一、單選題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．每小題給出的四個答案中，只有一項是正確的．）
1. 下列等式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，故A錯誤．
B、，故B錯誤．
C、，故C錯誤．
D、，故D正確．
故選：D．
2. 下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、，原式計算正確，符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意；
故選：A．
3. 據(jù)中科院國家天文臺，基于我國郭守敬望遠(yuǎn)鏡和美國APOGEE巡天的觀測數(shù)據(jù)，我國天文學(xué)家精確測量了距離銀河系中心1.6萬光年至8.1萬光年范圍內(nèi)的恒星運動速度，并估算出銀河系的“體重”約為8050億個太陽質(zhì)量，其中數(shù)據(jù)“8050億”用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】8050億；
故選C．
4. 在下列四項競技運動的圖案中，是中心對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A中不是中心對稱圖形，故不符合要求；
B中是中心對稱圖形，故符合要求；
C中不是中心對稱圖形，故不符合要求；
D中不是中心對稱圖形，故不符合要求；
故選：B．
5. 把含的直角三角尺和一把直尺擺放成如圖所示的圖形，能使與互余的圖形有（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】D
【解析】如圖：
，
，
，
，
；
如圖：延長交于點，
，
，
是的一個外角，
，
；
如圖：
，
，
，
，
；
如圖：過點作，
，
，
，
，
，
，
；
所以，能使與互余的圖形有4個，
故選：D．
6. 在元旦節(jié)目匯演比賽中，7位評委給某節(jié)目打分，得到互不相等的7個分值，同時去掉一個最高分和一個最低分，則以下四種統(tǒng)計量中一定不會發(fā)生改變的是（ ）
A. 平均數(shù)B. 中位數(shù)C. 方差D. 標(biāo)準(zhǔn)差
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，從7個原始評分中去掉個最高分和個最低分，得到5個有效評分．
5個有效評分與7個原始評分相比，不變的是中位數(shù)．
故選：B．
7. 如圖，已知的兩條弦相交于點，那么的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知的兩條弦，相交于點，,
,∵，，故選：.
8. 如圖是拋物線（a，b，c是常數(shù)且）的圖象，則雙曲線和直線的大致圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)拋物線的圖象可得，當(dāng)時，，即，
∴雙曲線的圖象位于一、三象限；
∵拋物線的開口向上，
∴，
∵拋物線的對稱軸位于y軸左側(cè)，
∴，∴；
∵拋物線與y軸交于原點下方，∴，∴，
∴直線經(jīng)過第一、二、四象限，
綜上，選項A符合題意，
故選：A．
9. 如圖，將扇形沿方向平移，使點平移到的中點處，得到扇形．若，，則陰影部分的面積為（ ）
A. 6B.
C. D.
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)與交于點，連接，

點是的中點，，
∴，
∵，
∴，
由平移的性質(zhì)，得，即，
∵，
∴，
∴ ，，
由平移的性質(zhì)，得，
∴，
故選：B．
10. 我國明代《算法統(tǒng)宗》一書中有如下的類似問題：“一支竿子一條索，索比竿子長兩托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托（一托按照5尺計算）．”大意是：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，如果用繩索去量竿，繩索比竿長10尺；如果將繩索對折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此題中設(shè)竿長x尺，繩索長y尺，根據(jù)題意可列方程組為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)竿長x尺，繩索長y尺，由題意可得：，故選：B．
11. 如圖，在中，，．按照如下步驟作圖：
①分別以點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；
②作直線，交點；
③以為圓心，長為半徑作弧，交的延長線于點；
④連接．
下列說法錯誤的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，，
，
由題意得：，是的垂直平分線，
，
，
，
，
，
，
，故A正確；
，
，
，
，故B正確；
，，
，
，
，故C正確；
設(shè)，則，
解得：(負(fù)值舍去)
又∵
∴，故D選項錯誤，
故選：D．
12. 如圖，矩形，，，點是邊上的動點，點F是射線BC上的動點，且，連接，．若，則m的最小值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖，延長到G，使，連接、，

在矩形，，
∴，
又∵，∴，∴
∴，即，
∵，
∴，
∴當(dāng)G、E、C三點共線時，m取最小值為GC，
，
∴m的最小值為．
故選C．
第Ⅱ卷（非選擇題 共102分）
二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分，只要求填寫最后結(jié)果）
13. 已知關(guān)于x方程有至少一個實數(shù)解，則a的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】當(dāng)時，原方程為：，則方程為一元一次方程，有一個實數(shù)解；
當(dāng)時，方程是一元二次方程，則當(dāng)時，方程有實數(shù)解，
解得：，
綜上，關(guān)于x的方程有至少一個實數(shù)解，則a的取值范圍是．
14. 如圖，在中，，，，O為邊上的一點，以為半徑的半圓O交于點D、交AC于點E，過點D作半圓O的切線交邊于點F，且，則的半徑為__________．

【答案】
【解析】∵，，，
∴，
∴，
連接，則：，

∴，
∵是切線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
設(shè)的半徑為，則：，
由勾股定理，得：，
∴，解得：.
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象如圖所示，對任意的，稱W為a到b時y的值的“極差”（即時y的最大值與最小值的差），L為a到b時x的值的“極寬”（即b與a的差值），則當(dāng)時，W的取值范圍是___________．

【答案】
【解析】根據(jù)題意可得：，
拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)為．
，即與的差值為7，
．
，即，
．
．
當(dāng)時，隨增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，
當(dāng)時，有最大值，最大值為．
當(dāng)時，有最小值，最小值為，
．
對稱軸是直線．
當(dāng)時，隨的增大而增大．
當(dāng)時，有最小值，最小值為4．
當(dāng)時，有最大值，最大值為．
綜上所述：．
16. 圖①是某款電動平衡車，圖②是其簡化示意圖，該款平衡車的座位AB和底盤CD均平行于地面，座位AB可沿射線EF方向調(diào)節(jié)，當(dāng)座位AB的位置最低時，支架，，支架EF與座位AB的夾角，與支架GE的夾角，底盤CD到地面的距離為，則此時座位AB到地面的高度為___．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】60
【解析】過點E作，垂足為H，延長交的延長線于點M，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，∴，
∵底盤到地面的距離為，
∴此時座位到地面的高度．
17. 南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，后人也將下表稱為“楊惲三角”．則：中，第三項系數(shù)為_____．






【答案】
【解析】由題意可得，的第三項系數(shù)為，
的第三項系數(shù)為，
的第三項系數(shù)為，
的第三項系數(shù)為，
，
的第三項系數(shù)為，
故答案為：．
18. 已知等腰中，，，點D是邊的中點，沿翻折，使點A落在同一平面的點E處，若，則______．
【答案】
【解析】如圖，記的交點為F，設(shè)，，
則，，，
由翻折的性質(zhì)可知，，，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，即，整理得，；
，即，整理得，；
得，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴．
三、解答題（本大題共7個小題，共78分，寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟．）
19. （1）計算;
（2），其中．
解：（1）
；
（2）
，
當(dāng)時，原式．
20. 非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是中華民族古老生命記憶和活態(tài)的文化基因．某學(xué)校為了讓學(xué)生深入了解非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，決定邀請舞獅，農(nóng)民畫，剪紙，傳統(tǒng)武術(shù)，涼帽（竹編技藝）的相關(guān)傳承人進校園宣講，現(xiàn)隨機抽取若干名七年級學(xué)生進行投票，選擇自己喜歡的項目（假設(shè)每名學(xué)生只能選擇一項），并將投票結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）參與此次抽樣調(diào)查的學(xué)生共__________人，補全統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；
（2）若七年級學(xué)生共有人，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，試估計七年級喜歡“傳統(tǒng)武術(shù)”項目的學(xué)生人數(shù)；
（3）若該學(xué)校決定邀請兩個項目的非遺傳承人進校園宣講，請用畫樹狀圖或列表的方法，求選中農(nóng)民畫和剪紙這兩個項目的概率．
解：（1）調(diào)查學(xué)生總數(shù)為（人），
補全統(tǒng)計圖如下：

故答案為：；
（2）（人），
答：七年級喜歡“傳統(tǒng)武術(shù)”項目的學(xué)生人數(shù)有人；
（3）列表如下：
共有種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中恰好選中，這兩個項目的有種，
所以恰好選中，這兩個項目的概率為．
21. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，與反比例函數(shù)交于點B．
（1）求點A和點B的坐標(biāo)；
（2）點C是x軸正半軸上一點，連接交反比例函數(shù)于點D，連接，若，求的面積；
（3）在（2）的條件下，將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，求點E的坐標(biāo)．
解：（1）在中，當(dāng)時，，，
聯(lián)立方程組，
解得：，（舍去），
；
（2）如圖，過點B作軸于點G，過點D作軸于點H，設(shè)交y軸于點K，
，，，
，，
當(dāng)時，，解得：，，，
，，，，
，
設(shè)直線BC的解析式為，則，解得：，
直線BC的解析式為，
當(dāng)時，，，，
；
（3）過點D作軸，作于H，于G，連接，如圖，
由旋轉(zhuǎn)得：，，，
，，
，，
∵，∴點E的坐標(biāo)為，．
22. 某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購買甲、乙兩種農(nóng)機具，已知1件甲種農(nóng)機具比1件乙種農(nóng)機具多2萬元，用30萬元購買甲種農(nóng)機具的數(shù)量和用20萬元購買乙種農(nóng)機具的數(shù)量相同．
（1）求購買1件甲種農(nóng)機具和1件乙種農(nóng)機具各需多少萬元？
（2）若該糧食生產(chǎn)基地計劃購買甲、乙兩種農(nóng)機具共20件，且購買的總費用不超過92萬元，乙的數(shù)量不超過甲數(shù)量的4倍，則如何購買費用最低？最低費用是多少萬元？
解：（1）設(shè)購買1件乙種農(nóng)機具需x萬元，則購買1件甲種農(nóng)機具需萬元，
根據(jù)題意得，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
∴，
答：購買1件甲種農(nóng)機具需6萬元，1件乙種農(nóng)機具需4萬元．
（2）設(shè)該糧食生產(chǎn)基地計劃購買甲種農(nóng)機具m件，則計劃購買乙種農(nóng)機具件，
根據(jù)題意得，，解得，
所以共有三種方案，
當(dāng)時，購買甲4件，乙16件，費用（萬元）；
當(dāng)時，購買甲5件，乙15件，費用（萬元）；
當(dāng)時，購買甲6件，乙14件，費用（萬元）；
∴購買甲4件，乙16件總費用費用最低，最低費用：（萬元）
答：購買甲4件，乙16件最優(yōu)惠，費用為88萬元．
23. 已知矩形中，是的中點，于點．
（1）如圖1，若，求的值；
（2）如圖2，連接交于點，若，求的值．
解：（1）是的中點，，
四邊形是矩形，
，，，
，，
，，
；
（2）延長交的延長線于，連接，如圖2所示：
四邊形是矩形，
，，，
，
，
，
是的中點，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于點，點在軸上，且，過點作軸的垂線交拋物線于點，當(dāng)時，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，作直線交軸于點，若，求的值；
（3）如圖3，點是線段上的點，且，過點作軸的垂線交于點，交拋物線于點，是否存在合適的值，使四邊形是平行四邊形？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
解：（1）∵，，軸，
∴，
把，代入，得
，
解得：，
∴．
（2）∵點C在拋物線上，∴，
設(shè)直線解析式為，
把，代入，得，
解得：，
∴直線解析式為，
∵，，
∴
∴
把代入，得，
解得：．
∵，
∴.
（3）∵，，
∴，
對于拋物線，當(dāng)時，，
∴，
由（2）知：直線解析式為，
當(dāng)時，
∴
∴
∵
∴，，
∴，
∵軸，軸，
∴當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，
∴
解得：，
∵
∴
∴存在，當(dāng)時，四邊形是平行四邊形．
25. 如圖，為的直徑，是圓上一點，是的中點，于點，延長至點，連接，，
（1）求證：是的切線；
（2）若點是上的一點，連接、，，．
①求的值；
②若為的角平分線，求的長．
解：（1）連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∴是的切線；
（2）①解：連接，
∵是的中點，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)的半徑為，則，
解得，
經(jīng)檢驗，是方程的解，
，
，
，
，
；
②如圖，過點作交于點，
，
是的角平分線，
，
，
，
，
，
，
．

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