1．（4分）下列線段中，能成比例的是
A．、、、B．、、、
C．、、、D．、、、
2．（4分）在中，，那么下列關(guān)系中，正確的是
A．B．C．D．
3．（4分）已知一個(gè)單位向量，設(shè)、是非零向量，那么下列等式中正確的是
A．B．C．D．
4．（4分）已知是線段的黃金分割點(diǎn)，且，那么下列比例式能成立的是
A．B．C．D．
5．（4分）在△中，點(diǎn)、、分別在邊、、上，聯(lián)結(jié)、，如果，，且，那么的值是
A．B．C．D．
6．（4分）如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，與交于點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)、、，如果，那么下列結(jié)論正確的是
A．B．C．D．．
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分，在答題紙相應(yīng)題號(hào)后的空格內(nèi)直接填寫答案）
7．（4分）如果，那么的值等于 ．
8．（4分）甲、乙兩地的實(shí)際距離是35千米，在比例尺為的地圖上甲乙兩地的距離是 厘米．
9．（4分）如圖，已知，它們依次交直線、于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、．如果，，那么線段的長(zhǎng)是 ．
10．（4分）已知點(diǎn)、，那么直線與軸夾角的正弦值是 ．
11．（4分）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，若，則可表示為 ．
12．（4分）如圖，與交于點(diǎn)，，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且．則的長(zhǎng)等于 ．
13．（4分）在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，且與相似，如果，那么線段的長(zhǎng)是 ．
14．（4分）如圖，在△中，點(diǎn)、分別在邊，上，與相交于點(diǎn)，，如果，那么的值等于 ．
15．（4分）如圖，正方形內(nèi)接于△，，，如果△的面積是30，那么正方形的邊長(zhǎng)是 ．
16．（4分）如圖，兩個(gè)大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，點(diǎn)在上，
，與交于點(diǎn)，連接，若，，則 ．
17．（4分）在△中，，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，線段的長(zhǎng)為 ．
18．（4分）在一個(gè)三角形中，如果有兩條中線互相垂直，我們把這樣的三角形稱為“中垂三角形”．如果△是“中垂三角形”， 、、是中線，，，那么的長(zhǎng)為 ．
三、解答題（本大題共7題，滿分0分，將下列各題的解答過(guò)程，做在答題紙的相應(yīng)位置上）
19．計(jì)算：．
20．如圖，與相交于點(diǎn)，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，若平分，，．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）設(shè)，，用含、的式子表示．
21．如圖，在△中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)、點(diǎn)在邊上，且，．
（1）求證：；
（2）如果，，，求的值．
22．如圖，在中，，，的垂直平分線交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）求的正弦值．
23．如圖，在中，是邊上的高，點(diǎn)在邊上，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，且，是的平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
求證：（1）；
（2）．
24．在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象相交于點(diǎn)和，點(diǎn)，是該反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，與軸的正半軸交于點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)解析式及△的面積；
（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到軸的距離；
（3）當(dāng)與軸夾角與相等時(shí)，求的值．
25．如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)與點(diǎn)分別位于直線的兩側(cè)，且，聯(lián)結(jié)、，交直線于點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．
（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，
①當(dāng)時(shí)，設(shè)，（其中表示的面積，表示的面積），求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；
②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．
參考答案
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分，每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，在答題紙相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上用2B鉛筆正確填涂）
1．（4分）下列線段中，能成比例的是
A．、、、B．、、、
C．、、、D．、、、
解：根據(jù)如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．
所給選項(xiàng)中，只有符合，，故選：．
2．（4分）在中，，那么下列關(guān)系中，正確的是
A．B．C．D．
解：，
，錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；
，錯(cuò)誤，
，
，正確，
故選：．
3．（4分）已知一個(gè)單位向量，設(shè)、是非零向量，那么下列等式中正確的是
A．B．C．D．
解：、與的模相等，方向不一定相同，故本選項(xiàng)不符合題意．
、計(jì)算正確，故本選項(xiàng)符合題意．
、與的模相等，方向不一定相同，故本選項(xiàng)不符合題意．
、與的模相等，方向不一定相同，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
4．（4分）已知是線段的黃金分割點(diǎn)，且，那么下列比例式能成立的是
A．B．C．D．
解：根據(jù)黃金分割定義可知：
是和的比例中項(xiàng)，
即，
．
故選：．
5．（4分）在△中，點(diǎn)、、分別在邊、、上，聯(lián)結(jié)、，如果，，且，那么的值是
A．B．C．D．
解：在△中，點(diǎn)、、分別在邊、、上，，，，如圖，
，
，
，
故選：．
6．（4分）如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，與交于點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)、、，如果，那么下列結(jié)論正確的是
A．B．C．D．．
解：，
，
，，
，
，
，
，
．
選項(xiàng)的結(jié)論正確．
，
，
，
顯然與不一定相等，
與不一定相等，
與不一定平行，
，不一定正確，
與不一定相等，
不一定正確．
故選：．
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分，在答題紙相應(yīng)題號(hào)后的空格內(nèi)直接填寫答案）
7．（4分）如果，那么的值等于 3 ．
解：，
，
故
．
故答案為：3．
8．（4分）甲、乙兩地的實(shí)際距離是35千米，在比例尺為的地圖上甲乙兩地的距離是 7 厘米．
解：35千米厘米，
在比例尺為的地圖上甲乙兩地的距離為：
（厘米），
故答案為：7．
9．（4分）如圖，已知，它們依次交直線、于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、．如果，，那么線段的長(zhǎng)是 6 ．
解：，
，
，
，
解得：，
故答案為：6
10．（4分）已知點(diǎn)、，那么直線與軸夾角的正弦值是 ．
解：，
過(guò)作軸，交軸于點(diǎn)，則，
在△中，，
直線與軸夾角的正弦值，
故答案為：．
11．（4分）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，若，則可表示為 ．
解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
故答案為；
12．（4分）如圖，與交于點(diǎn)，，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且．則的長(zhǎng)等于 ．
解：，，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案為．
13．（4分）在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，且與相似，如果，那么線段的長(zhǎng)是 8或 ．
解：如圖
，
當(dāng)，
，
即，
解得：，
當(dāng)，
，
即，
解得：，
故答案為：8或
14．（4分）如圖，在△中，點(diǎn)、分別在邊，上，與相交于點(diǎn)，，如果，那么的值等于 ．
解：，△與△等高，
，
在△中，點(diǎn)、分別在邊，上，，
，，
△△，
，
，
，
△△，
，
故答案為：．
15．（4分）如圖，正方形內(nèi)接于△，，，如果△的面積是30，那么正方形的邊長(zhǎng)是 ．
解：正方形內(nèi)接于△，，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
，，，
△△，
，
，△的面積是30，
，
，
，
，四邊形是矩形，
，
，
解得，
故答案為：．
16．（4分）如圖，兩個(gè)大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，點(diǎn)在上，
，與交于點(diǎn)，連接，若，，則 ．
解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
，
在中，，，
，，
在與中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在中，
，
在中，，
，，
在中，
，
在中，
，
，，
，
，
方法二：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
，
在中，，，
，，
在與中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在中，
，
在中，，
，，
，，
，
，
故答案為：．
17．（4分）在△中，，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，線段的長(zhǎng)為 或 ．
解：如圖1，當(dāng)時(shí)，
，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，
，，，
，
，
，，，，
直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，
，
根據(jù)題意，得，
，
，
△△，
，
，
解得；
如圖2，根據(jù)題意，得，
，
，
△△，
，
，
解得；
故答案為：或．
18．（4分）在一個(gè)三角形中，如果有兩條中線互相垂直，我們把這樣的三角形稱為“中垂三角形”．如果△是“中垂三角形”， 、、是中線，，，那么的長(zhǎng)為 或 ．
解：△為“中垂三角形”，即于點(diǎn)，
又，，
，
，
、分別是中線，連接，
是△的中位線，
，
，，
△△，
，
，
，
，
；
如圖，當(dāng)時(shí)，
同理可得，，，，
，
；
如果△是“中垂三角形”，設(shè)三條中線相交于，當(dāng)時(shí)，取中點(diǎn)，連接，過(guò)作于，
為中點(diǎn)，
，
為中點(diǎn)，
，
又，
，
，，，
，
，這與垂線段最短相矛盾，
不存在；
綜上，的長(zhǎng)為或．
故答案為：或．
三、解答題（本大題共7題，滿分0分，將下列各題的解答過(guò)程，做在答題紙的相應(yīng)位置上）
19．計(jì)算：．
解：原式
．
20．如圖，與相交于點(diǎn)，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，若平分，，．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）設(shè)，，用含、的式子表示．
解：（1），
，，
平分，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
．
21．如圖，在△中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)、點(diǎn)在邊上，且，．
（1）求證：；
（2）如果，，，求的值．
【解答】（1）證明：在△中，，，
，
，
△△，
，
；
（2）解：，，
，，
，
，，
，，
，
，
△△，
．
22．如圖，在中，，，的垂直平分線交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）求的正弦值．
解：（1）過(guò)作于，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
；
（2）過(guò)作于，
，
，
，
，
，，
，
，
．
23．如圖，在中，是邊上的高，點(diǎn)在邊上，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，且，是的平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
求證：（1）；
（2）．
【解答】證明：（1），
，
是邊上的高，
，和是直角三角形，
，
，
又，，．
，
；
（2）在和中，
，，
，
，即，
在和中
，．
，
是的平分線，
，即．
24．在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象相交于點(diǎn)和，點(diǎn)，是該反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，與軸的正半軸交于點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)解析式及△的面積；
（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到軸的距離；
（3）當(dāng)與軸夾角與相等時(shí)，求的值．
解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象相交于點(diǎn)和，
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得：
，
解得，
則反比例函數(shù)的解析式為．
當(dāng)時(shí)，，
故點(diǎn)，
設(shè)一次函數(shù)解析式為，將點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：
，
解得，
故解析式為；．
設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，如圖1，
則，
故，
．
（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖2，
則，
故△△，
，
，，
，
解得，
故，
，
點(diǎn)到軸的距離為；
（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖3，
點(diǎn)和，
，，
，
，
點(diǎn)，是該反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
，，
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
根據(jù)題意，得，
，
整理，得，（舍去），
，
解得（舍去），
．
25．如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)與點(diǎn)分別位于直線的兩側(cè)，且，聯(lián)結(jié)、，交直線于點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．
（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，
①當(dāng)時(shí)，設(shè)，（其中表示的面積，表示的面積），求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；
②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．
解：（1）是等邊三角形，
，．
，
，
，
，，，
．
過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．
設(shè)，則．
在中，，
，，
，
在中，，
，
解得．
所以線段的長(zhǎng)是．
（2）①設(shè)，則，．
，，
，
又，
，
，
又，
，
，
由（1）得在中，，，
，
．
②當(dāng)時(shí)，
，則有，
整理得，
解得或（舍棄），
．
當(dāng)時(shí)，同法可得
當(dāng)時(shí)，，
整理得，
解得（舍棄）或1，
．

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