一．平方根（共1小題）
1．（2021秋?虎林市期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
【分析】先根據(jù)平方根、立方根的定義得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可求出a、b的值，進(jìn)而得到a+b的平方根．
【解答】解：由題意，有，
解得．
∴±＝＝±3．
故a+b的平方根為±3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根、立方根的定義．如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根．
二．算術(shù)平方根（共3小題）
2．（2019春?浦東新區(qū)期中）先計(jì)算下列各式：＝1，＝2，＝ 3 ，＝ 4 ，＝ 5 ．
（1）通過觀察并歸納，請寫出：＝ n ．
（2）計(jì)算：＝ 26 ．
【分析】（1）先計(jì)算出各二次根式的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果找出其中的規(guī)律，然后用含n的式子表示；
（2）＝，＝＝2，＝＝3，然后找出其中的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）＝1；
＝＝2
＝＝3，
＝＝4，
＝＝5，
…
觀察上述算式可知：＝n．
（2）＝，
＝＝2，
＝＝3，
…
＝＝26．
故答案為：3；4；5；（1）n；（2）26．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是探索數(shù)字的變化規(guī)律，找出其中蘊(yùn)含的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
3．（2000?河北）觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：
驗(yàn)證：＝；
驗(yàn)證：＝＝＝；
驗(yàn)證：＝；
驗(yàn)證：＝＝＝．
（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想4的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為任意自然數(shù)，且n≥2）表示的等式，并給出證明．
【分析】（1）通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：等式的變形過程利用了二次根式的性質(zhì)a＝（a≥0），把根號(hào)外的移到根號(hào)內(nèi)；再根據(jù)“同分母的分式相加，分母不變，分子相加”這一法則的倒用來進(jìn)行拆分，同時(shí)要注意因式分解進(jìn)行約分，最后結(jié)果中的被開方數(shù)是兩個(gè)數(shù)相加，兩個(gè)加數(shù)分別是左邊根號(hào)外的和根號(hào)內(nèi)的；
（2）根據(jù)上述變形過程的規(guī)律，即可推廣到一般．表示左邊的式子時(shí)，注意根號(hào)外的和根號(hào)內(nèi)的分子、分母之間的關(guān)系：根號(hào)外的和根號(hào)內(nèi)的分子相同，根號(hào)內(nèi)的分子是分母的平方減去1．
【解答】解：（1）．驗(yàn)證如下：
左邊＝＝＝＝＝右邊，
故猜想正確；
（2）．證明如下：
左邊＝＝＝＝＝右邊．
【點(diǎn)評(píng)】此題是一個(gè)找規(guī)律的題目，主要考查了二次根式的性質(zhì)．觀察時(shí)，既要注意觀察等式的左右兩邊的聯(lián)系，還要注意右邊必須是一種特殊形式．
4．（2016?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）證明：不是有理數(shù)．
【分析】利用反證法假設(shè)是有理數(shù)，進(jìn)而利用有理數(shù)的性質(zhì)分析得出矛盾，進(jìn)而得出答案．
【解答】證明：假設(shè)是有理數(shù)，
故可以表示為（a，b均為整數(shù)且互質(zhì)），
則a2＝2b2，
因?yàn)?b2是偶數(shù)，
所以a2是偶數(shù)，
所以a是偶數(shù)，
設(shè)a＝2c，
則4c2＝2b2，b2＝2c2，
所以b也是偶數(shù)，這和a，b互質(zhì)矛盾．
所以是無理數(shù)．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)、無理數(shù)的概念與運(yùn)算，利用反證法得出是解題關(guān)鍵．
三．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（共1小題）
5．（2012春?上海期中）已知，求的平方根．
【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，再代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
解得a＝3，b＝4，
∴＝，
∴±＝±＝±．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即任意一個(gè)數(shù)的絕對值和算術(shù)平方根都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對值或算術(shù)平方根相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．
四．估算無理數(shù)的大?。ü?小題）
6．（2016春?虹口區(qū)校級(jí)期中）已知，a，b分別是3﹣的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求4ab﹣b2的值．
【分析】首先判斷出的整數(shù)部分在1和2之間，即3﹣的整數(shù)部分a＝1，則b＝2﹣，然后把a(bǔ)和b的值代入代數(shù)式求值即可．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴的整數(shù)部分在1和2之間，
∴3﹣的整數(shù)部分a＝1，b＝2﹣，
則4ab﹣b2
＝4×1×（2﹣）﹣（2﹣）2
＝8﹣4﹣（4﹣4+3）
＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了代數(shù)式求值，涉及到比較有理數(shù)和無理數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵在于用正確的形式表示出3﹣的整數(shù)部分和小數(shù)部分，然后代入求值即可．
五．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（共5小題）
7．（2018春?浦東新區(qū)期中）計(jì)算：5﹣3+×+（3）﹣（2）
【分析】直接利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．
【解答】解：原式＝2+5×5+（）﹣（）
＝2+25+﹣
＝2+25．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．
8．（2017春?普陀區(qū)期中）利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算：
×3÷（）．
【分析】原式利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪變形后，再利用同底數(shù)冪的乘除法則變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：原式＝9×3÷27＝（9×3÷27）＝1．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
9．（2016春?濉溪縣期末）閱讀理解題
閱讀下列解題過程，并按要求填空：
已知：＝1，＝﹣1，求的值．
解：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，由＝1，得（2x﹣y）2＝1，2x﹣y＝1第一步
根據(jù)立方根的意義，由＝﹣1，得x﹣2y＝﹣1…第二步
由①、②，得，解得…第三步
把x、y的值分別代入分式中，得＝0 …第四步
以上解題過程中有兩處錯(cuò)誤，一處是第 一 步，忽略了 2x﹣y＝﹣1 ；一處是第 四 步，忽略了 x﹣y＝0 ；正確的結(jié)論是 ＝1 （直接寫出答案）．
【分析】熟悉平方根和立方根的性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且它們互為相反數(shù)；負(fù)數(shù)沒有平方根；0的平方根是0．正數(shù)有一個(gè)正的立方根，負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根，0的立方根是0．
【解答】解：在第一步中，
由（2x﹣y）2＝1應(yīng)得到2x﹣y＝±1，
忽略了2x﹣y＝﹣1；在第四步中，當(dāng)時(shí)，
分式無意義，忽略了分式有意義的條件的檢驗(yàn)，
當(dāng)時(shí)，解得，
代入分式，得＝1，
所以正確的結(jié)論是＝1．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平方根、立方根的性質(zhì)，同時(shí)還要注意求分式的值時(shí)，首先要保證分式有意義．
10．（2008春?南匯區(qū)期中）如圖，矩形內(nèi)小正方形的一條邊在大正方形的一條邊上，兩個(gè)正方形的面積分別為3和5，那么陰影部分的面積是多少？
【分析】先根據(jù)所給正方形的面積，可分別求出正方形的邊長BE、HM，而S陰影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN，易求陰影的面積．
【解答】解：如圖，設(shè)大正方形為BCDE，矩形為ABEF，小正方形為GHMN，
∵S正方形BCDE＝5，
∴BE＝，
∵S正方形GHMN＝3，
∴HM＝AB＝，
S陰影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN＝﹣3．
答：陰影部分的面積為﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算、正方形的面積．解題關(guān)鍵是分別求出兩個(gè)正方形邊長．
11．（2008春?南匯區(qū)期中）（1）計(jì)算：（結(jié)果表示為含冪的形式）．
（2）計(jì)算：．
【分析】（1）分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方與積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法及二次根式的化簡計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）原式＝+
＝+；
（2）原式＝2﹣3+25+﹣
＝﹣+25﹣
＝24﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟知同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方與積的乘方法則及二次根式的化簡是解答此題的關(guān)鍵．
六．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（共2小題）
12．（2021春?奉賢區(qū)期末）利用冪的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算（寫出計(jì)算過程）：．
【分析】先把開方運(yùn)算表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再根據(jù)同底數(shù)乘法、除法法則計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝＝＝22＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．解題的關(guān)鍵是知道開方和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的關(guān)系．
13．（2018春?浦東新區(qū)期中）計(jì)算：（結(jié)果表示為含冪的形式）．
【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分?jǐn)?shù)的指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握冪的運(yùn)算法則．
七．對頂角、鄰補(bǔ)角（共1小題）
14．（2019春?閔行區(qū)期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）若OC恰好是∠AOE的平分線，則OA是∠COF的平分線嗎？請說明理由；
（2）若∠EOF＝5∠BOD，求∠COE的度數(shù)．
【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)和垂直的定義易得∠AOC＝＝45°，再由OF⊥CD，可得∠COF＝90°，易得∠AOF，由垂直的定義可得結(jié)論；
（2）設(shè)∠AOC＝x，易得∠BOD＝x，可得∠COE＝90°﹣x，∠EOF＝180°﹣x，利用∠EOF＝5∠BOD，解得x，可得∠COE．
【解答】解：（1）OA是∠COF的平分線．
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵OC恰好是∠AOE的平分線，
∴∠AOC＝＝45°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°，
∴OA是∠COF的平分線；
（2）設(shè)∠AOC＝x，
∴∠BOD＝x，
∵∠AOE＝90°，
∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝90°﹣x，
∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝90°﹣x+90°＝180°﹣x，
∵∠EOF＝5∠BOD，
∴180°﹣x＝5x，
解得x＝30，
∴∠COE＝90°﹣30°＝60°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的定義和垂直的定義，設(shè)∠AOC＝x，利用方程是解答此題的關(guān)鍵．
八．點(diǎn)到直線的距離（共1小題）
15．（2018春?浦東新區(qū)期中）作圖并寫出結(jié)論：
如圖，點(diǎn)P是∠AOB的邊OA上一點(diǎn)，請過點(diǎn)P畫出OA，OB的垂線，分別交BO 的延長線于M、N，線段 PN 的長表示點(diǎn)P到直線BO的距離；線段 PM 的長表示點(diǎn)M到直線AO的距離； 線段ON的長表示點(diǎn)O到直線 PN 的距離；點(diǎn)P到直線OA的距離為 0 ．
【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義得出即可．
【解答】解：如圖所示：
線段PN的長表示點(diǎn)P到直線BO的距離；線段PM的長表示點(diǎn)M到直線AO的距離； 線段ON的長表示點(diǎn)O到直線PN的距離；點(diǎn)P到直線OA的距離為0，
故答案為：PN，PM，PN，0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，能熟記點(diǎn)到直線的距離的定義是解此題的關(guān)鍵．
九．平行線的判定（共6小題）
16．（2018春?浦東新區(qū)期中）如圖，已知∠1＝∠B，∠2＝∠E，請你說明AB∥DE的理由．
【分析】先根據(jù)∠1＝∠B得出AB∥CF，再由∠2＝∠E可知CF∥DE，最后根據(jù)兩條直線同時(shí)平行第三條直線，那么這兩條直線平行即可解答．
【解答】證明：∵∠1＝∠B（已知）
∴AB∥CF （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
∵∠2＝∠E（已知）
∴CF∥DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） ）
∴AB∥DE（平行同一條直線的兩條直線平行）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
17．（2018春?青浦區(qū)期中）推理填空：
已知：如圖AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1＝∠2，求證：BE∥CF．
證明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°
∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余
又∵∠1＝∠2 （ 已知 ），
∴ ∠3 ＝ ∠4 （ 等角的余角相等 ）
∴BE∥CF （ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）．
【分析】先根據(jù)垂直的定義得出∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，再由∠1＝∠2可得出∠3＝∠4，由此可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°
∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余
又∵∠1＝∠2 （已知），
∴∠3＝∠4（等角的余角相等），
∴BE∥CF （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
故答案為：已知；∠3＝∠4，等角的余角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
18．（2018春?浦東新區(qū)期末）如圖，是一個(gè)由4條線段構(gòu)成的“魚”形圖案，已知：∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°．找出圖中所有的平行線，并說明理由．
【分析】根據(jù)平行線的判定方法即可解決問題；
【解答】解：∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2，
∴BF∥CE，
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴BC∥EF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定方法，屬于中考?？碱}型．
19．（2018春?閔行區(qū)期末）如圖，已知∠ABE+∠CEB＝180°，∠1＝∠2，請說明BF∥EG的理由．
（請寫出每一步的依據(jù)）
【分析】直接利用平行線的判定與性質(zhì)得出∠FBE＝∠BEG，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵∠ABE+∠CEB＝180°，
∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），
∴∠ABE＝∠BED（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠ABE﹣∠1＝∠BED﹣∠2（等式的基本性質(zhì)），
∴∠FBE＝∠BEG（等量代換），
∴BF∥EG（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，得出∠ABE＝∠BED是解題關(guān)鍵．
20．（2015春?崇明區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N、E是△ABC邊上的點(diǎn)，且∠1+∠2＝90°，試說明MN∥CE．
【分析】首先根據(jù)同角的余角相等可得∠2＝∠ACE，再根據(jù)同位角相等、兩直線平行可得MN∥CE．
【解答】證明：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠ACE＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠ACE，
∴NM∥CE．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握同位角相等、兩直線平行．
21．（2008秋?東城區(qū)期末）老師出了如下的題：
（1）首先，要求你按圖1回答以下問題
①若∠DEC+∠ACB＝180°，可以得到哪兩條線段平行？
②在①的結(jié)論下，如果∠1＝∠2，又能得到哪兩條線段平行，請說明．
解：（1）① DE ∥ BC ．
② GF∥DC ．
（2）接著，老師另畫了一個(gè)圖2
①要求你在圖2中按下面的語言繼續(xù)畫圖：（畫圖工具和方法不限）過A點(diǎn)畫AD⊥BC于D，過D點(diǎn)畫DE∥AB交AC于E，在線段AB上任取一點(diǎn)F，以F為頂點(diǎn)，F(xiàn)B為一邊，畫∠BFG＝∠ADE，∠BFG的另一邊FG與線段BC交于點(diǎn)G．
②請你按照①中畫圖時(shí)給出的條件，完整證明：FG⊥BC．
【分析】（1）①∠DEC+∠ACB＝180°可以證明DE∥BC，（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；
②由DE∥BC可得∠1＝∠DCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又∠1＝∠2，那么∠2＝∠DCB，所以DC∥FG（同位角相等，兩線平行）．
（2）圖2中，DE∥AB可得∠ADE＝∠DAB，又已作∠BFG＝∠ADE，則∠DAB＝∠BFG，所以AD∥FG，又AD⊥BC，所以FG⊥BC．
【解答】解：（1）①DE∥BC，
②可得DC∥FG，
說明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠3．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴DC∥FG．
（2）證明：如下圖所示：
∵DE∥AB，
∴∠1＝∠3．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AD∥FG．
∵AD⊥BC于D，
∴∠CDA＝90°．
∵AD∥FG，
∴∠FGD＝∠CDA＝90°，
∴FG⊥BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角，根據(jù)圖形找到兩個(gè)相等的同位角或內(nèi)錯(cuò)角，或者同旁內(nèi)角互補(bǔ)都可判定兩條直線平行；在同一平面內(nèi)，若一條直線垂直于另一條直線，那么平行于這條直線的所有直線都垂直于那條直線．
一十．平行線的性質(zhì)（共14小題）
22．（2018秋?嵩縣期末）如圖，若過點(diǎn)P1，P2作直線m的平行線，則∠1、∠2、∠3、∠4間的數(shù)量關(guān)系是 ∠2+∠4＝∠1+∠3 ．
【分析】分別過點(diǎn)P1、P2作P1C∥m，P2D∥m，由平行線的性質(zhì)可知，∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，
所以∠1+∠P1P2D+∠DP2B＝∠AP1C+∠CP1P2+∠4，即∠2+∠4＝∠1+∠3．
【解答】解：分別過點(diǎn)P1、P2作P1C∥m，P2D∥m，
∵m∥n，
∴P1C∥P2D∥m∥n，
∴∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，
∴∠1+∠P1P2D+∠DP2B＝∠AP1C+∠CP1P2+∠4，即∠2+∠4＝∠1+∠3．
故答案為：∠2+∠4＝∠1+∠3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
23．（2020秋?雁江區(qū)期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度數(shù)．
小明的思路是過點(diǎn)P作PE∥AB，通過平行線的性質(zhì)來求∠APC．
（1）按照小明的思路，求∠APC的度數(shù)；
（2）問題遷移：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在射線ON上運(yùn)動(dòng)，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當(dāng)點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P不在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、B、D三點(diǎn)不重合），請直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)可得∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°再代入∠PAB＝130°，∠PCD＝120°可求∠APC即可；
（2）過P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（3）分兩種情況：P在BD延長線上；P在DB延長線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】（1）解：過點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝∠α+∠β，
理由：如圖2，過P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）如圖所示，當(dāng)P在BD延長線上時(shí)，
∠CPA＝∠α﹣∠β；
如圖所示，當(dāng)P在DB延長線上時(shí)，
∠CPA＝∠β﹣∠α．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．
24．（2019春?靜安區(qū)期中）（1）如圖α示，AB∥CD，且點(diǎn)E在射線AB與CD之間，請說明∠AEC＝∠A+∠C的理由．
（2）現(xiàn)在如圖b示，仍有AB∥CD，但點(diǎn)E在AB與CD的上方，
①請嘗試探索∠1，∠2，∠E三者的數(shù)量關(guān)系．
②請說明理由．
【分析】（1）過點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可；
（2）過點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可．
【解答】解：
（1）過點(diǎn)E作EF∥AB；
∴∠A＝∠AEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行的傳遞性），
∴∠FEC＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC（圖上可知）
∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代換）；
（2）∠1+∠2﹣∠E＝180°，
說理如下：過點(diǎn)E作EF∥AB
∴∠AEF+∠1＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行的傳遞性），
∴∠FEC＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
即∠CEA+∠AEF＝∠2
∴∠AEF＝∠2﹣∠CEA（等式性質(zhì)）
∴∠2﹣∠CEA+∠1＝180°（等量代換），
即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，作輔助線并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（2016春?閔行區(qū)期中）如圖，已知∠ABC＝∠ADC，BE，DF分別平分∠ABC，∠ADC，且∠1＝∠2，請說明：∠A＝∠C．
解：∵BE，DF分別平分∠ABC，∠ADC（已知）
∴ ∠3＝∠ADC，∠1＝∠ABC （角平分線的定義）
∵∠ABC＝∠ADC（已知）
∴∠ADC（ 等式的性質(zhì) ）
∴∠3＝∠1又∵∠1＝∠2（已知）
∴ ∠2＝∠3 （等量代換）
∴ AB∥CD （ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）
∴∠A+∠ABC＝180°，∠C+∠ADC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∵∠ABC＝∠ADC（已知）
∴∠A＝∠C（ 等角的補(bǔ)角相等 ）
【分析】先根據(jù)角平分線的定義得出∠3＝∠ADC，∠1＝∠ABC，再由∠ABC＝∠ADC得出∠3＝∠1，根據(jù)∠1＝∠2可得出∠2＝∠3，故 AB∥CD，由平行線的性質(zhì)可知∠A+∠ABC＝180°，∠C+∠ADC＝180°可得出結(jié)論．
【解答】解：∵BE，DF分別平分∠ABC，∠ADC（已知），
∴∠3＝∠ADC，∠1＝∠ABC （角平分線的定義）．
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠ADC（等式的性質(zhì)），
∴∠3＝∠1，
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代換 ），
∴AB∥CD（ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ），
∴∠A+∠ABC＝180°，∠C+∠ADC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) ）．
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠A＝∠C（等角的補(bǔ)角相等 ）．
故答案為：∠3＝∠ADC，∠1＝∠ABC，等式的性質(zhì)，∠2＝∠3，AB∥CD，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，等角的補(bǔ)角相等．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知平行線的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
26．（2015春?閔行區(qū)期中）如圖，已知AB∥CD∥EF，且∠A＝50°，∠F＝120°，DG平分∠ADF，求∠CDG的度數(shù)．
解：∵AB∥CD
∴∠A＝∠ADC 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ；
又∵∠A＝50°
∴∠ADC＝50°；
∵CD∥EF
∴∠F+∠ CDF ＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）；
又∵∠F＝120°
∴∠CDF＝ 60° ；∴∠ADF＝ 110° ；
∵DG平分∠ADF
∴∠ADG＝∠ ADF ＝ 55° ° 角平分線的意義或定義 ；
∴∠CDG＝∠ADG﹣∠ ADC ＝ 5° °．
【分析】由AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)，∠ADC與∠CDF的度數(shù)，又由DG平分∠ADF，則可求得∠ADG的度數(shù)，繼而求得答案．
【解答】解：∵AB∥CD
∴∠A＝∠ADC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
又∵∠A＝50°
∴∠ADC＝50°
∵CD∥EF
∴∠F+∠CDF＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) ）
又∵∠F＝120°
∴∠CDF＝60°
∴∠ADF＝110°，
∵DG平分∠ADF
∴∠ADG＝∠ADF＝55°，（ 角平分線的意義或定義 ）
∴∠CDG＝∠ADG﹣∠ADC＝5°．
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；CDF；60°；110°；ADF；55°；角平分線的意義或定義；ADC；5°．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)．此題難度不大，注意兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與同旁內(nèi)角互補(bǔ)定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
27．（2015春?閔行區(qū)期中）已知，直線GE上有一點(diǎn)C，B在直線GE外
（1）如圖1，點(diǎn)A在GE上，作∠BAG，∠BCG的平分線 AF，CF交于點(diǎn)F，請直接寫出∠B與∠F數(shù)量關(guān)系．
（2）如圖2，A在直線外（在B點(diǎn)的下方，直線GE的上方），過A作HD∥GE，試說明∠BCE+∠ABC＝∠BAD．
（3）如圖3，HD∥GE，分別作∠BAH與∠BCG的角平分線，兩線交于點(diǎn)F．問∠B與∠F有何數(shù)量關(guān)系，試說明．
【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BND＝∠BCE，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAH＝2∠FAH，∠BCG＝2∠FCG，等量代換得到∠BNH＝2∠FMH，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∠B＝2∠F，
（2）∵HD∥GE（已知）
∴∠BND＝∠BCE（兩直線平行，同位角相等），
∵∠BAD＝∠BND+∠ABC，
∴∠BCE+∠ABC＝∠BAD；
（3）答∠B＝2∠F，
∵HD∥GE（已知），
∴∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，
∵FA，F(xiàn)C是∠BAH與∠BCG的角平分線，
∴∠BAH＝2∠FAH，
∠BCG＝2∠FCG，
∴∠BNH＝2∠FMH，
∵∠BNH＝∠B+∠BAH，
∠FMH＝∠F+∠FAH，
∴∠B＝2∠F．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
28．（2014春?閔行區(qū)期中）探究并嘗試歸納：
探究1如圖1，已知直線a與直線b平行，夾在平行線間的一條折線形成一個(gè)角∠A，試求∠1+∠2+∠A的度數(shù)，請加以說明．
探究2如圖2，已知直線a與直線b平行，夾在平行線間的一條折線增加一個(gè)折，形成兩個(gè)角∠A和∠B，請直接寫出∠1+∠2+∠A+∠B＝ 540 度．
探究3如圖3，已知直線a與直線b平行，夾在平行線間的一條折線每增加一個(gè)折，就增加一個(gè)角．當(dāng)形成n個(gè)折時(shí)，請歸納并寫出所有角與∠1、∠2的總和： 180?（n+1）° 【結(jié)果用含有n的代數(shù)式表示，n是正整數(shù)，不用證明】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：探究一：過A作AB∥直線a，
則AB∥直線b，
∴∠1+∠3＝∠4+∠2＝180°，
∴∠1+∠2+∠A＝360°；
探究二：過A作AC∥直線a，BD∥直線a，
則AC∥BD∥直線b，
∴∠1+∠3＝∠5+∠6＝∠4+∠2＝180°，
∴∠1+∠2+∠A+∠B＝540°，
故答案為：540；
探究三：由探究一，探究二知，當(dāng)形成n個(gè)折時(shí)，請歸納并寫出所有角與∠1、∠2的總和＝180?（n+1）°，
故答案為：180?（n+1）°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
29．（2016秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）如圖，BD∥AG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）求∠PAG的度數(shù)．
【分析】（1）利用兩直線內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對角相等，相加即可求出所求的角；
（2）由AP為角平分線，利用角平分線定義求出∠PAC的度數(shù)，由∠PAC﹣∠CAG即可求∠PAG的度數(shù)．
【解答】解：（1）∵DB∥AG∥EC，
∴∠BAP＝∠ABD＝60°，∠CAP＝∠ACE＝36°，
∴∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝96°；
（2）∵AP為∠BAC的平分線，
∴∠BAP＝∠CAP＝48°，
∴∠PAG＝∠CAP﹣∠GAC＝12°．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
30．（2016春?閔行區(qū)期末）閱讀并填空：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、P、E分別在邊AB、BC、AC上，且DP∥AC，PE∥AB．試說明∠DPE＝∠BAC的理由．
解：因?yàn)镈P∥AC（已知），
所以∠ BDP ＝∠ BAC （ 兩直線平行，同位角相等 ）．
因?yàn)镻E∥AB（已知），
所以∠ DPE ＝∠ BDP （ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
所以∠DPE＝∠BAC（等量代換）．
【分析】先根據(jù)DP∥AC得出∠BDP＝∠BAC，再由PE∥AB得出∠DPE＝∠BDP，利用等量代換即可得出結(jié)論．
【解答】解：因?yàn)镈P∥AC（已知），
所以∠BDP＝∠BAC（兩直線平行，同位角相等）．
因?yàn)镻E∥AB（已知），
所以∠DPE＝∠BDP（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
所以∠DPE＝∠BAC（等量代換）．
故答案為：BDP，BAC，兩直線平行，同位角相等；DPE，BDP，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
31．（2015春?黃浦區(qū)期中）如圖，已知BE∥AO，∠1＝∠2，OE⊥OA于點(diǎn)O，那么∠4與∠5有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？
【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠AOE＝90°，即∠2+∠3＝90°，根據(jù)平角的定義得到∠1+∠4＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠2+∠4＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠2＝∠5，即可得到結(jié)論．
【解答】解：∠4與∠5互余，
理由：∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝90°，
即∠2+∠3＝90°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠4＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠4＝90°，
∵BE∥AO，
∴∠2＝∠5，
∴∠5+∠4＝90°，
即∠4與∠5互余．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，平角的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
32．（2021春?肥西縣期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度數(shù)．
小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC＝ 110° ．
問題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
（1）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）畫出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長線上，②點(diǎn)P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】解：過P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，
故答案為：110°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角．
33．（2018春?奉賢區(qū)期中）已知：AB∥DE．
（1）如圖1，點(diǎn)C是夾在AB和DE之間的一點(diǎn)，當(dāng)AC⊥CD時(shí)，垂足為點(diǎn)C，你知道∠A+∠D是多少嗎？這一題的解決方法有很多，
例如（i）過點(diǎn)C作AB的平行線；
（ii）過點(diǎn)C作DE的平行線；
（iii）聯(lián)結(jié)AD；
（iv）延長AC、DE相交于一點(diǎn)．
請你選擇一種方法（可以不選上述四種），并說明理由．
（2）如圖2，點(diǎn)C1、C2是夾在AB和DE之間的兩點(diǎn)，請想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝ 540 度，并說明理由．
（3）如圖3，隨著AB與CD之間點(diǎn)增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝ 180（n+2） 度．（不必說明理由）
【分析】（1）過點(diǎn)C作AB的平行線CF，利用平行線的性質(zhì)，即可得到∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，再根據(jù)AC⊥CD，即可得出∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；
（2）過C1作C1F∥AB，過C2作C2G∥DE，則利用平行線的性質(zhì)，即可得到∠A+∠C1+∠C2+∠D的度數(shù)；
（2）利用規(guī)律即可得到∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D的度數(shù)．
【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)C作AB的平行線CF，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°，
∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，
又∵AC⊥CD，
∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；
（2）如圖2，過C1作C1F∥AB，過C2作C2G∥DE，則
∵AB∥DE，
∴C1F∥AB∥C2G∥DE，
∴∠A+∠AC1F＝180°，∠FC1C2+∠C1C2G＝180°，∠GC2D+∠D＝180°，
∴∠A+∠AC1C2+∠C1C2D+∠D＝180°×3＝540°，
故答案為：540；
（3）如圖3，∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝180°×（n+2），
故答案為：180（n+2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
34．（2016春?虹口區(qū)校級(jí)期中）已知，AB∥CD∥EF，且CB平分∠ABF，CF平分∠BEF，請說明BC⊥CF的理由．
解：∵AB∥E（已知）
∴∠ ABF +∠ BFE ＝ ，180° ．
∵CB平分∠ABF（已知）
∴∠1＝∠ABF
同理，∠4＝∠BEF
∴∠1+∠4＝（∠ABF+∠BEF）＝ 90° ．
又∵AB∥CD（已知）
∴∠1＝∠2 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
同理，∠3＝∠4
∴∠1+∠4＝∠2+∠3 等式的性質(zhì)
∴∠2+∠3＝90°（等量代換）
即∠BCF＝90°
∴BC⊥CF 垂直的定義 ．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABF+∠BFE＝180°．由角平分線的定義得到∠1＝∠ABF，∠4＝∠BEF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1＝∠2，同理，∠3＝∠4，根據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵AB∥EF（已知）
∴∠ABF+∠BFE＝180°．
∵CB平分∠ABF（已知）
∴∠1＝∠ABF
同理，∠4＝∠BEF
∴∠1+∠4＝（∠ABF+∠BEF）＝90°．
又∵AB∥CD （已知）
∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
同理，∠3＝∠4
∴∠1+∠4＝∠2+∠3（等式的性質(zhì)），
∴∠2+∠3＝90°（等量代換）
即∠BCF＝90°
∴BC⊥CF（垂直的定義）．
故答案為：ABF，BFE，180°，90°，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，等式的性質(zhì)，垂直的定義．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
35．（2007?福州）如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個(gè)角．（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0°角）
（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：∠APB＝∠PAC+∠PBD；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB＝∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并寫出動(dòng)點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明．
【分析】（1）如圖1，延長BP交直線AC于點(diǎn)E，由AC∥BD，可知∠PEA＝∠PBD．由∠APB＝∠PAE+∠PEA，可知∠APB＝∠PAC+∠PBD；
（2）過點(diǎn)P作AC的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；
（3）根據(jù)P的不同位置，分三種情況討論．
【解答】解：（1）解法一：如圖1延長BP交直線AC于點(diǎn)E．
∵AC∥BD，∴∠PEA＝∠PBD．
∵∠APB＝∠PAE+∠PEA，
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD；
解法二：如圖2
過點(diǎn)P作FP∥AC，
∴∠PAC＝∠APF．
∵AC∥BD，∴FP∥BD．
∴∠FPB＝∠PBD．
∴∠APB＝∠APF+∠FPB
＝∠PAC+∠PBD；
解法三：如圖3，
∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD＝180°，
∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD＝180°．
又∠APB+∠PBA+∠PAB＝180°，
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD．
（2）不成立．
（3）（a）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時(shí)，結(jié)論是：
∠PBD＝∠PAC+∠APB．
（b）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA上，結(jié)論是：
∠PBD＝∠PAC+∠APB．
或∠PAC＝∠PBD+∠APB或∠APB＝0°，
∠PAC＝∠PBD（任寫一個(gè)即可）．
（c）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時(shí)，
結(jié)論是∠PAC＝∠APB+∠PBD．
選擇（a）證明：
如圖4，連接PA，連接PB交AC于M．
∵AC∥BD，
∴∠PMC＝∠PBD．
又∵∠PMC＝∠PAM+∠APM（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），
∴∠PBD＝∠PAC+∠APB．
選擇（b）證明：如圖5
∵點(diǎn)P在射線BA上，∴∠APB＝0度．
∵AC∥BD，∴∠PBD＝∠PAC．
∴∠PBD＝∠PAC+∠APB
或∠PAC＝∠PBD+∠APB
或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD．
選擇（c）證明：
如圖6，連接PA，連接PB交AC于F
∵AC∥BD，∴∠PFA＝∠PBD．
∵∠PAC＝∠APF+∠PFA，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì)；是一道探索性問題，旨在考查同學(xué)們對材料的分析研究能力和對平行線及角平分線性質(zhì)的掌握情況．認(rèn)真做好（1）（2）小題，可以為（3）小題提供思路．
一十一．平行線的判定與性質(zhì)（共15小題）
36．（2021秋?汝陽縣期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，試說明：BE∥CF．
完善下面的解答過程，并填寫理由或數(shù)學(xué)式：解：
∵∠3＝∠4（已知）
∴AE∥ BC （ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）
∴∠EDC＝∠5（ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
∵∠5＝∠A（已知）
∴∠EDC＝ ∠A （ 等量代換 ）
∴DC∥AB（ 同位角相等，兩直線平行 ）
∴∠5+∠ABC＝180°（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) ）
即∠5+∠2+∠3＝180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3＝180°（ 等量代換 ）
即∠BCF+∠3＝180°
∴BE∥CF（ 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 ）．
【分析】可先證明BC∥AF，可得到∠A+∠ABC＝180°，結(jié)合條件可得∠2+∠3+∠5＝180°，可得到∠1+∠3+∠5＝180°，可證明BE∥CF．
【解答】解：
∵∠3＝∠4（已知）
∴AE∥BC（ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
∴∠EDC＝∠5（ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠5＝∠A（已知）
∴∠EDC＝∠A （等量代換）
∴DC∥AB（ 同位角相等，兩直線平行）
∴∠5+∠ABC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
即∠5+∠2+∠3＝180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代換）
即∠BCF+∠3＝180°
∴BE∥CF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；
故答案為：BC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠A；等量代換；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量代換；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)，④a∥b，b∥c?a∥c．
37．（2021春?上海期中）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)．
小明的思路是：過P作PE∥AB，如圖2，通過平行線性質(zhì)來求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為 110° ；請說明理由；
問題遷移：
（2）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，則∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)求∠APC即可；
（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（3）畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】解：（1）過點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
故答案為110°．
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由是：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，
∠CPD＝∠β﹣∠α；
當(dāng)P在AB延長線時(shí)，
∠CPD＝∠α﹣∠β．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，難度適中．
38．（2021春?黃浦區(qū)期中）如圖，已知∠A＝∠C，EF∥DB．說明∠AEF＝∠D的理由．
解：因?yàn)椤螦＝∠C（已知）
所以 AB ∥ CD （ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）
所以∠D＝∠B （ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
又因?yàn)镋F∥DB （已知）
所以∠AEF＝∠B （ 兩直線平行，同位角相等 ）
又因?yàn)椤螪＝∠B （已證）
所以∠AEF＝∠D （ 等量代換 ）
【分析】根據(jù)∠A＝∠C可得到AB∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠B＝∠D，首先根據(jù)EF∥BD可得到∠AEF＝∠B，再由（1）中證出的∠B＝∠D可利用等量代換得到∠AEF＝∠D．
【解答】解：因?yàn)椤螦＝∠C，（已知）
所以 AB∥CD，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
所以∠D＝∠B，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
又因?yàn)镋F∥DB，（已知）
所以∠AEF＝∠B（兩直線平行，同位角相等）
又因?yàn)椤螪＝∠B （已證）
所以∠AEF＝∠D （ 等量代換）
故答案為：AB，CD，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同位角相等，等量代換．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理與性質(zhì)定理．
39．（2017秋?市南區(qū)期末）如圖，∠ABD和∠BDC的平分線交于E，BE的延長線交CD于點(diǎn)F，∠1+∠2＝90°，求證：
（1）AB∥CD；
（2）∠2+∠3＝90°．
【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得出∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，根據(jù)∠1+∠2＝90°得出∠ABD+∠BDC＝180°，根據(jù)平行線的判定得出即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出∠1＝∠3，即可求出答案．
【解答】證明：（1）∵∠ABD和∠BDC的平分線交于E，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠1，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠3＝90°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義和平行線的性質(zhì)和判定，能根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD是解此題的關(guān)鍵．
40．（2018春?浦東新區(qū)期中）已知AB∥DE，CD⊥BF，∠ABC＝128°，求∠CDF的度數(shù)．
解：過點(diǎn)C作CG∥AB
∴∠1+∠ABC＝180°（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) ）
∵AB∥DE（已知）
∴CG∥DE（ 平行的傳遞性 ）
∴∠CDF＝∠2 （ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
∵∠ABC＝128°（已知）∴∠1＝180°﹣ 128° ＝ 52 °
∵CD⊥DF（已知）∴∠DCB＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝38°
∴∠CDF＝38°（ 等量代換 ）
【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答即可．
【解答】解：過點(diǎn)C作CG∥AB
∴∠1+∠ABC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∵AB∥DE（已知）
∴CG∥DE（平行的傳遞性）
∴∠CDF＝∠2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
∵∠ABC＝128°（已知）∴∠1＝180°﹣128°＝52°
∵CD⊥DF（已知）∴∠DCB＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝38°
∴∠CDF＝38°（等量代換）
故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平行的傳遞性；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；128°（或∠ABC），52；等量代換．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
41．（2018春?浦東新區(qū)期中）已知：AD⊥BC，垂足為D，EG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，EG交AB于點(diǎn)F，且AD平分∠BAC，試說明∠E＝∠AFE的理由．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出EG∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CAD＝∠E，∠DAB＝∠AFE，即可得出答案．
【解答】解：理由是：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠ADC＝∠EGD＝90°（垂直的意義），
∴EG∥AD（同位角相等，兩直線平行），
∴∠E＝∠CAD（兩直線平行，同位角相等），
∠AFE＝∠BAD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠BAD＝∠CAD（角平分線定義），
∴∠E＝∠AFE（等量代換）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能根據(jù)平行線的判定推出AD∥EG是解此題的關(guān)鍵．
42．（2017春?浦東新區(qū)期中）已知，OB∥AC，∠B＝∠A＝110°，試回答下列問題：
（1）如圖①，說明BC∥OA的理由．
（2）如圖②，若點(diǎn)E、F在線段BC上，且滿足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．則∠EOC等于 35 度；（在橫線上填上答案即可）．
（3）在（2）的條件下，若左右平行移動(dòng)AC，如圖③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個(gè)比值．
（4）在（2）的條件下，如果平行移動(dòng)AC的過程中，如圖③，若使∠OEB＝∠OCA，此時(shí)∠OCA等于 52.5 度．（在橫線上填上答案即可）．
【分析】（1）由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明．
（2）由∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA，算出結(jié)果．
（3）先得出結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化，理由為：由BC與AO平行，得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，由∠FOC＝∠AOC，等量代換得到一對角相等，再利用外角性質(zhì)等量代換即可得證；
（4）由（2）（3）的結(jié)論可得．
【解答】解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，又∵∠B＝∠A，
∴∠A+∠O＝180°，
∴OB∥AC；
（2）∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝110°，
∴∠BOA＝70°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠EOF，又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝35°；
故答案為：35；
（3）結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化．理由為：
∵BC∥OA，
∴∠FCO＝∠COA，
又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB＝1：2；
（4）由（1）知：OB∥AC，
則∠OCA＝∠BOC，
由（2）可以設(shè)：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，
則∠OCA＝∠BOC＝2α+β，
∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，
∵∠OEB＝∠OCA，
∴2α+β＝α+2β，
∴α＝β，
∵∠AOB＝70°，
∴α＝β＝17.5°，
∴∠OCA＝2α+β＝35°+17.5°＝52.5°．
故答案為：52.5．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，以及角的計(jì)算，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
43．（2017春?普陀區(qū)期中）如圖，如果∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，試說明∠1與∠2相等的理由．
【分析】先根據(jù)：∠AED＝∠C得出DE∥BC，再由平行線的性質(zhì)得出∠ADE＝∠B，利用等量代換得出∠ADE＝∠DEF，故可得出BD∥EF，進(jìn)而得出結(jié)論．
【解答】證明：∵∠AED＝∠C（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行），
∴∠ADE＝∠B（兩直線平行，同位角相等）．
∵∠B＝∠DEF（已知），
∴∠ADE＝∠DEF（等量代換），
∴BD∥EF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
44．（2017春?普陀區(qū)期中）如圖，已知∠BAE+∠AED＝180°，∠1＝∠2，那么∠F＝∠G，為什么？
解：因?yàn)椤螧AE+∠AED＝180°（已知），
所以AB∥CD （ 已知 ）
所以∠BAE＝∠AEC（ 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 ）
因?yàn)椤?＝∠2（ 已知 ）
而∠BAE＝∠FAE+∠1，∠AEC＝∠GEA+∠2，
所以∠FAE＝∠GEA （ 等式的性質(zhì) ）
所以AF∥EG （ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）
所以∠F＝∠G（ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
【分析】先根據(jù)題意得出AB∥CD，故可得出∠BAE＝∠AEC，再由∠1＝∠2得出∠FAE＝∠GEA，進(jìn)而可得出AF∥EG，據(jù)此可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠BAE+∠AED＝180°（ 已知 ），
∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），
∴∠BAE＝∠AEC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），∠BAE＝∠FAE+∠1，∠AEC＝∠GEA+∠2，
∴∠FAE＝∠GEA （等式的性質(zhì)），
∴AF∥EG（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴∠F＝∠G（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
故答案為：已知；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平；已知；等式的性質(zhì)；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
45．（2016春?閘北區(qū)期中）已知點(diǎn)C、P、D在同一直線上，∠BAP＝72°，∠APD＝108°，且∠1＝∠2，試說明∠E＝∠F的理由．
【分析】根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAP＝∠APC，求出∠EAP＝∠FPA，根據(jù)平行線的判定得出AE∥PF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．
【解答】解：理由是：∵∠BAP＝72°，∠APD＝108°，
∴∠BAP+∠APD＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAP＝∠APC，
∵∠1＝∠2，
∴∠EAP＝∠FPA，
∴AE∥PF，
∴∠E＝∠F．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
46．（2015春?黃浦區(qū)期中）如圖，AB、CD是兩條直線，∠BMN＝∠CNM，∠1＝∠2．請說明∠E＝∠F的理由．
【分析】根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AMN＝∠MND，求出∠EMN＝∠MNF，根據(jù)平行線的判定得出ME∥NF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．
【解答】解：∵∠BMN＝∠CNM（已知），
∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴∠AMN＝∠MND（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠EMN＝∠MNF（等式性質(zhì)），
∴ME∥NF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴∠E＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
47．（2012春?靜安區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD，∠E＝90°，那么∠B+∠D等于多少度？為什么？
解：過點(diǎn)E作EF∥AB，
得∠B+∠BEF＝180°（ 兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ) ），
因?yàn)锳B∥CD（ 已知 ），
EF∥AB（所作），
所以EF∥CD（ 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 ）．
得 ∠D+∠DEF＝180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝ 360 °（等式性質(zhì)）．
即∠B+∠BED+∠D＝ 360 °．
因?yàn)椤螧ED＝90°（已知），
所以∠B+∠D＝ 270 °（等式性質(zhì)）．
【分析】過E作EF平行于AB，利用兩直線平行得到一對同旁內(nèi)角互補(bǔ)，再由AB與CD平行，利用平行于同一條直線的兩直線平行，得到EF與CD平行，利用兩直線平行得到又一對同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩等式相加，可得出∠B+∠BED+∠D，將∠BED度數(shù)代入即可求出∠B+∠D的度數(shù)．
【解答】解：過點(diǎn)E作EF∥AB，
得∠B+∠BEF＝180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
因?yàn)锳B∥CD（已知），
EF∥AB（所作），
所以EF∥CD（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．
得∠D+∠DEF＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°（等式性質(zhì)）．
即∠B+∠BED+∠D＝360°．
因?yàn)椤螧ED＝90°（已知），
所以∠B+∠D＝270°（等式性質(zhì)）．
故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；已知；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；∠D+∠DEF＝180°；360；360；270
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，屬于推理型填空題，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
48．（2017春?閔行區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AM∥CN，且∠1＝∠2，那么AB∥CD嗎？為什么？
解：因?yàn)锳M∥CN （ 已知 ）
所以∠EAM＝∠ECN 兩直線平行，同位角相等
又因?yàn)椤?＝∠2 已知
所以∠EAM+∠1＝∠ECN+∠2 等式性質(zhì)
即∠ BAE ＝∠ DCE
所以 AB∥CD ．
【分析】利用兩直線平行，同位角相等即可得到一對同位角相等，利用等式的性質(zhì)得到另一對同位角相等，最后利用同位角相等，兩直線平行即可得證．
【解答】解：因?yàn)锳M∥CN （已知），
所以∠EAM＝∠ECN（兩直線平行，同位角相等），
又因?yàn)椤?＝∠2（已知），
所以∠EAM+∠1＝∠ECN+∠2（等式性質(zhì)），
即∠BAE＝∠DCE，
所以AB∥CD．
故答案為：兩直線平行，同位角相等；已知；等式性質(zhì)；BAE，DCE；AB∥CD．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．
49．（2014春?黃浦區(qū)期中）如圖，已知直線AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度數(shù)．
解：過點(diǎn)C作FG∥AB
因?yàn)镕G∥AB，AB∥DE（已知）
所以FG∥DE（ 平行線的傳遞性 ）
所以∠B＝∠ BCF （ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
∠CDE+∠DCF＝180°（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) ）
又因?yàn)椤螧＝80°，∠CDE＝140°（已知）
所以∠ BCF ＝80°（等量代換）
∠DCF＝40°（等式性質(zhì)）
所以∠BCD＝ 40° ．
【分析】過點(diǎn)C作FG∥AB，根據(jù)平行線的傳遞性得到FG∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根據(jù)已知條件等量代換得到∠BCF＝80°，由等式性質(zhì)得到∠DCF＝40°，于是得到結(jié)論．
【解答】解：過點(diǎn)C作FG∥AB，
因?yàn)镕G∥AB，AB∥DE，（已知）
所以 FG∥DE，（平行線的傳遞性）
所以∠B＝∠BCF，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
∠CDE+∠DCF＝180°，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
又因?yàn)椤螧＝80°，∠CDE＝140°，（已知）
所以∠BCF＝80°，（等量代換）
∠DCF＝40°，（等式性質(zhì)）
所以∠BCD＝40°．
故答案為：平行線的傳遞性，BCF，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，BCF，40°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①同們角相等?兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等?兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行，④a∥b，b∥c?a∥c．
50．（2012春?金山區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，試說明：∠ABH+∠CHB＝180°．
【分析】首先過點(diǎn)E作EM∥AB，過點(diǎn)F作FN∥CD，由：∠E＝∠F，∠1＝∠2，易證得∠MEF＝∠NFE，由平行線的判定，可得EM∥FN，繼而可得AB∥EM∥FN∥CD，然后由平行線的性質(zhì)，即可證得：∠ABH+∠CHB＝180°．
【解答】證明：過點(diǎn)E作EM∥AB，過點(diǎn)F作FN∥CD，
∴∠2＝∠BEM，∠1＝∠HFN，
∵∠BEF＝∠EFH，∠1＝∠2，
∴∠BEF﹣∠BEM＝∠EFH﹣∠HFN，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EM∥FN，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠ABH+∠CHB＝180°．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法是關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

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