一、選擇題
1．直線的傾斜角為( )
A.B.C.D.
2．若方程表示焦點(diǎn)在軸上y的橢圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.B.C.D.
3．?dāng)?shù)學(xué)來源于生活,約3000年以前,我國(guó)人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計(jì)數(shù)方法.十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法就是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造,算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)1～9的一種方法.例如:3可表示為“”,26可表示為“”,現(xiàn)有5根算籌,據(jù)此表示方法,若算籌不能剩余,則用1～9這9個(gè)數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的概率是( )
A.B.C.D.
4．設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且的面積為8，則( )
A.B.-1C.1D.
5．設(shè)A，B為隨機(jī)事件，則的充要條件是( )
A.B.
C.D.
6．甲?乙?丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?每個(gè)人都等可能地把球傳給另一人,由甲開始傳球,作為第一次傳球,經(jīng)過3次傳球后,球回到甲手中的概率為( )
A.B.C.D.
7．橢圓的上頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,Q均在C上,且關(guān)于x軸對(duì)稱.若直線AP,AQ的斜率之積為,則C的離心率為( )
A.B.C.D.
8．直線l過點(diǎn),且與圓相交所形成的長(zhǎng)度為整數(shù)的弦的條數(shù)為( )
A.5B.8C.9D.10
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知直線和直線,下列說法正確的是( )
A.始終過定點(diǎn)B.若,則或
C.若,則或2D.當(dāng)時(shí),始終不過第三象限
10．已知F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),A,B為該橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),若,,則滿足條件的橢圓方程為( )
A.B.C.D.
11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E、F、G分別為、、的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是( )
A.
B.直線與所成角的余弦值為
C.三棱錐的體積為
D.存在實(shí)數(shù)、使得
三、填空題
12．已知圓C的圓心在直線上,且過點(diǎn),,則圓C的方程為__________.
13．王先生忘記了自己電腦的密碼,但記得密碼是由兩個(gè)3,一個(gè)6和一個(gè)9組成的四位數(shù),于是他用這四個(gè)數(shù)字隨意排成一個(gè)四位數(shù)輸入電腦,則其能一次就打開電腦的概率是________.
14．關(guān)于橢圓有如下結(jié)論:“過橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線,切線方程為.”設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F且垂直于x軸的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為M,過M作橢圓的切線l,若切線l的斜率與直線的斜率滿足,則橢圓C的離心率為____________.
四、解答題
15．已知的頂點(diǎn),邊上的高線所在的直線方程為,邊上的中線所在的直線方程為.
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo);
（2）求直線方程.
16．垃圾分類（Garbageclassificatin）,一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、投放和搬運(yùn),從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱.垃圾分類具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等多方面的效益.小明和小亮組成“明亮隊(duì)”參加垃圾分類有獎(jiǎng)答題活動(dòng),每輪活動(dòng)由小明和小亮各答一個(gè)題,已知小明每輪答對(duì)的概率為p,小亮每輪答對(duì)的概率為且在每輪答題中小明和小亮答對(duì)與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.已知一輪活動(dòng)中,“明亮隊(duì)”至少答對(duì)1道題概率為.
（1）求p的值;
（2）求“明亮隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題的概率.
17．如圖,在四棱錐中,,,,平面平面.
（1）求證:平面;
（2）點(diǎn)Q在棱上,與平面所成角的正弦值為,求平面與平面夾角的余弦值.
18．已知橢圓的焦距為2,且經(jīng)過點(diǎn).
（1）求C的方程;
（2）若直線與C相交于不同于A的P,Q兩點(diǎn),的中點(diǎn)為M,當(dāng)時(shí),
①求證:為直角.
②求m的值.
19．在空間直角坐標(biāo)系中,任何一個(gè)平面的方程都能表示成,其中A,B,C,,,且為該平面的法向量.已知集合,,
（1）設(shè)集合,記中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為,中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為,求和的值;
（2）記集合Q中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為,中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為,求和的值;
（3）記集合T中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為W.求W的體積的值.
參考答案
1．答案：B
解析：由題意得直線的斜率為.
設(shè)直線的傾斜角為,則,
由,得,
故選:B.
2．答案：D
解析：若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則,解得.
故選:D.
3．答案：A
解析：1根算籌只能表示1,2根算籌可表示2和6,3根算籌可表示3和7,4根算籌可表示4和8,5根算籌可表示5和9,
因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14,18,41,81,23,27,32,72,63,67,36,76,共12個(gè),
其中個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的有14,41,23,32,共4個(gè),
所以所求概率為.
故選:A
4．答案：C
解析：由題意,圓的圓心為,半徑,
因?yàn)橹本€與圓C交于A,B兩點(diǎn),
且的面積為8,
所以,
且
解得,
因?yàn)?
所以,
即,
所以中,,
所以圓心到AB的距離為,
即圓心到的距離
解得.
5．答案：D
解析：對(duì)于A，由可知A，B為互斥事件，概率不一定相等，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由可知A，B相互獨(dú)立，與概率大小無關(guān)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，拋擲一顆骰子，記擲出點(diǎn)數(shù)1，2，3，4為事件A，擲出點(diǎn)數(shù)3，4，5，6為事件B，
則事件表示擲出點(diǎn)數(shù)為3，4，為不可能事件，
所以，，，
顯然，由推不出，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
，
若，則，
即，反之亦然，
故的充要條件是，D正確.
故選：D.
6．答案：B
解析：設(shè)甲?乙?丙三人用a,b,c,由題意可知:傳球的方式有以下形式,,,,,,,,,所求概率為,故選B.
7．答案：C
解析：,設(shè),則,則,,
故,又,則,
所以,即,所以橢圓C的離心率為.
故選:C
8．答案：C
解析：依題設(shè),圓C的圓心為,且半徑,
而,即點(diǎn)在圓內(nèi),且圓心到該點(diǎn)的距離,
當(dāng)直線與、的連線垂直時(shí),弦長(zhǎng)最短為,
而最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為圓的直徑為,因此所有弦的弦長(zhǎng)范圍為,
所以相交所形成的長(zhǎng)度為整數(shù)的弦,弦長(zhǎng)為2,3,4,5,6,
根據(jù)圓的對(duì)稱性,弦長(zhǎng)為3,4,5,6各有2條,弦長(zhǎng)為2的只有1條,
所以共有9條.
故選:C
9．答案：ACD
解析：選項(xiàng)A:,令,得,過點(diǎn),A正確;
選項(xiàng)B:當(dāng)時(shí),,重合,故B錯(cuò)誤;
選項(xiàng)C:當(dāng)時(shí),由,得或2,故C正確;
選項(xiàng)D:當(dāng)時(shí),始終過,斜率負(fù),不會(huì)過第三象限,故D正確.
故選:ACD
10．答案：BCD
解析：由題意,已知F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),
其中A,B為該橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),且,
當(dāng)A,B為左右兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí),可得,解得,
所以,此時(shí)橢圓的方程為;
當(dāng)A為橢圓短軸的頂點(diǎn),B為長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)時(shí),可得
解得,,則,此時(shí)橢圓的方程為;
當(dāng)A為橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn),B為短軸的頂點(diǎn)時(shí),可得,
解得,,則,此時(shí)橢圓的方程為.
故選:BCD.
11．答案：BD
解析：由題可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
所以，，，，，
對(duì)于A，，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
所以直線與所成角的余弦值為，故B正確；
對(duì)于C，由上，
所以，
所以即，又，
所以，
因?yàn)椋钟烧襟w性質(zhì)可知平面即平面，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若存在實(shí)數(shù)、使得，
則，
所以，所以，故D正確.
故選：BD.
12．答案：
解析：由題設(shè),且中點(diǎn)為,故線段中垂線方程為,
由題意知,圓心也在上,聯(lián)立,可得圓心為,
所以半徑,故圓C的方程為.
故答案為:
13．答案：
解析：由題可知,密碼的可能情況有:
3369,3396,3639,3693,3936,3963,6339,6393,6933,9336,9363,9633共有12種情況,
其中只有1個(gè)密碼正確,
所以能一次就打開電腦的概率是,
故答案為:.
14．答案：
解析：由題設(shè),,令代入橢圓,有,
令,則過該點(diǎn)的切線,即為,
所以,而,故,
所以,則,
即,又,則.
故答案為:
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由邊上的高線所在的直線方程為,得直線的斜率為1,
直線方程為,即,
由,解得,
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是.
（2）由點(diǎn)C在直線上,設(shè)點(diǎn),于是邊的中點(diǎn)在直線上,
因此,解得,即得點(diǎn),直線的斜率,
所以直線的方程為,即.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）設(shè)“一輪活動(dòng)中小明答對(duì)一題”,
“一輪活動(dòng)中小亮答對(duì)一題”,則,.
設(shè)“一輪活動(dòng)中,“明亮隊(duì)”至少答對(duì)的1道題”,
則,由于每輪答題中小明和小亮答對(duì)與否不影響,
所以A與B相互獨(dú)立,從而與相互獨(dú)立,
所以,
所以
（2）設(shè)“兩輪活動(dòng)中小明答對(duì)了1道題”,“兩輪活動(dòng)中小亮答對(duì)了1道題”,,1,2.
由題意得,,
,
設(shè)“明亮隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題”,
則.由于和相互獨(dú)立,則與互斥,
所以.
所以,“明亮隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答對(duì)3道題的概率為.
17．答案：（1）證明見解析;
（2）.
解析：（1）若O,E分別為,中點(diǎn),連接,,,
由,,則為直角梯形,且為中位線,
所以,且,
由,則,又,可得,
面面,面,面面,
則面,面,故,則,
由面,則,又,均在面內(nèi),
所以面,面,可得,
所以,故,即,
由,則,而均在面內(nèi),
所以平面.
（2）由（1）可構(gòu)建如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
所以,,,,,
令且,則,
則,,,
若是面的一個(gè)法向量,則,
令,則,
由題意,
整理得,故,則,
若是面的一個(gè)法向量,則,
令,則,
所以平面與平面夾角的余弦值.
18．答案：（1）;
（2）①證明見解析;
②.
解析：（1）由題意,且,則,
所以橢圓;
（2）①在中,
又P,Q兩點(diǎn)不同于A,的中點(diǎn)為M,
當(dāng)時(shí),
此時(shí),
所以為直角,得證;
②設(shè),,聯(lián)立,
整理得,
則,
所以,則,,
由,
綜上,將韋達(dá)公式代入上式整理得,可得或,
而時(shí),直線過A點(diǎn),不合題設(shè),
當(dāng)時(shí),滿足條件,
所以.
19．答案：（1）,;
（2）,;
（3）16.
解析：（1）集合表示平面上所有的點(diǎn),
表示這八個(gè)頂點(diǎn)形成的正方體內(nèi)所有的點(diǎn),
而可以看成正方體在平面上的截面內(nèi)所有的點(diǎn),發(fā)現(xiàn)它是邊長(zhǎng)為2的正方形,
因此.
對(duì)于,
當(dāng)時(shí),表示經(jīng)過,,的平面在第一象限的部分.
由對(duì)稱性,知Q表示,,,這六個(gè)頂點(diǎn)形成的正八面體內(nèi)所有的點(diǎn).
而可以看成正八面體在平面上的截面內(nèi)所有的點(diǎn),它是邊長(zhǎng)為的正方形,
因此.
（2）記集合,中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積分別為,;
考慮集合Q的子集;
即為三個(gè)坐標(biāo)平面與圍成的四面體.
四面體四個(gè)頂點(diǎn)分別為,,,,
此四面體的體積為,
由對(duì)稱性知,,
考慮到P的子集構(gòu)成的幾何體為棱長(zhǎng)為1的正方體,
即,
,
顯然為兩個(gè)幾何體公共部分,
記,,,.
容易驗(yàn)證,,在平面上,同時(shí)也在的底面上.
則為截去三棱錐所剩下的部分.
的體積,三棱錐的體積為.
故的體積.
當(dāng)由對(duì)稱性知,.
（3）如圖所示,即為T所構(gòu)成的圖形,其中正方體即為集合P所構(gòu)成的區(qū)域.
構(gòu)成了一個(gè)正四棱錐,其中E到面的距離為2,,
所以.

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