1．（3分）若方程□﹣2x+4＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則“□”可以是（ ）
A．﹣5xB．22C．3x2D．2y2
2．（3分）“數(shù)學(xué)”的英文縮寫為“math”，下列四個字母中，屬于中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列拋物線中，開口方向與其他三個不同的是（ ）
A．y＝x2﹣5xB．y＝2x2+2x+5
C．y＝﹣2x2+5D．y＝x2
4．（3分）如果二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的最小值為0，那么c的值等于（ ）
A．2B．4C．﹣2D．8
5．（3分）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為（1，1），第1次將點P繞原點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點P1，第2次將點P1繞原點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點P2，第3次將點P2繞原點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點P3，…，按照這樣的規(guī)律，第2024次旋轉(zhuǎn)后得到的點P2024的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，1）
6．（3分）對于實數(shù)a、b定義新運(yùn)算：a*b＝ab+b2，例如2*（﹣3）＝2×（﹣3）+（﹣3）2＝3．若關(guān)于x的方程2*x＝m沒有實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．m＞﹣1B．m＞0C．m＜﹣1D．m＜0
7．（3分）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OD⊥AB于點C，AE為直徑，AB＝8，CD＝2，則線段CE的長為（ ）
A．B．8C．D．
8．（3分）已知二次函數(shù)y＝（m﹣2）x2+2mx+m+8（m為常數(shù)，且m≠2），當(dāng)x＝2時，y＞18，則下列圖象可能正確的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）
9．（3分）點A（﹣1，4）與點B關(guān)于原點對稱，則B的坐標(biāo)為 ．
10．（3分）已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓，且∠A＝4∠C，則∠C的度數(shù)為 °．
11．（3分）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，其中“勾股”章有一題，大意是說：已知矩形門的高比寬多6尺，門的對角線長10尺，那么門的高和寬各是多少？如果設(shè)門的寬為x尺，根據(jù)題意，那么可列方程 ．
12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝（x﹣2024）（x﹣2026）+6向下平移6個單位長度，所得的新拋物線與x軸有兩個公共點P、Q，則點P與點Q之間的距離為 ．
13．（3分）如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上一點，連接DE，將線段DE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，連接DF、BF，若∠ADF＝α，則∠EFB的度數(shù)為 ．（用含α的代數(shù)式表示）
三、解答題（共13小題，計81分.解答應(yīng)寫出過程）
14．（5分）解方程：6（x﹣5）＝2x（x﹣5）．
15．（5分）如圖，△DEC與△ABC關(guān)于點C成中心對稱，AB＝3，AC＝1，∠A＝90°，求BE的長．
16．（5分）如圖，點A、B、C為⊙O上的三個點，連接OA、OB、OC、AB，延長AB、OC交于點D，BD＝OA，若∠D＝25°，求∠AOB的度數(shù)．
17．（5分）如圖，已知點P為⊙O上一點，AB為⊙O的弦，請你用尺規(guī)作圖法在優(yōu)弧上求作一點C，連接AC、BC，使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形．（保留作圖痕跡，不寫作法）
18．（5分）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝140°，將菱形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)100°后得到菱形AB'C'D'（點B、C、D的對應(yīng)點分別為點B'、C'、D'），連接DB'，求證：△ADB'是等邊三角形．
19．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點均在小正方形的格點上，其頂點坐標(biāo)依次為A（2，4）、B（1，1）、C（4，4）．
（1）在圖中畫出將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A1BC1（點A、C分別與點A1、C1對應(yīng)）；
（2）在圖中畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A2B2C2（點A、B、C分別與點A2、B2、C2對應(yīng)）．
20．（5分）閱讀下面的例題，并完成解答．
【例題】解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：①當(dāng)x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（不合題意，舍去）；
②當(dāng)x＜0時，原方程化為x2+x﹣2＝0，解得x3＝1（不合題意，舍去），x4＝﹣2．
綜上，原方程的根是x＝2或x＝﹣2．
請參照例題解方程：x2﹣|x﹣3|﹣3＝0．
21．（6分）如圖，拋物線y＝﹣x2+4x+5與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，連接BC、BD、CD，求△BCD的面積．
22．（7分）如圖，將矩形ABCD的邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到線段BE，連接CE，設(shè)BC的長為x，△BCE的面積為y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)△BCE的面積為時，求矩形的邊BC的長．
23．（7分）列方程（組）解應(yīng)用題
某駐村工作隊，為帶動群眾增收致富，鞏固脫貧攻堅成效，決定在該村山腳下，圍一塊面積為600m2的矩形試驗茶園，便于成功后大面積推廣．如圖所示，茶園一面靠墻，墻長35m，另外三面用69m長的籬笆圍成，其中一邊開有一扇1m寬的門（不包括籬笆）．求這個茶園的長和寬．
24．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，D為AB上一點，C為⊙O上一點，且AD＝AC，延長CD交⊙O于E，連CB．
（1）求證：∠CAB＝2∠BCD；
（2）若∠BCE＝15°，AB＝6，求CE的長．
25．（8分）某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標(biāo)系．
（1）求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？
（3）經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴(kuò)大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度．
26．（10分）【問題引入】
（1）如圖1，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE（點B、C的對應(yīng)點分別為點D、E），連接BD，若AB＝3，求BD的長；
【衍生拓展】
（2）如圖2，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE（點B、C的對應(yīng)點分別為點D、E），連接CD，當(dāng)時，求AC的長；
【深入探究】
（3）如圖3，在邊長為8的等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC所在直線上一動點，連接DE，將線段DE繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DF，連接AF、EF．在E點運(yùn)動過程中，求線段AF的最小值．
2024-2025學(xué)年陜西省咸陽市楊凌區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分.每小題只有一個選項是符合題意的）
1．【考點】一元二次方程的定義．
【答案】C
【解答】解：根據(jù)一元二次方程的定義，方程□﹣2x+4＝0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴方程中必須有x的二次項，且系數(shù)不為0，
∴□可以填3x2，
所以只有C選項符合題意，
故選：C．
2．【考點】中心對稱圖形．
【答案】D
【解答】解：A．該圖不是中心對稱圖形，故不符合題意；
B．該圖不是中心對稱圖形，故不符合題意；
C．該圖不是中心對稱圖形，故不符合題意；
D．該圖是中心對稱圖形，故符合題意；
故選：D．
3．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】C
【解答】解：y＝x2﹣5x中，a＝1＞0，開口向上；
y＝2x2+2x+5中，a＝2＞0，開口向上；
y＝﹣2x2+5中，a＝﹣2＜0，開口向下；
y＝x2中，a＝1＞0，開口向上；
y＝﹣2x2+5的開口方向與其他三個不同．
故選：C．
4．【考點】二次函數(shù)的最值．
【答案】B
【解答】解：函數(shù)解析式可轉(zhuǎn)化為y＝（x﹣2）2﹣4+c，
根據(jù)該圖象開口向上，可知函數(shù)的最小值是﹣4+c，
又由已知條件可知函數(shù)的最小值是0，可得：
﹣4+c＝0，
解得c＝4．
故選：B．
5．【考點】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；規(guī)律型：點的坐標(biāo)．
【答案】D
【解答】解：點P經(jīng)過四次旋轉(zhuǎn)回到起點（1，1）的位置，
∵2024÷4＝506，
∴點P2024的坐標(biāo)為（1，1），
故選：D．
6．【考點】實數(shù)的運(yùn)算；根的判別式．
【答案】C
【解答】解：由條件可得：關(guān)于x的方程為x2+2x＝m，變形為x2+2x﹣m＝0，
∵方程沒有實數(shù)根，
∴Δ＝22+4m＜0，
解得m＜﹣1．
故選：C．
7．【考點】垂徑定理；勾股定理．
【答案】D
【解答】解：連接BE，如圖，
∵OD⊥弦AB，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
設(shè)⊙O的半徑OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝2r＝10；
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直徑，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位線，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．
故選：D．
8．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象．
【答案】A
【解答】解：當(dāng)x＝2時，y＝9m＞18，
∴m﹣2＞0，m+8＞0，
∴拋物線開口向上，與y軸相交于正半軸上，
又∵對稱軸，
∴圖象可能正確的是A，
故選：A．
二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）
9．【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)．
【答案】（1，﹣4）．
【解答】解：點A（﹣1，4）與點B關(guān)于原點對稱，則B的坐標(biāo)為（1，﹣4）．
故答案為：（1，﹣4）．
10．【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．
【答案】36．
【解答】解：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可知：∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝4∠C，
∴4∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
故答案為：36．
11．【考點】勾股定理的應(yīng)用．
【答案】x2+（x+6）2＝102．
【解答】解：設(shè)門的寬為x尺，那么這個門的高為（x+6）尺，根據(jù)題意得方程：
x2+（x+6）2＝102．
故答案為：x2+（x+6）2＝102．
12．【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與幾何變換．
【答案】2．
【解答】解：將二次函數(shù)y＝（x﹣2024）（x﹣2026）+6的圖象向下平移6個單位長度，所得拋物線的解析式為：
y＝（x﹣2024）（x﹣2026），
令y＝（x﹣2024）（x﹣2026）＝0，則（x﹣2024）（x﹣2026）＝0，
∴x﹣2024＝0或x﹣2026＝0，
解得：x＝2024或2026，
∴PQ＝2026﹣2024＝2，
故答案為：2．
13．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；列代數(shù)式．
【答案】α．
【解答】解：過點F作FG⊥CB，交CB的延長線于點G，
由旋轉(zhuǎn)得DE＝EF，∠DEF＝90°，
∴∠EDF＝45°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∴∠C＝∠EGF＝90°．
∵∠CDE+∠DEC＝90°，∠DEC+∠FEG＝90°，
∴∠CDE＝∠FEG．
在△CDE和△EFG中
，
∴△CDE≌△EFG（AAS），
∴FG＝CE，EG＝CD，
∴EG＝BC，
即BG+BE＝BE+CE，
∴BG＝CE＝FG，
∴∠GBF＝∠BFG＝45°．
∵∠ADF＝α，∠EDF＝45°，
∴∠CDE＝90°﹣∠ADF﹣∠EDF＝90°﹣α﹣45°＝45°﹣α．
∵∠FEG＝45°﹣∠EFB，
∴45°﹣α＝45°﹣∠EFB，
∴∠EFB＝α．
三、解答題（共13小題，計81分.解答應(yīng)寫出過程）
14．【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】x1＝5，x2＝3．
【解答】解：原方程可化為6（x﹣5）﹣2x（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（6﹣2x）＝0，
∴x﹣5＝0或6﹣2x＝0，
解得x1＝5，x2＝3．
15．【考點】中心對稱；勾股定理．
【答案】．
【解答】解：△DEC與△ABC關(guān)于點C成中心對稱，
∴△ABC≌△DEC，∠BCE＝180°，
∴BC＝CE，B、C、E三點共線，
∵AB＝3，AC＝1，∠A＝90°，
∴，
∴BE＝2CE＝2×＝2，
所以BE的長為．
16．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
【答案】80°．
【解答】解：∵BD＝OA，OA＝OB，
∴OB＝OD，∠A＝∠OBA，
∴根據(jù)等邊對等角得，∠BOD＝∠D＝25°，
∴∠OBA＝∠BOD+∠D＝25°+25°＝50°，
∴∠A＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠OBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
答：∠AOB的度數(shù)為80°．
17．【考點】作圖—復(fù)雜作圖．
【答案】作圖見解析．
【解答】解：作線段AB的垂直平分線MN交優(yōu)弧于點C，如圖，點C即為所求．
18．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的判定；菱形的性質(zhì)．
【答案】見解析．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，AB＝AD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝140°，
∴∠BAD＝40°，
由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知AB＝AB′，∠BAB′＝100°，
∴AD＝AB′，∠DAB′＝∠BAB′﹣∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴△ADB′是等邊三角形．
19．【考點】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換；中心對稱．
【答案】（1）作圖見解析過程；
（2）作圖見解析過程．
【解答】解：（1）△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A1BC1，如圖1所示；
（2）如圖2，△A2B2C2即為所求；
20．【考點】解一元二次方程﹣因式分解法；絕對值．
【答案】x＝﹣3或x＝2．
【解答】解：①當(dāng)x≥3時，
原方程可化為x2﹣（x﹣3）﹣3＝0，
解得x1＝0（不符合題意，舍去），x2＝1（不符合題意，舍去）；
②當(dāng)x＜3時，原方程可化為x2+x﹣3﹣3＝0，
解得x3＝﹣3，x4＝2．
綜上所述，原方程的根是x＝﹣3或x＝2．
21．【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．
【答案】15．
【解答】解：過點B作BE⊥y軸于點E，
令y＝0，則﹣x2+4x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴OB＝5，
當(dāng)x＝0時，y＝5，
∴OC＝5，
又∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴DE＝2，OE＝9，
∴CE＝9﹣5＝4，
∴S△BCD＝﹣﹣
＝（2+5）×9﹣2×4﹣5×5
＝15．
22．【考點】函數(shù)關(guān)系式．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）過點E作EF⊥BC于點F，
由旋轉(zhuǎn)得BC＝BE＝x，∠EBC＝60°，
∴△BEC為等邊三角形，
∴EB＝EC，
∵EF⊥BC，
∴，
∴，
∴
∴；
（2）當(dāng)時，，
（負(fù)值已舍），
∴矩形的邊BC的長為．
23．【考點】一元二次方程的應(yīng)用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：設(shè)茶園垂直于墻的一邊長為xm，則另一邊的長度為（69+1﹣2x）m，根據(jù)題意，得
x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得
x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
當(dāng)x＝15時，70﹣2x＝40＞35，不符合題意舍去；
當(dāng)x＝20時，70﹣2x＝30，符合題意．
答：這個茶園的長和寬分別為30m、20m．
24．【考點】圓周角定理；勾股定理．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠A+90°﹣∠BCD+90°﹣∠BCD＝180°，
∴∠A＝2∠BCD；
（2）解：連接OC、OE，如圖，
由（1）得∠A＝2∠BCE＝2×15°＝30°，
∵∠BOE＝2∠BCE＝2×15°＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A＝60°，
∵∠COE＝∠COB+∠BOE＝60°+30°＝90°，
而，
∴．
25．【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）設(shè)水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），
將（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，得：25a+5＝0，
解得：a＝﹣，
∴水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．
（2）當(dāng)y＝1.8時，有﹣（x﹣3）2+5＝1.8，
解得：x1＝﹣1，x2＝7，
∴為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內(nèi)．
（3）當(dāng)x＝0時，y＝﹣（x﹣3）2+5＝．
設(shè)改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+bx+，
∵該函數(shù)圖象過點（16，0），
∴0＝﹣×162+16b+，解得：b＝3，
∴改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+3x+＝﹣（x﹣）2+．
∴擴(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度為米．
26．【考點】幾何變換綜合題．
【答案】（1）BD＝3；
（2）；
（3）AF的最小值為．
【解答】解：（1）∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD＝AB＝3；
（2）連接BD，延長DC交AB于F，
由（1）知，△ABD是等邊三角形，
∴AD＝BD＝AB＝6，
∴點D在AB的垂直平分線上，
∵AC＝BC，
∴點C在AB的垂直平分線上，
∴DC垂直平分AB，
∴∠AFD＝90°，，
∴，
∴，
∴；
（3）連接BD并延長，在BD的延長線上取點M，使得DM＝DC＝4，連接MF，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠EDC+∠CDF＝∠CDF+∠FDM＝90°，
∴∠EDC＝∠FDM，
在△EDC和△FDM中，
，
∴△EDC≌△FDM（SAS），
∴∠DMF＝∠C＝60°，
則點F在與DM夾角為60°的直線上運(yùn)動，
過點A作MF的垂線，垂足為F′，當(dāng)點F在點F′時，AF取得最小值．延長F′M與AC的延長線交于點N，
∵∠MDN＝90°，∠DMF＝60°，
∴∠MND＝30°，
在Rt△MDN中，MN＝2DM＝8，，
∴，
在Rt△ANF′中，
∴，即AF的最小值為．

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2024-2025學(xué)年福建省福州一中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含詳解+考點）：

這是一份2024-2025學(xué)年福建省福州一中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含詳解+考點），共18頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學(xué)年浙江省溫州二中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含詳解）：

這是一份2024-2025學(xué)年浙江省溫州二中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含詳解），共16頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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