一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 已知集合或x>1，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的定義可求得集合.
【詳解】因?yàn)榧匣騲>1，，則.
故選：C.
2. 若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算計(jì)算即得.
【詳解】由，得，所以.
故選：D
3. 若，則下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及基本不等式，逐項(xiàng)分析即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以，即，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；
由A知，兩邊同乘以正數(shù)，則，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，所以（，等?hào)不成立），
故，故D正確.
故選：D
4. 已知，則（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故選：B
5. 下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，，故AC錯(cuò)誤；
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，故B正確；
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
6. 若在R上為增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A. )B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性列式運(yùn)算得解.
【詳解】因?yàn)槭荝上單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：B.
7. 已知向量，則下列等式中，有且僅有一組實(shí)數(shù)x，y使其成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，向量的數(shù)量積，建立方程，分析方程的解的個(gè)數(shù)即可得出答案.
【詳解】當(dāng) 時(shí)，，有無(wú)數(shù)組解，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故方程有且僅有一組解，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)方程成立，方程有無(wú)數(shù)組解，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，即，即，方程有無(wú)數(shù)組解，故D錯(cuò)誤.
故選：B
8. 大面積綠化可以增加地表的綠植覆蓋，可以調(diào)節(jié)小環(huán)境的氣溫，好的綠化有助于降低氣溫日較差（一天氣溫的最高值與最低值之差）.下圖是甲、乙兩地某一天的氣溫曲線圖.假設(shè)除綠化外，其它可能影響甲、乙兩地溫度的因素均一致，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 由上圖推測(cè)，甲地的綠化好于乙地
B. 當(dāng)日時(shí)到時(shí)，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率
C. 當(dāng)日時(shí)到時(shí)，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率
D. 當(dāng)日必存在一個(gè)時(shí)刻，甲、乙兩地氣溫的瞬時(shí)變化率相同
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合圖中數(shù)據(jù)分析一一判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，由圖可知，甲地的氣溫日較差明顯小于乙地氣溫日較差，
所以甲地的綠化好于乙地，故A正確；
對(duì)于B，由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為正數(shù)，且乙地的變化趨勢(shì)更大，
所以甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率，故B正確；
對(duì)于C，由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為負(fù)數(shù)，且乙地的變化趨勢(shì)更大，
所以甲地氣溫的平均變化率大于乙地氣溫的平均變化率，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由圖可知，存在一個(gè)時(shí)刻，使得甲、乙兩地氣溫的瞬時(shí)變化率相同，故D正確.
故選：C.
9. 設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)積為.若，則“有最大值”是“公差”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】分析公差三種情況，當(dāng)時(shí)無(wú)最大值，當(dāng)時(shí)，
不一有最大值，即可得出論
【詳解】對(duì)于無(wú)窮等差數(shù)列an，由于，
當(dāng)時(shí)，若數(shù)列中小于0的項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng)，且數(shù)列中無(wú)0時(shí)，顯然沒(méi)有最大值，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，當(dāng)不等于時(shí)，，無(wú)最大值，
所以公差不能推出有最大值，
當(dāng)時(shí)，，所以趨于正無(wú)窮，為正負(fù)間隔的擺動(dòng)數(shù)列，沒(méi)有最大值，
所以當(dāng)有最大值時(shí)，只能，
綜上，“有最大值”是“公差”的充分不必要條件，
故選：A
10. 已知數(shù)列滿足，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，存在使得
B. 當(dāng)時(shí)，存在使得
C. 當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，
D. 當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，
【答案】D
【解析】
【分析】需要根據(jù)給定的值，分析數(shù)列的性質(zhì).通過(guò)對(duì)遞推式的分析和一些特殊情況的探討,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)時(shí)，.
令，.
對(duì)于二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，最大值為.
因?yàn)?，由遞推關(guān)系可知，所以不存在使得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，.
令，.
因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?，所以由遞推關(guān)系可知，不存在使得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，.
令，.
設(shè).
令，，對(duì)稱軸為，在上遞增，在上遞減.
當(dāng)時(shí)，的值不是恒大于的，所以不存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，.
設(shè).
因?yàn)椋谏线f增，在上遞減.
當(dāng)足夠大時(shí)，會(huì)趨近于某個(gè)值（），此時(shí)會(huì)趨近于.
所以存正整數(shù)，當(dāng)n>N時(shí)，，D選項(xiàng)正確.
故選：D.
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 已知，則____________.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故，
故答案為：1
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn).若角的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則____________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式求解.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，
又，
所以.
故答案為：
13. 如圖所示，四點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)處.若，則________，________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得解.
【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
則,
所以，
由可得，
即，解得,
故答案為：；
14. 已知函數(shù)滿足恒成立.
①的取值范圍是____________；
②若，則的最小值為_(kāi)___________.
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，解不等式可得的取值范圍，由確定，解出，由可得最小值.
【詳解】因?yàn)?，所?br>所以由可得，
即，
由可知，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以由可知?br>即，，
此時(shí)，所以，
解得，又，所以.
故答案為：；2
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)正弦函數(shù)最值的理解，理解了正弦函數(shù)最值就能根據(jù)恒成立轉(zhuǎn)化為，也能根據(jù)轉(zhuǎn)化出.
15. 已知函數(shù)，其定義域記為集合，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①且；
②若，則；
③存在，使得；
④對(duì)任意，存在使得.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根據(jù)解析式求定義域判斷①，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷②，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，
利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性及范圍可判斷③，取后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)可判斷④.
【詳解】由知，且，解得且，
所以且，故①正確；
當(dāng)時(shí)，
，
因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以，故②正確；
，當(dāng)時(shí)，，，
所以，又，所以，在0,1上
單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，
同理可得，在1,+∞上單調(diào)遞減，
又時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，即當(dāng)時(shí)，
函數(shù)圖象在軸下方單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象在上方單調(diào)遞減，
所以不存在，使得，故③錯(cuò)誤；
由②可聯(lián)想考慮當(dāng)時(shí)，，
即對(duì)任意，存在使得，故④正確.
故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷③時(shí)，關(guān)鍵在于求導(dǎo)數(shù)后，能分類討論得到導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再分析兩段函數(shù)圖象的上下界，才能作出正確的結(jié)論.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.
16. 已知無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）求的值；
（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列中的關(guān)系可得解；
（2）根據(jù)分組求和，利用等比數(shù)列、等差數(shù)列求和公式得解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，
又因?yàn)?，所?
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，
因?yàn)?，且?br>所以是以6為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列，
17. 設(shè)函數(shù)，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.
（1）求的值；
（2）若在上有且僅有兩個(gè)極大值點(diǎn)，求的取值范圍.
條件①：；
條件②：將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
條件③：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)的最大值為4.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化簡(jiǎn)后，選條件①，根據(jù)化簡(jiǎn)得解；選條件②，由平移可知，化簡(jiǎn)求解；選條件③，轉(zhuǎn)化為振幅得解；
（2）由正弦型函數(shù)性質(zhì)求出極大值點(diǎn)，再根據(jù)題意知在區(qū)間內(nèi)，不在區(qū)間內(nèi)即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
條件①
，
所以，
所以，解得
條件②
，
所以的圖象向右平移后所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以，即，
解得，經(jīng)驗(yàn)證：.
條件③
，
所以，其中，
由題意知，，即，
因?yàn)椋?
【小問(wèn)2詳解】
，
當(dāng)時(shí)，取得極大值，
即
因?yàn)樵谏嫌星覂H有兩個(gè)極大值點(diǎn)，
所以符合題意，
所以
18. 已知函數(shù).曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求的值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意列出方程即可求解；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，列表即可得出函數(shù)最小值.
【小問(wèn)1詳解】
，
依題意，，解得.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得
，
令，解得或，
的變化情況如下表：
由表格可知，有極小值，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以最小值為.
19. 如圖所示，某景區(qū)有兩條公路（在同一平面內(nèi)），在公路上有兩個(gè)景點(diǎn)入口游客服務(wù)中心在點(diǎn)處，已知，.
（1）已知該景區(qū)工作人員所用的對(duì)講機(jī)是同一型號(hào)，該型號(hào)對(duì)講機(jī)的信號(hào)有效覆蓋距離為3km.若不考慮其他環(huán)境因素干擾，則處的工作人員與處的工作人員能否用對(duì)講機(jī)正常通話?
（2）已知一點(diǎn)處接收到對(duì)講機(jī)的信號(hào)強(qiáng)度與到該對(duì)講機(jī)的距離的平方成反比.欲在公路CQ段上建立一個(gè)志愿服務(wù)驛站，且要求在志愿服務(wù)驛站接收景點(diǎn)入口處對(duì)講機(jī)的信號(hào)最強(qiáng).若選址使，請(qǐng)判斷該選址是否符合要求?
【答案】（1）A處工作人員對(duì)講機(jī)能與C處工作人員正常通話
（2）D點(diǎn)選址符合要求
【解析】
【分析】（1）由正弦定理求出，與3比較大小即可得出結(jié)論；
（2）由余弦定理求出，可證明，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?所以為銳角，
所以，
在中，所以，
因?yàn)?，所以A處工作人員對(duì)講機(jī)能與C處工作人員正常通話.
【小問(wèn)2詳解】
由余弦定理，
因?yàn)椋?br>所以的長(zhǎng)為點(diǎn)A與直線上所有點(diǎn)的距離的最小值，
所以D點(diǎn)選址符合要求.
20. 已知函數(shù).
（1）若在處取得極大值，求的值；
（2）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0求出，再檢驗(yàn)即可得解；
（2）分三種情況討論，討論時(shí)，列出當(dāng)變化時(shí)，的變化情況，再由零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【小問(wèn)1詳解】
的定義域?yàn)?
因?yàn)?是的極大值點(diǎn)，
所以，即，解得或
當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
此時(shí)，4是的極小值點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
此時(shí)4是的極大值點(diǎn)，符合題意.
因此，此時(shí).
【小問(wèn)2詳解】
①當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
，因此時(shí)，，
又，因此上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
因此的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.
②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，在上是增函數(shù)，
又，由零點(diǎn)存在定理知，有1個(gè)零點(diǎn)，
因此的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.
③當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
，因此時(shí)，，
又，因此在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，
因此的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.
綜上，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.
21. 對(duì)于行列的數(shù)表，定義變換：任選一組其中，對(duì)于的第行和第列的個(gè)數(shù)，將每個(gè)數(shù)同時(shí)加1，或者將每個(gè)數(shù)同時(shí)減1，其余的數(shù)不變，得到一個(gè)新數(shù)表.
（1）已知對(duì)依次進(jìn)行4次變換，如下：寫出值；
（2）已知.是否可以依次進(jìn)行有限次變換，將變換為?說(shuō)明理由；
（3）已知11行11列的數(shù)表，是否可以依次進(jìn)行次變換，將其變換為?若可以，求的最小值；若不可以，說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）不能，理由見(jiàn)解析
（3）可以，的最小值400
【解析】
【分析】（1）根據(jù)變換的定義直接得解；
（2）根據(jù)變換的規(guī)律，分析變換前后數(shù)字和的規(guī)律得解；
（3）由題意，討論三種選取方式，求出加1與減1變換次數(shù)之差，由題意得出滿足條件即可.
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)變換的定義，可得
【小問(wèn)2詳解】
不可以，理由如下:
由題可知每次變換T，數(shù)表中所有數(shù)的和增加或減少5.
因?yàn)锳中所有數(shù)的和為0，所以其經(jīng)過(guò)有限次變換T后各數(shù)和為5的倍數(shù).
而 B中所有數(shù)的和為9，不符合，故無(wú)法通過(guò)有限次變換T，將A變換為B.
【小問(wèn)3詳解】
可以，且k的最小值為 400
當(dāng)所選時(shí)，所有加l的變換T與減1的變換T次數(shù)之差設(shè)為；
當(dāng)所選且或者且時(shí)，所有加1的變換T與減1的變換T 次數(shù)之差設(shè)為；
當(dāng)所選時(shí)，加1的變換T與減1的變換T次數(shù)之差設(shè)為.
考慮變換T 對(duì)上述三部分各數(shù)之和的影響，
可知，解得，
所以，
其中符合題意的 400 次變換T構(gòu)造如下：
當(dāng)所選時(shí)，各進(jìn)行一次減1的變換T；
當(dāng)所選且或者且時(shí)，
各進(jìn)行10次加l的變換T；
當(dāng)所選時(shí)，進(jìn)行100次減l的變換T.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于理解變換含義，即一個(gè)數(shù)表通過(guò)變換后得到什么數(shù)表，核心是理解新定義.0
0
極小值
極大值
3
4
+
0
0
+
極大值
極小值
4
6
+
0
0
+
極大值
極小值
+
0
0
+
極大值
極小值
+
0
0
+
極大值
極小值

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