廣西柳州高級(jí)中學(xué)柳南校區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）-A4

這是一份廣西柳州高級(jí)中學(xué)柳南校區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）-A4，共19頁(yè)。試卷主要包含了 已知集合則， 已知為虛數(shù)單位，的虛部為， 已知函數(shù)，且，則， 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 已知集合則（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)不等式以及一元二次不等式求集合，進(jìn)而可求交集.
【詳解】由可得，解得，可得；
由，解得或，可得或；
所以.
故選：D.
2. 已知為虛數(shù)單位，的虛部為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘方運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可判斷其虛部.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以的虛部為.
故選：C
3. 已知函數(shù)，且，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式分段討論得到方程（不等式）組，解得即可.
【詳解】因?yàn)?，且?br>則或，解得.
故選：C
4. 已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】為公差為3的等差數(shù)列，求出，代入求解即可.
【詳解】由，可知為公差為3的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，
故，
故，.
故選：C
5. 已知平面向量，滿足，，且在上的投影向量為，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量公式，與題中給出的投影向量比較，可求出,
用公式求出與夾角余弦值，確定夾角大小.
【詳解】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋?br>則，，
，
所以與的夾角為.
故選：B.
6. 設(shè)雙曲線的離心率是3,則其漸近線的方程為
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用雙曲線的離心率，求出的關(guān)系式，然后求漸近線方程.
【詳解】解：雙曲線的離心率是3，
可得，則.
則雙曲線的漸近線的方程為：.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.
7. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離記為，當(dāng)變化時(shí)，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)以及圓上點(diǎn)到直線距離的最值計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】易知的圓心為，半徑為；
且直線過(guò)定點(diǎn)0,2，
當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線與直線垂直時(shí)，圓心到直線距離最大為，
因此可知圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為.
故選：B
8. 已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將與橢圓左、右焦點(diǎn)連接起來(lái)，由橢圓的對(duì)稱性得到一個(gè)平行四邊形，利用橢圓的定義和余弦定理，結(jié)合重要不等式可得離心率的范圍.
【詳解】如圖設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)直線與橢圓相交于，連接.
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得：四邊形為平行四邊形.
由橢圓的定義有：
由余弦定理有：
即
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又的斜率存在，故不可能在軸上.
所以等號(hào)不能成立,即即，所以
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的對(duì)稱性和焦點(diǎn)三角形，考查利用橢圓的定義和余弦定理、重要不等式求橢圓的離心率的范圍，屬于難題.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.
9. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 是周期為π的奇函數(shù)B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C. 在上單調(diào)遞增D. 的值域是
【答案】CD
【解析】
【分析】先化簡(jiǎn),,A選項(xiàng)利用奇函數(shù)若x=0，則，驗(yàn)證；B選項(xiàng)令,求出fx對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；C選項(xiàng)通過(guò)令，求出fx的增區(qū)間，再判斷是否正確；D選項(xiàng)通過(guò),確定fx的值域.
【詳解】.
A選項(xiàng)：fx周期為,不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：令,,解得：,
當(dāng)時(shí)，，
所以關(guān)于對(duì)稱，fx關(guān)于對(duì)稱，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：令，，解得:，
所以fx增區(qū)間為，,
當(dāng)k=1時(shí)，則，C正確；
D選項(xiàng)：,則,,D正確.
故選：CD.
10. 正方體中，E、F、G、H分別為、BC、CD、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 平面平面
C. 面AEFD. 二面角的大小為
【答案】BC
【解析】
【分析】
通過(guò)線面垂直的判定和性質(zhì)，可判斷選項(xiàng)，通過(guò)線線和線面平行的判斷可確定和選項(xiàng)，利用空間向量法求二面角，可判斷選項(xiàng).
【詳解】解：由題可知，在底面上的射影為，而不垂直，
則不垂直于，則選項(xiàng)不正確；
連接和，E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點(diǎn)，
可知，所以平面，
則平面平面，所以選項(xiàng)正確；
由題知，可設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，
則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：
，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，得，
得平面的法向量為，
所以，所以平面，則選項(xiàng)正確；
由圖可知，平面，所以是平面的法向量，
則.
得知二面角的大小不是，所以不正確.
故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體線線、線面、面面的位置關(guān)系，利用線面垂直的性質(zhì)和線面平行的判定，以及通過(guò)向量法求二面角，同時(shí)考查學(xué)生想象能力和空間思維.
11. 已知數(shù)列滿足：，，，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 數(shù)列是等差數(shù)列B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】A.利用等差中項(xiàng)判斷；BC.根據(jù)，由數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列判斷；D.令判斷.
【詳解】因?yàn)?，，，則，而，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)椋詳?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故BC正確；
因?yàn)?，不滿足，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
三?填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.
12. 在等差數(shù)列中，，則________．
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即得.
【詳解】在等差數(shù)列中，，解得，
所以.
故答案為：6
13. 已知一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，并得到，利用點(diǎn)差法得到，由點(diǎn)斜式寫出直線方程，化為一般式即可.
【詳解】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
若，則的中點(diǎn)在軸上，而的中點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然不合要求，
故，
則，兩式相減得，
即，
由于弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故，
所以，即，故，
故直線的方程為，即.
故答案為：
14. 為了調(diào)查柳高高二年級(jí)歷史類班級(jí)對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)熱愛(ài)程度，對(duì)一教三樓的5個(gè)班級(jí)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到這5個(gè)班級(jí)中每班熱愛(ài)數(shù)學(xué)程度偏低的學(xué)生人數(shù)為（具體數(shù)據(jù)丟失）但已知這5個(gè)數(shù)據(jù)的方差為4，平均數(shù)為的最小值（其中），且這5個(gè)數(shù)互不相同，則其最大值為__________，數(shù)據(jù)的極差為__________.
【答案】 ①. 10； ②. 6.
【解析】
【分析】先根據(jù)題設(shè)結(jié)合一元二次函數(shù)性質(zhì)求出的最小值，進(jìn)而推出這5個(gè)數(shù)的和以及，從而推出這5個(gè)數(shù)及其最大值和極差.
【詳解】因?yàn)?，所以，解得?br>故
，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，
此時(shí)取得最小值7，
故，
，
這5個(gè)數(shù)互不相同，故，
不妨令，滿足，
所以這5個(gè)數(shù)中，最大值為10，數(shù)據(jù)極差為.
故答案為：10；6.
四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知數(shù)列滿足，（），令.
（1）求的值；
（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】（1），
（2）證明見解析，
【解析】
【分析】（1）采用迭代法，可求，;
（2）將轉(zhuǎn)化為，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列，算出數(shù)列的通項(xiàng)公式后即可計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
兩邊同時(shí)取倒數(shù)有：，
令，有，，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，所以.
16. 世界杯足球賽備受矚目，一時(shí)間掀起了國(guó)內(nèi)外的足球熱潮，某機(jī)構(gòu)為了解球迷對(duì)足球的喜愛(ài)，為此進(jìn)行了調(diào)查.現(xiàn)從球迷中隨機(jī)選出人作為樣本，并將這人按年齡分組:第組，第組，第組40,50，第組50,60，第組，得到頻率分布直方圖如圖所示.
（1）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（也稱第三四分位數(shù)，第百分位數(shù)）
（2）若將頻率視為概率，現(xiàn)在要從和兩組中用分層抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行座談，求抽取的人中至少有人的年齡在組的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率和為可求得年齡在對(duì)應(yīng)的頻率；根據(jù)百分位數(shù)的估計(jì)方法直接求解即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)分層抽樣的原則可確定每組中抽取的人數(shù)，采用列舉法可求得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)年齡在對(duì)應(yīng)頻率為，則，解得：，
年齡在對(duì)應(yīng)的頻率為，
年齡在對(duì)應(yīng)的頻率為，
樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)位于，設(shè)其為，
則，解得：，即樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為.
【小問(wèn)2詳解】
年齡在和對(duì)應(yīng)的頻率之比為，
抽取的人中，年齡在的有人，記為；
年齡在的有人，記為；
從抽取的人中，隨機(jī)抽取人，則有，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)基本事件；
其中滿足至少有人的年齡在組的有：，，，，，，，，，共個(gè)基本事件；
抽取的人中至少有人的年齡在組的概率.
17. 如圖，和所在平面垂直，且，求：
（1）
（2）求二面角的夾角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）證明三角形全等，得到，作出輔助線，由三線合一得到垂直關(guān)系，證明出線面垂直，得到線線垂直；
（2）法一：作出輔助線，證明出兩兩垂直，不妨設(shè)，求出其他各邊，得到，，設(shè)面與面所成角為，得到，由同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案；
法二：作出輔助線，證明出兩兩垂直，不妨設(shè)，求出其他各邊，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩平面的法向量，利用法向量夾角余弦公式求出余弦值，進(jìn)而得到二面角的夾角正弦值.
【小問(wèn)1詳解】
，
∴≌，，
取中點(diǎn)，連接，
為等腰三角形，，
又，平面，
平面，又平面，；
【小問(wèn)2詳解】
法一：射影面積法，
過(guò)點(diǎn)作⊥，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，
因?yàn)楹退谄矫娲怪?，且交線為，平面，
所以⊥平面，
由（1）知，≌，
，
故≌，故，
故⊥，同理可得平面，兩兩垂直，
不妨設(shè)，∵，
，，
設(shè)平面與平面所成角為，
由勾股定理得，
，
在中，
，
，
故二面角的夾角正弦值為；
法二：過(guò)點(diǎn)作⊥，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，
因?yàn)楹退谄矫娲怪?，且交線為，平面，
所以⊥平面，
由（1）知，≌，
，
故≌，故，
故⊥，同理可得平面，兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，方向分別為軸，如圖建系，
不妨設(shè)，∵，
，，
平面的法向量，
又，
，
設(shè)平面的法向量為，
，
令，則，故，
設(shè)平面與平面所成角為，
∴csθ=cs=u?vu?v=11?5=55，
故，
故二面角的夾角正弦值為；
18. 如圖，△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
（1）求角B的大??；
（2）已知，若D為△ABC外接圓劣弧AC上一點(diǎn)，求AD+DC的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1) 法一:利用正弦定理和兩角和的正弦公式可得，再利用三角形內(nèi)角的取值范圍即可求解；
法二:利用余弦定理得出，根據(jù)三角形內(nèi)角的取值范圍即可求解；
(2) 方法一：設(shè)，則，利用正弦定理得出，，
然后利用輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解；方法二：利用余弦定理和基本不等式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
法一:∵，由正弦定理得，
∴，
∴，∵，
∴，又∵，∴，
法二:∵，
由余弦定理得，
∴，∴，
∵，∴.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，面四邊形ABCD內(nèi)角互補(bǔ)，則，
法一:設(shè)，則，
由正弦定理得，
∴，，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.
法二:在△ADC中，，，
由余弦定理得，
∴，∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.
19. 雙曲線E的實(shí)軸兩端點(diǎn)記為，以右焦點(diǎn)F為圓心，半徑為的圓與漸近線相切.
（1）求雙曲線E的方程.
（2）過(guò)點(diǎn)F任意作直線交曲線E于同支兩點(diǎn)記為A，B.點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值.
（3）過(guò)點(diǎn)F作直線交曲線E于異支兩點(diǎn)記為C，D.設(shè)直線分別與直線，x軸相交于點(diǎn)M，T.問(wèn)：在實(shí)軸上是否存在定點(diǎn)T使恒成立，若存在，則求出對(duì)應(yīng)定直線，若不存在，則說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圓與直線相切，圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出等式得出即可求解;
（2）對(duì)直線 斜率進(jìn)行討論，通過(guò)弦長(zhǎng)公式法算出AB和點(diǎn)到直線的距離公式算出坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離即可求解；
（3）設(shè)直線的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，由等式成立，可得為的角平分線，可得直線的斜率之和為0，求出直線的斜率之和的代數(shù)式，利用韋達(dá)定理整理可得參數(shù)的值.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，焦點(diǎn)，
則以右焦點(diǎn)F為圓心，半徑為 的圓的方程為，
雙曲線的漸近線方程為，
根據(jù)圓與漸近線相切得，
焦點(diǎn)到漸近線的距離，得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知

當(dāng)直線 斜率不存在時(shí)，令，代入中得，即，
所以,
當(dāng)直線 斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，
，消去并整理得，，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，
因?yàn)橹本€交曲線E于同支兩點(diǎn)記為A，B，
所以
，解得或，
因?yàn)榈街本€的距離，
所以
,
其中.
綜上所述，當(dāng)直線 斜率不存在時(shí)，面積最小，面積為.
【小問(wèn)3詳解】
由過(guò)點(diǎn)F作直線交曲線E于異支兩點(diǎn)，得直線的斜率存在，且斜率不為0，

設(shè)直線的方程為，其中或，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?得為的角平分線，
設(shè),假設(shè)存,
聯(lián)立，整理可得：，
，
因?yàn)椋裕?br>整理可得，
，
即，
因，整理可得，即，
綜上所述，在實(shí)軸上存在定點(diǎn)使恒成立，對(duì)應(yīng)定直線是.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：存在性問(wèn)題求解的思路及策略
（1）思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在；若結(jié)論不正確則不存在．
（2）策略：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；
②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；
③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)法解題很難時(shí)，可先由特殊情況探究，再推廣到一般情況．