1．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點（7，﹣2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，﹣7）B．（﹣7，2）C．（﹣7，﹣2）D．（7，﹣2）
2．（3分）下列數(shù)學(xué)經(jīng)典圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）解方程4x2＝16的結(jié)果為（ ）
A．x1＝x2＝4B．x1＝x2＝﹣4
C．x1＝2，x＝﹣2D．該方程無實數(shù)根
4．（3分）拋物線y＝x2﹣4x的對稱軸是（ ）
A．直線x＝2B．直線x＝﹣4C．直線x＝﹣2D．直線x＝4
5．（3分）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點（1，1），點（4，1）和點（2，0），則（ ）
A．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0B．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0
C．a(chǎn)＜0，b＜0，c＝0D．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0
6．（3分）如圖，過平行四邊形ABCD的對角線AC的中點O的一條直線，交邊AD，BC于點E，F(xiàn)（E，F(xiàn)不與四邊形ABCD的頂點重合），下列敘述不正確的是（ ）
A．OE與OF一定相等
B．EF與AC一定相等
C．四邊形ABFO與四邊形CDEO一定全等
D．平行四邊形ABCD被直線EF分成了兩個全等的梯形
7．（3分）下列兩個兩位數(shù)相乘的運算中，請你利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷“積”最大的是（ ）
A．72×78B．74×76C．75×75D．77×73
8．（3分）已知函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大
B．當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而增大
C．當(dāng)﹣2＜x＜2時，y隨x的增大而減小
D．當(dāng)x＞﹣1時，y隨x的增大而減小
9．（3分）某種商品的價格是200元，準(zhǔn)備進行兩次降價，若每次降價的百分率都是x，兩次降價后的價格y（元）隨每次降價的百分率的變化而變化，則y與x之間的關(guān)系式為（ ）
A．y＝（1﹣x）2B．y＝200（1﹣x）2
C．y＝﹣200x+200D．y＝200（1+x）2
10．（3分）拋物線y＝（x﹣2）2可以看作是將拋物線y＝x2（ ）
A．向左平移2個單位得到的
B．向右平移2個單位得到的
C．向上平移2個單位得到的
D．向下平移2個單位得到的
11．（3分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），得到△ADE，這時點B，C，D恰好在同一直線上，下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．AB＝EDB．EA⊥BC
C．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+
12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm動點P從點A開始以1cm/s的速度沿AB邊向點B運動；動點Q從點B開始以2cm/s的速度沿BC邊向點C運動．如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t秒．
①當(dāng)t＝3時，△BPQ的面積為21cm2；
②t有兩個不同的值，都使△BPQ的面積為16cm2；
③△BPQ面積的最大值為50cm2．
其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
13．（3分）拋物線y＝x2﹣x﹣2與y軸的交點的坐標(biāo)為 ．
14．（3分）把圖中的等邊三角形繞著它的兩條中線的交點O旋轉(zhuǎn)，要使旋轉(zhuǎn)后的三角形能與自身重合，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)至少為 ．
15．（3分）一個矩形的面積為50cm2，且長是寬的2倍，則這個矩形的周長為 cm．
16．（3分）若拋物線y＝x2+3x+a與x軸只有一個交點，求實數(shù)a的值是 ．
17．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點P在BC邊上，連接PA，將PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PA′，連接CA′，若AD＝9，AB＝5，CA′＝2，則BP＝ ．
18．（3分）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A與點O分別為格線上一點．
（Ⅰ）當(dāng)O為所在小正方形一邊的中點，A為三等分點（距下方格點近）時，AO的長度為 ；
（Ⅱ）在如圖所示的網(wǎng)格中，請用無刻度的直尺，先將點A向上平移2個單位長度得到點B，再以點O為中心，畫出線段AB關(guān)于點O的中心對稱圖形A'B'（A的對應(yīng)點為A'，B的對應(yīng)點為B'），并簡要說明點A'和點B'的位置是如何找到的（不要求證明） ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）
19．（8分）（Ⅰ）解方程（x﹣7）2＝4；
（Ⅱ）解方程x2+5x+7＝3x+11．
20．（8分）小強用配方法求解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的過程如下：
解：二次項系數(shù)化1，得x2+＝0……第一步
移項，得x2+……第二步
配方，得x2+???第三步
即……第四步
直接開平方，得x+……第五步
即x1＝，x2＝……第六步
請問：小強的求解過程有錯誤嗎？如果有錯，請你指出在第 步開始出錯了，并加以改正．
21．（10分）如圖，△ABD和△ACE都是等邊三角形，∠BAC＝100°，連接BE，DC．
（Ⅰ）求證：△ADC≌△ABE；
（Ⅱ）△ADC可以看作是△ABE經(jīng)過 得到的（填：平移，軸對稱或旋轉(zhuǎn)）；說明得到△ADC的具體過程；
（Ⅲ）若AB＝6，BC＝8，∠ABC＝30°，則BE的長為 ．
22．（10分）如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤a，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了20米木欄．
（Ⅰ）若a＝5米，所圍成的矩形菜園的面積為32平方米，求利用舊墻AD的長；
（Ⅱ）若a＝12米，求矩形菜園ABCD面積的最大值．
23．（10分）某種樹木的主干長出若干支干，假設(shè)每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，若此時主干、支干和小分支的總數(shù)是111．求每個支干長出多少小分支？設(shè)主干長出了x個支干．
請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空（用含x的代數(shù)式表示）：
①在小分支沒有長出之前，主干和支干的總數(shù)是 ；
②在每個支干又長出了數(shù)目相同的小分支后，小分支的個數(shù)為 ；
③在每個支干又長出了數(shù)目相同的小分支后，主干、支干和小分支的總數(shù)可以表示為 ；
（Ⅲ）請繼續(xù)完成本題的解答．
24．（10分）在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉(zhuǎn)，AF，AG與邊BC的交點分別為D，E（點D不與點B重合，點E不與點C重合）．
（Ⅰ）直接寫出∠BAD+∠CAE的度數(shù) ；
（Ⅱ）在旋轉(zhuǎn)過程中，試證明BD2+CE2＝DE2始終成立．
（提示：由于BD2+CE2＝DE2符合勾股定理的形式，若通過將△ABD或△AEC進行旋轉(zhuǎn)或軸對稱變化，變換邊、角的位置，最終使BD，CE，DE轉(zhuǎn)化為一個直角三角形的三邊就可以使得問題解決了．）
25．（10分）拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）與x軸交于點（x，0）和（x2，0），與y軸交于點A，點E為拋物線頂點．
（Ⅰ）當(dāng)x1＝﹣1，x2＝3時，求點E和點A的坐標(biāo)；
（Ⅱ）①若頂點E在直線y＝x上時，用含有b的代數(shù)式表示c；
②在①的前提下，當(dāng)點A的位置最高時，求拋物線的解析式；
（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，當(dāng)P（1，0）時，是否存在PA+PE的最小值，若不存在，說明理由，若存在，求b的值．
2024-2025學(xué)年天津市河西區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．【解答】解：點（7，﹣2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（﹣7，2）．
故選：B．
2．【解答】解：A、圖形是中心對稱圖形，符合題意；
B、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意．
故選：A．
3．【解答】解：4x2＝16，
x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝2，x＝﹣2．
故選：C．
4．【解答】解：∵二次函數(shù)可化為y＝（x﹣2）2﹣4，
∴對稱軸是直線x＝2，
故選：A．
5．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點（1，1），點（4，1）和點（2，0），
∴對稱軸為直線x＝＝，
∴當(dāng)x＞時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜時，y隨x的增大而減小，
∴a＞0，c＞0，
∵﹣＝，
∴b＝﹣5a＜0，
故選：D．
6．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，OE＝OF，
∴DE＝BF，
∴OE與OF一定相等、四邊形ABFO與四邊形CDEO一定全等、平行四邊形ABCD被直線EF分成了兩個全等的梯形，故A、C、D敘述正確，不符合題意，
EF與AC不一定相等，故B選項敘述不正確，符合題意，
故選：B．
7．【解答】解：設(shè)兩個乘數(shù)的積為y，其中一個乘數(shù)的個位上的數(shù)為x，則另一個乘數(shù)個位上的數(shù)為（10﹣x），
根據(jù)題意得：y＝（70+x）[70+（10﹣x）]
＝﹣x2+10x+5600
＝﹣（x﹣5）2+5625，
∴當(dāng)x＝5時，y取得最大值，
∴75×75的積最大．
故選：C．
8．【解答】解：∵函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，
∴對稱軸為直線x＝1，開口向下，
∴當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減?。?br>故選：A．
9．【解答】解：根據(jù)題意得：y＝200（1﹣x）2．
故選：B．
10．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2的頂點坐標(biāo)為（2，0），y＝x2的頂點坐標(biāo)為（0，0），
∴將拋物線y＝x2向右平移2個單位，可得到拋物線y＝（x﹣2）2．
故選：B．
11．【解答】解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，
∴AB＝AD，∠BAD＝α，
∴∠B＝＝90°﹣，
故選：C．
12．【解答】解：由題意得：AP＝t cm，BQ＝2t cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，
∴S△PBQ＝BP?BQ＝×（10﹣t）?2t＝（﹣t2+10t）（cm2），
∵S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣5）2+25，
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)t＝5時，△PBQ的面積有最大值為25，故③錯誤；
當(dāng)t＝3時，△PBQ的面積為：﹣（3﹣5）2+25＝21，故①正確；
令S△PBQ＝16，則﹣t2+10t＝16，即t2﹣10t+16＝0，
解得t＝2或8，
∵t＝8時，BQ＜BC，故t＝8符合題意，故②正確；
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
13．【解答】解：當(dāng)x＝0時，y＝02﹣1×0﹣2＝﹣2，
∴拋物線y＝x2﹣x﹣2與y軸的交點的坐標(biāo)為（0，﹣2）．
故答案為：（0，﹣2）．
14．【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴該圖形繞中心至少旋轉(zhuǎn)120度后能和原來的圖案互相重合．
故答案為：120°．
15．【解答】解：設(shè)寬為x cm，長為2x cm，
則2x×x＝50，
解得x＝5或x＝﹣5（舍去），
則寬為5cm，長為10cm，
則矩形的周長為2×（5+10）＝30（cm）．
故答案為：30．
16．【解答】解：∵拋物線y＝x2+3x+a與x軸只有一個交點，
∴Δ＝0，即9﹣4a＝0．
解得：a＝．
故答案為：．
17．【解答】解：過A′點作A′H⊥BC于H點，如圖，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC＝AD＝9，∠B＝90°，
∵將PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PA′，
∴PA＝PA′，
∵∠PAB+∠APB＝90°，∠APB+∠A′PH＝90°，
∴∠PAB＝∠A′PH，
在△ABP和△PHA′中，
，
∴△ABP≌△PHA′（AAS），
∴PB＝A′H，PH＝AB＝5，
設(shè)PB＝x，則A′H＝x，CH＝9﹣x﹣5＝4﹣x，
在Rt△A′CH中，x2+（4﹣x）2＝（2）2，
解得x1＝x2＝2，
即BP的長為2．
故答案為：2．
18．【解答】解：（1）AO＝＝．
故答案為：．
（2）如圖，線段A′B′即為所求．
方法：取格點M，N連接MN交網(wǎng)格線于點B，B′，連接AO，延長AO交網(wǎng)格線于點A′，線段A′B′即為所求．
故答案為：取格點M，N連接MN交網(wǎng)格線于點B，B′，連接AO，延長AO交網(wǎng)格線于點A′，線段A′B′即為所求．
三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）
19．【解答】解：（1）（x﹣7）2＝4，
∴x﹣7＝±2，
∴x1＝9，x2＝5；
（2）x2+5x+7＝3x+11，
x2+2x＝4，
x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，
∴x+1＝或x+1＝﹣，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
20．【解答】解：有錯誤，在第五步．
錯誤的原因是在開方時對b2﹣4ac的值是否是非負(fù)數(shù)沒有進行討論．
正確步驟為：，
①當(dāng)b2﹣4ac≥0時，
x+，
即x1＝，x2＝；
②當(dāng)b2﹣4ac＜0時，原方程實數(shù)根．
故答案為：五．
21．【解答】（Ⅰ）證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，\
在△ADC和△BAE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
（Ⅱ）解：將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC．
故答案為：旋轉(zhuǎn)；
（Ⅲ）解：∵△ABD是等邊三角形，
∴BD＝AB＝6，∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝∠ABD+∠ABC＝90°，
∴CD＝＝＝10，
∵△ADC≌△ABE，
∴CD＝BE＝10．
故答案為：10．
22．【解答】解：（1）設(shè)AB＝x米，則BC＝（20﹣2x）米，由題意得：
x（20﹣2x）＝32，
解得：x1＝2，x2＝8，
當(dāng)x＝2時，20﹣2x＝16＞5，不合題意舍去；
當(dāng)x＝8時，20﹣2x＝4＜5，
答：AD的長為8米；
（2）設(shè)BC＝x米，則
S＝x（20﹣x）
＝﹣（x﹣10）2+50，（0＜x≤12）
∴x＝10時，S的最大值是50．
答：當(dāng)x＝10時，矩形菜園ABCD面積的最大值為50平方米．
23．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)主干長出了x個支干，則每個支干長出x個小分支，
∴主干、支干和小分支的總數(shù)為1+x+x2，
當(dāng)x＝2時，1+x+x2＝1+2+22＝7；
當(dāng)x＝3時，1+x+x2＝1+3+32＝13；
當(dāng)x＝2時，1+x+x2＝1+4+42＝21；
故答案為：7，13，21；
（Ⅱ）設(shè)主干長出了x個支干，則每個支干長出x個小分支，
①在小分支沒有長出之前，主干和支干的總數(shù)是1+x，
故答案為：1+x；
②在每個支干又長出了數(shù)目相同的小分支后，小分支的個數(shù)為x2，
故答案為：x2；
③在每個支干又長出了數(shù)目相同的小分支后，主干、支干和小分支的總數(shù)可以表示為1+x+x2，
故答案為：1+x+x2；
（Ⅲ）依題意得：1+x+x2＝111，
整理得：x2+x﹣110＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣11（不符合題意，舍去），
答：每個支干長出10個小分支．
24．【解答】（Ⅰ）解：45°，
理由：∵△ABC和△AFG都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠AGF＝90°，
∴AG＝FG，
∴∠GAF＝∠F＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAC﹣∠GAF＝90°﹣45°＝45°，
故答案為：45°．
（Ⅱ）證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABH，連接DH，則BH＝CE，AH＝AE，∠ABH＝∠C＝45°，∠BAH＝∠CAE，
∴∠DBH＝∠ABC+∠ABH＝45°+45°＝90°，
∴BD2+CE2＝BD2+BH2＝DH2，
∵∠HAD＝∠BAD+∠BAH＝∠BAD+∠CAE＝45°，∠EAD＝∠GAF＝45°，
∴∠HAD＝∠EAD，
在△HAD和△EAD中，
，
∴△HAD≌△EAD（SAS），
∴DH＝DE，
∴BD2+CE2＝DE2．
25．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)x1＝﹣1，x2＝3時y＝0，
即y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣（x2﹣2x﹣3），
即b＝2，c＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3；
∴A（0，3），E（1，4）；
（Ⅱ）①由已知可得E（，），
∵E在直線y＝x上，
則＝，
∴c＝﹣b2+b，
②由①知，c＝＝﹣（b﹣1）2+，
則點A的坐標(biāo)為（0，﹣（b﹣1）2+），
∴當(dāng)b＝1時，點A是最高點，
則A（0，﹣b2+b），
∴y＝﹣x2+x+；
（Ⅲ）存在，理由：
∵拋物線經(jīng)過點M（﹣1，0），
∴﹣1﹣b+c＝0，
∴c＝b+1，
∵E（，），A（0，c），
∴E（，），A（0，b+1），
∴點E關(guān)于x軸的對稱點E'（，﹣），
設(shè)過點A，P的直線為y＝kx+t，將點A（0，b+1），P（1，0）代入，
∴y＝﹣（b+1）（x﹣1），
把E'代入，得﹣＝﹣（b+1）（﹣1），
∴b2﹣6b﹣8＝0，
解得b＝3±，
∵b＞0，
∴b＝3+．
x（主干長出支干的個數(shù)）
2
3
4
主干、支干和小分支的總數(shù)



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