知識(shí)精講
【分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)歸納】
分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算運(yùn)算法則是：
1、加減：同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，分子相加減；
異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，再分母不變，分子相加減。
2、乘法：先約分，分子乘分子作為積的分子，分母乘分母作為積的分母。
3、除法：除以一個(gè)數(shù)就等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
【方法總結(jié)】
分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算順序是：混合計(jì)算，先算乘除法再算加減法；
如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的（先算小括號(hào)，再算中括號(hào)）；
同一級(jí)運(yùn)算，一般從左往右計(jì)算。
【分?jǐn)?shù)除法知識(shí)點(diǎn)歸納】
分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算．
分?jǐn)?shù)除法法則：
（1）分?jǐn)?shù)除以整數(shù)：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外），等于分?jǐn)?shù)乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)．
（2）一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)：一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，等于這個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的倒數(shù)．
（3）帶分?jǐn)?shù)除法：在分?jǐn)?shù)除法中，如果出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)時(shí)，不論這個(gè)帶分?jǐn)?shù)是被除數(shù)還是除數(shù)，都要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后，按照分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的法則計(jì)算．
分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算性質(zhì)：與整數(shù)除法的運(yùn)算性質(zhì)相同
（1）一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)數(shù)的積，等于這個(gè)數(shù)依次除以積的每個(gè)因數(shù)．
（2）兩個(gè)數(shù)的積除以一個(gè)數(shù)，等于用除數(shù)先除積的任意一個(gè)因數(shù)，再與另一個(gè)因數(shù)相乘．
（3）一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的商，等于這個(gè)數(shù)先乘以商中的除數(shù)，再除以商中的被除數(shù)；或者用這個(gè)數(shù)先除以商中的被除數(shù)，再乘以商中的除數(shù)．
（4）兩個(gè)數(shù)的商除以一個(gè)數(shù)，等于商中的被除數(shù)先除以這個(gè)數(shù)，再除以原來商中的除數(shù)．
（5）兩個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)，等于用除數(shù)分別去除這兩個(gè)數(shù)，再把所得的商加起來．
典題精練
1．一條公路，如果甲隊(duì)單獨(dú)修，40天完成，如果乙隊(duì)單獨(dú)修，60天才能完成。如果兩隊(duì)合修，需要多少天才能修完？
2．一件工作，王師傅單獨(dú)做20天可以完成，張師傅單獨(dú)完成用的時(shí)間是王師傅的，兩人合作，幾天可以完成？
3．張?zhí)m和李敏騎共享單車分別從距離54千米的甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，2小時(shí)后相遇張?zhí)m騎行的速度是李敏的，她倆每小時(shí)騎行的速度分別是多少？（用方程解答）
4．小李看了一本課外書，第一天看了全書的，第二天看了45頁，兩天正好看了這本書的，這本課外書有多少頁？
5．一輛卡車小時(shí)運(yùn)了一批貨物的，1小時(shí)運(yùn)這批貨物的幾分之幾？幾小時(shí)能運(yùn)完這批貨物？
6．噸菜籽可以榨油噸．
（1）榨1噸有需要多少噸菜籽？
（2）每噸菜籽可以榨多少噸油？
7．一捆電線用去了，比剩下的多40m，這捆電線原來有多少米？
8．一輛卡車以每小時(shí)54km的速度上坡行了小時(shí)，以每小時(shí)76km的速度下坡行了小時(shí),卡車上、下坡平均每小時(shí)行多少千米?
9．有一大桶水果汁，重90千克，準(zhǔn)備分裝到每瓶千克的小瓶中。已經(jīng)裝了總量的，已經(jīng)裝了多少個(gè)小瓶？
10．一批書，第一天賣出180本，第二天賣出270本，這時(shí)賣出的書是總數(shù)的。這批書一共有多少本？
11．某品牌學(xué)習(xí)機(jī)國慶節(jié)要開展促銷活動(dòng)，國慶節(jié)前漲價(jià)，國慶節(jié)降價(jià)，這時(shí)學(xué)習(xí)機(jī)的價(jià)格是2970元，學(xué)習(xí)機(jī)的原價(jià)是多少元？
12．中國著名水稻育種專家袁隆平培育的超級(jí)雜交水稻，每公斤產(chǎn)量大約是17t，相當(dāng)于原來水稻產(chǎn)量的，原來水稻每公頃產(chǎn)量大約是多少噸？
13．把50克糖放入200克的水里調(diào)成糖水。
（1）糖的重量是水的幾分之幾？
（2）糖的重量是糖水的幾分之幾？
14．一瓶油吃去千克，又吃去余下的，瓶中還有0.2千克，這瓶油原來是多少千克？
15．甲乙兩個(gè)倉庫各有糧食若干噸，從甲倉庫運(yùn)出到乙倉庫后，又從乙倉庫運(yùn)出到甲倉庫，這時(shí)乙是甲的，原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？
16．一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去3得，將它的分母加上1，則得，求這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？
17．有一根繩子用去48米，用去的比全長的多16米，這根繩子全長多少米？
18．倉庫里有一批化肥，第一次取出總數(shù)的，第二次取出總數(shù)的，這時(shí)倉庫里還剩84袋，倉庫里原來共有多少袋化肥？（列方程解答）
19．加工一批零件，甲單獨(dú)做要6天完成，乙單獨(dú)做要8天完成?，F(xiàn)在甲、乙兩人合作，多少天能完成這批零件的？
20．媽媽在商場(chǎng)買了一瓶洗面奶和一盒面膜，一共花了240元。其中洗面奶的價(jià)錢是面膜的的，洗面奶和面膜的價(jià)錢分別是多少元？（用方程解答）
21．修一條水渠，單獨(dú)修，甲隊(duì)需要20天完成，乙隊(duì)需要30天完成。如果兩隊(duì)合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低。甲隊(duì)的工作效率變?yōu)樵瓉淼奈宸种?，乙?duì)的工作效率只有原來的十分之九。現(xiàn)在計(jì)劃 16天修完這條水渠，且要兩隊(duì)合作的天數(shù)盡可能少，那么兩隊(duì)要合作幾天？
22．采取節(jié)水措施后，小明家五月份用水10噸，比四月份節(jié)約了，小明家四月份的用水多少噸？
23．工程隊(duì)修一條簡易公路，甲隊(duì)單獨(dú)修要5天，乙隊(duì)單獨(dú)修要7天，甲乙兩隊(duì)一起修，需要幾天完成任務(wù)？
24．在新型冠狀病毒防控期間，李叔叔和王叔叔都主動(dòng)參與到抗擊疫情的捐款活動(dòng)當(dāng)中。兩人共捐款540元，已知李叔叔捐的錢比王叔叔多。王叔叔捐款多少元？
25．一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做要15天完成，乙單獨(dú)做要12天完成，這件工作先由甲做若干天，然后由乙繼續(xù)做完.從開工到完工共用了13天，甲、乙各做了多少天？
26．加工一批零件，甲單獨(dú)做要15天完成，乙單獨(dú)做要10天完成。如果兩人合做加工這批零件的，需要多少天？
27．某小學(xué)六（1）班原有36名同學(xué)，其中女生占，新學(xué)期轉(zhuǎn)入幾名女生，這時(shí)女生占班級(jí)人數(shù)的，新學(xué)期轉(zhuǎn)入幾名女生？
28．一批蘋果，分給男生，每人可以分15個(gè)；分給女生，每人可以分10個(gè)。平均分給男女生，每人可以分到幾個(gè)？
答案解析
1．24天
【分析】將工作總量看作單位“1”，時(shí)間分之一可以看作效率，工作總量÷兩隊(duì)效率和＝合修時(shí)間，據(jù)此列式解答。
【詳解】
＝24（天）
答：如果兩隊(duì)合修，需要24天才能修完。
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解工作效率、工作時(shí)間、工作總量之間的關(guān)系。
2．天
【分析】先求出張師傅的工作時(shí)間，再根據(jù)“工作效率＝工作總量÷工作時(shí)間”表示出兩人的工作效率，最后利用“工作時(shí)間＝工作總量÷（王師傅的工作效率＋張師傅的工作效率）”求出兩人合作需要的天數(shù)，據(jù)此解答。
【詳解】假設(shè)工作總量為1。
王師傅的工作效率：1÷20＝
張師傅的工作效率：1÷（20×）
＝1÷12
＝
1÷（＋）
＝1÷
＝（天）
答：天可以完成。
【點(diǎn)睛】本題主要考查分?jǐn)?shù)除法的應(yīng)用，掌握工作效率、工作時(shí)間、工作總量之間的關(guān)系是解答題目的關(guān)鍵。
3．李敏的速度為15千米/小時(shí)，則張?zhí)m的速度為12千米/小時(shí)
【分析】設(shè)李敏的速度為x千米/小時(shí)，則張?zhí)m的速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)2小時(shí)兩人的路程之和是54，列出方程解方程即可。
【詳解】解：設(shè)李敏的速度為x千米/小時(shí)，則張?zhí)m的速度為x千米/小時(shí)，
（x＋x）×2＝54
x×2＝54
x×2÷2＝54÷2
x＝27
x÷＝27÷
x＝27×
x＝15
×15＝12（千米/小時(shí)）
答：李敏的速度為15千米/小時(shí)，則張?zhí)m的速度為12千米/小時(shí)。
4．150頁
【詳解】45÷（ - ）=150（頁）
5．÷＝ ÷＝ (小時(shí)) 答：1小時(shí)運(yùn)這批貨物的，小時(shí)能運(yùn)完這批貨物．
【詳解】略
6．噸；噸
【詳解】試題分析：（1）用油菜籽的質(zhì)量除以榨出油的質(zhì)量即可；
（2）用榨出油的質(zhì)量除以油菜籽的質(zhì)量即可．
解：（1）÷=（噸）；
答：榨1噸油需要噸菜籽．
（2）÷=（噸）；
答：每噸菜籽可以榨噸油．
點(diǎn)評(píng)：解決本題是把誰看成單一量，就把另一個(gè)質(zhì)量進(jìn)行平均分即可．
7． (m)
【詳解】略
8．67.2km
【分析】根據(jù)路程=速度時(shí)間，求出上坡路程和下坡路程，兩者求和得卡車上、下坡行駛的總路程，再根據(jù)速度=路程時(shí)間，用總路程除以總時(shí)間(+)得平均速度．
【詳解】
(km)
答：卡車上、下坡平均每小時(shí)行67.2km。
9．80個(gè)
【分析】求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的問題的解法：一個(gè)數(shù)（單位“1”的量）×分率＝部分量。據(jù)此先用90千克乘，求出已經(jīng)裝了多少千克；再用已經(jīng)裝的千克數(shù)除以，即可求出已經(jīng)裝了多少個(gè)小瓶。
【詳解】90×÷
＝60÷
＝60×
＝80（個(gè)）
答：已經(jīng)裝了80個(gè)小瓶。
【點(diǎn)睛】解答本題還可以先用90除以，求出一大桶水果汁一共能裝多少個(gè)小瓶，再乘即可。
10．1350本
【分析】第一天賣出180本，第二天賣出270本，則兩天共賣出180＋270本，又這時(shí)賣出的書是總數(shù)的，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用兩天賣出的本數(shù)除以其占總本數(shù)的分率，即得這批書共有多少本。
【詳解】（180＋270）÷
＝450÷
＝1350（本）
答：這批書共有1350本。
【點(diǎn)睛】此題考查的是分?jǐn)?shù)除法的應(yīng)用，掌握已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，用除法是解題關(guān)鍵。
11．3000元
【分析】學(xué)習(xí)機(jī)的原價(jià)是單位“1”，國慶節(jié)前漲價(jià)，即比原價(jià)多，原價(jià)×（1＋）＝漲價(jià)后的價(jià)格；國慶節(jié)降價(jià)，即比漲價(jià)后的價(jià)格少，漲價(jià)后的價(jià)格×（1－）＝2970。設(shè)原價(jià)為x元，則有方程x×（1＋）×（1－）＝2970。
【詳解】解：設(shè)學(xué)習(xí)機(jī)的原價(jià)是x元。
x×（1＋）×（1－）＝2970。
x××＝2970。
x＝2970÷÷
x＝2970××
x＝3000
答：學(xué)習(xí)機(jī)的原價(jià)是3000元。
【點(diǎn)睛】確定單位“1”的量是解決分?jǐn)?shù)問題的關(guān)鍵。單位“1”未知，可以列方程解答或者用除法解答。用除法解答時(shí)要注意量率對(duì)應(yīng)。
12．9噸
【分析】原來水稻產(chǎn)量的，是以原來水稻產(chǎn)量為單位“1”，根據(jù)單位“1”的量＝部分量÷對(duì)應(yīng)分率解答即可。
【詳解】17÷＝9（噸）
答：原來水稻每公頃產(chǎn)量大約是9噸。
【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)除法，解答本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)單位“1”的量。
13．（1）；（2）
【分析】糖水＝糖＋水；求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾用除法計(jì)算；據(jù)此解答。
【詳解】（1）50÷200＝
答：糖的重量是水的；
（2）50÷（200＋50）
＝50÷250
＝
答：糖的重量是糖水的。
【點(diǎn)睛】求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾用除法計(jì)算。
14．1千克
【分析】解答這類問題，在弄懂題意的前提下，從問題出發(fā)，用倒推法進(jìn)行分析，逆向分析的順序，可以用下面的線段圖來表示：
由上圖我們很容易得到下面結(jié)果：
0.2千克在余下油中的占比：
余下的油：0.2÷（千克）
原來這瓶油：＋0.8＝1（千克）
【詳解】＋0.2÷（1－）＝１（千克）
答：這瓶油原來是1千克。
【點(diǎn)睛】本題考查逆向思維，用倒推法是解決問題的關(guān)鍵，即從問題出發(fā)，一步一步倒著推理，直到解決問題。
15．
【分析】首先根據(jù)題意，設(shè)后來甲倉庫的糧食是100噸，則后來乙倉庫的糧食是90（100×=90）噸；然后把從甲倉庫運(yùn)出到乙倉庫后，乙倉庫的糧食看作單位“1”，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用90除以1﹣，求出從甲倉庫運(yùn)出到乙倉庫后，乙倉庫的糧食是多少噸；再用它乘，求出從乙倉庫運(yùn)出到甲倉庫的糧食有多少噸；再用后來甲倉庫的糧食減去從乙倉庫運(yùn)來的糧食的重量，求出從甲倉庫運(yùn)出到乙倉庫后，甲倉庫剩下的糧食是多少噸，再用它除以1﹣，求出原來甲倉庫有多少噸糧食；最后用后來兩個(gè)倉庫的糧食總量減去原來甲倉庫糧食的重量，求出原來乙倉庫的糧食有多少噸；再用原來甲倉庫的糧食重量除以原來乙倉庫的糧食重量，求出原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾即可．（1）此題主要考查了分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法的意義的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法解答．②已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，用除法解答．（2）解答此題的關(guān)鍵是分別求出原來甲、乙倉庫各有糧食多少噸．
【詳解】解：設(shè)后來甲倉庫的糧食是100噸，
則后來乙倉庫的糧食是：100×=90（噸）；
從甲倉庫運(yùn)出到乙倉庫后，乙倉庫的糧食是：
90÷（1﹣）
=90
=150（噸）
原來甲倉庫的糧食有：
（100﹣150×）÷（1﹣）
=（100﹣60）
=40
=60（噸）
原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的：
60÷（100+90﹣60）
=60÷130
=
答：原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的．
16．
【詳解】由于分?jǐn)?shù)的分母，減去3得，即分母是分子的；后來將它的分母加上1，則得二分之一，即分母是分子的2倍。來的分母比第一次減3后的分母多了3＋1＝4，也就是分子的2倍比分子的多4，所以分子是：（3＋1）÷（2－）＝8，原來的分母是8÷＋3＝15．故分?jǐn)?shù)是。
17．80米
【詳解】（48－16）÷
＝32÷
＝80（米）
答：這根繩子全長80米。
18．144袋
【詳解】解：設(shè)倉庫里原來共有Ｘ袋化肥．
Ｘ-Ｘ-Ｘ=84
Ｘ=84
Ｘ=144
19．3天
【分析】把這項(xiàng)工程總量看作單位“1”，根據(jù)工作效率＝工作總量÷工作時(shí)間，分別用1÷6和1÷8求得甲和乙各自的工作效率，然后根據(jù)工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率和，用除以兩人的工作效率和，即可求出多少天能完成這批零件的。
【詳解】1÷6＝
1÷8＝
÷（＋）
＝÷
＝ ×
＝3（天）
答：現(xiàn)在甲、乙兩人合作，3天能完成這批零件的。
【點(diǎn)睛】本題主要考查了工程問題，熟記相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵。
20．洗面奶80元，面膜160元
【分析】設(shè)面膜的價(jià)錢是x元，則洗面奶的價(jià)錢是x元，根據(jù)面膜價(jià)錢＋洗面奶價(jià)錢＝240元，列出方程求出x的值是面膜的價(jià)錢，面膜的價(jià)錢×＝洗面奶的價(jià)錢。
【詳解】解：設(shè)面膜的價(jià)錢是x元。
x＋x＝240
x×＝240×
x＝160
160×＝80（元）
答：洗面奶的價(jià)錢是80元，面膜的價(jià)錢是160元。
【點(diǎn)睛】用方程解決問題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系。
21．兩隊(duì)要合作10天
【分析】由題意得，甲的工效為，乙的工效為，甲乙的合作工效為×＋×
，可知甲乙合作工效＞甲的工效＞乙的工效。 又因?yàn)?，要求“兩?duì)合作的天數(shù)盡可能少”，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實(shí)在來不及的才應(yīng)該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊(duì)合作的天數(shù)盡可能少”。 所以可設(shè)合作時(shí)間為x天，則甲獨(dú)做時(shí)間為（16﹣x）天，由此可得等量關(guān)系式：×（16﹣x）＋＝1，解此方程即可。
【詳解】兩隊(duì)合作的工作效率為：
×＋×
設(shè)合作時(shí)間為x天，則甲獨(dú)做時(shí)間為（16﹣x）天，可得方程：
×（16﹣x）＋＝1
x＋＝1，
＝，
x＝10.
答：兩隊(duì)要合作10天。
【點(diǎn)睛】明確要使兩隊(duì)合作的天數(shù)盡可能少就要讓效率快的甲隊(duì)盡量多做是完成本題的關(guān)鍵。
22．12.5噸
【分析】把四月份用水的重量看作單位“1”，則五月份用水的重量是四月份的（1－），再根據(jù)已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，用除法計(jì)算即可。
【詳解】10÷（1－）
＝10÷
＝10×
＝12.5（噸）
答：小明家四月份的用水12.5噸。
【點(diǎn)睛】本題考查已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，明確用除法是解題的關(guān)鍵。
23．天
【分析】把修路這項(xiàng)工程的量看作單位“1”，先依據(jù)工作總量＝工作時(shí)間×工作效率，求出甲隊(duì)和乙隊(duì)的工作效率，兩隊(duì)合作后，把兩隊(duì)工作效率相加，最后根據(jù)工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率和即可解答。
【詳解】1÷5＝
1÷7＝
1÷（＋）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝（天）
答：需要天完成任務(wù)。
【點(diǎn)睛】本題考查知識(shí)點(diǎn)：依據(jù)工作時(shí)間，工作效率以及工作總量之間數(shù)量關(guān)系解決問題。
24．240元
【分析】將王叔叔捐的錢看成單位“1”，李叔叔捐的錢是王叔叔捐的錢的，則540元對(duì)應(yīng)王叔叔捐的錢的（1＋1＋）＝，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用540÷即可求出王叔叔捐款的金額；據(jù)此解答。
【詳解】540÷（1＋1＋）
＝540÷（＋＋）
＝540÷
＝240（元）
答：王叔叔捐款240元。
【點(diǎn)睛】此題考查了分?jǐn)?shù)除法的應(yīng)用，找出與已知量對(duì)應(yīng)的分率是解答此類問題的關(guān)鍵。
25．甲做了5天，乙做了8天
【詳解】解：設(shè)甲做了x天


0.2x=1
x=5
13－5=8(天)
答：甲做了5天，乙做了8天．
26．5天
【分析】把這批零件看作單位“1”，首先根據(jù)甲獨(dú)做要15天完成，乙獨(dú)做要10天完成，求出甲乙的工作效率；然后根據(jù)工作時(shí)間＝工作量÷工作效率，求出兩人合做加工這批零件的要幾天完成即可。
【詳解】1÷15＝
1÷10＝
÷（＋）
＝÷
＝5（天）
答：需要5天。
【點(diǎn)睛】解答本題需熟練掌握工作量、工作效率和工作時(shí)間之間的關(guān)系。
27．2名
【詳解】36×（1﹣）÷（1﹣）﹣36
＝36×÷﹣36
＝20÷﹣36
＝38﹣36
＝2（名）
答：新學(xué)期轉(zhuǎn)入2名女生．
28．6個(gè)
【分析】把這批蘋果看成單位“1”，男生人數(shù)為 ，女生人數(shù)為 ，這批蘋果除以男女人數(shù)之和即可。
【詳解】1÷（＋）
＝1÷
＝6（個(gè)）
答：每人可以分到6個(gè)蘋果。
【點(diǎn)睛】解題本題可以按照解決工程問題的思路，把這批蘋果看作單位“1”，求出男女生總數(shù)，根據(jù)除法的意義求出每人分得的個(gè)數(shù)。

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