1.若式子x+40有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( )
A. x≠?4B. x=?4C. x≠4D. x=4
2.下列圖形中，對稱軸最多的圖形是( )
A. B. C. D.
3.在下列運(yùn)算中，正確的是( )
A. x?x2?x3=x5B. x+x2=x3
C. x32=x5D. ?4xy32=16x2y6
4.一個等腰三角形有一個角為30°，則它的底角的度數(shù)是( )
A. 30°B. 75°C. 30°或75°D. 30°或65°
5.如圖，在?ABC中，∠B=90°，∠A=50°，點(diǎn)D、E分別在BC、AC的延長線上，且CD=CE，則∠CED的度數(shù)是( )
A. 40°B. 70°C. 75°D. 80°
6.已知x2+x?3=0，那么代數(shù)式xx?2+x+22+5值是( )
A. 14B. 15C. 16D. 17
7.如圖，點(diǎn)D為?ABC的邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線CD對稱的點(diǎn)E恰好在線段BC上，連接DE，若AB=10，AC=4，BC=9，則?BDE的周長是( )
A. 13B. 15C. 17D. 不能確定
8.在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形(a>b)，將余下部分拼成一個梯形，根據(jù)兩個圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個關(guān)于a,b的恒等式為( )
A. (a?b)2=a2?2ab+b2B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. a2?b2=(a+b)(a?b)D. a2+ab=a(a+b)
9.如圖，AD是?ABC的角平分線，且AB+BD=AC，∠BAC=∠B+40°，那么∠C的度數(shù)是( )
A. 26°B. 27°C. 28°D. 30°
10.已知實(shí)數(shù)a，b滿足12a?22+2=ba?b，則3a2+4b2+1012a?2024b+1的值是( )
A. 65B. 105C. 115D. 2025
二、填空題：本題共9小題，每小題3分，共27分。
11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,1)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
12.已知等腰三角形的兩邊長分別為5和8，則這個等腰三角形的周長為 ．
13.計(jì)算：22024×?122023= ．
14.如圖，BD是?ABC的角平分線，點(diǎn)D是邊AC一點(diǎn)，且滿足BE=ED，若∠A=40°，∠C=110°，則∠EDB= ．
15.定義新運(yùn)算：a?b=ab?b，則方程2x+1?x=8的解為 ．
16.如圖，∠AOB=60°，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA于點(diǎn)C，點(diǎn)D在邊OB上，
且OD=DP=8.則線段OC的長度為 ．
17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A1,?1，B2,2，?ABC為等腰直角三角形，且∠B=90°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
18.若x?y=7，y+z=?2，則x2?yz+xz?y的值為 ．
19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過原點(diǎn)和一三象限，點(diǎn)A為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B位于第一象限內(nèi)且在直線l上，OB=2，∠AOB=30°，過點(diǎn)B作直線a垂直于x軸，點(diǎn)C，D在直線a上(點(diǎn)D在點(diǎn)C上方)，且CD=1，若線段CD關(guān)于直線l對稱的線段EF與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)m的取值范圍是 ．
三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
20.(本小題8分)
計(jì)算：
(1)a?2a+1?2a5÷a3；
(2)3x+y3x?y+2x+y2．
21.(本小題8分)
分解因式：
(1)3ax2?6axy+3ay2；
(2)a2x?4+b24?x．
22.(本小題8分)
先化簡，再求值：xx+2x?2?xx+2y?x+3y2÷y，其中x=?3，y=2．
23.(本小題8分)
如圖，在?ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF.求證：AD是?ABC的角平分線．
24.(本小題8分)
小兵遇到一個作圖問題：如圖，在?ABC中，∠B=3∠C，如何用尺規(guī)作圖把?ABC分成三個等腰三角形．
下面是小兵設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．
作法：①以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作弧，交線段BC于另一點(diǎn)D；
②作線段CD的垂直平分線l，直線l交線段AC于點(diǎn)E；
③連接AD，DE，則?ABD，?ADE，?CDE即為所求的等腰三角形．
根據(jù)小兵設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，
(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明．
證明：由作圖可知AB=AD，①
∴∠B=∠________．
∵∠B=3∠C，
∴∠ADB=3∠C．
∵直線l為線段CD的垂直平分線，
∴CE=DE(__________)(填推理的依據(jù)).②
∴∠C=∠CDE．
∴∠AED=∠C+∠CDE=2∠C
∵∠ADB=∠C+∠CAD=3∠C，
∴∠CAD=∠ADB?∠C=2∠C．
∴∠AED=∠CAD．
∴AD=DE(__________)(填推理的依據(jù)).③
由①②③得：?ABD，?ADE，?CDE均為等腰三角形．
25.(本小題8分)
已知實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=6，ab=4，
(1)求代數(shù)式a2+b2值；
(2)求代數(shù)式a2ba?b+ab3的值．
26.(本小題8分)
如圖，在?ABC中，直線MN是邊AB的垂直平分線，點(diǎn)D是直線MN上一點(diǎn)，連接AD，CD，滿足∠ACB=2∠ADM，求證：CD為?ABC的外角∠ACP的角平分線．
27.(本小題8分)
對于一個正整數(shù)n，若存在正整數(shù)k，使得n能表示為k和k?2的平方差，那么稱這個正整數(shù)n為k系平方差數(shù)．例如：20=62?42，則20為6系平方差數(shù)．
(1)直接寫出10系平方差數(shù)；
(2)已知M=2k+32k?3?k4k?1+26為k系平方差數(shù)，求M的值；
(3)已知a，b為正整數(shù)，a>b，且a+2b2?3b2+3?6ab為k系平方差數(shù)．
①直接寫出a與b之間的數(shù)量關(guān)系；
②若a+b+11是m系平方差數(shù)，請判斷2024a?2022b是否為平方差數(shù)．若是請直接寫出是_______系平方差數(shù)(用含m的代數(shù)式來表示)若不是請寫出理由；
28.(本小題8分)
在?ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D點(diǎn)是邊AB上一點(diǎn)，E為邊AC上一點(diǎn)，連接CD，DE．
(1)如圖1，α=60°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，AB=8，DE⊥AC，直接寫出EC的長；
(2)如圖2，α=60°，AB=3BD，DE⊥AC，連接BE交CD于點(diǎn)F，延長FE至P，使得PF=CF，連接AP，
①依題意補(bǔ)全圖形；
②用等式表示線段AP，BP，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(3)如圖3，點(diǎn)E為定點(diǎn)，∠CBE=β，連接BE，點(diǎn)M為線段BE上的一個動點(diǎn)，且滿足BM=AD，當(dāng)AM+CD取得最小值時，直接寫出∠BDC的值(用α和β表示)．
參考答案
1.A
2.D
3.D
4.C
5.B
6.B
7.B
8.C
9.C
10.A
11.(2,?1)
12.18或21
13.?2
14.15°/15度
15.x1=2，x2=?2
16.12
17.5,1或?1,3
18.35
19.2≤m≤3或?2≤m≤?1
20.(1)解：a?2a+1?2a5÷a3
=a2?a?2?2a2
=?a2?a?2；
(2)解：3x+y3x?y+2x+y2
=9x2?y2+4x2+4xy+y2
=9x2?y2+4x2+4xy+y2
=13x2+4xy．

21.(1)解：原式=3ax2?2xy+y2
=3ax?y2；
(2)解：原式=x?4a2?b2
=x?4a+ba?b

22.解：原式=x(x2?4)?[x2+2xy?(x2+6xy+9y2)]÷y
=x3?4x?(x2+2xy?x2?6xy?9y2)÷y
=x3?4x?(?4xy?9y2)÷y
=x3?4x+4x+9y
=x3+9y，
當(dāng)x=?3，y=2時，原式=?33+9×2=?9．

23.證明：∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt?BDE和Rt?CDF中，
BD=CDBE=CF,
∴Rt?BDE≌Rt?CDFHL，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，
∴AD是?ABC的角平分線．

24.(1)解：如圖所示．
(2)證明：由作圖可知AB=AD，①
∴∠B=∠ADB．
∵∠B=3∠C，
∴∠ADB=3∠C．
∵直線l為線段CD的垂直平分線，
∴CE=DE(垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等)(填推理的依據(jù)).②
∴∠C=∠CDE．
∴∠AED=∠C+∠CDE=2∠C
∵∠ADB=∠C+∠CAD=3∠C，
∴∠CAD=∠ADB?∠C=2∠C．
∴∠AED=∠CAD．
∴AD=DE(等角對等邊)(填推理的依據(jù)).③
由①②③得：?ABD，?ADE，?CDE均為等腰三角形．
故答案為：ADB；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等；等角對等邊．

25.(1)解：∵a+b=6，ab=4，
∴a2+b2
=a+b2?2ab
=62?2×4
=28；
(2)解：∵a+b=6，ab=4，
由(1)得a2+b2=28，
∴a2ba?b+ab3
=abaa?b+b2
=aba2?ab+b2
=4×28?4
=96．

26.證明：連接BD交AC于O，過D作DL⊥AC于L，DK⊥PB于K，

∵直線MN是邊AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∵M(jìn)N⊥AB，
∴∠ADB=2∠ADM，
∵∠ACB=2∠ADM，
∴∠ACB=∠ADB，
∵∠AOD=∠BOC，且∠AOD+∠ADB+∠CAD=180°=∠DBC+∠BOC+∠ACB，
∴∠DAL=∠DBK，
∵∠ALD=∠BKD=90°，AD=BD，
∴?ADL≌?BDKAAS，
∴DL=DK，
∵DL⊥AC于L，DK⊥PB于K，
∴CD為?ABC的外角∠ACP的角平分線．

27.(1)解：102?82=36，
答：10系平方差數(shù)為36．
(2)解：依題意可知，
2k+32k?3?k4k?1+26=k2?k?22，
整理得?9+k+26=4k?4，
解得k=7，
∴M=72?52=24．
(3)解：①a+2b2?3b2+3?6ab=a2+4ab+4b2?3b2?9?6ab=a2?2ab+b2?9=a?b2?32，
∵a+2b2?3b2+3?6ab為k系平方差數(shù)，且a>b，
∴a?b=3+2=5．
②∵a+b+11是m系平方差數(shù)，
∴a+b+11=m2?m?22，
∴a+b+11=4m?4，
由①得a?b=5，
∴b+5+b+11=4m?4，
∴b=2m?10，
∴a=2m?5，
∴2024a?2022b=2024×2m?5?20222m?10=4m+10100，
假設(shè)2024a?2022b是n系平方差數(shù)，則4m+10100=n2?n?22，
∴4m+10100=4n?4，
∴n=m+2526，
∴2024a?2022b是m+2526系平方差數(shù)．

28.(1)解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴?ABC是等邊三角形，
∵D為AB中點(diǎn)，
∴AD=12AB=4，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°?∠A=90°?60°=30°，
∴AE=12AD=2，
∴EC=AC?AE=8?2=6；
(2)解：①補(bǔ)全圖形如圖所示．
②解：BP=AP+CF，證明如下：
連接PC，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴?ABC是等邊三角形，
∵AB=3BD，
∴AD=2BD，
∵DE⊥AC，∠DAE=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AD=2AE，
∴BD=AE，
在?BDC和?AEB中，
BD=AE∠DBC=∠EAB=60°BC=AB,
∴?BDC≌?AEBSAS，
∴∠BCD=∠ABE，
∵∠ABC=∠ABE+∠FBC，∠PFC=∠BCD+∠FBC，
∴∠PFC=∠ABC=60°，
∵PF=CF，
∴?PFC是等邊三角形，
∴∠FCP=60°，PC=FC．
∵∠ACB=∠BCF+∠FCA，∠FCP=∠FCA+∠ACP，∠ACB=∠FCP=60°，
∴∠BCF=∠ACP，
在?BCF和?ACP中，
BC=AC∠BCF=∠ACPFC=PC,
∴?BCF≌?ACPSAS，
∴BF=AP，
∴BP=BF+FP=AP+CF；
(3)解：過點(diǎn)A作AN//BE，使AN=AB，連接ND，
∵AN//BE，
∴∠DAN=∠ABE，
在?ABM和?NAD中，
AB=NA∠ABM=∠NADBM=AD,
∴?ABM≌?NADSAS，
∴AM=ND，
∴AM+CD=ND+CD，
∴當(dāng)N、D、C三點(diǎn)一線時，AM+CD取得最小值，如圖所示，
∵AN=AB，AB=AC，
∴AN=AC，
∴∠ANC=∠ACN，
∵∠NAD=∠ABE=∠ABC?∠CBE=12180°?α?β=90°?12α?β，
∴∠NAC=∠NAD+∠BAC=90°?12α?β+α=90°+12α?β，
∴∠ACN=12180°?∠NAC=12180°?90°+12α?β=45°?14α+12β，
∴∠BDC=∠BAC+∠ACN=α+45°?14α+12β=45°+34α+12β．

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