滬科版數(shù)學(xué)八上同步提升練習(xí)專題16.7 期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之軸對(duì)稱圖形與等腰三角形二十個(gè)必考點(diǎn)（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc24579" 【考點(diǎn)1 軸對(duì)稱中坐標(biāo)與圖形變化】 PAGEREF _Tc24579 \h 1
\l "_Tc3633" 【考點(diǎn)2 格點(diǎn)中的軸對(duì)稱】 PAGEREF _Tc3633 \h 2
\l "_Tc2790" 【考點(diǎn)3 設(shè)計(jì)軸對(duì)軸圖案】 PAGEREF _Tc2790 \h 3
\l "_Tc25789" 【考點(diǎn)4 鏡面對(duì)稱】 PAGEREF _Tc25789 \h 5
\l "_Tc30274" 【考點(diǎn)5 利用軸對(duì)稱求最值】 PAGEREF _Tc30274 \h 5
\l "_Tc30658" 【考點(diǎn)6 尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 PAGEREF _Tc30658 \h 6
\l "_Tc22407" 【考點(diǎn)7 利用三線合一求值】 PAGEREF _Tc22407 \h 7
\l "_Tc14366" 【考點(diǎn)8 利用三線合一證明】 PAGEREF _Tc14366 \h 8
\l "_Tc20631" 【考點(diǎn)9 利用等角對(duì)等邊證明邊長(zhǎng)相等】 PAGEREF _Tc20631 \h 9
\l "_Tc27294" 【考點(diǎn)10 利用等角對(duì)等邊證明】 PAGEREF _Tc27294 \h 10
\l "_Tc31648" 【考點(diǎn)11 作等腰三角形】 PAGEREF _Tc31648 \h 12
\l "_Tc20235" 【考點(diǎn)12 等邊三角形的判定與性質(zhì)】 PAGEREF _Tc20235 \h 13
\l "_Tc5734" 【考點(diǎn)13 含30度的直角三角形】 PAGEREF _Tc5734 \h 15
\l "_Tc15530" 【考點(diǎn)14 尺規(guī)作垂直平分線或垂線】 PAGEREF _Tc15530 \h 16
\l "_Tc20818" 【考點(diǎn)15 垂直平分線的判定與性質(zhì)】 PAGEREF _Tc20818 \h 17
\l "_Tc18352" 【考點(diǎn)16 等腰三角形中的新定義問(wèn)題】 PAGEREF _Tc18352 \h 19
\l "_Tc10112" 【考點(diǎn)17 尺規(guī)作圖作角平分線】 PAGEREF _Tc10112 \h 22
\l "_Tc24450" 【考點(diǎn)18 角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】 PAGEREF _Tc24450 \h 23
\l "_Tc4248" 【考點(diǎn)19 角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】 PAGEREF _Tc4248 \h 24
\l "_Tc5042" 【考點(diǎn)20 角平分線的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc5042 \h 26
【考點(diǎn)1 軸對(duì)稱中坐標(biāo)與圖形變化】
【例1】（2022·貴州省遵義市第一初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱，則__．
【變式1-1】（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第五中學(xué)七年級(jí)期中）將點(diǎn)A先向下平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位后得B（﹣2，5），則A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________．
【變式1-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)P（2a+b，-3a）與點(diǎn)P′（8，b+2）．
(1)若點(diǎn)p與點(diǎn)p′關(guān)于x軸對(duì)稱，求a、b的值．
(2)若點(diǎn)p與點(diǎn)p′關(guān)于y軸對(duì)稱，求a、b的值．
【變式1-3】（2022·吉林白山·八年級(jí)期末）在坐標(biāo)平面上有一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其中A（3，﹣）和B（3，﹣）是圖形上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，若此圖形上另有一點(diǎn)C（﹣2，﹣9），則C點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣）C．（﹣，﹣9）D．（﹣2，﹣1）
【考點(diǎn)2 格點(diǎn)中的軸對(duì)稱】
【例2】（2022·湖北·武漢市光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，是一個(gè)8×10正方形格紙，ABC中A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，1)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1，2)．
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中建立平面直角坐標(biāo)系，指出ABC和關(guān)于哪條直線對(duì)稱？（直接寫(xiě)答案）
(2)作出ABC關(guān)于x軸對(duì)稱圖形；請(qǐng)直接寫(xiě)出、、三點(diǎn)坐標(biāo)．
(3)在x軸上求作一點(diǎn)M，使的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式2-1】（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），過(guò)點(diǎn)（1，0）作x軸的垂線l．
(1)作出△ABC關(guān)于直線l的軸對(duì)稱圖形；
(2)直接寫(xiě)出（，），（，），（，）；
(3)在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P（m，n），則點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）（結(jié)果用含m，n的式子表示）．
【變式2-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，，，都在格點(diǎn)上．
(1)作關(guān)于直線對(duì)稱的圖形；
(2)若網(wǎng)格中最小正方形邊長(zhǎng)為1，求的面積；
(3)在直線上找一點(diǎn)，使得的值最大，并畫(huà)出點(diǎn)的位置．
【變式2-3】（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心八年級(jí)期中）如圖，已知三點(diǎn)A（-2，3），B（3，-3），C（-3，1），△ABC與△A1B1C1關(guān)于x軸對(duì)稱，其中A1，B1，C1分別是點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．
(1)畫(huà)出△A1B1C1，并寫(xiě)出三個(gè)頂點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)是上一點(diǎn)，其關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求，的值．
【考點(diǎn)3 設(shè)計(jì)軸對(duì)軸圖案】
【例3】（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示的“鉆石”型網(wǎng)格（由邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形組成），其中已經(jīng)涂黑了3個(gè)小三角形（陰影部分表示），請(qǐng)你再只涂黑一個(gè)小三角形，使它與陰影部分合起來(lái)所構(gòu)成的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，一共有（）種涂法．
A．1B．2C．3D．4
【變式3-1】（2022·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖為5×5的方格，其中有A、B、C三點(diǎn)，現(xiàn)有一點(diǎn)P在其它格點(diǎn)上，且A、B、C、P為軸對(duì)稱圖形，問(wèn)共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)P（）
A．5B．4C．3D．2
【變式3-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）在3×3的正方形網(wǎng)格中，有三個(gè)小方格涂上陰影，請(qǐng)?jiān)僭谟嘞碌?個(gè)空白的小方格中，選兩個(gè)小方格并涂成陰影，使得圖中的陰影部分組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，共有 ( )種不同的填涂方法．
A．3種B．4種C．5種D．6種
【變式3-3】（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）現(xiàn)有如圖1所示的兩種瓷磚，請(qǐng)你從兩種瓷磚中各選兩塊，拼成一個(gè)新的正方形，使拼成的圖案為軸對(duì)稱圖形，如圖2，要求：在圖3，圖4中各設(shè)計(jì)一種與示例拼法不同的軸對(duì)稱圖形．
【考點(diǎn)4 鏡面對(duì)稱】
【例4】（2022·江蘇·宜興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）小明在鏡中看到身后墻上的時(shí)鐘如下，你認(rèn)為實(shí)際時(shí)間最接近9：00（）
A．B．C．D．
【變式4-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面圓形大鏡子，從鏡子中看到汽車(chē)車(chē)牌的部分號(hào)碼如圖所示，則該車(chē)牌照的部分號(hào)碼為_(kāi)___．
【變式4-2】（2022·黑龍江·哈爾濱順邁學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）從鏡子中看到背后墻上電子鐘的示意數(shù)為10：05,這時(shí)的實(shí)際時(shí)間為_(kāi)_____.
【變式4-3】（2022·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)期中）小明從平面鏡子中看到鏡中電子鐘示數(shù)的像如圖所示，這時(shí)的時(shí)刻應(yīng)是________．
【考點(diǎn)5 利用軸對(duì)稱求最值】
【例5】（2022·湖南·李達(dá)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是的平分線，若P，Q分別是AD何AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PQ的最小值是（）
A．2.4B．4C．4.8D．5
【變式5-1】（2022·河南駐馬店·七年級(jí)期末）如圖，四邊形中，，，在、上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【變式5-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，AC＝5，動(dòng)點(diǎn)M在線段AC上運(yùn)動(dòng)(不與端點(diǎn)重合)，點(diǎn)M關(guān)于邊AD，DC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M1，M2，連接M1M2，點(diǎn)D在M1M2上，則在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段M1M2長(zhǎng)度的最小值是_______．
【變式5-3】（2022·福建龍巖·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是 _______．
【考點(diǎn)6 尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】
【例6】（2022·廣東·豐順縣潘田中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為，，兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)頂點(diǎn)，使為等腰三角形，則這樣的頂點(diǎn)有（）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【變式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點(diǎn)P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有___個(gè)．
【變式6-2】（2022·安徽·利辛縣汝集鎮(zhèn)西關(guān)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，的點(diǎn)在直線上，，若點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)成為等腰三角形時(shí)，則度數(shù)是_______．
【變式6-3】（2022·天津市武清區(qū)楊村第五中學(xué)八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（3，0），B（0，4），若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，且△PAB是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有_____個(gè)．
【考點(diǎn)7 利用三線合一求值】
【例7】（2022·河北保定·八年級(jí)期末）如圖，一位同學(xué)拿了兩塊同樣的含45°的三角尺，即等腰直角MNK，等腰直角ACB做了一個(gè)探究活動(dòng)：將MNK的直角頂點(diǎn)M放在ABC的斜邊AB的中點(diǎn)處，設(shè)AC＝BC＝a，猜想此時(shí)重疊部分四邊形CEMF的面積為（）
A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2D．a(chǎn)2
【變式7-1】（2022·廣東·深圳市布心中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E中同一條直線上，CM平分∠DCE，連接BE，以下結(jié)論：①AD=DC；②CM⊥AE；③AE-BE=2CM；④∠BCM=∠CBE，正確的有（）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【變式7-2】（2022·浙江·平陽(yáng)蘇步青學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，AC＝6，DE＝2，則△BCE的面積是( )
A．4B．6C．8D．12
【變式7-3】（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，若DE＝4，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)____.
【考點(diǎn)8 利用三線合一證明】
【例8】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級(jí)）已知：如圖△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點(diǎn)H，且AE=BE．求證：
(1)△AHE≌△BCE；
(2)AH=2BD．
【變式8-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，連接EF交AD于G，試判斷AD與EF垂直嗎？并說(shuō)明理由．
【變式8-2】（2022·北京·垂楊柳中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求證：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．
【變式8-3】（2022·山東青島·七年級(jí)期末）已知，在中，，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接．
(1)如圖①，若運(yùn)動(dòng)到上，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：；
(2)如圖②，若運(yùn)動(dòng)到上，過(guò)點(diǎn)作的垂線與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，試猜想的數(shù)量關(guān)系并證明．
【考點(diǎn)9 利用等角對(duì)等邊證明邊長(zhǎng)相等】
【例9】（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，分別交AB，AC于E，F(xiàn)，則△AEF的周長(zhǎng)是_____.
【變式9-1】（2022·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期中）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于點(diǎn)F，過(guò)F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的長(zhǎng)為_(kāi)_cm．
【變式9-2】（2022·浙江·樂(lè)清市知臨寄宿學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，AE＝AB，連接DE.
(1)求證：△ABD≌△AED；
(2)已知∠ABC＝2∠C且BD＝5，AB＝9，求AC長(zhǎng)．
【變式9-3】（2022·福建·廈門(mén)雙十中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，為的角平分線．
(1)如圖1，若于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，．則_______；
(2)如圖2，于點(diǎn)，連接，若的面積是6，求的面積；
(3)如圖3，若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．（用含的式子表示）
【考點(diǎn)10 利用等角對(duì)等邊證明】
【例10】（2022·天津·八年級(jí)期中）如圖：E在△ABC的AC邊的延長(zhǎng)線上，AB＝AC，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF＝EF，求證：BD＝CE．
【變式10-1】（2022·浙江·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，AD平分，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線，垂足為點(diǎn)D，，交AB于點(diǎn)E，．

(1)求證：是等腰三角形；
(2)求證：．
【變式10-2】（2022·陜西西安·七年級(jí)期末）已知，小新在學(xué)習(xí)了角平分線的知識(shí)后，做了一個(gè)夾角為120°（即）的角尺來(lái)作的角平分線．
問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
(1)如圖1，他先在邊OA和OB上分別取，再移動(dòng)角尺使，然后他就說(shuō)射線OP是的角平分線．請(qǐng)問(wèn)小新的觀點(diǎn)是否正確，為什么？
問(wèn)題探究
(2)如圖2，小新在確認(rèn)射線OP是的角平分線后，一時(shí)興起，將角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了一定的角度，若角尺旋轉(zhuǎn)后恰好使得，發(fā)現(xiàn)線段OD與OE有一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段OD與OE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【變式10-3】（2022·江西·吉安縣文博國(guó)際學(xué)校八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖①，中，，、的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作EFBC交、于、．
(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形？猜想：與、之間有怎樣的關(guān)系．
(2)如圖②，若，其他條件不變，在第（1）問(wèn)中與、間的關(guān)系還存在嗎？
(3)如圖③，若中的平分線與平分線交于，過(guò)點(diǎn)作OEBC，交于，交于．與、關(guān)系又如何？說(shuō)明你的理由．
【考點(diǎn)11 作等腰三角形】
【例11】（2022·山東青島·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知：點(diǎn)P和直線BC．
求作：等腰直角三角形MPQ，是，點(diǎn)M落在BC上．
【變式11-1】（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級(jí)期中）我們知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一個(gè)頂角等于36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”．在中，已知：，且，請(qǐng)用兩種不同的尺規(guī)作圖在上找點(diǎn)，使得是黃金三角形，并說(shuō)明其中一種做法的理由．
【變式11-2】（2022·福建龍巖·八年級(jí)期末）如圖，在中，，射線．
(1)在線段上取一點(diǎn)，使得，在射線上確定一點(diǎn)，使是以為底邊的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(2)在（1）的條件下，連接，求證：．
【變式11-3】（2022·山東省青島第六十三中學(xué)八年級(jí)期中）已知，線段，求作：等腰，使得頂角，上的高為．
【考點(diǎn)12 等邊三角形的判定與性質(zhì)】
【例12】（2022·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AB上的點(diǎn)，且BE＝CD，AD與CE相交于點(diǎn)F，連接BF，延長(zhǎng)FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面積為m，AF：EF＝5：3，則△AEG的面積是（）
A．B．C．D．
【變式12-1】（2022·河南·鄭州市第四初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝2b，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是（）
A．B．C．D．
【變式12-2】（2022·廣東·東華學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，已知△ABC和△CDE均是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點(diǎn)O，AE與CD交于點(diǎn)G，AC與BD交于點(diǎn)F，連接OC、FG，
(1)求證：BD=AE，并求出∠DOE的度數(shù)；
(2)判斷△CFG的形狀并說(shuō)明理由；
(3)求證：OA+OC=OB．
【變式12-3】（2022·廣東·汕頭市金平區(qū)金園實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）曉芳利用兩張正三角形紙片，進(jìn)行了如下探究：
初步發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：∠AFB＝60°；
深入探究：如圖2，在正三角形紙片△ABC的BC邊上取一點(diǎn)D，作∠ADE＝60°交∠ACB外角平分線于點(diǎn)E，探究CE，DC和AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；
拓展創(chuàng)新：如圖3，△ABC和△DCE均為正三角形，連接AE交BD于P，當(dāng)B，C，E三點(diǎn)共線時(shí)，連接PC，若BC＝3CE，直接寫(xiě)出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個(gè)進(jìn)行證明：
（1）；
（2）．
【考點(diǎn)13 含30度的直角三角形】
【例13】（2022·廣東·豐順縣球山中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，，在內(nèi)部，平分，，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)___．
【變式13-1】（2022·福建省永春崇賢中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，且點(diǎn)E落在AB上，DE的延長(zhǎng)線與AC相交于點(diǎn)F，連接DA，BF，若，．
(1)求證△ADF≌△BDF；
(2)若，求DF的長(zhǎng)．
【變式13-2】（2022·福建省長(zhǎng)樂(lè)第七中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知∠ABC＝60°，AB＝BC，D是BC邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使得AD＝DE，連接CE，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交CE的垂直平分線于點(diǎn)F，連接EF．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，證明：BF＝2DF；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與B，C兩點(diǎn)重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？并說(shuō)明理由．
【變式13-3】（2022·福建·莆田哲理中學(xué)八年級(jí)期末）如圖1，在△ABD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB和AD上的點(diǎn)，滿足AE=EF，連接EF并延長(zhǎng)交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．
(1)若DC=DF=EF，求證：AB=BC；
(2)如圖2，過(guò)B作BG⊥AD，垂足為G．
（i）求證：∠ABG=∠GBD+∠C；
（ii）如圖3，連接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面積為4，求△AFC的面積．
【考點(diǎn)14 尺規(guī)作垂直平分線或垂線】
【例14】（2022·陜西省西安愛(ài)知中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知，P為邊上一點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在邊上求作一點(diǎn)E，使．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
【變式14-1】（2022·重慶市第十一中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知和線段m，請(qǐng)用尺規(guī)完成如下作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．
(1)求作，使；
(2)作出（1）中的三條高．
【變式14-2】（2022·廣東廣州·八年級(jí)期中）如圖，在鈍角△ABC中．
(1)用尺規(guī)作圖法作AC的垂直平分線，與邊BC、AC分別交于點(diǎn)D、E（保留作圖痕跡，不用寫(xiě)作法）；
(2)在（1）的條件下，畫(huà)出△ABC的AC邊上的高BH（可用三角板畫(huà)圖），連接AD，直接寫(xiě)出∠ADE和∠HBC的大小關(guān)系．
【變式14-3】（2022·江蘇·八年級(jí)階段練習(xí)）小宇遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：
已知：如圖，，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上，且滿足．
求作：線段OB上的一點(diǎn)C，使的周長(zhǎng)等于線段的長(zhǎng)．
以下是小宇分析和求解的過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：首先畫(huà)草圖進(jìn)行分析，如圖1所示，若符合題意得點(diǎn)C已經(jīng)找到，即得周長(zhǎng)等于OB的長(zhǎng)，那么由，可以得到．
對(duì)于這個(gè)式子，可以考慮用截長(zhǎng)得辦法，在BC上取一點(diǎn)D，使得，那么就可以得到．
若連接AD，由．（填推理依據(jù)）．可知點(diǎn)C在線段AD得垂直平分線上，于是問(wèn)題得解法就找到了．
請(qǐng)根據(jù)小宇得分析，在圖2中完成作圖（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)做法，保留作圖痕跡）．
【考點(diǎn)15 垂直平分線的判定與性質(zhì)】
【例15】（2022·廣東·廣州市第九十七中學(xué)八年級(jí)期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延長(zhǎng)線于N．
（1）證明：BM=CN；
（2）當(dāng)∠BAC=70°時(shí)，求∠DCB的度數(shù)．
【變式15-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分線上，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，
求證：（1）AG＝CF；
（2）BC﹣AB＝2FC．
【變式15-2】（2022·山西臨汾·八年級(jí)階段練習(xí)）情景一：小明在數(shù)學(xué)興趣小組探究活動(dòng)課上發(fā)現(xiàn)：對(duì)于一個(gè)△ABC，分別作邊AB，AC的垂直平分線DM，EN相交于點(diǎn)O，如圖1所示，此時(shí)經(jīng)過(guò)測(cè)量后，得到∠MAN＝30°，根據(jù)上述條件，能不能得到∠BAC的度數(shù)呢？小明結(jié)合所學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行了以下論證．
證明：∵DM是邊AB的垂直平分線，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠B．
同理可得∠NAC＝∠C，
則
解得∠BAC＝105°．
情景二：小明繼續(xù)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)：若邊AB，AC的垂直平分線DM，EN相交于點(diǎn)O，如圖2所示，試判斷∠MAN與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系．
(1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______．
(2)在圖1的情況下，若∠MAN的度數(shù)為α，則∠BAC的大小為_(kāi)_____（用含α的代數(shù)式表示）．
(3)請(qǐng)寫(xiě)出情景二中∠MAN與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【變式15-3】（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，CA＝CB，過(guò)點(diǎn)A作射線AP∥BC，點(diǎn)M、N分別在邊BC、AC上（點(diǎn)M、N不與所在線段端點(diǎn)重合），且BM＝AN，連結(jié)BN并延長(zhǎng)交射線AP于點(diǎn)D，連結(jié)MA并延長(zhǎng)交AD的垂直平分線于點(diǎn)E，連結(jié)ED．
【猜想】如圖①，當(dāng)∠C＝30°時(shí)，可證△BCN≌△ACM，從而得出∠CBN＝∠CAM，進(jìn)而得出∠BDE的大小為_(kāi)_____度．
【探究】如圖②，若∠C＝β．
（1）求證：△BCN≌△ACM．
（2）∠BDE的大小為_(kāi)_____度（用含β的代數(shù)式表示）．
【應(yīng)用】如圖③，當(dāng)∠C＝120°時(shí)，AM平分∠BAC，若AM、BN交于點(diǎn)F，DE＝DF，DE＝1，則△DEF的面積為_(kāi)_____．
【考點(diǎn)16 等腰三角形中的新定義問(wèn)題】
【例16】（2022·山西臨汾·八年級(jí)階段練習(xí)）綜合實(shí)踐
在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過(guò)研討給出定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．如圖1，與都是等腰三角形，其中，則．
(1)【初步把握】如圖2，與都是等腰三角形，，，且，則有_______________．
(2)【深入研究】如圖3，已知，以為邊分別向外作等邊和等邊，并連接BE，，求證：．
(3)【拓展延伸】如圖4，在兩個(gè)等腰直角三角形和中，，，，連接，，交于點(diǎn)P，請(qǐng)判斷和的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【變式16-1】（2022·福建廈門(mén)·八年級(jí)期末）定義：一個(gè)三角形，若過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的線段將這個(gè)三角形分為兩個(gè)三角形，其中一個(gè)是直角三角形，另一個(gè)是等腰三角形，則稱這個(gè)三角形是等直三角形，這條線段叫做這個(gè)三角形的等直分割線段．
例如：
如圖，在中，
∵于D，且，
∴是直角三角形，是等腰三角形，
∴是等直三角形，
AD是的一條等直分割線段．
(1)如圖，已知中，，DE是AB的垂直平分線，請(qǐng)說(shuō)明AD是的一條等直分割線段．
(2)若是一個(gè)等直三角形，恰好有兩條等直分割線，和均小于45°，求證：是等腰三角形．
【變式16-2】（2022·浙江·八年級(jí)單元測(cè)試）新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．
(1)如圖1，和互為“兄弟三角形”，點(diǎn)A為重合的頂角頂點(diǎn)．求證：．
(2)如圖2，和互為“兄弟三角形”，點(diǎn)A為重合的頂角頂點(diǎn)，點(diǎn)D、E均在外，連接BD、CE交于點(diǎn)M，連接AM，求證：AM平分．
【變式16-3】（2022·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)期末）閱讀下列材料，解答問(wèn)題：
定義：線段BM把等腰△ABC分成△ABM與△BCM（如圖1），如果△ABM與△BCM均為等腰三角形，那么線段BM叫做△ABC的完美分割線．
(1)如圖1，已知△ABC中，，BM為△ABC的完美分割線，且，則 °， °；
(2)如圖2，已知△ABC中，，求證：AN為△ABC的完美分割線；
(3)如圖3，已知△ABC是一等腰三角形紙片，AB＝AC，AN是它的一條完美分割線，且，將△ACN沿直線AN折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，交BN于點(diǎn)M．求證：．
【考點(diǎn)17 尺規(guī)作圖作角平分線】
【例17】（2022·四川廣元·中考真題）觀察下列作圖痕跡，所作線段為的角平分線的是（）
A．B．
C．D．
【變式17-1】（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）利用作角平分線的方法，可以把一個(gè)已知角（）
A．三等分B．四等分C．五等分D．六等分
【變式17-2】（2022·四川天府新區(qū)教育科學(xué)研究院附屬中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，首先以頂點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，在邊BC、BA上截取BE、BD；然后分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線BF交AC于點(diǎn)G．若CG=4，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，則GP的最小值為（）
A．2B．4C．8D．無(wú)法確定
【變式17-3】（2022·廣西北?！ぐ四昙?jí)期中）如圖，在中，，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上．
(1)利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
①作的平分線BM；
②作邊BC上的中線AE，并延長(zhǎng)AE交BM于點(diǎn)F；
(2)在（1）的前提下，猜測(cè)BF與邊AC的位置關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．
【考點(diǎn)18 角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】
【例18】（2022·廣東汕頭·八年級(jí)期末）如圖，的三邊，，長(zhǎng)分別是，，，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則：：等于（）
A．：：B．：：
C．：：D．：：
【變式18-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AMD＝90°；②點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)；③AB+CD＝AD；④△ADM的面積是梯形ABCD面積的一半．其中正確的個(gè)數(shù)有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式18-2】（2022·重慶江北·八年級(jí)期末）如圖，已知和都是等腰三角形，，、交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②⊥；③平分；④．其中正確結(jié)論的是__________．
【變式18-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．
(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【考點(diǎn)19 角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】
【例19】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖1，在中，，，，是角平分線，與相交于點(diǎn)，，，垂足分別為，．
【思考說(shuō)理】
（1）求證：．
【反思提升】
（2）愛(ài)思考的小強(qiáng)嘗試將【問(wèn)題背景】中的條件“”去掉，其他條件不變，觀察發(fā)現(xiàn)（1）中結(jié)論（即）仍成立．你認(rèn)為小強(qiáng)的發(fā)現(xiàn)正確嗎？如果不正確請(qǐng)舉例說(shuō)明，如果正確請(qǐng)僅就圖2給出證明．
【變式19-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，AE，BD是的角平分線，且交于點(diǎn)P．
（1）求的度數(shù)．
（2）求證：點(diǎn)在的平分線上．
（3）求證：①；
②．
【變式19-2】（2022·四川成都·七年級(jí)期末）如圖，在和中，，，，．連接，交于點(diǎn)O．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)：
(3)小明同學(xué)對(duì)該題進(jìn)行了進(jìn)一步研究，他連接了，并提出了下面結(jié)論：平分．請(qǐng)給予證明．
【變式19-3】（2022·山東·北辛中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）（1）如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形．請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：
（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；并證明．
（3）如圖③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)問(wèn)，你在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)20 角平分線的實(shí)際應(yīng)用】
【例20】（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃在△ABC中內(nèi)部修建一個(gè)探照燈，要求探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，則探照燈位置是△ABC（）的交點(diǎn)．
A．三條角平分線B．三條中線
C．三條高的交點(diǎn)D．三條垂直平分線
【變式20-1】（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，要在河流的右側(cè)、公路的左側(cè)M區(qū)建一個(gè)工廠，位置的選擇要滿足到河流和公路的距離相等，小紅說(shuō)工廠應(yīng)該建在河流與公路夾角的平分線上，請(qǐng)你幫小紅說(shuō)出她的理由__________________________________________________．
【變式20-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，l3與兩條平行公路l1，l2三條公路相交，若要在l1上確定某個(gè)位置，使其到另兩條公路的距離相等，這樣的位置有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．無(wú)數(shù)個(gè)
【變式20-3】（2022·黑龍江黑河·八年級(jí)期末）如圖，直線，，表示三條公路．現(xiàn)要建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站P，使P到三條公路的距離都相等，則中轉(zhuǎn)站P可選擇的點(diǎn)有（）
A．一處B．二處C．三處D．四處

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