精品解析：廣東省深圳市第13校2023-2024學年八年級下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題

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第一部分 選擇題
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）
1. 《國家寶藏》節(jié)目立足于中華文化寶庫資源，通過對文物的梳理與總結(jié)，演繹文物背后的故事與歷史，讓更多的觀眾走進博物館，讓一個個館藏文物鮮活起來．下面四幅圖是我國一些博物館的標志，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
B．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
C．是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
D．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2. 下列等式，從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)因式分解的意義和方法，即提公因式法、公式法等方法進行分解判斷即可.
【詳解】，此選項為單項式的變形，非因式分解，故本選項錯誤；
，此選項是整式乘法運算，非因式分解，故本選項錯誤；
此選項為公式法因式分解，屬于因式分解，故本選項正確；
此選項未將一個多項式化成幾個整式乘積的形式，故本選項錯誤；
故本題選項為：C.
【點睛】本題考查了因式分解的意義和方法，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法，區(qū)分因式分解與整式乘法運算的不同.
3. 已知，則下列各式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)．根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：A．若，則，故本選項錯誤，不符合題意；
B．若，則，故本選項錯誤，不符合題意；
C．若，，則，故本選項錯誤，不符合題意；
D．若，，則，故本選項正確，符合題意；
故選：D．
4. 滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A. AC＝1，BC＝，AB＝2B. AC：BC：AB＝3：4：5
C. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可判定即可．
【詳解】解：A、∵12+（）2＝4，22＝4，
∴12+（）2＝22，
∴AC＝1，BC＝，AB＝2滿足△ABC是直角三角形；
B、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴AC：BC：AB＝3：4：5滿足△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝90°，
∴∠A：∠B：∠C＝1：2：3滿足△ABC是直角三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝75°，
∴∠A：∠B：∠C＝3：4：5，△ABC不是直角三角形．
故選：D．
【點睛】本題主要考查直角三角形的判定，解題關(guān)鍵是掌握直角三角形的判定方法.
5. 如圖，中，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得，當點B的對應(yīng)的D恰好落在上時，的度數(shù)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角；
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)等邊對等角計算即可．
【詳解】解：∵將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得，
∴，，
∴，
故選：C．
6. 用反證法證明“同旁內(nèi)角不互補的兩條直線不平行”時，應(yīng)先提出的假設(shè)是（ ）
A. 同旁內(nèi)角互補的兩條直線平行B. 同旁內(nèi)角互補的兩條直線不平行
C. 同旁內(nèi)角不互補的兩條直線平行D. 同旁內(nèi)角不互補的兩條直線不平行
【答案】C
【解析】
【分析】首先明確什么是反證法，然后根據(jù)命題“同旁內(nèi)角不互補兩條直線不平行”可以得到應(yīng)先假設(shè)什么，本題得以解決．
【詳解】解：由題意可得，
反證法證明命題“同旁內(nèi)角不互補的兩條直線不平行”時，應(yīng)先假設(shè)同旁內(nèi)角不互補的兩條直線平行，
故選：C．
【點睛】此題主要考查了反證法的第一步，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：
（1）假設(shè)結(jié)論不成立；
（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；
（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．
在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．
7. 如圖所示，直線經(jīng)過點，，則不等式的解集是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，正確理解一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．結(jié)合圖像，利用一次函數(shù)增減性和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【詳解】解：如圖，

∵一次函數(shù)經(jīng)過，兩點，
∴函數(shù)y隨x的增大而增大
∴當時，
即不等式的解集為，
故選：A．
8. 下列說法中錯誤的是（ ）．
A. 等邊三角形是等腰三角形
B. 三角形的高、中線、角平分線都是線段
C. 等腰三角形的高線、中線和角平分線互相重合
D. 鈍角三角形的三條高所在直線相交于三角形外一點
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了角形的分類方法，三角形中線，角平分線，高的定義，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的分類方法，三角形中線，角平分線，高的定義逐一判斷即可．
【詳解】解：A、等邊三角形是等腰三角形，原說法正確，不符合題意；
B、三角形的高、中線、角平分線都是線段，原說法正確，不符合題意；
C、等腰三角形底邊上的高線、底邊上的中線和頂角的角平分線互相重合，原說法錯誤，符合題意；
D、鈍角三角形的三條高所在直線相交于三角形外一點，原說法正確，不符合題意；
故選：C．
9. 若不等式組無解，則m的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了已知一元一次不等式組的解集，求不等式組中的字母的值，同樣也是利用口訣求解，求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到(無解）．根據(jù)大于小的小于大的無解，可得到，解出關(guān)于m的不等式即可．
【詳解】解：由題意可得：，
∴，
故選：C．
10. 如圖，，，若，，則點到的距離是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】過點作，垂足為，過點作，交的延長線于點，在中，利用勾股定理可求出的長，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后根據(jù)的面積的面積的面積的面積進行計算即可解答．
【詳解】解：過點作，垂足為，過點作，交的延長線于點，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
在中，，
，
的面積的面積的面積的面積，
，
，
，
點到的距離是，
故選：B．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形，點到直線的距離，利用了勾股定理，銳角三角函數(shù)，根據(jù)題目的已知條件結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
第二部分 非選擇題
二、填空題（共5題，每小題3分，共15分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式ab，進而分解因式得出答案．
【詳解】解：a2b+ab2=．
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．
12. 在平面直角坐標系中，將點向上平移個單位長度，再向左平移個單位長度得到的點的坐標是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右加左減，縱坐標上加下減求解即可．
【詳解】解：將點向上平移個單位長度，再向左平移個單位長度得到的點的坐標是，
即．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右加左減，縱坐標上加下減．
13. 關(guān)于x的方程的解是一個非負數(shù)，則a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查一元一次方程的解及解一元一次不等式，由得，即可 ，從而解得答案．
【詳解】解：由得，
∵x的方程的解是一個非負數(shù)，
∴，
解得，
故答案為：．
14. 如圖，在等腰三角形中，平分垂直平分交于點，則的長是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)題意連接，利用勾股定理求出，再設(shè)，即，在中應(yīng)用勾股定理即可得到本題答案．
【詳解】解：連接，
，
∵，平分，
∴是邊中線，
∴，
∴在中應(yīng)用勾股定理：，
∵垂直平分交于點，
∴設(shè)，則，
在中應(yīng)用勾股定理：，
∴，解得：，
故答案為：．
15. 如圖，在邊長為4的等邊中，射線于點，將沿射線平移，得到，連接、，則的最小值為________．
【答案】
【解析】
【分析】連接，延長到點，使得，連接，證明當點A、G、在同一條直線上時，，此時取得最小值，即的最小值為，是等邊三角形，，邊長為4，則，，則，，由勾股定理得到，即可得到的最小值．
【詳解】解：如圖，連接，延長到點，使得，連接，

∵沿射線平移，得到，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵是等邊三角形，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴當點A、G、在同一條直線上時，，此時取得最小值，即的最小值為，
∵是等邊三角形，，邊長為4，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識點，正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．
三、解答題（共7小題，共55分，其中第16題6分，第17題6分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題9分，第22題10分）
16. 因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】本題考查因式分解—提公因式法，
（1）直接提取公因式即可，
（2）將原式轉(zhuǎn)化為，然后再提取公因式即可；
解題的關(guān)鍵是掌握提公因式的一般步驟，確定一個多項式的公因式時，要對數(shù)字系數(shù)和字母分別進行考慮，可歸納為“五看”：一看系數(shù)，若各項系數(shù)都是整數(shù)，應(yīng)提取各項系數(shù)的最大公因數(shù)；二看字母，公因式的字母是各項相同的字母；三看字母的指數(shù)，各相同字母的指數(shù)取指數(shù)最低的；四看整體，如果多項式中含有相同的多項式，應(yīng)將其看成整體，不要拆開；五看首項符號，若多項式中首項的符號為“－”，則公因式的符號一般為負．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
．
17. 解不等式組，并將其解集在數(shù)軸是表示．
【答案】，數(shù)軸見解析．
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式解集，然后把解集表示在數(shù)軸上，再確定不等式組的解．
【詳解】解：
解不等式①得：，
∴，
解不等式②得：，
∴ ，
∴兩個不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：
∴原不等式組的解集為：．
18. 如圖，在平面直角坐標系中， 的三個頂點坐標分別為，，．
（1）若經(jīng)過平移后得到，已知．
①作出平移后的；
②平移的距離為________個單位長度；
（2）將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．
①作出旋轉(zhuǎn)后的；
②求在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為_______．
【答案】（1）①畫圖見解析；②；
（2）①畫圖見解析；②．
【解析】
【分析】（1）①由，確定平移方式，再確定，的對應(yīng)點，再順次連接即可，②利用勾股定理求解平移的距離即可；
（2）①分別確定旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，再順次連接即可；②求解，利用扇形面積公式計算即可．
【小問1詳解】
解：①如圖，即為所畫的三角形，
②平移距離為：；
【小問2詳解】
①如圖，即為所畫的三角形，
②∵，，
∴在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為．
19. 已知：如圖，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延長線于E，連接BE．
（1）求證：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的長度．
【答案】（1）見解析；（2）BE＝2．
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AC是△EAB的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到CE=CB；
（2）通過倒角證明△AEB是等邊三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半求得AC，再根據(jù)勾股定理求出AB，即得出BE的長．
【詳解】（1）證明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分線，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分線，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等邊三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，其中，判定△AEB是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
20. 某文具商店購買了兩種類型文具A和文具B銷售，若購A文具5個，B文具3個，需要105元：若購進A文具8個，B文具6個，需要186元．
（1）求文具A，文具B的進價分別是多少元？
（2）若每個文具A的售價為20元，每個文具B的售價為21元．結(jié)合市場需求，該商店決定購進文具A和文具B共80個，且購進文具B的數(shù)量不少于文具A的數(shù)量的．且文具A和文具B全部銷售完時，求銷售的最大利潤及相應(yīng)的進貨方案．
【答案】（1）文具A，文具B的進價分別是12元和15元
（2）當購進文具A的數(shù)量為48個，文具B的數(shù)量為32個時，利潤最大為576元
【解析】
【分析】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用：
（1）設(shè)文具A，文具B的進價分別是元，元，根據(jù)購A文具5個，B文具3個，需要105元：若購進A文具8個，B文具6個，需要186元，列出方程組進行求解即可；
（2）是購買文具A的數(shù)量為個，根據(jù)購進文具A和文具B共80個，且購進文具B的數(shù)量不少于文具A的數(shù)量的列出不等式求出的取值范圍，設(shè)總利潤為，列出一次函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)文具A，文具B的進價分別是元，元，由題意，得：
，解得：，
答：文具A，文具B的進價分別是12元和15元；
【小問2詳解】
設(shè)購進文具A的數(shù)量為個，則購進文具B個，由題意，得：
，
解得：，
設(shè)總利潤為，由題意，得：，
∴隨的增大而增大，
∵，
∴當時，此時，有最大值為576；
答：當購進文具A的數(shù)量為48個，文具B的數(shù)量為32個時，利潤最大為576元．
21. [問題提出]：如何解不等式？
預(yù)備知識1：同學們學習了一元一次方程、一元一次不等式和一次函數(shù)，利用這些一次模型和函數(shù)的圖象，可以解決一系列問題．
圖①中給出了函數(shù)和的圖象，觀察圖象，我們可以得到：當時，函數(shù)的圖象在圖象上方，由此可知：不等式的解集為_________．
預(yù)備知識2：函數(shù)稱為分段函數(shù)，其圖象如圖②所示，實際上對帶有絕對值的代數(shù)式的化簡，通常采用“零點分段”的辦法，將帶有絕對值符號的代數(shù)式在各“取值段”化簡，即可去掉絕對值符號，比如化簡時， 可令和， 分別求得， (稱1， 3分別是和的零點值)， 這樣可以就，，三種情況進行討論：
（1） 當時，
（2） 當時，；
（3） 當時，，
所以就可以化簡為
預(yù)備知識3：函數(shù)(b為常數(shù))稱為常數(shù)函數(shù)，其圖象如圖③所示．
[知識遷移]
如圖④，直線與直線相交于點，則關(guān)于x的不等式的解集是___________．
[問題解決]
結(jié)合前面的預(yù)備知識，我們來研究怎樣解不等式．
（1）請在平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)的圖象；
（2）通過觀察圖象，便可得到不等式的解集，這個不等式的解集為_______．
【答案】[問題提出]；[知識遷移]；[問題解決]（1）見解析；（2）或．
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關(guān)系，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
[問題提出]：根據(jù)函數(shù)圖象可得答案；
[知識遷移]：先求解的值，再根據(jù)函數(shù)圖象可得答案；
[問題解決]：（1）把函數(shù)化為，再畫圖即可；
（2）在同一坐標系內(nèi)畫的圖象，并求解兩個函數(shù)的交點坐標，根據(jù)函數(shù)圖象可得答案；
【詳解】解：[問題提出]，如圖，
∵當時，函數(shù)的圖象在的圖象上方，
∴不等解集為：，
[知識遷移]，如圖，
∵點在上，
∴，
解得：，
∴，
∵當時，直線的圖象在的圖象的上方，
∴不等式，
即的解集為：，
[問題解決]
（1）根據(jù)題意得：
，
畫圖如下：
（2）再在同一坐標系內(nèi)畫的圖象如下：
由函數(shù)圖象得：與有交點，
則，
解得：，
與有交點，
則
解得：
∴與的兩個交點坐標分別為：，；
由函數(shù)圖象可知，當時，的圖象在的上方，
當時，的圖象在的上方，
故不等式的解集為：或．
22. （1）問題提出：如圖1，點E為等腰內(nèi)一點，，，將繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，求證：．
（2）嘗試應(yīng)用：如圖2，如圖2，點D為等腰外一點，，，過點A的直線分別交的延長線和的延長線于點N，M，若，求證；
（3）問題拓展：如圖3，中，，點D，E分別在邊，上，，，交于點H．若，，直接寫出的長度．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）13．
【解析】
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證得，，進而得證，即可利用證明．
（2）延長至G，使 ，連 接，設(shè) 交于K，如圖：證明，，可得，再進一步可得結(jié)論；
（3）將繞 點A 逆時針旋轉(zhuǎn)至，作交 于 M，連 接，，證明為等邊三角形，而，可得，，證明，可得，，證明，可得，證明，可得，再進一步可得答案．
【詳解】解： （1）∵，，將繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，
即：，
在與中，，
∴．
（2） 延長至G，使 ，連 接，設(shè) 交于K，如圖：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴， 即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）將繞 點A 逆時針旋轉(zhuǎn)至，作交 于 M，連 接，，
∴，，
∴為等邊三角形，而，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的長度為13．
【點睛】本題屬于幾何綜合，考查全等三角的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，含的直角三角形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵，