一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．已知，則＝( )
A.2B.1C.D.
3．已知.若，則( )
A.B.C.D.
4．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則“”是“的公比為2”的( )
A.必要不充分條件
B.充分不必要條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
5．已知一個(gè)正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長(zhǎng)相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則此正四棱錐的體積為( )
A.B.C.D.
6．已知函數(shù)則圖像上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有( )
A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)
7．已知函數(shù)，函數(shù)的圖像各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像.若方程在上有兩個(gè)不同的解，，則的值為( )
A.B.C.D.
8．若關(guān)于x不等式恒成立，則當(dāng)時(shí)，的最小值為( )
A.B.C.1D.e
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知，則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.C.D.
10．若數(shù)列滿足，，，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，則下列結(jié)論成立的是( )
A.
B.
C.
D.
11．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A.若平面，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
B.若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
C.若P是正方形的中心，Q在線段EF上，則的最小值為
D.若P是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積是
三、填空題
12．曲線的所有切線中，斜率最小的切線的方程是________.
13．為測(cè)量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為，，，且米，則塔的高度________米
14．已知，當(dāng)，時(shí)，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)P在所有的線段上，若，則的最小值是________.
四、解答題
15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
16．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且有，
(1)求角B：
(2)若AC邊上的高，求.
17．如圖1，在平行四邊形中，，，E為的中點(diǎn)，將沿折起，連結(jié)，，且，如圖2.
(1)求證：圖2中的平面平面；
(2)在圖2中，若點(diǎn)F在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求點(diǎn)F到平面的距離
18．已知函數(shù)，且與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)
(1)求實(shí)數(shù)a的值及的最大值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，；
(3)判斷關(guān)于x的方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并證明
19．對(duì)于任意正整數(shù)n，進(jìn)行如下操作：若n為偶數(shù)，則對(duì)n不斷地除以2，直到得到一個(gè)奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為；若n為奇數(shù)，則對(duì)不斷地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為.若，則稱正整數(shù)n為“理想數(shù)”.
(1)求20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；
(2)已知.求m的值；
(3)將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列，逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，證明：.
參考答案
1．答案：B
解析：若，
則是6的正因數(shù)，而6的正因數(shù)有1，2，3，6，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故選：B.
2．答案：C
解析：由題意知
，
所以，
故選：C
3．答案：B
解析：因?yàn)?br>且，
則
可得，
所以.
故選：B.
4．答案：A
解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
由
得，
當(dāng)時(shí)，
解得或，充分性不成立；
當(dāng)時(shí)，，必要性成立
所以“”是“的公比為2”的必要不充分條件
故選：A
5．答案：B
解析：
如圖所示，正四棱柱為
正四棱錐，
設(shè)底邊邊長(zhǎng)，高，
則，
又正四棱柱的側(cè)面積，
正四棱錐的側(cè)面積，
則，解得，
所以正四棱錐體積，
故選：B.
6．答案：C
解析：作出的圖像，再作出函數(shù)
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像如圖所示
因?yàn)楹瘮?shù)
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像與圖像有三個(gè)交點(diǎn)
故圖像上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有3對(duì)
故選：C
7．答案：A
解析：根據(jù)題意可得，
所以，
，
所以在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減，關(guān)于對(duì)稱，
且
，，
方程等價(jià)于有兩個(gè)不同的解，
.
故選：A.
8．答案：C
解析：設(shè)，
因?yàn)?，可知的定義域?yàn)?br>所以在內(nèi)恒成立，
又因?yàn)椋?br>令，解得
令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
則
可得，則，
可得
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
令
則，
令，解得
令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增
在內(nèi)單調(diào)遞減，則，
即
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為1.
故選：C.
9．答案：ABD
解析：由題可得
，
即，所以，
對(duì)于A，因?yàn)?br>所以，故A正確；
對(duì)于B，
，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立
這與已知矛盾，所以，故D正確
故選：ABD
10．答案：AC
解析：對(duì)于A，由題可得，，，，，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，又?br>所以，即，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，
，故C正確；
對(duì)于D，
，故D錯(cuò)誤
故選：AC.
11．答案：ACD
解析：如圖，取，的中點(diǎn)為
連接，，
所以，又E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，
所以，所以，
平面，平面，
平面，
因?yàn)榉謩e是棱，的中點(diǎn)
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
平面，
又，平面，
所以平面平面，
點(diǎn)P是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，
所以點(diǎn)P的軌跡為線段
由勾股定理得，故A正確；
如圖，以A為原點(diǎn)，以所在直線為x軸，y軸，z軸，
由題意得，設(shè)，
，
所以，所以點(diǎn)P的軌跡為為圓心，半徑為1的個(gè)圓，
所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.故B錯(cuò)誤；
如圖，將平面翻折到與平面共面，
連接，與交于點(diǎn)Q，此時(shí)取到最小值，
，且，
所以點(diǎn)Q為的中點(diǎn)
所以，
所以，
即的最小值為，故C正確；
如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，
若P是棱的中點(diǎn)，則，
所以是外接圓的一條直徑
所以是外接圓的圓心，
過(guò)點(diǎn)作平面的垂線
則三棱錐的外接球的球心O一定在該垂線上，
連接，設(shè)，則，
連接，
所以，
所以，解得，
所以，
所以三棱錐的外接球的表面積為，故D正確
故選：ACD.
12．答案：.
解析：由題意，
所以時(shí)，
又時(shí)，，
所以所求切線的方程為
即.
故答案為：.
13．答案：
解析：設(shè)塔的高，
在中，
同理可得，，
在中，
則，
，
即
解得.
所以塔的高度為米
故答案為：.
14．答案：
解析：不妨設(shè)點(diǎn)、
設(shè)點(diǎn)，
則數(shù)列滿足，
，
所以，，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為
公比為的等比數(shù)列，
所以，，
當(dāng)時(shí)，
，
也滿足
故對(duì)任意的，.
所以，，故
故答案為：.
15．答案：(1)，，
(2)
解析：(1)由題意，當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，
即，解得，
當(dāng)時(shí)，由
可得，兩式相減，可得，
整理，得
∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴，.
(2)由(1)可得，，，
在與之間插入n個(gè)數(shù)
使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，
則有，
∴，∴，
∴，
，
兩式相減得
∴.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
即
即
所以，
在三角形中，，
所以，
即，因?yàn)?br>則
可得，則.
(2)因?yàn)檫吷系母撸?br>所以①
又②
由①②可得，
由正弦定理可得，
結(jié)合(1)中可得，
因?yàn)?br>所以.
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)連接，
由題意，
則為等邊三角形，
由余弦定理得
所以，
則，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面
所以平面平面；
(2)如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，
故，
因?yàn)閦軸垂直平面，故可取平面的一條法向量為，
所以
化簡(jiǎn)得
解得或（舍去），
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則有
可取，
所以點(diǎn)F到平面的距離為.
18．答案：(1)，最大值為0
(2)證明見解析
(3)2個(gè)，證明見解析
解析：(1)由題意知，且，
，
，解得，
，，
則，
當(dāng)時(shí)，，.
故，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減
所以.
當(dāng)時(shí)，令，
則，
，，，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
則.
綜上所述，，的最大值為0.
(2)因?yàn)椋?br>要證當(dāng)時(shí)
即證，
記，，
當(dāng)時(shí)，，，
；
當(dāng)時(shí)，，
記
則，
在區(qū)間上單調(diào)遞減
則，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，.
(3)設(shè)，，
，
當(dāng)時(shí)，由(1)知，
故，
故在區(qū)間上無(wú)實(shí)數(shù)根
當(dāng)時(shí)，
因此0為的一個(gè)實(shí)數(shù)根
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
又，，
存在，使得，
所以當(dāng)時(shí)
當(dāng)時(shí)，
在區(qū)間上單調(diào)遞增
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，
在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
在區(qū)間上無(wú)實(shí)數(shù)根
當(dāng)時(shí)，，
令，
，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減
，
于是恒成立
故在區(qū)間上無(wú)實(shí)數(shù)根，
綜上所述，有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
19．答案：(1)2和5為兩個(gè)質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”
(2)m的值為12或18
(3)證明見解析
解析：(1)20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)為
，故，所以2為“理想數(shù)”；
，而，故3不是“理想數(shù)”；
，而，故5是“理想數(shù)”；
，而，故7不是“理想數(shù)”；
，而，故11不是“理想數(shù)”；
，而，故13不是“理想數(shù)”；
，而，故17不是“理想數(shù)”；
，而，故19不是“理想數(shù)”；
2和5為兩個(gè)質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；
(2)由題設(shè)可知必為奇數(shù)
m必為偶數(shù)，
存在正整數(shù)p，使得
即
，且，
，或
或，解得，或，
，或
即m的值為12或18.
(3)顯然偶數(shù)"理想數(shù)"必為形如的整數(shù)，
下面探究奇數(shù)"理想數(shù)"，不妨設(shè)置如下區(qū)間：，
若奇數(shù)，不妨設(shè)，
若為"理想數(shù)"，則，且
即，且，
①當(dāng)，且時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，；
，且，
又
即，
易知為上述不等式的唯一整數(shù)解，
區(qū)間存在唯一的奇數(shù)"理想數(shù)"，且，
顯然1為奇數(shù)"理想數(shù)"，所有的奇數(shù)"理想數(shù)"為，
所有的奇數(shù)"理想數(shù)"的倒數(shù)為，
即.

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