1．（3分）下列圖形是常見(jiàn)的安全標(biāo)記，其中屬于軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列長(zhǎng)度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．1cm，3cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．3cm，6cm，7cmD．4cm，5cm，9cm
3．（3分）已知關(guān)于x的不等式的解在數(shù)軸上表示如圖所示，則這個(gè)不等式的解集為（ ）
A．x＜﹣1B．x≤﹣1C．x≥﹣1D．x＞1
4．（3分）如圖，作△ABC的BC邊上的高，以下作法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如圖，小明家相對(duì)于學(xué)校的位置下列描述最準(zhǔn)確的是（ ）
A．距離學(xué)校1200米處
B．北偏東65°方向上的1200米處
C．南偏西65°方向上的1200米處
D．南偏西25°方向上的1200米處
6．（3分）如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于（ ）
A．120°B．105°C．60°D．45°
7．（3分）命題：①對(duì)頂角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．其中逆命題為真命題的有幾個(gè)（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（3分）如圖，小手蓋住的點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（ ）
A．（4，﹣1）B．（﹣1，﹣4）C．（2，3）D．（﹣2，2）
9．（3分）已知一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是4+2，斜邊上中線長(zhǎng)為2，則這個(gè)三角形的面積為（ ）
A．5B．2C．D．1
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D，E，F(xiàn)分別是線段AC，AB，DC的中點(diǎn)，有下列結(jié)論：①△EFB是等邊三角形；②；③；④AC＝8DG．其中正確的是（ ）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
二、填空題（每題3分，共18分）
11．（3分）用不等式表示“x與2的差不足15”就是 ．
12．（3分）命題“同位角相等，兩直線平行”的逆命題是： ．
13．（3分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB＝BD＝CD，則∠C＝ °．
14．（3分）如圖，線段OB，OC，OA的長(zhǎng)度分別是1，2，3，且OC平分∠AOB．若將點(diǎn)A表示為（3，30°），點(diǎn)B表示為（1，120°），則點(diǎn)C可表示為 ．
15．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝5，CD＝4，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為 ．
16．（3分）三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2b＝1，c＝5a+4b，則b的取值范圍是 ，c的取值范圍是 ．
三、解答題（6分+6分+8分+8分+10分+10分+12分+12分，共72分）
17．（6分）解下列一元一次不等式（組）．
（1）；
（2）．
18．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，利用直尺和圓規(guī)作圖．
（1）作出△ABC的角平分線AE；
（2）若AC＝5，BC＝12，求出斜邊AB上的高的長(zhǎng)度．
19．（8分）若方程組的解滿足﹣1＜x+y＜1，求k的取值范圍．
20．（8分）如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE＝CF．
（1）求證：∠BAE+∠F＝90°；
（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度數(shù)．
21．（10分）已知點(diǎn)P（2m+4，m﹣1），請(qǐng)分別根據(jù)下列條件，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（1）點(diǎn)P在x軸上；
（2）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)大3；
（3）點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)A（2，﹣4）且與y軸平行的直線上．
22．（10分）某學(xué)校初二年級(jí)黨支部組織“品讀經(jīng)典，錘煉黨性”活動(dòng)，需要購(gòu)買(mǎi)不同類型的書(shū)籍給黨員老師閱讀．已知購(gòu)買(mǎi)1本A類書(shū)和2本B類書(shū)共需82元；購(gòu)買(mǎi)2本A類書(shū)和1本B類書(shū)共需74元．
（1）求A，B兩類書(shū)的單價(jià)；
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A，B兩類書(shū)共34本，且A類書(shū)的數(shù)量不高于B類書(shū)的數(shù)量，購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍的花費(fèi)不得高于900元，則該學(xué)校有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？
23．（12分）在△ABC中，AB＝AC．
（1）AD是BC上的高，AD＝AE．
①如圖1，如果∠BAD＝30°，則∠EDC＝ °；
②如圖2，如果∠BAD＝40°，則∠EDC＝ °．
（2）思考：通過(guò)以上兩小題，你發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠EDC之間有什么關(guān)系？請(qǐng)用式子表示： ．
（3）如圖3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述關(guān)系？如有，請(qǐng)你寫(xiě)出來(lái)，并說(shuō)明理由．
24．（12分）如圖1，點(diǎn)C在y軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)C作BC∥x軸，以BC為斜邊作等腰直角△ABC，使得直角頂點(diǎn)A恰好落在x軸正半軸上．已知B（a，b），且a，b滿足：（a﹣8）2+|b﹣4|＝0．
（1）求點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）如圖2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連結(jié)CD，過(guò)C作CE⊥CD且CE＝CD，連接BE交AC于點(diǎn)N，求的值；
（3）如圖3，若D點(diǎn)為等腰直角△ABC外部一點(diǎn)，∠CDB＝45°，連接DB交y軸于點(diǎn)E，EF平分∠CEB交CB于F．試判斷∠CFE，∠CBD，∠CDB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
2024-2025學(xué)年浙江省杭州市余杭區(qū)樹(shù)蘭中學(xué)八年級(jí)（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案
一、選擇題：（本題共10小題，每小題3分，共30分）
1．【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，只有A選項(xiàng)能找到一條直線使圖形沿直線翻折后，能夠完全重合，是軸對(duì)稱圖形，其余B、C、D三選項(xiàng)均不能找到這樣一條直線，不是軸對(duì)稱圖形．
故選：A．
2．【解答】解：A、∵3﹣1＜3＜3+1，
∴1cm，3cm，3cm能搭成三角形，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、∵4﹣3＜5＜4+3，
∴3cm，4cm，5cm能搭成三角形，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、∵6﹣3＜7＜6+3，
∴3cm，6cm，7cm能搭成三角形，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、∵4+5＝9，
∴4cm，5cm，9cm不能搭成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
3．【解答】解：由數(shù)軸可得不等式的解集為：x≤﹣1．
故選：B．
4．【解答】解：如圖，選項(xiàng)A中，線段AD是BC邊上的高．
故選：A．
5．【解答】解：由圖形知，小明家在學(xué)校的南偏西65°方向上的1200米處，
故選：C．
6．【解答】解：如圖，∠2＝90°﹣45°＝45°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠1＝∠2+60°，
＝45°+60°，
＝105°．
故選：B．
7．【解答】解：①對(duì)頂角相等的逆命題為：相等的角是對(duì)頂角，為假命題，
②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的逆命題是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，為真命題，
③全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的逆命題是對(duì)應(yīng)邊相等的三角形是全等三角形，為真命題，
故選：C．
8．【解答】解：由圖可知，小手蓋住的點(diǎn)在第二象限，
（4，﹣1），（﹣1，﹣4），（2，3），（﹣2，2）中只有（﹣2，2）在第二象限．
故選：D．
9．【解答】解：設(shè)兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，
根據(jù)三角形的性質(zhì)知：c＝4，
∴可得：ab＝4．
故s三角形＝ab＝2．
故選：B．
10．【解答】解：①∵∠ABC＝90°，D為AC邊上的中點(diǎn)，∠A＝30°，
∴，
∴∠A＝∠DBA＝30°△BDC是等邊三角形，
∴∠CDB＝∠DBC＝∠C＝60°，
又∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，
∵BF平分∠BDC，
∴∠AFB＝90°，∠DBF＝30°，BF⊥CD，
∴∠EBF＝∠DBF+∠DBA＝60°，，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴，
∴BE＝BF，
∴△EBF是等邊三角形，
故①正確；
②∵點(diǎn)D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，
∴△ADE～△ACB，
∴，
∴，
∴，
在△BCF和△ACB中，
∠C＝∠C，∠BFC＝∠ABC＝90°，
∴△BFC～△ABC且，，
，
∴，
∴，
故②正確；
③∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE＝BE，
又∵△BEF是等邊三角形，
∴BE＝BF，
∴AE＝BF，
∴，
∵△BDC是等邊三角形，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，
∴∠AFB＝90°，∠DBF＝30°，BF⊥CD，
，
∴，
∴，
故③正確；
④∵點(diǎn)D、F分別是AC、DC的中點(diǎn)，
∴AC＝2DC＝4DF，
在Rt△ADE中∠A＝30°，
∴AD＝2DE，
∴DE＝DF，
又∵BE＝BF，
∴BD是EF的垂直平分線，
∴∠DGF＝90°，
又∵∠DFG＝180°﹣∠BFC﹣∠BFE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴DF＝2DG，
∴AC＝8DG，
故④正確．
故選：D．
二、填空題（每題3分，共18分）
11．【解答】解：由題意可得：不等式為x﹣2＜15．
故答案為：x﹣2＜15．
12．【解答】解：命題：“同位角相等，兩直線平行．”的題設(shè)是“同位角相等”，結(jié)論是“兩直線平行”．
所以它的逆命題是“兩直線平行，同位角相等．”
故答案為：“兩直線平行，同位角相等”．
13．【解答】解：設(shè)∠C＝α，則∠ABD＝∠C＝α．
∵BD＝CD，
∴∠CBD＝∠C＝α，
∴∠ADB＝∠CBD+∠C＝2α．
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝2α．
在△ABD中，∵∠ABD+∠A+∠ADB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠C＝36°．
故答案為：36．
14．【解答】解：由OC平分∠AOB得：
∠AOC＝（120°﹣30°）＝45°．
由角的和差得：
OC的方向角為30°+45°＝75°，
又∵OC的長(zhǎng)為2，
∴C點(diǎn)表示為（2，75°）．
故答案為：（2，75°）．
15．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A做AE⊥BC交BC于點(diǎn)E，如圖，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD＝5，
∵AE⊥BC，∠C＝90°，
∴AE∥CD，
∴四邊形AECD為矩形，
∴AE＝CD＝4，EC＝AD＝5，
又∵AE⊥BC，即∠AEB＝90°
∴，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AB+BE+EC+CD+AD＝22，
故答案為：22．
16．【解答】解：∵a+2b＝1，
∴a＝1﹣2b，
∵a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，
∴a≥0，b≥0，
∴1﹣2b≥0，
∴0≤b≤；
∵a+2b＝1，c＝5a+4b，
∴c﹣2＝（5a+4b）﹣2（a+2b）＝3a，
∴c＝3a+2，
∵c是非負(fù)實(shí)數(shù)，
∴a≥0，
∴0≤a≤1，
∴0≤3a≤3，2≤3a+2≤5，
即2≤c≤5，
故答案為：0≤b≤；2≤c≤5．
三、解答題（6分+6分+8分+8分+10分+10分+12分+12分，共72分）
17．【解答】解：（1）去分母得，3x﹣2≤4x，
移項(xiàng)得，3x﹣4x≤2，
合并同類項(xiàng)得，﹣x≤2，
化系數(shù)為1得，x≥﹣2．
（2），
由①得：x≤﹣4，
由②得：x＞﹣3，
∴不等式組無(wú)解．
18．【解答】解：（1）如圖，線段AE即為所求．
（2）作CH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°
∴AB＝＝＝13，
∵?AC?BC＝?AB?CH
∴CH＝＝．
19．【解答】解：①+②得：
4x+4y＝k+4
∴x+y＝，
而﹣1＜x+y＜1
∴﹣1＜＜1，
∴﹣8＜k＜0．
20．【解答】證明：（1）在Rt△ABE與Rt△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（HL），
∴∠BAE＝∠FCB，
∵∠ABC＝∠F+∠FCB＝90°，
∴∠BAE+∠F＝90°．
（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵∠CAE＝25°，
∴∠BAE＝45°﹣25°＝20°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE＝∠BCF＝20°；
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝65°．
21．【解答】解：（1）∵點(diǎn)P（2m+4，m﹣1）在x軸上，
∴m﹣1＝0，
解得m＝1，
∴2m+4＝2×1+4＝6，
m﹣1＝0，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）；
（2）∵點(diǎn)P（2m+4，m﹣1）的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)大3，
∴m﹣1﹣（2m+4）＝3，
解得m＝﹣8，
∴2m+4＝2×（﹣8）+4＝﹣12，
m﹣1＝﹣8﹣1＝﹣9，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣12，﹣9）；
（3）∵點(diǎn)P（2m+4，m﹣1）在過(guò)點(diǎn)A（2，﹣4）且與y軸平行的直線上，
∴2m+4＝2，
解得m＝﹣1，
∴m﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2）．
22．【解答】解：（1）設(shè)A類書(shū)的單價(jià)為x元，B類書(shū)的單價(jià)為y元，
依題意得：，
解得：．
答：A類書(shū)的單價(jià)為22元，B類書(shū)的單價(jià)為30元．
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A類書(shū)m本，則購(gòu)買(mǎi)B類書(shū)（34﹣m）本，
依題意得：，
解得：15≤m≤17．
又∵m為正整數(shù)，
∴m可以為15，16，17，
∴該學(xué)校共有3種購(gòu)買(mǎi)方案，
方案1：購(gòu)買(mǎi)A類書(shū)15本，B類書(shū)19本；
方案2：購(gòu)買(mǎi)A類書(shū)16本，B類書(shū)18本；
方案3：購(gòu)買(mǎi)A類書(shū)17本，B類書(shū)17本．
23．【解答】解：（1）①∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝15°．
故答案為：15；
②∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠EDC＝20°．
故答案為：20；
（2）∠EDC＝∠BAD．
故答案為：∠EDC＝∠BAD；
（3）仍成立，理由如下
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BAD＝2∠EDC．
24．【解答】解：（1）∵（a﹣8）2+|b﹣4|＝0，
∴a﹣8＝0，b﹣4＝0，
∴a＝8，b＝4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4）；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于H，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ECH+∠ACD＝90°，
又∵∠ECH+∠CEH＝90°，
∴∠CEH＝∠ACD，
在△ECH和△CDA中，
，
∴△ECH≌△CDA（AAS），
∴EH＝CA＝BA，CH＝AD＝AB＝AC，
∴H是AC的中點(diǎn)，
在△EHN和△BAN中，
，
∴△EHN≌△BAN（AAS），
∴HN＝AN＝AH＝AC，
∴CN＝AC﹣AN＝AC，
∴；
（3）2∠CFE＝2∠CDB+∠CBD．
理由如下：
設(shè)∠CFE＝α，∠CBD＝β，
∵∠ECF＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣α，
又∵∠CEF＝∠FEB，
∴∠FEB＝90°﹣α，
∵∠CFE＝∠CBD+∠FEB，
∴α＝90°﹣α+β，
即2α＝90°+β，
∵∠CDB＝45°，
∴2∠CFE＝2∠CDB+∠CBD．

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