中考數(shù)學(xué)二輪壓軸題培優(yōu)訓(xùn)練類型七：拋物線上平行四邊形存在性問題的探究（2份，原卷版+解析版）

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第一步：尋找分類標準；
第二步：畫圖；
第三步：計算．
平行四邊形頂點坐標公式：
□ABCD的頂點坐標分別為A(xA，yA) ，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)，
則xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD．
證明： 如圖，連接AC，BD，相交于點E．∵點E為AC的中點，∴E點坐標為(，)．又∵點E為BD的中點，∴E點坐標為(，)．
∴xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD．即平行四邊形對角線兩端點的橫坐標、縱坐標之和分別相等．
典例分析
例：（2021郴州中考改編）（12分）將拋物線y＝ax2（a≠0）向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線H：y＝a（x﹣h）2+k．拋物線H與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．已知A（﹣3，0），點P是拋物線H上的一個動點．
（1）求拋物線H的表達式；
（2）如圖，點Q是拋物線H的對稱軸l上的一個動點，在拋物線H上，是否存在點P，使得以點A，P，C，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．
【分析】（1）根據(jù)將拋物線y＝ax2（a≠0）向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線H：y＝a（x﹣h）2+k，可得頂點坐標為（﹣1，4），即可得到拋物線H：y＝a（x+1）2+4，運用待定系數(shù)法將點A的坐標代入，即可得出答案；
（2）分兩種情形：①當AC為平行四邊形的邊時，則有PQ∥AC，且PQ＝AC，如圖2，過點P作對稱軸的垂線，垂足為G，設(shè)AC交對稱軸于點H，證得△PQG≌△ACO（AAS），根據(jù)點P到對稱軸的距離為3，建立方程求解即可；
②當AC為平行四邊形的對角線時，如圖3，設(shè)AC的中點為M，則M（﹣，），設(shè)點P的橫坐標為x，根據(jù)中點公式建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由題意得拋物線的頂點坐標為（﹣1，4），
∴拋物線H：y＝a（x+1）2+4，
將A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴拋物線H的表達式為y＝﹣（x+1）2+4；
（2）①當AC為平行四邊形的邊時，則有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如圖2，過點P作對稱軸的垂線，垂足為G，設(shè)AC交對稱軸于點H，
則∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴點P到對稱軸的距離為3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，
設(shè)點P（x，y），則|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
當x＝2時，y＝﹣5，
當x＝﹣4時，y＝﹣5，
∴點P坐標為（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②當AC為平行四邊形的對角線時，
如圖3，設(shè)AC的中點為M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵點Q在對稱軸上，
∴點Q的橫坐標為﹣1，設(shè)點P的橫坐標為x，
根據(jù)中點公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此時y＝3，
∴P（﹣2，3）；
綜上所述，點P的坐標為（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
專題過關(guān)
1、 （2021湘西中考改編） 如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，交軸于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接，求直線的解析式；
（3）點為軸上一動點，在拋物線上是否存在一點，使得以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）直線的解析式為；（3）存在，或．
【解析】
【分析】（1）把點A、B的坐標代入求解即可；
（2）設(shè)直線的解析式為，然后把點B、C的坐標代入求解即可；
（3）由題意可設(shè)點，然后可分①當AC為對角線時，②當AM為對角線時，③當AN為對角線時，進而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中點坐標公式可進行求解．
【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過，兩點，
∴，解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）由（1）可得拋物線的解析式為，
∵拋物線與y軸的交點為C，
∴，
設(shè)直線的解析式為，把點B、C的坐標代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為；
（3）存在，理由如下：
由題意可設(shè)點，，當以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則可分：
①當AC為對角線時，如圖所示：
連接MN，交AC于點D，
∵四邊形ANCM是平行四邊形，
∴點D為AC、MN的中點，
∴根據(jù)中點坐標公式可得：，即，
解得：，
∴；
②當AM為對角線時，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
③當AN為對角線時，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
∴綜上所述：當以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標為或．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象是解題的關(guān)鍵．
2、（2021錦州中考）如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝x+1分別與x軸、y軸交于點A，C，經(jīng)過點C的拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x+1的另一個交點為點D，點D的橫坐標為6．
（1）求拋物線的表達式．
（2）M為拋物線上的動點．N為x軸上一點，當四邊形CDMN為平行四邊形時，求點M的坐標；
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【專題】數(shù)形結(jié)合；分類討論；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；運算能力；模型思想．
【答案】（1）拋物線的表達式為：y＝；
（2）點M的坐標為（，）或（，）；
【解答】解：（1）令x＝0，則y＝x+1＝1，
∴C點坐標為（0，1），
令y＝0，則，①
∴，
∴A點坐標為（，0），
令x＝6，則y＝，
∴D點坐標為（），
將C，D兩點坐標代入到拋物線解析式中得，
，
解得，
∴拋物線的表達式為：y＝；
（2）設(shè)N（n，0），
∵四邊形CDMN為平行四邊形，
∴由平移與坐標關(guān)系可得M（n+6，），
∵點M在拋物線上，
∴，
∴n2+9n﹣4＝0，
∴，
∴點M的坐標為（，）或（，）；
3、（2021黔東南中考改編）如圖，拋物線y＝ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸交于A、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），拋物線的頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線的對稱軸上，點Q在x軸上，若以點P、Q、B、C為頂點，BC為邊的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點P、Q的坐標；
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【專題】代數(shù)幾何綜合題；多邊形與平行四邊形；圖形的相似；數(shù)據(jù)分析觀念．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點P、Q的坐標分別為（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）當以點P、Q、B、C為頂點，BC為邊的四邊形為平行四邊形時，點C向右平移3個單位向上平移3個單位得到點B，同樣P（Q）向右平移3個單位向上平移3個單位得到點Q（P），即可求解；
【解答】解：（1）將點B（3，0），C（0，﹣3）分別代入y＝ax2﹣2x+c中，得：，解得，
∴拋物線得函數(shù)關(guān)系為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由拋物線的表達式知，其對稱軸為x＝﹣＝1，
故設(shè)點P（1，m），
設(shè)點Q（x，0），
當以點P、Q、B、C為頂點，BC為邊的四邊形為平行四邊形時，
點C向右平移3個單位向上平移3個單位得到點B，同樣P（Q）向右平移3個單位向上平移3個單位得到點Q（P），
則1±3＝x且m±3＝0，
解得或，
故點P、Q的坐標分別為（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；
4、（2021海南中考改編）已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于C點，且點A的坐標為、點C的坐標為．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖，有兩動點在的邊上運動，速度均為每秒1個單位長度，它們分別從點C和點B同時出發(fā)，點D沿折線按方向向終點B運動，點E沿線段按方向向終點C運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒，在點運動過程中，該拋物線上存在點F，使得依次連接得到的四邊形是平行四邊形，請求出所有符合條件的點F的坐標．
【答案】（1）；（2）點F的坐標為或．
【解析】
【分析】（1）直接將兩點坐標代入解析式中求出a和c的值即可；
（2）分別討論當點D在線段上運動時的情況和當點D在線段上的情況，利用平行四邊形的性質(zhì)和平移的知識表示出F點的坐標，再代入拋物線解析式中計算即可．
【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過兩點，

解得
該地物線的函數(shù)表達式為
（2）如圖4-4，當點D在線段上運動時，；
∵，
當四邊形ADFE平行四邊形時，
AE可通過平移得到EF，
∵A到D橫坐標加1，縱坐標加，
∴，
∴，
化簡得：，
∴，
∴，
∴;
如圖4-5，當點D在線段上運動時，
AE可通過平移得到EF，
∵，
∵A到D橫坐標加，縱坐標不變，
∴，
∴
∴，
因為，
∴，
∴，
綜上可得，F(xiàn)點的坐標為或．

5、（2021赤峰中考）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，對稱軸l與x軸交于點F，直線mAC，過點E作EH⊥m，垂足為H，連接AE、EC、CH、AH．
（1）拋物線的解析式為 ；
（2）當四邊形AHCE面積最大時，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接EF，點P在x軸上，在拋物線上是否存在點Q，使得以F、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點Q的坐標；若不存在請說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，符合題意的點坐標為或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；
（2）先求拋物線與y軸交點，利用勾股定理求，利用待定系數(shù)法求直線的解析式，由，交于點，可得為定值，由，把，記為定值，再求；再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）當點Q在x軸上方拋物線上時，因為PF在x軸上，，點Q的縱坐標與E的縱坐標相同，當點Q在x軸下方拋物線上時，又四邊形為平行四邊形，Q與E的縱坐標互為相反數(shù)即可．
【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交于、兩點，
∴，
解得，
∴；
故答案為；
（2）將代得，
∴，
設(shè)直線的解析式為將，，
得，
解得，，
∴，
∵，交于點，
∴為定值，
∵，
把，記為定值，
過點作軸，垂足為，交于點，
設(shè)，則，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴有最大值，此時，
將代入中，得；
（3）存在，符合題意的點坐標為或或；
當點Q在x軸上方拋物線上時，
因為PF在x軸上，
又∵，
∴點Q的縱坐標與E的縱坐標相同，
∴y=，
∴，
∴解得，
∵x=時為E點，
∴，
Q1()，
當點Q在x軸下方拋物線上時，
∵PF在x軸上，
又∵四邊形平行四邊形，
∴Q與E的縱坐標互為相反數(shù)，
所以yQ=，
∴，
整理得，
△=，
解得，
∴Q2（），Q3（），
符合題意的點坐標為或或．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式與直線解析，平行四邊形面積，二次函數(shù)最值，與平行四邊形性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式與直線解析，平行四邊形面積，二次函數(shù)最值，與平行四邊形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
6、（2021涼山中考）（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，OB＝OC＝3OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點P，使四邊形PBAC的面積最大，求出點P的坐標；
（3）在（2）的結(jié)論下，點M為x軸上一動點，使點P、B、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出OA、OC，得出點A、C的坐標，進而得出點B的坐標，運用待定系數(shù)法即可求出答案；
（2）如圖1，過點P作PK∥y軸交BC于點K，利用待定系數(shù)法求出設(shè)直線BC解析式，設(shè)P(t，﹣t2﹣2t+3)，則K(t，t+3)，根據(jù)S四邊形PBAC＝S△PBC+S△ABC，得出S四邊形PBAC＝﹣(t+)2+，運用二次函數(shù)求最值方法即可得出答案；
（3）如圖2，分兩種情況：點Q在x軸上方或點Q在x軸下方.①當點Q在x軸上方時，根據(jù)P與Q縱坐標相等，建立方程求解即可；②當點Q在x軸下方時，根據(jù)P與Q縱坐標互為相反數(shù)，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵OC＝3OA，AC＝，
∴OA2+OC4＝AC2，即OA2+(8OA)2＝()2，
解得：OA＝8，
∴OC＝3，
∴A(1，6)，3)，
∵OB＝OC＝3，
∴B(﹣4，0)，
設(shè)拋物線解析式為y＝a(x+3)(x﹣3)，將C(0，
得：﹣3a＝4，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣(x+3)(x﹣4)＝﹣x2﹣2x+2，
∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+8；
（2）如圖1，過點P作PK∥y軸交BC于點K，
設(shè)直線BC解析式為y＝kx+n，將B(﹣3，C(4，
得：，
解得：，
∴直線BC解析式為y＝x+2，
設(shè)P(t，﹣t2﹣2t+3)，則K(t，
∴PK＝﹣t2﹣2t+8﹣(t+3)＝﹣t2﹣8t，
∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK?(t+6)+PK＝2﹣3t)，
S△ABC＝AB?OC＝，
∴S四邊形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝(﹣t2﹣3t)+6＝﹣(t+)2+，
∵﹣＜0，
∴當t＝﹣﹣時，四邊形PBAC的面積最大，)；
（3）存在.如圖2，分兩種情況：點Q在x軸上方或點Q在x軸下方．
①當點Q在x軸上方時，P與Q縱坐標相等，
∴﹣x3﹣2x+3＝，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣(舍去)，
∴Q1(﹣，)，
②當點Q在x軸下方時，P與Q縱坐標互為相反數(shù)，
∴﹣x2﹣5x+3＝﹣，
解得：x7＝﹣，x7＝，
∴Q2(﹣，﹣)，Q3(，﹣)，
綜上所述，Q點的坐標為Q1(﹣，)，Q6(﹣，﹣)，Q3(，﹣)．
7、（2021重慶中考B卷）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）直線l為該拋物線的對稱軸，點D與點C關(guān)于直線l對稱，點P為直線AD下方拋物線上一動點，連接PA，PD，求△PAD面積的最大值．
（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射線AD平移4個單位，得到新的拋物線y1，點E為點P的對應(yīng)點，點F為y1的對稱軸上任意一點，在y1上確定一點G，使得以點D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點G的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識．
【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；（2）8；（3）G（）或G（）或G（）．
【分析】（1）直角代入點A，B坐標即可；
（2）作PE∥y軸交直線AD于E，通過鉛垂高表示出△APD的面積即可求出最大面積；
（3）通過平移距離為4，轉(zhuǎn)化為向右平移4個單位，再向下平移4個單位，得出平移后的拋物線關(guān)系式和E的坐標，從而平行四邊形中，已知線段DE，分DE為邊還是對角線，通過點的平移得出G的橫坐標即可．
【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得
，
∴，
∴y＝x2﹣3x﹣4，
（2）當x＝0時，y＝﹣4，
∴點C（0，﹣4），
∵點D與點C關(guān)于直線l對稱，
∴D（3，﹣4），
∵A（﹣1，0），
∴直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x﹣1，
設(shè)P（m，m2﹣3m﹣4），
作PE∥y軸交直線AD于E，
∴E（m，﹣m﹣1），
∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）
＝﹣m2+2m+3，
∴S△APD＝＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，
當m＝﹣＝1時，S△APD最大為＝8，
（3）∴直線AD與x軸正方向夾角為45°，
∴沿AD方向平移，實際可看成向右平移4個單位，再向下平移4個單位，
∵P（1，﹣6），
∴E（5，﹣10），
拋物線y＝x2﹣3x﹣4平移后y1＝x2﹣11x+20，
∴拋物線y1的對稱軸為：直線x＝，
當DE為平行四邊形的邊時：
若D平移到對稱軸上F點，則G的橫坐標為，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，
∴，
若E平移到對稱軸上F點，則G的橫坐標為，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝，
∴，
若DE為平行四邊形的對角線時，
若E平移到對稱軸上F點，則G平移到D點，
∴G的橫坐標為，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，
∴
∴G（）或G（）或G（），
8、（2021南充中考）（12分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，連接OQ，當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y軸上是否存在點F，得△BEF為等腰三角形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）設(shè)點P的坐標為（x，﹣x+4），則點Q的坐標為（x，x2﹣5x+4），則PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，進而求解；
（3）當∠DQE＝2∠ODQ，則∠HQA＝∠HQE，則直線AQ和直線QE關(guān)于直線QH對稱，進而求出點E的坐標為（5,4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三種情況，分別求解即可．
【解答】解：（1）由題意得：，解得，
故拋物線的表達式為y＝x2﹣5x+4①；
（2）對于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，則y＝4，
故點B的坐標為（4,0），點C（0,4），
設(shè)直線BC的表達式為y＝kx+t，則，解得，
故直線BC的表達式為y＝﹣x+4，
設(shè)點P的坐標為（x，﹣x+4），則點Q的坐標為（x，x2﹣5x+4），
則PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，當x＝2時，PQ的最大值為4＝CO，
此時點Q的坐標為（2，﹣2）；
∵PQ＝CO，PQ∥OC，
故四邊形OCPQ為平行四邊形；
（3）∵D是OC的中點，則點D（0,2），
由點D、Q的坐標，同理可得，直線DQ的表達式為y＝﹣2x﹣2，
過點Q作QH⊥x軸于點H，
則QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，
而∠DQE＝2∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
則直線AQ和直線QE關(guān)于直線QH對稱，
故設(shè)直線QE的表達式為y＝2x+r，
將點Q的坐標代入上式并解得r＝﹣6，
故直線QE的表達式為y＝2x﹣6②，
聯(lián)立①②并解得（不合題意的值已舍去），
故點E的坐標為（5,4），
設(shè)點F的坐標為（0，m），
由點B、E的坐標得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
同理可得，當BE＝BF時，即16+m2＝17，解得m＝±1；
當BE＝EF時，即25+（m﹣4）2＝17，方程無解；
當BF＝EF時，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝；
故點F的坐標為（0,1）或（0，﹣1）或（0，）．
9、（2021重慶中考A卷）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過A（0，﹣1），B（4，1）．直線AB交x軸于點C，P是直線AB下方拋物線上的一個動點．過點P作PD⊥AB，垂足為D，PE∥x軸，交AB于點E．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）當△PDE的周長取得最大值時，求點P的坐標和△PDE周長的最大值；
（3）把拋物線平移，使得新拋物線的頂點為（2）中求得的點P．M是新拋物線上一點，N是新拋物線對稱軸上一點，直接寫出所有使得以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標，并把求其中一個點M的坐標的過程寫出來．
【答案】（1）；（2）t=2時，△PDE周長取得最大值，最大值為， 點P的坐標為（2，﹣4）；（3）滿足條件的點M的坐標有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），過程見解析
【解析】
分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式即可；
（2）先求出直線AB的函數(shù)表達式和點C坐標，設(shè)P，其中0