?2022年山東省泰安市東平縣中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.每小題給出的四個(gè)答案中，只有一項(xiàng)是正確的.）
1．（4分）在0，2，﹣2，﹣3.5這四個(gè)數(shù)中，是負(fù)整數(shù)的是（　?。?br /> A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣3.5
2．（4分）下列計(jì)算結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．（a3）4＝a12 B．a(chǎn)3?a3＝a9
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．（ab）2＝ab2
3．（4分）如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，該幾何體是（　?。?br />
A．長(zhǎng)方體 B．正方體 C．三棱柱 D．圓柱
4．（4分）如圖，已知直線AC∥BD，BF與AC交于點(diǎn)F，若∠A＝23°，∠AEB＝58°，則∠B＝（　?。?br />
A．23° B．58° C．35° D．45°
5．（4分）八年級(jí)（1）班30名學(xué)生的身高情況如表：
身高（m）
1.45
1.48
1.50
1.53
1.55
1.65
1.70
人數(shù)
x
y
6
8
5
3
1
關(guān)于身高的統(tǒng)計(jì)量中，不隨x、y的變化而變化的有（　　）
A．眾數(shù)，中位數(shù) B．中位數(shù)，方差
C．平均數(shù)，方差 D．平均數(shù)，眾數(shù)
6．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，PA．若∠P＝36°，且PA與⊙O相切，則此時(shí)∠B等于（　?。?br />
A．27° B．32° C．36° D．54°
7．（4分）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+k﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（　　）
A．1 B．﹣1 C．3或﹣1 D．﹣3
8．（4分）拋物線y＝x2+1經(jīng)過平移得到拋物線y＝（x﹣6）2+4，平移過程正確的是（　　）
A．先向左平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
B．先向左平移6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
C．先向右平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
D．先向右平移6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
9．（4分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠C＝100°，則∠BOD的度數(shù)是（　?。?br />
A．100° B．120° C．130° D．160°
10．（4分）如圖，將?DEBF的對(duì)角線EF向兩端延長(zhǎng)，分別至點(diǎn)A和點(diǎn)C，且使AE＝CF，連接AB，BC，AD，CD．求證：四邊形ABCD為平行四邊形．以下是證明過程，其順序已被打亂，①∴四邊形ABCD為平行四邊形；②∵四邊形DEBF為平行四邊形，∴OD＝OB，OE＝OF；③連接BD，交AC于點(diǎn)O；④又∵AE＝CF，∴AE+OE＝CF+OF，即OA＝OC．正確的證明步驟是（　?。?br />
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
11．（4分）如圖所示，某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD，AE，DF為梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡長(zhǎng)AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，則背水坡的坡長(zhǎng)CD為（　?。┟祝?br />
A．20 B．20 C．10 D．20
12．（4分）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別在BC、CD上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），連接BF、AE，交于點(diǎn)P，且滿足．連接CP，若AB＝4，BC＝6，則CP的最小值為（　?。?br />
A．2﹣3 B．2﹣2 C．5 D．3
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分.只要求填寫最后結(jié)果）
13．（4分）納米是一種長(zhǎng)度單位，1納米＝10﹣9米，冠狀病毒的直徑為1.2×102納米，用科學(xué)記數(shù)法表示為 　 　米．
14．（4分）在《九章算術(shù)》中，二元一次方程組是通過“算籌”擺放的．若圖中各行從左到右列出的三組算籌分別表示未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，如圖1表示方程組是，則如圖2表示的方程組是　 ?。?br />
15．（4分）已知拋物線y＝ax2+bx+c如圖所示，它與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是﹣1，5．
對(duì)于下列結(jié)論：
①abc＞0；
②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5；
③9a﹣3b+c＜0；
④當(dāng)x＜2時(shí)，y隨著x的增大而增大．
其中正確的結(jié)論是 　 ?。ㄌ顚懡Y(jié)論的序號(hào)）．

16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以AB、BC、AC邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”．當(dāng)AB＝8，BC＝4時(shí)，則陰影部分的面積為 　 　．

17．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（8，0），（8，6），（0，6），點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△OCD沿OD翻折，使點(diǎn)C落到點(diǎn)E處．當(dāng)B，E兩點(diǎn)之間距離最短時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 　 　．

18．（4分）如圖，已知等邊△ABC，D是邊BC的中點(diǎn)，過D作DE∥AB于E，連接BE交AD于D1；過D1作D1E1∥AB于E1，連接BE1交AD于D2；過D2作D2E2∥AB于E2，…，如此繼續(xù)，若記S△BDE為S1，記為S2，記為S3…，若S△ABC面積為Scm2，則Sn＝　 　cm2（用含n與S的代數(shù)式表示）

三、解答題（本大題共7小題，共78分寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）
19．（10分）（1）先化簡(jiǎn)，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．
（2）解不等式：﹣≤1．
20．（10分）“青年大學(xué)習(xí)”是由共青團(tuán)中央發(fā)起，廣大青年參與，通過學(xué)習(xí)來提升自身理論水平、思維層次的行動(dòng)．夢(mèng)想從學(xué)習(xí)開始，事業(yè)從實(shí)踐起步．某校為了解九年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)“青年大學(xué)習(xí)”的情況，隨機(jī)抽取部分九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，按照調(diào)查結(jié)果，將學(xué)習(xí)情況分為優(yōu)秀、良好、合格、較差四個(gè)等級(jí)．學(xué)校繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）本次參與問卷調(diào)查的初中生共有　 　人，將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“合格”所對(duì)應(yīng)的百分比為　 　%，“較差”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為　 　度；
（3）該校某班有4名同學(xué)（2名男同學(xué)、2名女同學(xué)）在調(diào)查中獲得“優(yōu)秀”等級(jí)，班主任將從這4名同學(xué)中隨機(jī)選取2名同學(xué)，代表班級(jí)參加學(xué)校組織的“青年大學(xué)習(xí)”演講大賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩位同學(xué)恰好是1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的概率．
21．（11分）如圖，一次函數(shù)y＝x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于B，D兩點(diǎn)，且AC＝BC．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）已知P是x軸正半軸上一點(diǎn)，作PM⊥x軸交直線AB于點(diǎn)M，交雙曲線于點(diǎn)N，當(dāng)O，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

22．（11分）我校在開學(xué)初購(gòu)買了A、B兩種品牌的排球，購(gòu)買A品牌排球花費(fèi)了2500元，購(gòu)買B品牌排球花費(fèi)了2000元，且購(gòu)買A品牌的排球數(shù)量是購(gòu)買B品牌排球數(shù)量的2倍，已知購(gòu)買一個(gè)B品牌排球比購(gòu)買一個(gè)A品牌排球多花30元．
（1）求購(gòu)買一個(gè)A品牌、一個(gè)B品牌的排球各需多少元？
（2）學(xué)校決定再次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌排球共50個(gè)，恰逢兩種品牌排球的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，A品牌排球售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)提高了8%，B品牌排球按第一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的9折出售，如果學(xué)校第二次購(gòu)買A、B兩種品牌排球的總費(fèi)用不超過3240元，那么學(xué)校第二次最多可購(gòu)買多少個(gè)B品牌排球？
23．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．
（1）如圖1所示，點(diǎn)M，N分別在線段AD，AB上，且∠BMN＝90°，當(dāng)∠AMN＝30°，AB＝時(shí)，求線段AM的長(zhǎng)；
（2）如圖2所示，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且BE＝AF，求證：△DEF是等腰直角三角形；
（3）如圖3所示，點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在AC上，且∠BMN＝90°，求證：AB+AN＝AM．
24．（12分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)D是在直線AC上方的拋物線的一點(diǎn)，DN⊥AC于點(diǎn)N，DM∥y軸交AC于點(diǎn)M，求△DMN周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，OP與AC相交于點(diǎn)Q，求的最大值．
25．（12分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，CF，且CF是⊙O的切線．
（1）求證：∠DCF＝∠CAD．
（2）探究線段CF，F(xiàn)D，F(xiàn)A的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
（3）若cosB＝，AD＝2，求FD的長(zhǎng)．


2022年山東省泰安市東平縣中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.每小題給出的四個(gè)答案中，只有一項(xiàng)是正確的.）
1．（4分）在0，2，﹣2，﹣3.5這四個(gè)數(shù)中，是負(fù)整數(shù)的是（　?。?br /> A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣3.5
【解答】解：A．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；
B．2是正整數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；
C．﹣2是負(fù)整數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；
D．﹣3.5不是整數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
2．（4分）下列計(jì)算結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．（a3）4＝a12 B．a(chǎn)3?a3＝a9
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．（ab）2＝ab2
【解答】解：A、原式＝a12，故A符合題意．
B、原式＝a6，故B不符合題意．
C、原式＝4a2，故C不符合題意．
D、原式＝a2b2，故D不符合題意．
故選：A．
3．（4分）如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，該幾何體是（　?。?br />
A．長(zhǎng)方體 B．正方體 C．三棱柱 D．圓柱
【解答】解：俯視圖是三角形的，因此這個(gè)幾何體的上面、下面是三角形的，正視圖和左視圖是長(zhǎng)方形的，且左視圖的長(zhǎng)方形的寬較窄，因此判斷這個(gè)幾何體是三棱柱，
故選：C．
4．（4分）如圖，已知直線AC∥BD，BF與AC交于點(diǎn)F，若∠A＝23°，∠AEB＝58°，則∠B＝（　?。?br />
A．23° B．58° C．35° D．45°
【解答】解：∵∠AEB＝58°，
∴∠AEF＝180°﹣58°＝122°，
∴∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝180°﹣23°﹣122°＝35°，
∵AC∥BD，
∴∠B＝∠AFE＝35°．
故選：C．
5．（4分）八年級(jí)（1）班30名學(xué)生的身高情況如表：
身高（m）
1.45
1.48
1.50
1.53
1.55
1.65
1.70
人數(shù)
x
y
6
8
5
3
1
關(guān)于身高的統(tǒng)計(jì)量中，不隨x、y的變化而變化的有（　　）
A．眾數(shù)，中位數(shù) B．中位數(shù)，方差
C．平均數(shù)，方差 D．平均數(shù)，眾數(shù)
【解答】解：由題意得：x+y＝30﹣6﹣8﹣5﹣3﹣1＝7，
所以眾數(shù)為1.53，中位數(shù)也是1.53，
所以眾數(shù)、中位數(shù)不會(huì)隨著x、y的變化而變化，
故選：A．
6．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，PA．若∠P＝36°，且PA與⊙O相切，則此時(shí)∠B等于（　?。?br />
A．27° B．32° C．36° D．54°
【解答】解：∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAO＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝54°，
∵OB＝OC，
∴∠AOP＝2∠B，
∴∠B＝∠AOP＝27°，
故選：A．
7．（4分）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+k﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．3或﹣1 D．﹣3
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+k﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴k﹣1≠0且Δ＝42﹣4（k﹣1）2＝0，
解得k＝3或﹣1．
故選：C．
8．（4分）拋物線y＝x2+1經(jīng)過平移得到拋物線y＝（x﹣6）2+4，平移過程正確的是（　?。?br /> A．先向左平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
B．先向左平移6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
C．先向右平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
D．先向右平移6個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
【解答】解：拋物線y＝x2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），拋物線y＝x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），而點(diǎn)（0，1）先向右平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后可得點(diǎn)（6，4），
所以拋物線y＝x2+1先向右平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后可得拋物線y＝（x﹣6）2+4，
故選：C．
9．（4分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠C＝100°，則∠BOD的度數(shù)是（　?。?br />
A．100° B．120° C．130° D．160°
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠C＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝80°，
∴∠BOD＝2∠A＝160°，
故選：D．
10．（4分）如圖，將?DEBF的對(duì)角線EF向兩端延長(zhǎng)，分別至點(diǎn)A和點(diǎn)C，且使AE＝CF，連接AB，BC，AD，CD．求證：四邊形ABCD為平行四邊形．以下是證明過程，其順序已被打亂，①∴四邊形ABCD為平行四邊形；②∵四邊形DEBF為平行四邊形，∴OD＝OB，OE＝OF；③連接BD，交AC于點(diǎn)O；④又∵AE＝CF，∴AE+OE＝CF+OF，即OA＝OC．正確的證明步驟是（　?。?br />
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
【解答】解：連接BD，交AC于點(diǎn)O，如圖所示：
∵四邊形DEBF為平行四邊形，
∴OD＝OB，OE＝OF，
又∵AE＝CF，
∴AE+OE＝CF+OF，
即OA＝OC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
即正確的證明步驟是③②④①，
故選：C．

11．（4分）如圖所示，某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD，AE，DF為梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡長(zhǎng)AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，則背水坡的坡長(zhǎng)CD為（　?。┟祝?br />
A．20 B．20 C．10 D．20
【解答】解：由題意得：四邊形AEFD是矩形，
∴DF＝AE，
∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡長(zhǎng)AB＝10米，
∴DF＝AE＝10×sin45°＝10（米），
∵背水坡CD的坡度i＝1：，
∴tanC＝i＝＝＝，
∴∠C＝30°，
∴CD＝2DF＝2AE＝20（米），
故選：A．
12．（4分）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別在BC、CD上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），連接BF、AE，交于點(diǎn)P，且滿足．連接CP，若AB＝4，BC＝6，則CP的最小值為（　　）

A．2﹣3 B．2﹣2 C．5 D．3
【解答】解：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
則∠BAE+∠BEP＝90°，
又∵，
∴
∴△ABE∽△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠CBF+∠BEP＝90°，即AE⊥BF，
∴點(diǎn)P為以AB的中點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓上一點(diǎn)，

則當(dāng)點(diǎn)O、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，OC的值為最小值，即CP的值也為最小值．
∴當(dāng)CP取最小值時(shí)，CP＝OC﹣OP，
∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝90°，
∴OB＝OP＝AB＝×4＝2，則OC＝＝＝，
∴CP＝OC﹣OP＝﹣2．
故選：B．
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分.只要求填寫最后結(jié)果）
13．（4分）納米是一種長(zhǎng)度單位，1納米＝10﹣9米，冠狀病毒的直徑為1.2×102納米，用科學(xué)記數(shù)法表示為 　1.2×10﹣7　米．
【解答】解：∵1納米＝10﹣9米，
∴1.2×102納米＝1.2×102×10﹣9米＝1.2×10﹣7米．
故答案為：1.2×10﹣7．
14．（4分）在《九章算術(shù)》中，二元一次方程組是通過“算籌”擺放的．若圖中各行從左到右列出的三組算籌分別表示未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，如圖1表示方程組是，則如圖2表示的方程組是　?。?br />
【解答】解：依題意得：．
故答案為：．
15．（4分）已知拋物線y＝ax2+bx+c如圖所示，它與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是﹣1，5．
對(duì)于下列結(jié)論：
①abc＞0；
②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5；
③9a﹣3b+c＜0；
④當(dāng)x＜2時(shí)，y隨著x的增大而增大．
其中正確的結(jié)論是 ?、冖邰堋。ㄌ顚懡Y(jié)論的序號(hào)）．

【解答】解：∵拋物線開口向下、頂點(diǎn)在y軸右側(cè)、拋物線與y軸交于正半軸，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①錯(cuò)誤；
∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是﹣1，5．
∴方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5，故②正確；
∵當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，故③正確；
∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是﹣1，5，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝2，
∵拋物線開口向下，
∴當(dāng)x＜2時(shí)，y隨著x的增大而增大，故④正確；
故答案為：②③④．
16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以AB、BC、AC邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”．當(dāng)AB＝8，BC＝4時(shí)，則陰影部分的面積為 　8?。?br />
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
∴AC＝＝4，
則陰影部分的面積＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2
＝×4×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）
＝8，
故答案為：8．
17．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（8，0），（8，6），（0，6），點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△OCD沿OD翻折，使點(diǎn)C落到點(diǎn)E處．當(dāng)B，E兩點(diǎn)之間距離最短時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 　（3，6）　．

【解答】解：如圖1，連接OB，
∵點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（8，0），（8，6），（0，6），
∴OC＝6，OA＝BC＝8，
∴BO＝＝10，
∵BE≥OB﹣OE，
∴當(dāng)O，E，B三點(diǎn)共線時(shí)，BE的值最小，
即當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)角線OB上時(shí)，BE的值最小，
如圖2，∵將△OCD沿OD翻折，使點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，
∴OE＝OC＝6，DE＝CD，∠DEO＝∠DCO＝90°，
∴∠BED＝90°，BD＝8﹣CD＝8﹣DE，
∵BD2＝DE2+BE2，
∴（8﹣DE）2＝DE2+（10﹣6）2，
解得：DE＝3，
∴CD＝DE＝3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，6），
故答案為：（3，6）．


18．（4分）如圖，已知等邊△ABC，D是邊BC的中點(diǎn)，過D作DE∥AB于E，連接BE交AD于D1；過D1作D1E1∥AB于E1，連接BE1交AD于D2；過D2作D2E2∥AB于E2，…，如此繼續(xù)，若記S△BDE為S1，記為S2，記為S3…，若S△ABC面積為Scm2，則Sn＝　　cm2（用含n與S的代數(shù)式表示）

【解答】解：∵D是邊BC的中點(diǎn)，過D作DE∥AB，
∴E為AC的中點(diǎn)，BE⊥AC，
設(shè)△ABC的高是h，

過E作EM⊥BC于M，
∵BD＝DC，DE∥AB，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，EM⊥BC，
∴AD∥EM，
∴DM＝MC，
∴EM＝AD＝h，
∴s1＝?BC?AD＝s＝，
∵DE∥AB，D1E1∥AB，
∴＝＝2＝，
∴s2＝?AE?h﹣?AE?h＝s＝，
同理s3＝s＝，
…
sn＝，
故答案為：．
三、解答題（本大題共7小題，共78分寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）
19．（10分）（1）先化簡(jiǎn)，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．
（2）解不等式：﹣≤1．
【解答】解：（1）（x﹣1﹣）÷
＝?
＝
＝
＝，
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，原式＝＝1﹣2；
（2）﹣≤1，
去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6，
去括號(hào)，得：4x﹣2﹣15x﹣3≤6，
移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得：﹣11x≤11，
系數(shù)化為1，得：x≥﹣1．
20．（10分）“青年大學(xué)習(xí)”是由共青團(tuán)中央發(fā)起，廣大青年參與，通過學(xué)習(xí)來提升自身理論水平、思維層次的行動(dòng)．夢(mèng)想從學(xué)習(xí)開始，事業(yè)從實(shí)踐起步．某校為了解九年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)“青年大學(xué)習(xí)”的情況，隨機(jī)抽取部分九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，按照調(diào)查結(jié)果，將學(xué)習(xí)情況分為優(yōu)秀、良好、合格、較差四個(gè)等級(jí)．學(xué)校繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）本次參與問卷調(diào)查的初中生共有　80　人，將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“合格”所對(duì)應(yīng)的百分比為　30　%，“較差”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為　36　度；
（3）該校某班有4名同學(xué)（2名男同學(xué)、2名女同學(xué)）在調(diào)查中獲得“優(yōu)秀”等級(jí)，班主任將從這4名同學(xué)中隨機(jī)選取2名同學(xué)，代表班級(jí)參加學(xué)校組織的“青年大學(xué)習(xí)”演講大賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩位同學(xué)恰好是1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的概率．
【解答】解：（1）抽取的學(xué)生人數(shù)為：16÷20%＝80（人），
抽取的學(xué)生中良好的人數(shù)為：80﹣16﹣24﹣8＝32（人），
將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整如下：

故答案為：80；

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“合格”所對(duì)應(yīng)的百分比為：×100%＝30%；
“較差”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為360°×＝36°．
故答案為：30，36；

（3）畫樹狀圖如圖：

共有12個(gè)等可能的結(jié)果，所選兩位同學(xué)恰好是1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的結(jié)果有8個(gè)，
則所選兩位同學(xué)恰好是1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的概率為＝．
21．（11分）如圖，一次函數(shù)y＝x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于B，D兩點(diǎn)，且AC＝BC．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）已知P是x軸正半軸上一點(diǎn)，作PM⊥x軸交直線AB于點(diǎn)M，交雙曲線于點(diǎn)N，當(dāng)O，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵一次函數(shù)y＝x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣2，
故A（﹣2，0），C（0，1），
∵CO⊥x軸于點(diǎn)O，BE⊥x軸于點(diǎn)E，
∴CO∥BE，
∴△AOC∽△AEB，
∵AC＝BC，
∴AO＝OE＝2，
即B點(diǎn)橫坐標(biāo)為：2，
則y＝×2+1＝2，
∴B（2，2），
∴把B點(diǎn)代入y＝（k≠0），
解得：xy＝4，
即y＝；
（2）如圖2，由題意可得：CO∥MN，只有CO＝MN時(shí)，O，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)或D點(diǎn)右側(cè)時(shí)，設(shè)P（a，0）（a＞0），則N（a，），M（a，a+1），
故MN＝a+1﹣＝CO＝1，
解得：a＝2（負(fù)值舍去）；
當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)或D點(diǎn)左側(cè)時(shí)，設(shè)P（a，0），則N（a，），M（a，a+1），
故MN＝﹣（a+1）＝CO＝1，
解得：a＝﹣2+2（負(fù)值舍去）；
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（﹣2+2，0）．


22．（11分）我校在開學(xué)初購(gòu)買了A、B兩種品牌的排球，購(gòu)買A品牌排球花費(fèi)了2500元，購(gòu)買B品牌排球花費(fèi)了2000元，且購(gòu)買A品牌的排球數(shù)量是購(gòu)買B品牌排球數(shù)量的2倍，已知購(gòu)買一個(gè)B品牌排球比購(gòu)買一個(gè)A品牌排球多花30元．
（1）求購(gòu)買一個(gè)A品牌、一個(gè)B品牌的排球各需多少元？
（2）學(xué)校決定再次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌排球共50個(gè)，恰逢兩種品牌排球的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，A品牌排球售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)提高了8%，B品牌排球按第一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的9折出售，如果學(xué)校第二次購(gòu)買A、B兩種品牌排球的總費(fèi)用不超過3240元，那么學(xué)校第二次最多可購(gòu)買多少個(gè)B品牌排球？
【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買一個(gè)A品牌排球需要x元，則購(gòu)買一個(gè)B品牌排球需要（x+30）元，
依題意得：＝2×，
解得：x＝50，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解，且符合題意，
∴x+30＝50+30＝80．
答：購(gòu)買一個(gè)A品牌排球需要50元，購(gòu)買一個(gè)B品牌排球需要80元．
（2）設(shè)學(xué)校第二次最多可購(gòu)買m個(gè)B品牌排球，則購(gòu)買（50﹣m）個(gè)A品牌排球，
依題意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3240，
解得：m≤30．
又∵m為正整數(shù)，
∴m可以取的最大值為30．
答：學(xué)校第二次最多可購(gòu)買30個(gè)B品牌排球．
23．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．
（1）如圖1所示，點(diǎn)M，N分別在線段AD，AB上，且∠BMN＝90°，當(dāng)∠AMN＝30°，AB＝時(shí)，求線段AM的長(zhǎng)；
（2）如圖2所示，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且BE＝AF，求證：△DEF是等腰直角三角形；
（3）如圖3所示，點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在AC上，且∠BMN＝90°，求證：AB+AN＝AM．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵AB＝，
∴AD＝BD＝DC＝AB＝×＝，
∵∠AMN＝30°，
∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠MBD＝90°﹣60°＝30°，
∴BM＝2DM，
由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，
即（2DM）2﹣DM2＝（）2，
解得：DM＝1，
∴AM＝AD﹣DM＝﹣1；
（2）證明：如圖2，由（1）得：∠DAF＝∠DBE＝45°，AD＝BD，
又∵BE＝AF，
∴△DAF≌△DBE（SAS），
∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
即∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
即∠EDF＝90°，
又∵DF＝DE，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（3）證明：過點(diǎn)M作MP⊥AM，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，如圖3所示：
∴∠AMP＝90°，
∵∠PAM＝45°，
∴∠P＝∠PAM＝45°，
∴AM＝PM，
∵∠BMN＝∠AMP＝90°，
∴∠BMP＝∠AMN，
又∵∠DAC＝∠P＝45°，AM＝PM，
∴△AMN≌△PMB（ASA），
∴AN＝PB，
∴AP＝AB+BP＝AB+AN，
在Rt△AMP中，∠AMP＝90°，AM＝MP，
∴AP＝AM，
∴AB+AN＝AM．


24．（12分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)D是在直線AC上方的拋物線的一點(diǎn)，DN⊥AC于點(diǎn)N，DM∥y軸交AC于點(diǎn)M，求△DMN周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，OP與AC相交于點(diǎn)Q，求的最大值．
【解答】解：（1）法一：依題意，得，
解之，得，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+3x+4．
法二：依題意，得y＝a（x﹣4）（x+1）（a≠0），
將C（0，4）坐標(biāo)代入得，
﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+3x+4．
法三：依題意，得，
解之，得，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+3x+4．
（2）如圖1，延長(zhǎng)DM交x軸于點(diǎn)H，

∵OA＝OC＝4，OA⊥OC，DM∥y軸交AC于點(diǎn)M，
∴∠OAC＝45°，∠AHM＝90°，
∵DN⊥AC于點(diǎn)N，
∴∠AMH＝∠DMN＝45°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴．
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b'（k≠0），
將A（4，0）、C（0，4）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，
解得，
所以直線AC的解析式為y＝﹣x+4，
設(shè)D（m，﹣m2+3m+4），
∴M（m，﹣m+4），
∴DM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，DM最大值為4，
此時(shí)D（2，6），
∵△DMN是等腰直角三角形，
∴△DMN周長(zhǎng)＝，
∴△DMN周長(zhǎng)的最大值為，
此時(shí)D（2，6）．
（3）法一：如圖2，過PM∥y軸交AC于點(diǎn)M，

設(shè)P（m，﹣m2+3m+4），
∴M（m，﹣m+4），
∴PM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵PM∥OC，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，的最大值為1．
法二：如圖2，設(shè)Q（m，﹣m+4），P（n，﹣n2+3n+4），

∴．
設(shè)直線OP的解析式為y＝kx（k≠0），
將Q（m，﹣m+4）點(diǎn)代入得，
∴直線OP的解析式，
將P（n，﹣n2+3n+4）坐標(biāo)代入得，，
所以，
化簡(jiǎn)得，
∴，
∵
∴當(dāng)n＝2時(shí)，的最大值為1．
25．（12分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，CF，且CF是⊙O的切線．
（1）求證：∠DCF＝∠CAD．
（2）探究線段CF，F(xiàn)D，F(xiàn)A的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
（3）若cosB＝，AD＝2，求FD的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：如圖，連接OC，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD＝90°，
∴∠OCD+∠OCA＝90°，
∵FC是⊙O的切線，
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
∴∠OCA+∠DCF，
∵OC＝OA，
∴∠CAD＝∠OCA，
∴∠DCF＝∠CAD；
（2）解：FC2＝FD?FA，理由如下：
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝，
∴FC2＝FD?FA；
（3）解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，
∴＝，
由（2）知△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
∴FC2＝FD?FA，
設(shè)FD＝3x，則FC＝4x，AF＝3x+2，
又∵FC2＝FD?FA，
即（4x）2＝3x（3x+2），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．

聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/6/4 11:28:18；用戶：朱文磊；郵箱：fywgy23@xyh.com；學(xué)號(hào)：21522783

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