數學（5月）
本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷為1-10題，共30分，第Ⅱ卷為11-22題，共70分．全卷共計100分．考試時間為90分鐘．
注意事項：
1、答題前，請將學校、姓名、班級、考場和座位號寫在答題卡指定位置，將條形碼貼在答題卡指定位置．
2、選擇題答案，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動請用2B橡皮擦干凈后，再涂其它答案，不能答在試題卷上．非選擇題，答題不能超出題目指定區(qū)域．
3、考試結束，監(jiān)考人員將答題卡收回．
第Ⅰ卷（本卷共計30分）
一、選擇題：（每小題只有一個選項正確，每小題3分，共計30分）
1. 的相反數是( )
A. B. C. 2023D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據相反數的定義求解 ．
【詳解】解：根據相反數的意義可以得到的相反數是，
故選：C．
【點睛】本題考查相反數的定義，熟練掌握相反數的定義是解題關鍵．
2. “春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連…”，我國民間流傳有許多“24節(jié)氣歌”．下面四幅手繪作品，它們依次分別代表“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”四個節(jié)氣，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．
【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故A錯誤；
B．不是軸對稱圖形，故B錯誤；
C．不是軸對稱圖形，故C錯誤；
D．是軸對稱圖形，故D正確．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，解題的關鍵是熟練掌握如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．
3. 節(jié)肢動物門是動物界最大的一門，門下蛛形綱約有60000余種.60000用科學記數法可以表示成（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于10時，n是正數；當原數的絕對值小于1時，n是負數．
【詳解】解：60000用科學記數法表示為，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題考查用科學記數法表示較大的數，一般形式為，其中，n可以用整數位數減去1來確定．用科學記數法表示數，一定要注意a的形式，以及指數n的確定方法．
4. 下列計算，正確的是（ ）
A. a2﹣a=aB. a2?a3=a6C. a9÷a3=a3D. （a3）2=a6
【答案】D
【解析】
【詳解】A、a2-a，不能合并，故A錯誤；
B、a2?a3=a5，故B錯誤；
C、a9÷a3=a6，故C錯誤；
D、（a3）2=a6，故D正確，
故選D．
5. 學校組織部分學生外出開展社會實踐活動，安排給九年級三輛車，小敏與小慧都可以從這三輛車中任選一輛搭乘．則小敏與小慧同車的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據題意畫出樹狀圖，然后再求出小敏與小慧同車的概率即可．
【詳解】解：用A，B，C分別表示給九年級三輛車，畫樹狀圖得：
∵共有9種等可能的結果，小敏與小慧同車的有3種情況，
∴小敏與小慧同車的概率是：，故C正確．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了用列表法或樹狀圖求概率，解題關鍵是用字母或甲乙丙分別表示給九年級的三輛車，然后根據題意畫樹狀圖，再由樹狀圖求得所有等可能的結果與小明與小紅同車的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．
6. 網上一些推廣“成功學”的主播，常引用下面這個被稱為竹子定律的段子：“竹子前4年都用在扎根，竹芽只能長，而且這還是深埋于土下．到了第五年，竹子終于能破土而出，會以每天的速度瘋狂生長．此后，僅需要6周的時間，就能長到15米，驚艷所有人！”．這段話的確很勵志，須不知，要符合算理的話，需將上文“6周”中的整數“6”改為整數（ ）
A. 5B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根據題意列出算式進行計算即可．
【詳解】解：，
竹子生長需要的時間為（天），
，
即竹子長成需要8周的時間，故C正確．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了有理數除法的應用，解題的關鍵是根據題意列出算式，準確計算．
7. 生活中，我們常用到長方形樣、不同型號的打印紙．基于滿足影?。ǚ糯蠡蚩s小后，需保持形狀不變）及制作各型號紙張時，既方便又省料等方面的需要，對于紙張規(guī)格，存有一些通用的國際標準．其中，把紙定義為面積為1平方米，長與寬的比為的紙張；沿紙兩條長邊中點的連線裁切，就得到兩張紙；再沿紙兩條長邊中點的連線裁切得紙…依此類推，得等等的紙張（如圖所示）．若設紙張的寬為米，則應為（ ）

A. B. 的算術平方根C. D. 的算術平方根
【答案】D
【解析】
【分析】由紙張的寬為x米，表示出紙的寬和長，根據紙面積為1平方米求出x的值即可．
【詳解】解：由圖得，當紙張的寬為x米時，紙的寬為米，
∵紙張長與寬比為，
∴紙的長為米，
∵紙面積為1平方米，
∴，
∴，
∴x的值為的算術平方根．
故選：D．
【點睛】本題考查了平方根的計算，根據圖形表示出A0的長寬是解題關鍵．
8. 如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從點經過旗桿頂點恰好可觀測到矮建筑物的最底端點處，從點測得點的俯角為，測得點的俯角為30°，若旗桿底部為的中點，則，矮建筑物的高為（ ）
A. 18米B. 20米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】過點D作于點F，則點F，D，C三點共線，根據，可得，可得米，然后和中，根據銳角三角函數求出，的長，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點D作于點F，則點F，D，C三點共線，

根據題意得：，
∴，
∵點G是中點，
∴，
∴米．
在中，，
∴米．
在中， 米，
則米．
∴米．
故選B．
【點睛】解直角三角形的應用——仰角俯角問題，相似三角形的判定和性質，特殊角的三角函數值，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
9. 如圖，的半徑為，交軸正半軸于點，直線垂直平分交于點，軸于點．今假設在點，處，分別有一質量為，的天體；天體物理中，把與，處于同一平面，坐標為的點稱為【O，A】系統(tǒng)的拉格朗日4號點，記為（若把衛(wèi)星發(fā)射到的位置，則衛(wèi)星會處于相對靜止的穩(wěn)狀態(tài)），以下說法中錯誤的是（ ）
A. 是等邊三角形B. 在線段上
C D. 若恒定，則越小，離點越近
【答案】C
【解析】
【分析】根據線段垂直平分線的性質及全等三角形的判定與性質得到是等邊三角形，線段之間的大小關系得到在線段上，根據等邊三角形的性質得到，根據關系得到離點越近．
【詳解】解：設與交于點，
∵垂直平分，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∵在圓中，，
∴，
∴是等邊三角形，
故正確；
由知，，與的縱坐標相同，
∵，
∴，
∴，
∴在線段上；
故正確；
當在重合時，，
當在重合時，，
∴，
故錯誤；
若恒定，越小時，則越趨近于，
∴趨向于，
∴離點越近，
故正確；
故選．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，等邊三角形的性質，圓的性質，平面直角坐標系內點的坐標，掌握坐標與圖形的關系是解題的關鍵．
10. 如圖，菱形中，交于點，，垂足為點，連接，若，則的長為（ ）
A. B. 16C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形性質可知：，，，，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得，再利用雙勾股列方程求出，即可解答．
【詳解】解：∵菱形，
∴，，，，
又∵，
∴，，
∵，，
設，則，
∴，
解得：（不符合題意，舍去），，
∴，
在中，，
∴，
故選D．
【點睛】本題考查了菱形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊的中線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
第Ⅱ卷（本卷共計70分）
二、填空題：（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查提公因式法因式分解，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
12. 若方程的兩根為，，則___________．
【答案】4
【解析】
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系進行解答即可．
【詳解】解：∵方程的兩根為，，
∴．
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程，根與系數的關系，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的兩個根，，滿足，．
13. 如圖，以矩形的頂點為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交及的延長線于點，，再分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交的延長線于點．若，，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】過點G作，垂足分別為點M和N，則，由平分得到，由四邊形矩形，進一步可得，,則四邊形是矩形，得到，由求得，即可得到答案．
【詳解】解：過點G作，垂足分別為點M和N，則，
由題意可知，平分，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴
∴，,
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：2．
【點睛】此題考查了矩形的判定和性質、勾股定理、角平分線的性質和作圖等知識，熟練掌握角平分線的性質、矩形的判定和性質是解題的關鍵．
14. 如圖，正方形的頂點，分別在軸，軸兩軸的正半軸上，反比例函數的圖象經過該正方形的中心．若，，則的值為___________．

【答案】
【解析】
【分析】作軸于E，利用證明，得，，可得點D的坐標，進一步求得正方形中心點的坐標，再將此點代入反比例函數解析式可得答案．
【詳解】解：作軸于E，

∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴正方形的中心點，
∵反比例函數的圖象經過該正方形的中心，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定與性質，求得正方形頂點的坐標是解題的關鍵．
15. 如圖，在中，，點是上一點，交延長線于點，連接．若圖中兩陰影三角形的面積之差為32（即，），則___________．
【答案】8
【解析】
【分析】延長交于點E，過點C作于點H，于點G，則，先證明，可得四邊形是正方形， 從而得到，再證得，可得，，從而得到，然后證明，可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：如圖，延長交于點E，過點C作于點H，于點G，則，
在中，∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：8
【點睛】本題主要考查了正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，熟練掌握正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵．
三、解答題：（本題共7小題，其中第16題6分，第17題6分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）
16. 計算：．
【答案】3
【解析】
【分析】根據零指數冪和負整數指數冪的運算法則，絕對值的意義，特殊角的三角函數值進行計算即可．
【詳解】解：

．
【點睛】本題主要考查了實數混合運算，解題的關鍵是熟練掌握零指數冪和負整數指數冪的運算法則，絕對值的意義，特殊角的三角函數值，準確計算．
17. 先化簡，后求值：，其中，是的小數部分（即，）
【答案】，
【解析】
【分析】先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再求出a的值代入進行計算即可．
【詳解】解：
=
=
=．
當時，原式=．
【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解題的關鍵．
18. 為迎接義務教育均衡化檢查，了解音樂課科目學生的學習情況，某校從八年級學生中抽取了部分學生進行了一次音樂素養(yǎng)測試，把測試結果分為四個等級：A級（優(yōu)秀），B級（良好），C級（及格），D級（不及格），其中相應等級的得分依次為100分，80分，60分，40分，并將測試結果繪成了如圖的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題：
（1）本次抽樣測試的學生人數是___________人；
（2）A級在扇形統(tǒng)計圖中對應的圓心角度數是___________°，并把條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）該校八年級有學生700名，若全部參加這次音樂素養(yǎng)測試，則估計不及格人數為___________人；
（4）這次抽測成績的中位數是___________分；眾數是___________分．
【答案】（1）50 （2）210；見解析
（3）28 （4）100；100
【解析】
【分析】（1）用A級人數除以A級占比即可得到本次抽樣測試的學生人數；
（2）用即可求出A級對應的圓心角的度數，再求出B級的人數，即可補全條形統(tǒng)計圖；
（3）用樣本估計總體即可求出不及格的人數；
（4）根據中位數和眾數的概念求解即可
【小問1詳解】
（人），
故答案為：50；
【小問2詳解】
A級在扇形統(tǒng)計圖中對應的圓心角度數是，
B的人數為：（人），
補全條形統(tǒng)計圖如下：
故答案為：210；
【小問3詳解】
不及格的人數為：（人），
故答案為：28；
【小問4詳解】
50個數據按大小順序排列，最中間的兩個數據是第25，26個，而100分有30個，
所以，中位數是100分，眾數是100分，
故答案為：100；100；
【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、中位數、眾數以及用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
19. 程大位是明代商人、珠算發(fā)明家．在其杰作《算法統(tǒng)宗》（如圖）中記載有如下問題：“以繩測井，若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之，繩多一尺，繩長、井深各幾何？”
（1）請你求出上述問題的解；
（2）若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬尺；第四天休息，下滑2尺…這只青蛙按照這樣的規(guī)律向上爬與休息，若它想要在9天內（包括第9天）爬出井外，求至少要為多少尺？
【答案】（1）繩長48尺，井深11尺
（2）
【解析】
【分析】（1）設繩長尺，井深尺，根據“以繩測井，若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之，繩多一尺”，列出方程組，求解即可；
（2）根據題意可假設青蛙在第8天結束時，還沒有爬出井口，把每兩天分為一組，第8天結束時，青蛙離井底的距離為尺，因而離井口的距離為尺，然后列出不等式，即可求解．
【小問1詳解】
解：設繩長尺，井深尺，
根據題意，得： 解得：，
答：繩長48尺，井深11尺；
【小問2詳解】
解：因為要求的是的最小值，
所以可假設青蛙在第8天結束時，還沒有爬出井口（若已爬出井口，則的值會更大）．
把每兩天分為一組，第8天結束時，青蛙離井底的距離為尺，因而，離井口的距離為尺，
根據題意，得：，
解得：≥．
答：的最小值為尺．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，明確題意，準確列出方程組和不等式是解題的關鍵．
20. 如圖，是的直徑，點P是射線上的一動點（不與點A，B重合），過點作的割線交于點C，D，于，連接．
（1）①在圖1的情形下，證明：；
②當點處于圖2中的位置時，①中的結論___________（填“仍成立”或“不再成立”）；
（2）若的半徑為3，當且時，求的長．
【答案】（1）①見解析，②成立
（2）8或4
【解析】
【分析】（1）①連接，證明，得，即可得到結論；②成立，連接,證明即可得到結論；
（2）求出，在中運用直角三角形的性質求出的長即可．
【小問1詳解】
①證明：如圖，連接．
∵是的直徑，且，
∴．
∵四邊形是的內接四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴
② 當點P處于圖2中的位置時，①中的結論仍成立．
理由如下：
連接,如圖，
∵是的直徑，且，
∴．
又
∴，
∴，
∴
【小問2詳解】
∵的半徑為3，
∴，
由（1）知，，
∵，
∴，
∴．
在中，
∴．
∴，
∴.8或4．
【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理，直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質等知識，正確識別圖形是解答本題的關鍵．
21. 如圖，甲、乙分別從，兩點同時出發(fā)，甲朝著正北方向，以每秒3個單位長度的速度運動；乙朝著正西方向，以每秒4個單位長度的速度運動．設運動時間為秒．
規(guī)定：秒時，甲到達的位置記為點，乙到達的位置記為點，例如，1秒時，甲到達的位置記為，乙到達的位置記為（如圖所示）；2.5秒時，甲到達的位置記為等等．容易知道，兩條平行且相等的線段，其中包含有相同的方位信息．所以，在研究有關運動問題時，為研究方便，我們可把點或線段進行合適的平移后，再去研究（物理上的相對運動觀，就是源于這種數學方法）．現對秒時，甲、乙到達的位置點，，按如下步驟操作：第一步：連接；
第二步：把線段進行平移，使點與點重合，平移后，點的對應點用點標記．
解答下列問題：
（1）【理解與初步應用】當時，
①利用網格，在圖中畫出，經過上述第二步操作后的圖形；
②此時，甲在乙的什么方位？（請?zhí)羁眨?br>答：此時，甲在乙的北偏西（其中___________），兩者相距___________個單位長度．
（2）【實驗與數據整理】補全下表：
（3）【數據分析與結論運用】
①如果把點的橫、縱坐標分別用變量x，y表示，則y與x之間的函數關系式為___________．
②點的坐標為___________．
（4）【拓展應用】我們知道，在運動過程中的任意時刻，甲相對于乙的方位（即，點相對于點的方位）與相對于點B的方位相同．這為我們解決某些問題，提供了新思路．請解答：運動過程中，甲、乙之間的最近距離為___________個單位長度．
【答案】（1）①作圖見解析部分；②，
（2），6，3，9，，
（3）①，②（5，10.5）
（4）
【解析】
【分析】（1）①根據要求畫出圖形即可；
②利用勾股定理，解直角三角形解決問題；
（2）分別求出，的長，可得結論；
（3）①設，，消去，可得結論；
②代入（2）中式子，可得結論；
（4）根據垂線段最短，構建一次函數，確定交點坐標，利用兩點之間距離公式求解．
【小問1詳解】
解：①圖形如圖所示：
②時，，，
．
此時，甲在乙的北偏西（其中，兩者相距個單位長度．
故答案為：，；
【小問2詳解】
解：時，，
時，，
．
故答案為：，6，3，9，，；
【小問3詳解】
解：①由（2）可知，，
，
．
故答案為：；
②；
【小問4詳解】
解：由題意，，
當直線時，的值最小，
此時過點的直線的解析式，
由，解得，．
，，
，
甲、乙之間的最近距離為個單位．
故答案為：．
【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平移變換，一次函數的應用，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
22. 如圖，四邊形中，，，，點P是對角線上的一動點（不與點A，C重合），過點作，，分別交，于點E，F，連接．
（1）求的度數；
（2）設，，隨著點的運動，的值是否會發(fā)生變化？若變化，請求出它的變化范圍；若不變，請求出它的值；
（3）求的取值范圍（可直接寫出最后結果）．
【參考材料】
對于“已知，求的最大值”這個問題，我們可以采取如下兩種思路：
【方法一】
①轉化：要求的最大值，只需先求的最大值；
②消元：顯然，，所以，；
③整體觀：把兩變量x，y的乘積，看作一個整體變量，可設，則，問題轉化為求的最大值；
④化歸：顯然，是的二次函數，這已是熟悉的問題．
【方法二】
由，可得，，
所以，，（等號成立的條件是）
所以，的最大值為1．
【答案】（1）
（2）不會；9 （3）
【解析】
【分析】（1）延長交于點G，根據平行線的性質得出，，根據，得出，根據三角形外角的性質得出；
（2）證明，得出，即①，同理可得②，得，即可得出結果；
（3）作 于H，求出，，得出，根據勾股定理求出，將代入得出，，根據二次函數的最值，求出結果即可．
【小問1詳解】
解：延長交于點G，如圖所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小問2詳解】
的值不會發(fā)生變化；理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，①
同理可得，，②
得，
，
∴．
【小問3詳解】
解：≤．
作 于H，如圖所示：
則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
將代入，得：
，，
∴當 時，的最小值為；
∵，
∴．
∴≤．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，三角形外角的性質，三角形相似的判定和性質，勾股定理，二次函數的應用，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的性質．的取值
1
2
3
點的坐標
（_______，___________）
（___________，___________）
（___________，___________）

相關試卷

2023-2024學年廣東省深圳市福田區(qū)9校聯考八年級（上）期末數學試題：

這是一份2023-2024學年廣東省深圳市福田區(qū)9校聯考八年級（上）期末數學試題，共2頁。

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2022年廣東省深圳市福田區(qū)13校聯考九年級數學試題（原卷及解析版）：

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