1．（奉化區(qū)校級期末）已知關(guān)于x，y的方程組給出下列結(jié)論：
①當a＝1時，方程組的解也是x+y＝2a+1的解；
②無論a取何值，x，y的值不可能是互為相反數(shù)；
③x，y都為自然數(shù)的解有4對；
④若2x+y＝8，則a＝2．
正確的有幾個（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①根據(jù)消元法解二元一次方程組，然后將解代入方程x+y＝2a+1即可求解；
②根據(jù)消元法解二元一次方程組，用含有字母的式子表示x、y，再根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加為0即可求解；
③根據(jù)試值法求二元一次方程x+y＝3的自然數(shù)解即可得結(jié)論；
④根據(jù)整體代入的方法即可求解．
【解答】解：①將a＝1代入原方程組，得解得
將x＝3，y＝0，a＝1代入方程x+y＝2a+1的左右兩邊，
左邊＝3，右邊＝3，
當a＝1時，方程組的解也是x+y＝2a+1的解；
②解原方程組，得
若x，y是互為相反數(shù)，則x+y＝0，
即2a+1+2﹣2a＝0，方程無解．
無論a取何值，x，y的值不可能是互為相反數(shù)；
③∵x+y＝2a+1+2﹣2a＝3
∴x、y為自然數(shù)的解有，，，．
④∵2x+y＝8，∴2（2a+1）+2﹣2a＝8，
解得a＝2．
故選：D．
【點評】本題考查了消元法解二元一次方程組，確定二元一次方程的自然數(shù)解，解題關(guān)鍵是用含字母的式子表示方程組的解．
2．（余杭區(qū)期中）在關(guān)于x，y的二元一次方程組的下列說法中，正確的是（ ）
①當a＝3時，方程的兩根互為相反數(shù)；②當且僅當a＝﹣4時，解得x與y相等；③x，y滿足關(guān)系式x+5y＝﹣12；④若9x?27y＝81，則a＝10．
A．①③B．①②C．①②③D．①②③④
【分析】用代入消元法先求出方程組的解，①根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0，列出方程，求出a即可判斷；②根據(jù)x＝y(tǒng)列出方程，求出a即可判斷；③在原方程中，我們消去a，即可得到x，y的關(guān)系；④把底數(shù)統(tǒng)一化成a，等式左右兩邊的底數(shù)相同時，指數(shù)也相同，得到x，y的方程，把方程組的解代入求出a．
【解答】解：，
由①得：x＝2y+a+6③，
把③代入②中，得：y＝④，
把④代入③中，得：x＝，
∴原方程組的解為．
①∵方程的兩根互為相反數(shù)，
∴x+y＝0，
即，
解得：a＝3，
∴①正確；
②當x與y相等時，x＝y(tǒng)，
即，
解得：a＝﹣4，
∴②正確；
③在原方程中，我們消去a，得到x，y的關(guān)系，
②﹣①×2得：x+5y＝﹣12，
∴③正確；
④∵9x?27y＝81，
∴（32）x?（33）y＝34，
∴32x?33y＝34，
∴32x+3y＝34，
∴2x+3y＝4，
將方程組的解代入得：＝4，
解得：a＝10，
∴④正確．
綜上所述，①②③④都正確．
故選：D．
【點評】本題考查二元一次方程組的解法，考核學(xué)生的計算能力，解方程組的關(guān)鍵是消元，消元的常用方法是代入消元法和加減消元法．
3．（蕭山區(qū)期中）已知關(guān)于x，y的方程組，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得到一個新的方程，當m每取一個值時，就有一個方程，這些方程有一個公共解，這個公共解為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意①+②得x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0，然后根據(jù)題意列出方程組即可求得公共解．
【解答】解：①+②得，
x+my+mx﹣y＝9+m
x﹣y﹣9+mx+my﹣m＝0
x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0
根據(jù)題意，這些方程有一個公共解，與m的取值無關(guān)，
解得
所以這個公共解為
故選：C．
【點評】本題考查了二元一次方程組的解法，解題關(guān)鍵是利用篩選法解二元一次方程組．
4．（南昌縣期末）已知a，b，c為自然數(shù)，且滿足2a×3b×4c＝192，則a+b+c的取值不可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】將原方程化為2a+2c?3b＝26?3，得到a+2c＝6，b＝1，再根據(jù)a，b，c為自然數(shù)，求出a，c的值，進而求出答案．
【解答】解：根據(jù)題意得：2a+2c?3b＝26?3，
∴a+2c＝6，b＝1，
∵a，b，c為自然數(shù)，
∴當c＝0時，a＝6；
當c＝1時，a＝4；
當c＝2時，a＝2；
當c＝3時，a＝0，
∴a+b+c不可能為8．
故選：D．
【點評】本題考查了冪的運算，難度較大，根據(jù)a，b，c為自然數(shù)求出a，c的值是解題的關(guān)鍵．
二．解答題（共46小題）
5．（太和縣期末）已知：△ABC和同一平面內(nèi)的點D．
（1）如圖1，點D在BC邊上，過D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．
①依題意，在圖1中補全圖形；
②判斷∠EDF與∠A的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論（不需證明）．
（2）如圖2，點D在BC的延長線上，DF∥CA，∠EDF＝∠A．判斷DE與BA的位置關(guān)系，并證明．
（3）如圖3，點D是△ABC外部的一個動點，過D作DE∥BA交直線AC于E，DF∥CA交直線AB于F，直接寫出∠EDF與∠A的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．
【分析】（1）根據(jù)過D作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F，進行作圖；根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠A＝∠EDF；
（2）延長BA交DF于G．根據(jù)平行線的性質(zhì)以及判定進行推導(dǎo)即可；
（3）分兩種情況討論，即可得到∠EDF與∠A的數(shù)量關(guān)系：∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°．
【解答】解：（1）①補全圖形如圖1；
②∠EDF＝∠A．
理由：∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠A＝∠DEC，∠DEC＝∠EDF，
∴∠A＝∠EDF；
（2）DE∥BA．
證明：如圖，延長BA交DF于G．
∵DF∥CA，
∴∠2＝∠3．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3．
∴DE∥BA．
（3）∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°．
理由：如左圖，∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠D+∠E＝180°，∠E+∠EAF＝180°，
∴∠EDF＝∠EAF＝∠A；
如右圖，∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠D+∠F＝180°，∠F＝∠CAB，
∴∠EDF+∠BAC＝180°．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及判定的運用，解題時注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系；平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．
6．（饒平縣校級期中）如圖，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝28°，∠AGF＝80°，F(xiàn)H平分∠EFG．
（1）說明：DC∥AB；
（2）求∠PFH的度數(shù)．
【分析】（1）由DC∥FP知∠3＝∠2＝∠1，可得DC∥AB；
（2）由（1）利用平行線的判定得到AB∥PF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AGF＝∠GFP，∠DEF＝∠EFP，然后利用已知條件即可求出∠PFH的度數(shù)．
【解答】解：（1）∵DC∥FP，
∴∠3＝∠2，
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠1，
∴DC∥AB；
（2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF＝28°，
∴∠DEF＝∠EFP＝28°，AB∥FP，
又∵∠AGF＝80°，
∴∠AGF＝∠GFP＝80°，
∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+28°＝108°，
又∵FH平分∠EFG，
∴∠GFH＝∠GFE＝54°，
∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣54°＝26°．
【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，首先利用同位角相等兩直線平行證明直線平行，然后利用平行線的性質(zhì)得到角的關(guān)系解決問題．
7．（奉化區(qū)校級期末）（1）如圖1，已知直線l1∥l2，且l3和l1，l2分別交于A，B兩點，點P在線段AB上，則∠1，∠2，∠3之間的等量關(guān)系是 ∠3＝∠1+∠2 ；如圖2，點A在B處北偏東40°方向，在C處的北偏西45°方向，則∠BAC＝ 85 °．
（2）如圖3，∠ABD和∠BDC的平分線交于E，BE交CD于點F，∠1+∠2＝90°，試說明：AB∥CD；并探究∠2與∠3的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）在圖1中，作PM∥AC，利用平行線性質(zhì)即可證明；利用①結(jié)論即可求得∠BAC的度數(shù)．
（2）根據(jù)BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，可得兩直線平行．根據(jù)∠1+∠2＝90°，即∠BED＝90°；那么∠3+∠FDE＝90°，將等角代換，即可得出∠3與∠2的數(shù)量關(guān)系．
【解答】解：（1）如圖1中，作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴PM∥BD，
∴∠1＝∠CPM，∠2＝∠MPD，
∴∠1+∠2＝∠CPM+∠MPD＝∠CPD＝∠3．
由題可知：∠BAC＝∠B+∠C，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝40°+45°＝85°．
故答案為：∠1+∠2＝∠3，85°．
（2）證明：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°；
∴AB∥CD；（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）
∵DE平分∠BDC，
∴∠2＝∠FDE；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BED＝∠DEF＝90°；
∴∠3+∠FDE＝90°；
∴∠2+∠3＝90°．
【點評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及平行線的判定，正確添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵．
8．（欒城區(qū)期末）已知，AC⊥AB，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠2，請問AC⊥DG嗎？請寫出推理過程．
【分析】要證AC⊥DG，由題意知，只需證AB∥DG，根據(jù)平行線的性質(zhì)及判定，利用等量代換求出∠1＝∠3即可．
【解答】解：AC⊥DG．
∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥DG，
∵AC⊥AB，
∴DG⊥AC．
【點評】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵．
9．（奉化區(qū)期末）已知EM∥BN．
（1）如圖1，求∠E+∠A+∠B的大小，并說明理由．
（2）如圖2，∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點F．
①若∠A＝120°，∠AEM＝140°，則∠EFD＝ 60° ．
②試探究∠EFD與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．
（3）如圖3，∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點F，過點F作FG⊥BD交BN于點G，若4∠A＝3∠EFG，求∠EFB的度數(shù)．
【分析】（1）過A作AQ∥EM，判定AQ∥BN，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；
（2）①由（1）的結(jié)論可求解∠ABN＝100°，利用角平分線的定義可求∠DEF＝70°，∠FBC＝50°，再結(jié)合平行線段的性質(zhì)可求解；②可采用①的解題方法換算求解；
（3）設(shè)∠EFD＝x，則∠A＝2x，根據(jù)4∠A＝3∠EFG列方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）過A作AQ∥EM，
∴∠E+∠EAQ＝180°，
∵EM∥BN，
∴AQ∥BN，
∴∠QAB+∠B＝180°，
∵∠EAB＝∠EAQ+∠QAB，
∴∠E+∠EAB+∠B＝360°；
（2）①由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，
∵∠A＝120°，∠AEM＝140°，
∴∠ABN＝100°，
∵∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點F，
∴∠DEF＝70°，∠FBC＝50°，
∵EM∥BN，
∴∠EDF＝∠FBC＝50°，
∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
故答案為60°；
②由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，
∴∠ABN＝360°﹣∠AEM﹣∠A，
∵∠AEM與∠ABN的角平分線相交于點F，
∴∠DEF＝∠AEM，∠FBC＝∠ABN，
∵EM∥BN，
∴∠EDF＝∠FBC＝∠ABN，
∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣∠AEM﹣∠ABN＝180°﹣（360°﹣∠A）＝∠A，
即∠A＝2∠EFD；
（3）設(shè)∠EFD＝x，則∠A＝2x，
由題意得4?2x＝3（90+x），
解得x＝54°，
答：∠EFB的度數(shù)為54°．
【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，注意方程思想的應(yīng)用．
10．（中山區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在BC、AC上，且AB∥DE，∠1＝∠2．
求證：AF∥BC．
【分析】先由AB∥DE得出∠2＝∠B，再由∠1＝∠2得出∠1＝∠B，進而可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵AB∥DE，
∴∠2＝∠B．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠B，
∴AF∥BC．
【點評】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等．
11．（禪城區(qū)期末）在元旦期間，某商場投入13800元資金購進甲、乙兩種商品共500件，兩種商品的成本價和銷售價如下表所示：
（1）該商場購進兩種商品各多少件？
（2）這批商品全部銷售完后，該商場共獲利多少元？
【分析】（1）設(shè)商場購進甲種商品x件，購進乙種商品y件，根據(jù)投入13800元資金購進甲、乙兩種商品共500件，列出方程組解答即可；
（2）根據(jù)總利潤＝甲的利潤+乙的利潤，列出算式求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)商場購進甲種商品x件，購進乙種商品y件，由題意得：
，
解得：，
答：商場購進甲種商品300件，購進乙種商品200件．
（2）根據(jù)題意得：
300×（36﹣24）+200×（48﹣33）
＝3600+3000
＝6600（元）．
答：該商場共獲得利潤6600元．
【點評】本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．
12．（漢壽縣期中）閱讀下列材料，解答下面的問題：
我們知道方程2x+3y＝12有無數(shù)個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數(shù)解．
例：由2x+3y＝12，得：y＝＝4﹣x（x、y為正整數(shù)）．要使y＝4﹣x為正整數(shù)，則x為正整數(shù)，可知：x為3的倍數(shù)，從而x＝3，代入y＝4﹣x＝2．所以2x+3y＝12的正整數(shù)解為．
問題：
（1）請你直接寫出方程3x+2y＝8的正整數(shù)解 ．
（2）若為自然數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)x的值有 B
A．3個B．4個C．5個D．6個
（3）關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是正整數(shù)，求整數(shù)k的值．
【分析】（1）根據(jù)二元一次方程的解得定義求出即可；
（2）根據(jù)題意得出x﹣3＝6或3或2或1，求出即可；
（3）先求出y的值，即可求出k的值．
【解答】解：（1）方程3x+2y＝8的正整數(shù)解為，
故答案為；
（2）正整數(shù)有9，6，5，4，共4個，
故選B；
（3）
①×2﹣②得：（4﹣k）y＝8，
解得：y＝，
∵x，y是正整數(shù)，k是整數(shù)，
4﹣k＝1，2，4，8，
∴k＝3，2，0，﹣4，
但k＝3時，x不是正整數(shù)，故k＝2，0，﹣4．
【點評】本題考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解的應(yīng)用，能靈活運用知識點求出特殊解是解此題的關(guān)鍵．
13．（潤州區(qū)期末）小明到某服裝商場進行社會調(diào)查，了解到該商場為了激勵營業(yè)員的工作積極性，實行“月總收入＝基本工資+計件獎金”的方法，并獲得如下信息：
營業(yè)員A：月銷售件數(shù)200件，月總收入3400元；
營業(yè)員B：月銷售件數(shù)300件，月總收入3700元；
假設(shè)營業(yè)員的月基本工資為x元，銷售每件服裝獎勵y元．
（1）求x、y的值；
（2）商場為了多銷售服裝，對顧客推薦一種購買方式：如果購買甲服裝3件，乙服裝2件，丙服裝1件共需390元；如果購買甲服裝1件，乙服裝2件，丙服裝3件共需370元．某顧客想購買甲、乙、丙服裝各一件共需多少元？
【分析】（1）根據(jù)“月銷售件數(shù)200件，月總收入3400元，月銷售件數(shù)300件，月總收入3700元”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買一件甲服裝需要a元，購買一件乙服裝需要b元，購買一件丙服裝需要c元，根據(jù)“購買甲服裝3件，乙服裝2件，丙服裝1件共需390元；購買甲服裝1件，乙服裝2件，丙服裝3件共需370元”，即可得出關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，利用（①+②）÷4即可求出購買甲、乙、丙服裝各一件的總費用．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，
解得：．
（2）設(shè)購買一件甲服裝需要a元，購買一件乙服裝需要b元，購買一件丙服裝需要c元，
根據(jù)題意得：，
（①+②）÷4，得：a+b+c＝190．
答：購買甲、乙、丙服裝各一件共需190元．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及三元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組．
14．（杭州期中）甲、乙兩人同解方程時，甲正確解得乙因為抄錯c而解得，請回答下列問題：
（1）求2a+3b﹣4c的值；
（2）求4a×8b÷42c的值（結(jié)果保留冪的形式）．
【分析】（1）根據(jù)方程的解得概念得出，解之求得a、b、c的值，代入計算可得；
（2）將a、b、c的值代入原式，再利用冪的運算法則計算可得．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，得：，
解得：a＝4、b＝5、c＝﹣2，
則原式＝2×4+3×5﹣4×（﹣2）
＝8+15+8
＝31；
（2）原式＝44×85÷4﹣4
＝28×215÷2﹣8
＝231．
【點評】本題考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
15．（杭州一模）若關(guān)于x、y的方程組與有相同的解．
（1）求這個相同的解；
（2）求m、n的值．
【分析】（1）聯(lián)立兩方程中不含m，n的方程求出相同的解即可；
（2）把求出的解代入剩下的方程中求出m與n的值即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，得：，
解得：；
（2）將x＝2、y＝﹣1代入方程組，得：，
解得：．
【點評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．
16．（蒙陰縣期末）圖1，是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．
（1）圖2中的陰影部分的面積為 （m﹣n）2 ；
（2）觀察圖2，三個代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之間的等量關(guān)系是 （m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）觀察圖3，你能得到怎樣的代數(shù)恒等式呢？
【分析】（1）表示出陰影部分的邊長，即可得出其面積；
（2）大正方形的面積減去矩形的面積即可得出陰影部分的面積，也可得出三個代數(shù)式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之間的等量關(guān)系．
（3）根據(jù)（2）所得出的關(guān)系式，可求出（x﹣y）2，繼而可得出x﹣y的值．
（4）利用兩種不同的方法表示出大矩形的面積即可得出等式．
【解答】解：（1）圖②中的陰影部分的面積為（m﹣n）2，
故答案為：（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
故答案為：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，
則x﹣y＝±5；
（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．
【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，屬于基礎(chǔ)題，注意仔細觀察圖形，表示出各圖形的面積是關(guān)鍵．
17．（椒江區(qū)校級期中）兩個多項式相除，可以先把這兩個多項式都按照同一字母降冪排列，然后再仿照兩個多位數(shù)相除的計算方法，用豎式進行計算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21計算如下：
因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）＝3x+2．
（1）閱讀上述材料后，試判斷x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，說明理由．
（2）利用上述方法解決：若多項式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求的值．
【分析】（1）直接利用豎式計算，進一步判定即可；
（2）豎式計算，根據(jù)整除的意義，利用對應(yīng)項的系數(shù)對應(yīng)倍數(shù)求得答案即可．
【解答】解：（1）x3﹣x2﹣5x﹣3能被x+1整除；
理由如下：
（2）若多項式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除則有
所以a+9＝﹣3，a＝﹣12，b＝6；
＝﹣2．
【點評】此題考查利用豎式計算整式的除法，注意同類項的對應(yīng)．
18．（汝陽縣期中）先化簡，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝﹣1．
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，整式的乘法公式計算即可；
【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4
＝x2﹣5，
當x＝﹣1時，原式＝（﹣1）2﹣5＝﹣4．
【點評】本題考查整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式、完全平方公式的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型．
19．（杭州期中）已知三個互不相等的有理數(shù)，既可以表示為1，a，a+b的形式，又可以表示0，，b的形式，試求a2n﹣1?a2n（n≥1的整數(shù)）的值．
【分析】由于有意義，則a≠0，則應(yīng)有a+b＝0，則＝﹣1，故只能b＝1，a＝﹣1了，再代入代數(shù)式求解．
【解答】解：由題可得：a≠0，a+b＝0，
∴＝﹣1，b＝1，
∴a＝﹣1，
又∵2n﹣1為奇數(shù)，﹣1的奇數(shù)次方得﹣1；2n為偶數(shù)，﹣1的偶數(shù)次方得1，
∴a2n﹣1?a2n＝（﹣1）2n﹣1×（﹣1）2n＝﹣1×1＝﹣1．
【點評】本題主要考查了實數(shù)的運算，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出未知數(shù)a，b的值．
20．（伊通縣期末）甲、乙兩人共同計算一道整式乘法題：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一個多項式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的結(jié)果為6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果為2x2﹣9x+10．
（1）求正確的a、b的值．
（2）計算這道乘法題的正確結(jié)果．
【分析】（1）按乙錯誤的說法得出的系數(shù)的數(shù)值求出a，b的值；
（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正確結(jié)果．
【解答】解：（1）（2x﹣a）（3x+b）
＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab
＝6x2+11x﹣10．
（2x+a）（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab
＝2x2﹣9x+10．
∴，
∴；
（2）（2x﹣5）（3x﹣2）
＝6x2﹣4x﹣15x+10
＝6x2﹣19x+10．
【點評】此題考查了多項式乘多項式；解題的關(guān)鍵是根據(jù)多項式乘多項式的運算法則分別進行計算，是?？碱}型，解題時要細心．
21．（紹興期中）先化簡再求值：（2a+1）2﹣（2a+1）（2a﹣1），其中a＝﹣．
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化簡，去括號合并得到最簡結(jié)果，把a的值代入計算即可求出值．
【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+1＝4a+2，
當a＝﹣時，原式＝﹣6+2＝﹣4．
【點評】此題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
22．（莆田期末）我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式．
例如：由圖1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）寫出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；寫出由圖3所表示的數(shù)學(xué)等式： （a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac ；
（2）利用上述結(jié)論，解決下面問題：已知a+b+c＝11，bc+ac+ab＝38，求a2+b2+c2的值．
【分析】（1）運用幾何直觀理解、通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式然后再通過化簡可得．
（2）可利用（1）所得的結(jié)果進行等式變換直接代入求得結(jié)果．
【解答】解：（1）由圖2可得正方形的面積為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
由圖3可得陰影部分的面積是：
（a﹣b﹣c）2＝a2﹣b2﹣c2﹣2bc﹣2（a﹣b﹣c）c﹣2（a﹣b﹣c）b＝a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac
即：（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac
故答案為：（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac
（2）由（1）可得：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac）＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝112﹣2×38＝45
【點評】本題主要是在完全平方公式的幾何背景圖形的基礎(chǔ)上，利用其解題思路求得結(jié)果．
23．（湘潭期末）王老師家買了一套新房，其結(jié)構(gòu)如圖所示，（單位：米）他打算將臥室鋪上木地板，其余部分鋪上地磚．
（1）木地板和地磚分別需要多少平方米？
（2）如果地磚的價格為每平方米x元，木地板的價格為每平方米3x元，那么王老師需要花多少錢？
【分析】（1）根據(jù)圖形可以分別表示出臥室的面積和廚房、衛(wèi)生間、客廳的面積，從而可以解答本題；
（2）根據(jù)（1）中的面積和題目中的信息，可以求得王老師需要花多少錢．
【解答】解：（1）臥室的面積是：2b（4a﹣2a）＝4ab（平方米），
廚房、衛(wèi)生間、客廳的面積是：b?（4a﹣2a﹣a）+a?（4b﹣2b）+2a?4b＝ab+2ab+8ab＝11ab（平方米），
即木地板需要4ab平方米，地磚需要11ab平方米；
（2）11ab?x+4ab?3x＝11abx+12abx＝23abx（元）
即王老師需要花23abx元．
【點評】本題考查整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是明確整式的混合運算的計算方法．
24．（杭州期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求a2b﹣ab2的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）求a+b的值．
【分析】（1）直接提取公因式ab，進而分解因式得出答案；
（2）直接利用完全平方公式進而求出答案；
（3）直接利用（2）中所求，結(jié)合完全平方公式求出答案．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣12×7＝﹣84；
（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，
∴（a﹣b）2＝49，
∴a2+b2﹣2ab＝49，
∴a2+b2＝25；
（3）∵a2+b2＝25，
∴（a+b）2＝25+2ab＝25﹣24＝1，
∴a+b＝±1．
【點評】此題主要考查了完全平方公式以及提取公因式法分解因式，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．
25．（郾城區(qū)期末）下面是某同學(xué)對多項式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進行因式分解的過程．
解：設(shè)x2﹣4x＝y(tǒng)
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y(tǒng)2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
請問：
（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的 C
A．提取公因式法B．平方差公式
C．兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式
（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？ 不徹底 ．（填“徹底”或“不徹底”）
若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果 （x﹣2）4
（3）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進行因式分解．
【分析】（1）觀察分解過程發(fā)現(xiàn)利用了完全平方公式；
（2）該同學(xué)分解不徹底，最后一步還能利用完全平方公式分解；
（3）仿照題中方法將原式分解即可．
【解答】解：（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式，選擇C，
故答案為：C；
（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，最后結(jié)果為（x﹣2）4；
故答案為：不徹底；（x﹣2）4；
（3）原式＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．
【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
26．（饒平縣校級期末）如圖，AE∥CF，∠A＝∠C．
（1）若∠1＝35°，求∠2的度數(shù)；
（2）判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若AD平分∠BDF，試說明BC平分∠DBE．
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)求得∠BDC＝∠1＝35°，然后由鄰補角的定義求得∠2的度數(shù)即可；
（2）由平行線的性質(zhì)可知：∠A+∠ADC＝180°，然后由∵∠A＝∠C，再證得∠C+∠ADC＝180°，從而可證得BC∥AD；
（3）由AE∥CF可證明∠BDF＝∠DBE，由BC∥AD，可證明∠ADB＝∠DBC，由角平分線的定義可知，∠ADB＝∠BDF，從而可證明∠DBC＝∠EBD．
【解答】解：（1）∵AE∥CF，
∴∠BDC＝∠1＝35°，
又∵∠2+∠BDC＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠BDC＝180°﹣35°＝145°；
（2）BC∥AD．
理由：∵AE∥CF，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠ADC＝180°，
∴BC∥AD．
（3）∵AE∥CF，
∴∠BDF＝∠DBE．
∵BC∥AD，
∴∠ADB＝∠DBC．
∵AD平分∠BDF，
∴∠ADB＝∠BDF，
∴∠DBC＝∠EBD．
∴BC平分∠DBE．
【點評】本題主要考查的是平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
27．（饒平縣校級期末）已知：如圖，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求證：CD⊥AB．
證明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定義）
∴DG∥AC（ 同位角相等，兩直線平行 ）
∴∠2＝ ∠ACD （ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠ ACD （等量代換）
∴EF∥CD（ 同位角相等，兩直線平行 ）
∴∠AEF＝∠ ADC （ 兩直線平行，同位角相等 ）
∵EF⊥AB（已知）
∴∠AEF＝90°（ 垂直定義 ）
∴∠ADC＝90°（ 等量代換 ）
∴CD⊥AB（ 垂直定義 ）
【分析】靈活運用垂直的定義，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，結(jié)合平行線的判定和性質(zhì)，只要證得∠ADC＝90°，即可得CD⊥AB．
【解答】解：證明過程如下：
證明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定義）
∴DG∥AC（同位角相等，兩直線平行）
∴∠2＝∠ACD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠ACD（等量代換）
∴EF∥CD（同位角相等，兩直線平行）
∴∠AEF＝∠ADC（兩直線平行，同位角相等）
∵EF⊥AB（已知）
∵∠AEF＝90°（垂直定義）
∴∠ADC＝90°（等量代換）
∴CD⊥AB（垂直定義）．
【點評】利用垂直的定義除了由垂直得直角外，還能由直角判定垂直，判斷兩直線的夾角是否為90°是判斷兩直線是否垂直的基本方法．
28．（蒙陰縣期中）如圖，點E在直線DC上，點B在直線AF上，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，則∠A＝∠D，請說明理由．
解：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DME （對頂角相等）
∴∠1＝∠DME
∴BC∥EF （同位角相等，兩直線平行）
∴∠3+∠B＝180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠B＝180°
∴ DE ∥ AB （同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）
∴∠A＝∠D （兩直線平行，內(nèi)錯角相等） ．
【分析】先根據(jù)∠1＝∠2，∠2＝∠DME即可得出∠1＝∠DME，進而判定BC∥FE，即可得出∠3+∠B＝180°，再根據(jù)∠3＝∠4，可得∠4+∠B＝180°，進而得到DE∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠A＝∠D．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DME（對頂角相等）
∴∠1＝∠DME
∴BC∥FE（同位角相等，兩直線平行）
∴∠3+∠B＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠B＝180°
∴DE∥AB（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）
∴∠A＝∠D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
故答案為：對頂角相等；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；DE，AB；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及判定，解題時注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．
29．（洞口縣模擬）如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，點E在BC上，EF⊥AB，垂足為F．∠1＝∠2，試判斷DG與BC的位置關(guān)系，并說明理由．
【分析】由垂線的性質(zhì)得出CD∥EF，由平行線的性質(zhì)得出∠2＝∠DCE，再由已知條件得出∠1＝∠DCE，即可得出結(jié)論．
【解答】解：DG∥BC，理由如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠DCE，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCE，
∴DG∥BC．
【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，證明∠1＝∠DCE是解決問題的關(guān)鍵．
30．（柯橋區(qū)期中）如圖，CD∥AB，∠DCB＝75°，∠CBF＝25°，∠EFB＝130°，問直線EF與AB有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．
【分析】兩直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交，根據(jù)圖形可以猜想兩直線平行，然后根據(jù)條件探求平行的判定條件．
【解答】解：EF∥AB，
理由如下：∵CD∥AB，∠DCB＝75°
∴∠CBA＝∠DCB＝75°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∵∠FBA＝∠CBA﹣∠CBF，∠CBF＝25°
∴∠FBA＝75°﹣25°＝50°，
∵∠EFB＝130°
∴∠FBA+∠EFB＝180°
∴EF∥AB（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．
【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，證明兩直線平行的方法就是轉(zhuǎn)化為證明兩角相等或互補．
31．（湖州期中）如圖，已知BC∥GE，AF∥DE，點D、F分別在直線BC、GE上，∠1＝50°．
（1）求∠AFG的度數(shù)；
（2）若AQ平分∠FAC，交BC于點Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度數(shù)．
【分析】（1）先根據(jù)BC∥EG得出∠E＝∠1＝50°，再由AF∥DE可知∠AFG＝∠E＝50°；
（2）作AM∥BC，由平行線的傳遞性可知AM∥EG，故∠FAM＝∠AFG，再根據(jù)AM∥BC可知∠QAM＝∠Q，故∠FAQ＝∠FAM+∠QAM，再根據(jù)AQ平分∠FAC可知∠MAC＝∠QAC+∠QAM＝80°，根據(jù)AM∥BC即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵BC∥EG，
∴∠E＝∠1＝50°．
∵AF∥DE，
∴∠AFG＝∠E＝50°；
（2）作AM∥BC，
∵BC∥EG，
∴AM∥EG，
∴∠FAM＝∠AFG＝50°．
∵AM∥BC，
∴∠QAM＝∠Q＝15°，
∴∠FAQ＝∠FAM+∠QAM＝65°．
∵AQ平分∠FAC，
∴∠QAC＝∠FAQ＝65°，
∴∠MAC＝∠QAC+∠QAM＝80°．
∵AM∥BC，
∴∠ACB＝∠MAC＝80°．
【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等．
32．（紹興期中）如圖，CD⊥AB，GF⊥AB，∠B＝∠ADE，試說明∠1＝∠2．
【分析】利用平行線的判定及性質(zhì)，通過證明∠1＝∠BCD＝∠2達到目的．
【解答】證明：∵∠B＝∠ADE（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）
∴∠1＝∠DCB．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵CD⊥AB，GF⊥AB，
∴CD∥FG（平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行），
∴∠2＝∠DCB．（兩直線平行，同位角相等）
∴∠1＝∠2．（等量代換）
【點評】此題主要考查了平行線的判定及性質(zhì)．
性質(zhì)：1、兩直線平行，同位角相等；2、兩直線平行，內(nèi)錯角相等；3、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．
判定：1、同位角相等，兩直線平行；2、內(nèi)錯角相等，兩直線平行；3、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．
33．（岳池縣期末）已知AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，垂足分別為D、G，且∠1＝∠2，猜想∠BDE與∠C有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．
【分析】根據(jù)平行線的判定定理易證AD∥FG，又由平行線的性質(zhì)、已知條件，利用等量代換推知∠DAC＝∠2，則ED∥AC，所以由“兩直線平行，同位角相等”證得結(jié)論．
【解答】解：∠BDE＝∠C，理由如下：
∵AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，
∴∠ADC＝∠FGC＝90°，
∴AD∥FG，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠2，∠DAC＝∠2，
∴ED∥AC，
∴∠BDE＝∠C．
【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是掌握平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．
34．（臨邑縣期末）已知關(guān)于x，y的方程組
（1）請直接寫出方程x+2y﹣6＝0的所有正整數(shù)解；
（2）若方程組的解滿足x+y＝0，求m的值；
（3）無論實數(shù)m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0總有一個固定的解，請直接寫出這個解？
（4）若方程組的解中x恰為整數(shù)，m也為整數(shù)，求m的值．
【分析】（1）將x做已知數(shù)求出y，即可確定出方程的正整數(shù)解．
（2）將x+y＝0與原方程組中的第一個方程組成新的方程組，可得x、y的值，再代入第二個方程中可得m的值；
（3）當含m項為零時，取x＝0，代入可得固定的解；
（4）求出方程組中x的值，根據(jù)x恰為整數(shù)，m也為整數(shù)，確定m的值．
【解答】解：（1）方程x+2y﹣6＝0，x+2y＝6，
解得：x＝6﹣2y，
當y＝1時，x＝4；當y＝2時，x＝2，
方程x+2y﹣6＝0的所有正整數(shù)解為：，；
（2）由題意得：，解得，
把代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m＝﹣；
（3）x﹣2y+mx+5＝0，
（1+m）x﹣2y＝﹣5，
∴當x＝0時，y＝2.5，
即固定的解為：，
（4），
①+②得：2x﹣6+mx+5＝0，
（2+m）x＝1，
x＝，
∵x恰為整數(shù)，m也為整數(shù)，
∴2+m是1的約數(shù)，
2+m＝1或﹣1，
m＝﹣1或﹣3．
【點評】此題考查了解二元一次方程的整數(shù)解和二元一次方程組的解，熟練掌握運算法則和求方程組的解是本題的關(guān)鍵．
35．（海淀區(qū)校級期末）某車間有工人56名，生產(chǎn)一種螺栓和螺母，每人每天平均能生產(chǎn)螺栓24個或螺母36個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使一個螺栓配2個螺母剛好配套？
【分析】本題可設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，才能使一個螺栓配2個螺母剛好配套，因為車間有工人56名，每人每天平均能生產(chǎn)螺栓24個或螺母36個，建立方程組求解即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，才能使一個螺栓配2個螺母剛好配套，
根據(jù)題意，得，
解得
答：應(yīng)分配24人生產(chǎn)螺栓，32人生產(chǎn)螺母．
【點評】此類題目的解決需仔細分析題意，利用方程組即可解決問題，但應(yīng)注意配套問題中零件數(shù)目的關(guān)系．
36．（鄞州區(qū)期中）水果市場將120噸水果運往各地商家，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如下表所示：（假設(shè)每輛車均滿載）
（1）若全部水果都用甲、乙兩種車型來運送，需運費8200元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？
（2）為了節(jié)約運費，市場可以調(diào)用甲、乙、丙三種車型參與運送（每種車型至少1輛），已知它們的總輛數(shù)為16輛，你能通過列方程組的方法分別求出幾種車型的輛數(shù)嗎？
【分析】（1）設(shè)需要甲種車型x輛，乙種車型y輛，根據(jù)水果120噸且運費為8200元，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)甲車有x輛，乙車有y輛，則丙車有z輛，列出等式，再根據(jù)x、y、z均為正整數(shù)，求出x，y的值，從而得出答案．
【解答】解析：（1）設(shè)需甲車型x輛，乙車型y輛，得：
，
解得．
答：需甲車型8輛，乙車型10輛；
（2）設(shè)需甲車型x輛，乙車型y輛，丙車型z輛，得：
，
消去z得5x+2y＝40，x＝8﹣y，
因x，y是正整數(shù)，且不大于14，得y＝5，10，
由z是正整數(shù)，解得，，
當x＝6，y＝5，z＝5時，總運費為：6×400+5×500+5×600＝7900元；
當x＝4，y＝10，z＝2時，總運費為：4×400+10×500+2×600＝7800元＜7900元；
∴運送方案：甲車型4輛，乙車型10輛，丙車型2輛．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．
37．（饒平縣校級期末）已知直線AB∥CD．
（1）如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為 ∠E＝∠END﹣∠BME ；
（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點P，試探究∠P與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直線MB、ND交于點F，則＝ ．
【分析】（1）由AB∥CD，即可得到∠END＝∠EFB，再根據(jù)∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME；
（2）由平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，即可得到∠E+2∠NPM＝180°；
（3）延長AB交DE于G，延長CD交BF于H，由平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE；依據(jù)∠CHB是△DFH的外角，即可得到∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），進而得出∠F＝∠E．
【解答】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，
∴∠END＝∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，
故答案為：∠E＝∠END﹣∠BME；
（2）如圖2，∵AB∥CD，
∴∠CNP＝∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，
∴∠E+2∠NPM＝180°；
（3）如圖3，延長AB交DE于G，延長CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，
∴∠ABM＝∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝∠CDE＝∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F＝∠E，
即．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義、三角形內(nèi)角和的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同位角以及內(nèi)錯角，依據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)進行推導(dǎo)計算．
38．（九龍坡區(qū)期末）已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．
（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為： ∠BME＝∠MEN﹣∠END ；（不需要證明）
如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為： ∠BMF＝∠MFN+∠FND ；（不需要證明）
（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；
（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．
【分析】（1）過E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，進而可求解；
（3）根據(jù)培訓(xùn)心得性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ＝∠BME，進而可求解．
【解答】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH+∠HEN＝∠BME+∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如圖2，過F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN+∠FND．
故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME+∠BMF，∠FND＝∠FNE+∠END，
∵2∠MEN+∠MFN＝180°，
∴2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME+∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME+∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME+∠END）﹣∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作輔助線是解題的關(guān)鍵．
39．（金華期中）為更好地理清平行線與相關(guān)角的關(guān)系，小明爸爸為他準備了四根細直木條AB、BC、CD、DE，做成折線ABCDE，如圖1，且在折點B、C、D處均可自由轉(zhuǎn)出．
（1）如圖2，小明將折線調(diào)節(jié)成∠B＝60°，∠C＝85°，∠D＝25°，判別AB是否平行于ED，并說明理由；
（2）如圖3，若∠C＝∠D＝25°，調(diào)整線段AB、BC使得AB∥CD，求出此時∠B的度數(shù)，要求畫出圖形，并寫出計算過程．
（3）若∠C＝85°，∠D＝25°，AB∥DE，求出此時∠B的度數(shù)，要求畫出圖形，直接寫出度數(shù)，不要求計算過程．
【分析】（1）過點C作CF∥AB，利用平行線的判定和性質(zhì)解答即可；
（2）分別畫圖3和圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)可計算∠B的度數(shù)；
（3）分別畫圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)計算出∠B的度數(shù)．
【解答】解：（1）AB∥DE，理由是：
如圖2，過點C作CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF＝60°，
∵∠BCD＝85°，
∴∠CDF＝25°，
∵∠D＝25°，
∴∠D＝∠DCF＝25°，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE；
（2）如圖3，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD＝25°；
如圖4：
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣25°＝155°；
（3）如圖2，由（1）得：∠B＝85°﹣25°＝60°；
如圖5，過C作CF∥AB，則AB∥CF∥CD，
∴∠FCD＝∠D＝25°，
∵∠BCD＝85°，
∴∠BCF＝85°﹣25°＝60°，
∵AB∥CF，
∴∠B+∠BCF＝180°，
∴∠B＝120°；
如圖6，∵∠C＝85°，∠D＝25°，
∴∠CFD＝180°﹣85°﹣25°＝70°，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠CFD＝70°，
如圖7，同理得：∠B＝25°+85°＝110°，
綜上所述，∠B的度數(shù)為60°或120°或70°或110°．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同位角以及內(nèi)錯角，依據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)進行推導(dǎo)計算．
40．（南安市期末）“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ 60 °；
（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？
（3）如圖2，若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達AN之前．若射出的光束交于點C，過C作∠ACD交PQ于點D，且∠ACD＝120°，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度數(shù)；
（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：當0＜t＜90時，根據(jù)2t＝1?（30+t），可得t＝30；當90＜t＜150時，根據(jù)1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；
（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，根據(jù)∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
∴∠BAN＝180°×＝60°，
故答案為：60；
（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，
①當0＜t＜90時，如圖1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1?（30+t），
解得t＝30；
②當90＜t＜150時，如圖2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得t＝110，
綜上所述，當t＝30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化．
理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運用，解決問題的關(guān)鍵是運用分類思想進行求解，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．
41．（拱墅區(qū)校級期中）已知關(guān)于x、y的方程組．
（1）請寫出方程x+2y＝6的所有正整數(shù)解．
（2）若方程組的解滿足x+y＝0，求m的值．
（3）當m每取一個值時，2x﹣2y+mx＝8就對應(yīng)一個方程，而這些方程有一個公共解，你能求出這個公共解嗎？
（4）如果方程組有整數(shù)解，求整數(shù)m的解．
【分析】（1）確定出方程的正整數(shù)解即可；
（2）已知方程與方程組第一個方程聯(lián)立求出x與y的值，進而求出m的值；
（3）方程變形后，確定出公共解即可；
（4）根據(jù)方程組有整數(shù)解，確定出整數(shù)m的值即可．
【解答】解：（1）方程x+2y＝6的正整數(shù)解有：，．
（2）將x+2y＝6記作①，x+y＝0記作②．
由②，得x＝﹣y．
將x＝﹣y代入①，得﹣y+2y＝6．
解得y＝6．
∴x＝﹣6．
∴2×（﹣6）﹣2×6+mx＝8．
解得，m＝．
（3）2x﹣2y+mx＝8變形得：（2+m）x﹣2y＝8，
令x＝0，得y＝﹣4，
∴無論m取如何值，都是方程2x﹣2y+mx＝8的解，
∴公共解為；
（4），
①+②得，3x+mx＝14，
∴x＝，
∵方程組有整數(shù)解，且m是整數(shù)，
∴3+m＝±1，3+m＝±2，3+m＝±7，3+m＝±14，
∴m＝﹣2或﹣4；m＝﹣1或﹣5；m＝4或﹣10；m＝11或﹣17．
此時m＝﹣1，﹣2，﹣4，﹣5，﹣17，4，11．
當m＝﹣1時，x＝7，y＝﹣，不符合題意；
當m＝﹣2時，x＝14，y＝﹣4，符合題意；
當m＝﹣4時，x＝﹣14，y＝10，符合題意；
當m＝﹣5時，x＝﹣7，y＝，不符合題意，
當m＝﹣10時，x＝﹣2，y＝4，符合題意，
當m＝﹣17時，x＝﹣1，y＝，不符合題意；
當m＝4時，x＝2，y＝2，符合題意，
當m＝11時，x＝1，y＝，不符合題意，
綜上，整數(shù)m的值為﹣2或﹣4或﹣10或4．
【點評】本題考查了二元一次方程組的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用加減消元法．
42．（拱墅區(qū)校級期中）某學(xué)校實踐課準備用圖甲所示的A型正方形板材和B型正方形板材，制作成圖乙所示的豎式和橫式兩種無蓋箱子．
（1）若學(xué)校現(xiàn)有庫存A型板材50張，B型板材100張，用這批板材制作兩種類型的箱子．
①請完成下列表格：
②恰好將庫存板材用完時，能制作出豎式和橫式的箱子各多少只．
（2）若學(xué)校新購得n張規(guī)格為3×3m的C型正方形板材，將其中一張板材切割成了3張A型板材和2張B型板材，余下板材分成兩部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不計損耗），用切割成的板材制作兩種類型的箱子，要求豎式箱子制作20只，且材料恰好用完，則n的最小值是 35 ，此時能制作橫式箱子 5 只．
【分析】（1）①根據(jù)題意做一個豎式箱子，需1張A板，4張B板，做一個橫式箱子，需2張A板，3張B板，即可解答本題；
②根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，再解方程組即可解答本題；
（2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式，從而可以解決問題．
【解答】解：（1）①如圖所示：做一個豎式箱子，需1張A板，4張B板，做一個橫式箱子，需2張A板，3張B板，
故答案為：4x，2y；
②∵恰好將庫存板材用完，根據(jù)題意，得
，
解得，
答：制作出豎式和橫式的箱子各20只和10只；
（2）設(shè)C型板有x張全部切成A板，則有（n﹣x﹣1）張全部切成B板，
且一張3×3m的C型板可以切成3×3＝9張A型板或3張B型板，
得（3+9x）張A板，[2+3（n﹣x﹣1）]＝（3n﹣3x﹣1）張B板，
因為豎式箱子制作20只用掉20張A板，80張B板，
則剩余A板（9x﹣17）張，B板（3n﹣3x﹣81）張，
根據(jù)題意，得＝，
整理，得n＝x+，
∵9x﹣17≥0，
∴x≥，
∵3n﹣3x﹣81≥0，
∴n≥x+27，
，
解得，
∵x≥，且x為整數(shù)，
∴x取最小值為2時，n＝11+（不符合題意，舍去），
當x＝3時，n＝35，
∴x取最小值為3時，n＝35最小．
此時，剩余A板10張，可以做5只橫式板．
∴n的最小值是35，此時能制作橫式箱子5只．
故答案為：35，5．
【點評】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用、二元一次方程（組）的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用方程和不等式的性質(zhì)解答．
43．（奉化區(qū)校級期末）某公園的門票價格規(guī)定如表：
（1）某校七年級甲、乙兩班共100多人去該公園舉行聯(lián)歡活動，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班為單位分別買票，兩個班一共應(yīng)付920元；如果兩個班聯(lián)合起來作為一團體購票，一共只要付515元．問：甲、乙兩班分別有多少人？
（2）若有A、B兩個團隊共160人，以各自團隊為單位分別買票，共用950元，問A、B兩個團隊各有多少人？
【分析】（1）本題等量關(guān)系有：甲班人數(shù)×8+乙班人數(shù)×10＝920；（甲班人數(shù)+乙班人數(shù)）×5＝515，據(jù)此可列方程組求解；
（2）A團隊a人，B團隊（160﹣a）人，根據(jù)收費標準進行分類討論，并列出方程進行解答．
【解答】解：（1）設(shè)甲班有x人，乙班有y人．
由題意得：，
解得：．
答：甲班55人，乙班48人；
（2）設(shè)A團隊a人，B團隊（160﹣a）人，
①當1≤a≤50時，由題意得：10a+5（160﹣a）＝950，
解得a＝30，
則160﹣a＝130．
即A團隊30人，B團隊130人；
②當51≤a＜60時，由題意得：8a+5（160﹣a）＝950，
解得a＝50，不合題意，舍去．
③當60≤a＜100時，由題意得：8a+8（160﹣a）＝950，明顯該等式不成立．
④當100≤a＜110時，5a+8（160﹣a）＝950．
解得a＝110，不合題意，舍去；
⑤當a≥110時，5a+10（160﹣a）＝950．
解得a＝130，則160﹣a＝30．
即A團隊130人，B團隊30人；
綜上所述，A團隊30人，B團隊130人或A團隊130人，B團隊30人．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．本題按購票人數(shù)分為三類門票價格．
44．（虹口區(qū)期末）我市某包裝生產(chǎn)企業(yè)承接了一批上海世博會的禮品盒制作業(yè)務(wù)，為了確保質(zhì)量，該企業(yè)進行試生產(chǎn)．他們購得規(guī)格是170cm×40cm的標準板材作為原材料，每張標準板材再按照裁法一或裁法二裁下A型與B型兩種板材．如圖甲，（單位：cm）
（1）列出方程（組），求出圖甲中a與b的值；
（2）在試生產(chǎn)階段，若將30張標準板材用裁法一裁剪，4張標準板材用裁法二裁剪，再將得到的A型與B型板材做側(cè)面和底面，做成圖乙的豎式與橫式兩種禮品盒．
①兩種裁法共產(chǎn)生A型板材 64 張，B型板材 38 張；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成豎式有蓋禮品盒x個，橫式無蓋禮品盒的y個，求x、y的值．
【分析】（1）由圖示利用板材的長列出關(guān)于a、b的二元一次方程組求解；
（2）①根據(jù)已知和圖示計算出兩種裁法共產(chǎn)生A型板材和B型板材的張數(shù)；
②根據(jù)豎式與橫式禮品盒所需要的A、B兩種型號板材的張數(shù)列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，然后求解即可．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
答：圖甲中a與b的值分別為：60、40；
（2）①由圖示裁法一產(chǎn)生A型板材為：2×30＝60，裁法二產(chǎn)生A型板材為：1×4＝4，
所以兩種裁法共產(chǎn)生A型板材為60+4＝64（張），
由圖示裁法一產(chǎn)生B型板材為：1×30＝30，裁法二產(chǎn)生A型板材為，2×4＝8，
所以兩種裁法共產(chǎn)生B型板材為30+8＝38（張），
故答案為：64，38；
②根據(jù)題意豎式有蓋禮品盒的x個，橫式無蓋禮品盒的y個，
則A型板材需要（4x+3y）個，B型板材需要（2x+2y）個，
所以，
解得．
【點評】本題考查的知識點是二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)已知先列出二元一次方程組求出a、b的值，根據(jù)圖示列出算式以及關(guān)于x、y的二元一次方程組．
45．（海安市校級模擬）江?；S計劃生產(chǎn)甲、乙兩種季節(jié)性產(chǎn)品，在春季中，甲種產(chǎn)品售價50千元/件，乙種產(chǎn)品售價30千元/件，生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品需要A、B兩種原料，生產(chǎn)甲產(chǎn)品需要A種原料4噸/件，B種原料2噸/件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品需要A種原料3噸/件，B種原料1噸/件，每個季節(jié)該廠能獲得A種原料120噸，B種原料50噸．
（1）如何安排生產(chǎn)，才能恰好使兩種原料全部用完？此時總產(chǎn)值是多少萬元？
（2）在夏季中甲種產(chǎn)品售價上漲10%，而乙種產(chǎn)品下降10%，并且要求甲種產(chǎn)品比乙種產(chǎn)品多生產(chǎn)25件，問如何安排甲、乙兩種產(chǎn)品，使總產(chǎn)值是1375千元，A，B兩種原料還剩下多少噸？
【分析】（1）可設(shè)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品y件，根據(jù)等量關(guān)系：①生產(chǎn)甲種產(chǎn)品需要的A種原料的噸數(shù)+生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需要的A種原料的噸數(shù)＝A種原料120噸，②生產(chǎn)甲種產(chǎn)品需要的B種原料的噸數(shù)+生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需要的B種原料的噸數(shù)＝B種原料50噸；依此列出方程求解即可；
（2）可設(shè)乙種產(chǎn)品生產(chǎn)z件，則生產(chǎn)甲種產(chǎn)品（z+25）件，根據(jù)等量關(guān)系：甲種產(chǎn)品的產(chǎn)值+乙種產(chǎn)品的產(chǎn)值＝總產(chǎn)值1375千元，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品y件，依題意有
，
解得，
15×50+30×20
＝750+600
＝1350（千元），
1350千元＝135萬元．
答：生產(chǎn)甲種產(chǎn)品15件，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品20件才能恰好使兩種原料全部用完，此時總產(chǎn)值是135萬元；
（2）設(shè)乙種產(chǎn)品生產(chǎn)z件，則生產(chǎn)甲種產(chǎn)品（z+25）件，依題意有
（1+10%）×50（z+25）+（1﹣10%）×30z＝1375，
解得z＝0，
z+25＝25，
120﹣25×4
＝120﹣100
＝20（噸），
50﹣25×2
＝50﹣50
＝0（噸）．
答：安排生產(chǎn)甲種產(chǎn)品25件，使總產(chǎn)值是1375千元，A種原料還剩下20噸，B種原料正好用完，還剩下0噸．
【點評】考查了二元一次方程組的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．
46．（寧城縣期末）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，請解答下列問題：
（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）根據(jù)整式乘法的運算法則，通過計算驗證上述等式．
（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝ 30 ．
（4）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形z張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為（5a+7b）（9a+4b）長方形，則x+y+z＝ 156 ．
【分析】（1）依據(jù)正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
（2）運用多項式乘多項式進行計算即可；
（3）依據(jù)a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，進行計算即可；
（4）依據(jù)所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，而（5a+7b）（9a+4b）＝45a2+20ab+63ab+28b2＝45a2+28b2+83ab，即可得到x，y，z的值．
【解答】解：（1）∵正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）證明：（a+b+c）（a+b+c），
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
＝102﹣2（ab+ac+bc），
＝100﹣2×35，
＝30．
故答案為：30；
（4）由題可知，所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，
∵（5a+7b）（9a+4b），
＝45a2+20ab+63ab+28b2，
＝45a2+28b2+83ab，
∴x＝45，y＝28，z＝83．
∴x+y+z＝45+28+83＝156．
故答案為：156．
【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，根據(jù)矩形的面積公式分整體與部分兩種思路表示出面積，然后再根據(jù)同一個圖形的面積相等即可解答．
47．（羅湖區(qū)校級期末）長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是a度/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是b度/秒，且a、b滿足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°
（1）求a、b的值；
（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？
（3）如圖2，兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達AN之前．若A射出的光束與B射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，則在轉(zhuǎn)動過程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請求出其取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，可得a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，進而得出a、b的值；
（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：①在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之前，②在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之后，分別求得t的值即可；
（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，根據(jù)∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，可得∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系．
【解答】解：（1）∵a、b滿足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，
∴a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝1；
（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，
①當0＜t＜60時，
3t＝（20+t）×1，
解得t＝10；
②當60＜t＜120時，
3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°，
解得t＝85；
③當120＜t＜160時，
3t﹣360＝t+20，
解得t＝190＞160，（不合題意）
綜上所述，當t＝10秒或85秒時，兩燈的光束互相平行；
（3）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動時間為t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
而∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，非負數(shù)的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運用，解決問題的關(guān)鍵是運用分類思想進行求解，解題時注意：若兩個非負數(shù)的和為0，則這兩個非負數(shù)均等于0．
48．（杭州期中）如圖，∠DAB＝∠BCD，∠1+∠2＝180°，BC平分∠ACH．
（1）找出圖中所有的平行直線，并說明理由．
（2）判斷：AD是∠GAC的角平分線嗎？并說明理由．
（3）填一填：圖中與∠B相等的角共有 5 個．（不包括∠B）
【分析】（1）根據(jù)平行線的判定解答即可；
（2）利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換解答即可．
【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠ACD＝180°，
∴∠1＝∠ACD，
∴AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∵∠DAB＝∠BCD，∠BCD+∠BCH＝180°，
∴∠ADC＝∠BCH，
∴AD∥BC；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AB∥DC，
∴∠GAC＝∠ACH，
∵BC平分∠ACH．
∴∠ACB＝∠BCH，
∴∠GAD＝∠DAC，
即AD平分∠GAC；
（3）∵AB∥DC，AD∥BC，
∴∠B＝∠BCH＝∠D＝∠GAD＝∠ACB＝∠DAC，
故答案為：5
【點評】此題考查平行線的判定和性質(zhì)，用到的知識點：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
49．（樂清市校級期中）如圖，已知直線CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，回答下列問題：
（1）試說明AB∥OC
（2）若點E、F在CB上，且滿足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．則∠EOB的度數(shù)為 40 °
（3）在（2）的條件下，∠OFC：∠OBF＝ 2：1 ．
【分析】（1）根據(jù)CB∥OA，可得∠C與∠OCA的關(guān)系，再根據(jù)∠C＝∠OAB＝100°可以解答本題．
（2）根據(jù)∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF，即可得到∠EOB＝∠BOF+∠EOF＝（∠AOF+∠COF），據(jù)此進行計算即可；
（3）根據(jù)∠FOB＝∠AOB，即可得到∠AOB：∠AOF＝1：2，再根據(jù)CB∥OA，可得∠AOB＝∠OBF，∠AOF＝∠OFC，進而得出結(jié)論．
【解答】解：（1）理由如下：
∵CB∥OA，
∴∠ABC+∠OAB＝180°，
∵∠C＝∠OAB＝100°，
∴∠C+∠OAB＝180°，
∴AB∥OC；
（2）∵CB∥OA，∠C＝100°，
∴∠AOC＝80°，
又∵∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF，
∴∠EOB＝∠BOF+∠EOF＝（∠AOF+∠COF）＝×80°＝40°；
故答案為：40；
（3）∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠AOB：∠AOF＝1：2，
∵CB∥OA，
∴∠AOB＝∠OBF，∠AOF＝∠OFC，
∴∠OFC：∠OBF＝2：1．
故答案為：2：1．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)、角的計算，解答本題的關(guān)鍵是理清題目中給出的信息，找出所求問題需要哪些信息．
50．（義烏市校級期中）已知：射線OP∥AE
（1）如圖1，∠AOP的角平分線交射線AE與點B，若∠BOP＝58°，求∠A的度數(shù)．
（2）如圖2，若點C在射線AE上，OB平分∠AOC交AE于點B，OD平分∠COP交AE于點D，∠ADO＝39°，求∠ABO﹣∠AOB的度數(shù)．
（3）如圖3，若∠A＝m，依次作出∠AOP的角平分線OB，∠BOP的角平分線OB1，∠B1OP的角平分線OB2，∠Bn﹣1OP的角平分線OBn，其中點B，B1，B2，…，Bn﹣1，Bn都在射線AE上，試求∠ABnO的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠1，根據(jù)平角的定義求得∠AOP＝116°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得∠A的度數(shù)；
（2）利用已知條件和平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)解答即可．
（3）根據(jù)（1）（2）的規(guī)律即可求得．
【解答】解：（1）如圖1，∵OP∥AE，
∴∠A＝∠1，
∵∠BOP＝58°，OB是∠AOP的角平分線，
∴∠AOP＝2∠BOP＝116°
∴∠1＝180°﹣116°＝64°，
∴∠A＝∠1＝64°；
（2）如圖2，
∵OP∥AE，
∴∠POD＝∠ADO＝39°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠BOC，
∵OD平分∠COP，
∴∠COP＝2∠DOP＝78°，
∴∠ABO﹣∠AOB＝∠COP＝78°；
（3）如圖3，由（1）可知，∠ABO＝（180°﹣m），∠AB1O＝（180°﹣∠OBB1）＝∠ABO＝（180°﹣m），∠AB2O＝（180°﹣m），…
則∠ABnO＝．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
商品
單價（元/件）
成本價
銷售價
甲
24
36
乙
33
48
車型
甲
乙
丙
汽車運載量（噸/輛）
5
8
10
汽車運費（元/輛）
400
500
600
x只豎式箱子
y只橫式箱子
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x
2y
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4x
3y
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