，B兩點，點C為OB的中點，拋物線經過A，C兩點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點P為拋物線上一點，若是以AB為直角邊的直角三角形，求點P到拋物線的對稱軸的距離．
類型二：構造相似來解決直角三角形存在性問題
例2：（2021煙臺中考改編）（14分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸正半軸交于點C，且OC＝2OA，拋物線的頂點為D，對稱軸交x軸于點E．直線y＝mx+n經過B，C兩點．
（1）求拋物線及直線BC的函數表達式；
（2）連接AC，若點P是拋物線上對稱軸右側一點，點Q是直線BC上一點，試探究是否存在以點E為直角頂點的Rt△PEQ，且滿足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
專題過關
1、（2021湖州中考）已知在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(3，4)，M是拋物線(a≠0)對稱軸上的一個動點，小明經探究發(fā)現：當的值確定時，拋物線的對稱軸上能使△AOM為直角三角形的點M的個數也隨之確定．若拋物線(a≠0)的對稱軸上存在3個不同的點M，使△AOM為直角三角形，則的值是 ．
/2、（2021宜賓中考改編）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，6），拋物線頂點坐標為E（2，8），連結BC、BE、CE．
（1）求拋物線的表達式；
（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；
3、（2021巴中中考）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點P在直線BC下方的拋物線上，連接AP交BC于點M，當最大時，求點P的坐標及的最大值；
（3）在（2）的條件下，過點P作x軸的垂線l，在l上是否存在點D，使△BCD是直角三角形，若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
4、（2021呼倫貝爾中考改編）如圖，直線y＝x+2與拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于點A（，）和點B（4，m）．拋物線與x軸的交點分別為H、K（點H在點K的左側）．點F在線段AB上運動（不與點A、B重合），過點F作直線FC⊥x軸于點P，交拋物線于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接AC，是否存在點F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由；
5、（2020無錫中考）二次函數的圖像過點，且與軸交于點，點在該拋物線的對稱軸上，若是以為直角邊的直角三角形，則點的坐標為__________．
6、（2020衢州中考）如圖1，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A，C分別是直線y=﹣x+4與坐標軸的交點，點B的坐標為（﹣2，0），點D是邊AC上的一點，DE⊥BC于點E，點F在邊AB上，且D，F兩點關于y軸上的某點成中心對稱，連結DF，EF．設點D的橫坐標為m，EF2為l，請?zhí)骄浚?br>①線段EF長度是否有最小值．
②△BEF能否成為直角三角形．
小明嘗試用“觀察﹣猜想﹣驗證﹣應用”的方法進行探究，請你一起來解決問題．
（1）小明利用“幾何畫板”軟件進行觀察，測量，得到l隨m變化的一組對應值，并在平面直角坐標系中以各對應值為坐標描點（如圖2）．請你在圖2中連線，觀察圖象特征并猜想l與m可能滿足的函數類別．
（2）小明結合圖1，發(fā)現應用三角形和函數知識能驗證（1）中的猜想，請你求出l關于m的函數表達式及自變量的取值范圍，并求出線段EF長度的最小值．
（3）小明通過觀察，推理，發(fā)現△BEF能成為直角三角形，請你求出當△BEF為直角三角形時m的值．
7、（2020張家界中考改編） 如圖，拋物線交x軸于兩點，交y軸于點C．直線經過點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸l與直線相交于點P，連接，判定的形狀，并說明理由；
8、（2020通遼中考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點C，且直線過點B，與y軸交于點D，點C與點D關于x軸對稱．點P是線段上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，交直線于點N．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）當的面積最大時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點Q，使得以三點為頂點的三角形是直角三角形，若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．
9、（2020徐州中考改編）如圖，在平面直角坐標系中，函數的圖像交軸于點、，交軸于點，它的對稱軸交軸于點．過點作軸交拋物線于點，連接并延長交軸于點，交拋物線于點．直線交于點，交拋物線于點，連接、．

備用圖
（1）點的坐標為：______；
（2）當是直角三角形時，求的值；
10、（2020武漢中考改編）將拋物線向下平移6個單位長度得到拋物線，再將拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線．

（1）直接寫出拋物線，的解析式；
（2）如圖（1），點在拋物線對稱軸右側上，點在對稱軸上，是以為斜邊的等腰直角三角形，求點的坐標；
11、（2020瀘州中考）如圖，已知拋物線經過，，三點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）經過點B的直線交y軸于點D，交線段于點E，若．
①求直線解析式；
②已知點Q在該拋物線的對稱軸l上，且縱坐標為1，點P是該拋物線上位于第一象限的動點，且在l右側．點R是直線上的動點，若是以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，求點P的坐標．
12、（2021懷化中考改編）（14分）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點Q是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰Rt△CQR？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．
13、（2021廣安中考改編）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與坐標軸相交于、、三點，其中點坐標為，點坐標為，連接、．動點從點出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點做勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度向點做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接，設運動時間為秒．
（1）求、的值；
（2）在線段上方的拋物線上是否存在點，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
14、（2021張家界中考改編）如圖，已知二次函數的圖象經過點且與軸交于原點及點．
（1）求二次函數的表達式；
（2）求頂點的坐標及直線的表達式；
（3）判斷的形狀，試說明理由；
15、（2021上海中考）已知拋物線經過點P(3,0)、Q(1,4).
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點A在直線PQ上，過點A作AB⊥x軸于點B，以AB為斜邊在其左側作等腰直角三角形ABC，
①當Q與A重合時，求C到拋物線對稱軸的距離；
②若C落在拋物線上，求C的坐標.
16、（2021衡陽中考改編）（12分）在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁點”．
（1）求函數y＝圖象上的“雁點”坐標；
（2）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），P是拋物線y＝﹣x2+2x+3上一點，連接BP，以點P為直角頂點，構造等腰Rt△BPC，是否存在點P，使點C恰好為“雁點”？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
17、（2021隨州中考改編）（12分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，頂點D的坐標為（1，﹣4）．
（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）如圖2，M是直線BC上一個動點，過點M作MN⊥x軸交拋物線于點N，Q是直線AC上一個動點，當△QMN為等腰直角三角形時，直接寫出此時點M及其對應點Q的坐標．
18、（2021黃石中考改編）（12分）拋物線y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）與y軸相交于點C（0，﹣3），且拋物線的對稱軸為x＝3，D為對稱軸與x軸的交點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上方且平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于E、F兩點，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面積；

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