2024年山東省泰安市東平縣中考二模數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中選擇題48分，非選擇題102分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；
2．選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的正確答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案寫在試卷上無效；
3．?dāng)?shù)學(xué)考試不允許使用計(jì)算器，考試結(jié)束后，應(yīng)將答題卡交回．
第Ⅰ卷（選擇題共48分）
一、單選題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分．每小題給出的四個(gè)答案中，只有一項(xiàng)是正確的．）
1. 下列等式正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行判斷．
根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的運(yùn)算法則即可求出答案．
【詳解】解：A、，故A錯(cuò)誤．
B、，故B錯(cuò)誤．
C、，故C錯(cuò)誤．
D、，故D正確．
故選：D．
2. 下列運(yùn)算正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘除法計(jì)算，積的乘方計(jì)算和完全平方公式，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、，原式計(jì)算正確，符合題意；
B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A．
3. 據(jù)中科院國(guó)家天文臺(tái)，基于我國(guó)郭守敬望遠(yuǎn)鏡和美國(guó)APOGEE巡天的觀測(cè)數(shù)據(jù)，我國(guó)天文學(xué)家精確測(cè)量了距離銀河系中心1.6萬光年至8.1萬光年范圍內(nèi)的恒星運(yùn)動(dòng)速度，并估算出銀河系的“體重”約為8050億個(gè)太陽質(zhì)量，其中數(shù)據(jù)“8050億”用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法：為整數(shù)，進(jìn)行表示即可．
【詳解】解：8050億；
故選C．
4. 在下列四項(xiàng)競(jìng)技運(yùn)動(dòng)的圖案中，是中心對(duì)稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形的識(shí)別．熟練掌握如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，這個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)中心對(duì)稱圖形定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A中不是中心對(duì)稱圖形，故不符合要求；
B中是中心對(duì)稱圖形，故符合要求；
C中不是中心對(duì)稱圖形，故不符合要求；
D中不是中心對(duì)稱圖形，故不符合要求；
故選：B．
5. 把含的直角三角尺和一把直尺擺放成如圖所示的圖形，能使與互余的圖形有（）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，余角和補(bǔ)角，三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)，余角和補(bǔ)角，三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．
【詳解】解：如圖：
，
，
，
，
；
如圖：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
，
，
是的一個(gè)外角，
，
；
如圖：
，
，
，
，
；
如圖：過點(diǎn)作，
，
，
，
，
，
，
；
所以，能使與互余的圖形有4個(gè)，
故選：D
6. 在元旦節(jié)目匯演比賽中，7位評(píng)委給某節(jié)目打分，得到互不相等的7個(gè)分值，同時(shí)去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，則以下四種統(tǒng)計(jì)量中一定不會(huì)發(fā)生改變的是（）
A. 平均數(shù)B. 中位數(shù)C. 方差D. 標(biāo)準(zhǔn)差
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差，根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差的意義即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，從7個(gè)原始評(píng)分中去掉個(gè)最高分和個(gè)最低分，得到5個(gè)有效評(píng)分．
5個(gè)有效評(píng)分與7個(gè)原始評(píng)分相比，不變的是中位數(shù)．
故選：B．
7. 如圖，已知的兩條弦相交于點(diǎn)，那么的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)圓內(nèi)角的大小的理解，對(duì)頂角相等是解本題的關(guān)鍵根據(jù)已知角和對(duì)頂角相等，可以求出的大小，進(jìn)而得出的值
【詳解】已知的兩條弦，相交于點(diǎn)，,
,
∵
故選：
8. 如圖是拋物線（a，b，c是常數(shù)且）的圖象，則雙曲線和直線的大致圖象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系；
根據(jù)，可得，則雙曲線的圖象位于一、三象限；根據(jù)拋物線的圖象判斷出，，，可得，然后根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷．
【詳解】解：根據(jù)拋物線的圖象可得，當(dāng)時(shí)，，即，
∴雙曲線的圖象位于一、三象限；
∵拋物線的開口向上，
∴，
∵拋物線的對(duì)稱軸位于y軸左側(cè)，
∴，
∴；
∵拋物線與y軸交于原點(diǎn)下方，
∴，
∴，
∴直線經(jīng)過第一、二、四象限，
綜上，選項(xiàng)A符合題意，
故選：A．
9. 如圖，將扇形沿方向平移，使點(diǎn)平移到的中點(diǎn)處，得到扇形．若，，則陰影部分的面積為（）
A. 6B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，則，由，可得，則，可得，，，由平移的性質(zhì)，得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，

點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
∴，
∵，
∴，
由平移的性質(zhì)，得，即，
∵，
∴，
∴ ，，
由平移的性質(zhì)，得，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，余弦，正切，扇形面積．正確表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．
10. 我國(guó)明代《算法統(tǒng)宗》一書中有如下的類似問題：“一支竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)兩托，對(duì)折索子來量竿，卻比竿子短一托（一托按照5尺計(jì)算）．”大意是：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，如果用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)10尺；如果將繩索對(duì)折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此題中設(shè)竿長(zhǎng)x尺，繩索長(zhǎng)y尺，根據(jù)題意可列方程組為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組，根據(jù)實(shí)際問題中的條件列方程組時(shí)，要注意抓住題目中的一些關(guān)鍵性詞語，找出等量關(guān)系，列出方程組．本題要注意前后兩次繩和桿的數(shù)量關(guān)系．設(shè)竿長(zhǎng)x尺，繩索長(zhǎng)y尺，根據(jù)第一次用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)10尺，第二次將繩索對(duì)折去量竿，就比竿短5尺，則可得方程組．
【詳解】解：設(shè)竿長(zhǎng)x尺，繩索長(zhǎng)y尺，
由題意可得：，
故選：B．
11. 如圖，在中，，．按照如下步驟作圖：
①分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；
②作直線，交點(diǎn)；
③以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；
④連接．
下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)題意可得：，是的垂直平分線，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用角的和差關(guān)系可得，從而利用三角形的外角性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)等量代換可得，從而可得，進(jìn)而可得，即可判斷A、B，然后證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得，即可判斷C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)，可得即可判斷D．
【詳解】解：，，
，
由題意得：，是的垂直平分線，
，
，
，
，
，
，
，故A正確；
，
，
，
，故B正確；
，，
，
，
，故C正確；
設(shè)，則，
解得：(負(fù)值舍去)
又∵
∴，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰的性質(zhì)，作垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，矩形，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，．若，則m的最小值為（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延長(zhǎng)到G，使，連接、，得到，從而可得，再利用勾股定理即可求出最小值．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)到G，使，連接、，

在矩形，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，即，
∵，
∴，
∴當(dāng)G、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，m取最小值為GC，
，
∴m的最小值為．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、最短距離問題，一般求兩條線段最短距離問題，都轉(zhuǎn)化為一條線段．本題通過構(gòu)造，得到，利用兩點(diǎn)間線段最短解決m取最小值的問題．
第Ⅱ卷（非選擇題共102分）
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分，只要求填寫最后結(jié)果）
13. 已知關(guān)于x方程有至少一個(gè)實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查根據(jù)方程的解的情況求字母系數(shù)取值范圍．熟練掌握一元二次方程有解，則是銀題的關(guān)鍵．注意分類討論．
分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，方程為一元一次方程，有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，方程是一元二次方程，則當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解，求解即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原方程為：，則方程為一元一次方程，有一個(gè)實(shí)數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，方程是一元二次方程，則當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解，
解得：，
綜上，關(guān)于x的方程有至少一個(gè)實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是．
故答案為：．
14. 如圖，在中，，，，O為邊上的一點(diǎn)，以為半徑的半圓O交于點(diǎn)D、交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作半圓O的切線交邊于點(diǎn)F，且，則的半徑為__________．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查切線性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，連接，易得，為等邊三角形，設(shè)圓的半徑為，由勾股定理可得：，列出方程進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，
連接，則：，

∴，
∵是切線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
設(shè)的半徑為，則：，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：；
故答案為：．
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象如圖所示，對(duì)任意的，稱W為a到b時(shí)y的值的“極差”（即時(shí)y的最大值與最小值的差），L為a到b時(shí)x的值的“極寬”（即b與a的差值），則當(dāng)時(shí)，W的取值范圍是___________．

【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．
依據(jù)題意，由，從而可得拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再由，從而，結(jié)合題意可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，故，進(jìn)而可得的范圍．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，
拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
，即與的差值為7，
．
，即，
．
．
當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．
當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，
．
對(duì)稱軸是直線．
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．
當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為4．
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．
綜上所述：．
故答案為：
16. 圖①是某款電動(dòng)平衡車，圖②是其簡(jiǎn)化示意圖，該款平衡車的座位AB和底盤CD均平行于地面，座位AB可沿射線EF方向調(diào)節(jié)，當(dāng)座位AB的位置最低時(shí)，支架，，支架EF與座位AB的夾角，與支架GE的夾角，底盤CD到地面的距離為，則此時(shí)座位AB到地面的高度為___．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】60
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．過點(diǎn)E作，垂足為H，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，根據(jù)已知易得：，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義可求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義可求出的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：過點(diǎn)E作，垂足為H，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵底盤到地面的距離為，
∴此時(shí)座位到地面的高度，
故答案為：60．
17. 南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，后人也將下表稱為“楊惲三角”．則：中，第三項(xiàng)系數(shù)為_____．

【答案】
【解析】
【分析】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題意得到第三項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律即可解答，能夠根據(jù)所給楊輝三角，觀察得出系數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可得，的第三項(xiàng)系數(shù)為，
的第三項(xiàng)系數(shù)為，
的第三項(xiàng)系數(shù)為，
的第三項(xiàng)系數(shù)為，
，
的第三項(xiàng)系數(shù)為，
故答案為：．
18. 已知等腰中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，沿翻折，使點(diǎn)A落在同一平面的點(diǎn)E處，若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
記的交點(diǎn)為F，設(shè)，，則，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，證明，則，即，可得，則，由勾股定理得，，即，整理得，；，即，整理得，；得，，可求，則，，由勾股定理得，，即，可求滿足要求的解，，進(jìn)而可求的值．
【詳解】解：如圖，記的交點(diǎn)為F，設(shè)，，則，，，
由翻折的性質(zhì)可知，，，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，即，整理得，；
，即，整理得，；
得，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
故答案為：．
三、解答題（本大題共7個(gè)小題，共78分，寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟．）
19. （1）計(jì)算
（2），其中．
【答案】（1）1；（2）；5
【解析】
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，分式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．
（1）根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，算術(shù)平方根定義，進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）
，
當(dāng)時(shí)，原式．
20. 非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是中華民族古老生命記憶和活態(tài)的文化基因．某學(xué)校為了讓學(xué)生深入了解非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，決定邀請(qǐng)舞獅，農(nóng)民畫，剪紙，傳統(tǒng)武術(shù)，涼帽（竹編技藝）的相關(guān)傳承人進(jìn)校園宣講，現(xiàn)隨機(jī)抽取若干名七年級(jí)學(xué)生進(jìn)行投票，選擇自己喜歡的項(xiàng)目（假設(shè)每名學(xué)生只能選擇一項(xiàng)），并將投票結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：

根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）參與此次抽樣調(diào)查的學(xué)生共__________人，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；
（2）若七年級(jí)學(xué)生共有人，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，試估計(jì)七年級(jí)喜歡“傳統(tǒng)武術(shù)”項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)；
（3）若該學(xué)校決定邀請(qǐng)兩個(gè)項(xiàng)目的非遺傳承人進(jìn)校園宣講，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求選中農(nóng)民畫和剪紙這兩個(gè)項(xiàng)目的概率．
【答案】（1），見解析；
（2）人；
（3）．
【解析】
【分析】（）從兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中可得樣本中投票“”的有人，占調(diào)查人數(shù)的，根據(jù)即可求出答案，進(jìn)而補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（）求出樣本中投票“”所占的百分比，求出相應(yīng)人數(shù)即可；
（）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率即可；
本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖，列表法或樹狀圖法求簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，理解條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)量之間的關(guān)系以及列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
調(diào)查學(xué)生總數(shù)為（人），
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：

故答案為：；
【小問2詳解】
（人），
答：七年級(jí)喜歡“傳統(tǒng)武術(shù)”項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)有人；
【小問3詳解】
列表如下：
共有種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中恰好選中，這兩個(gè)項(xiàng)目的有種，
所以恰好選中，這兩個(gè)項(xiàng)目的概率為．
21. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接交反比例函數(shù)于點(diǎn)D，連接，若，求的面積；
（3）在（2）的條件下，將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】（1），；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)求出答案即可；
（2）過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)H，設(shè)交y軸于點(diǎn)K，證明，則，得到，求出點(diǎn)，由求出，得到，求出直線的解析式為，得到，則，利用即可求出答案；
（3）過點(diǎn)D作軸，作于H，于G，連接，證明，則，，即可得到．
【小問1詳解】
解：在中，當(dāng)時(shí)，，
，
聯(lián)立方程組，
解得：，（舍去），
；
【小問2詳解】
解：如圖，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)H，設(shè)交y軸于點(diǎn)K，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)直線BC的解析式為，
則，
解得：，
直線BC的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
；
【小問3詳解】
過點(diǎn)D作軸，作于H，于G，連接，如圖，
由旋轉(zhuǎn)得：，，
，
，
，
，，
∵，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為
．
22. 某糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃投入一筆資金購(gòu)買甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具，已知1件甲種農(nóng)機(jī)具比1件乙種農(nóng)機(jī)具多2萬元，用30萬元購(gòu)買甲種農(nóng)機(jī)具的數(shù)量和用20萬元購(gòu)買乙種農(nóng)機(jī)具的數(shù)量相同．
（1）求購(gòu)買1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具各需多少萬元？
（2）若該糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具共20件，且購(gòu)買的總費(fèi)用不超過92萬元，乙的數(shù)量不超過甲數(shù)量的4倍，則如何購(gòu)買費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少萬元？
【答案】（1）購(gòu)買1件甲種農(nóng)機(jī)具需6萬元，1件乙種農(nóng)機(jī)具需4萬元
（2）購(gòu)買甲4件，乙16件最優(yōu)惠，費(fèi)用為88萬元
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用．
（1）設(shè)購(gòu)買1件乙種農(nóng)機(jī)具需x萬元，則購(gòu)買1件甲種農(nóng)機(jī)具需萬元，利用數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用30萬元購(gòu)買甲種農(nóng)機(jī)具的數(shù)量和用20萬元購(gòu)買乙種農(nóng)機(jī)具的數(shù)量相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可；
（2）設(shè)該糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃購(gòu)買甲種農(nóng)機(jī)具m件，則計(jì)劃購(gòu)買乙種農(nóng)機(jī)具件，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合購(gòu)買的總費(fèi)用不超過92萬元，乙的數(shù)量不超過甲數(shù)量的4倍，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之取其中的最值即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
設(shè)購(gòu)買1件乙種農(nóng)機(jī)具需x萬元，則購(gòu)買1件甲種農(nóng)機(jī)具需萬元，
根據(jù)題意得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
∴，
答：購(gòu)買1件甲種農(nóng)機(jī)具需6萬元，1件乙種農(nóng)機(jī)具需4萬元．
【小問2詳解】
設(shè)該糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃購(gòu)買甲種農(nóng)機(jī)具m件，則計(jì)劃購(gòu)買乙種農(nóng)機(jī)具件，
根據(jù)題意得，，
解得，
所以共有三種方案，
當(dāng)時(shí)，購(gòu)買甲4件，乙16件，費(fèi)用（萬元）；
當(dāng)時(shí)，購(gòu)買甲5件，乙15件，費(fèi)用（萬元）；
當(dāng)時(shí)，購(gòu)買甲6件，乙14件，費(fèi)用（萬元）；
∴購(gòu)買甲4件，乙16件總費(fèi)用費(fèi)用最低，最低費(fèi)用：（萬元）
答：購(gòu)買甲4件，乙16件最優(yōu)惠，費(fèi)用為88萬元．
23. 已知矩形中，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)．
（1）如圖1，若，求的值；
（2）如圖2，連接交于點(diǎn)，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)．
（1）證明，得即即可；
（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，先證明得，故得，再證明四邊形是菱形，得，，，故得，最后求即可．
【小問1詳解】
解：是的中點(diǎn)，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
；
【小問2詳解】
延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，如圖2所示：
四邊形是矩形，
，，，
，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，作直線交軸于點(diǎn)，若，求的值；
（3）如圖3，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，是否存在合適的值，使四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）先求得，再用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先用待定系數(shù)法求出直線解析式，再把代入求解即可；
（3）求出，，，，則，，根據(jù)，得，求解即可．
【小問1詳解】
解：∵，，軸，
∴
把，代入，得
解得：，
∴．
【小問2詳解】
解：∵點(diǎn)C在拋物線上，
∴，
設(shè)直線解析式為，
把，代入，得
，
解得：，
∴直線解析式為，
∵，，
∴
∴
把代入，得
解得：．
∵
∴
【小問3詳解】
解：∵，，
∴，
對(duì)于拋物線，當(dāng)時(shí)，，
∴，
由（2）知：直線解析式為，
當(dāng)時(shí)，
∴
∴
∵
∴，，
∴，
∵軸，軸，
∴當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，
∴
解得：，
∵
∴
∴存在，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與特征四邊形綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，平行四邊形的判定，二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解一次二次方程．熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，為的直徑，是圓上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，，
（1）求證：是的切線；
（2）若點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接、，，．
①求的值；
②若為的角平分線，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見詳解（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，證明，再根據(jù)圓周角定理得出，即可證明，即可證明；
（2）①連接，證明，設(shè)的半徑為，利用相似三角形的性質(zhì)得，由勾股定理求得，得到，即可得到；
②過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解．
【小問1詳解】
連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∴是的切線；
【小問2詳解】
①解：連接，
∵是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)的半徑為，則，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，
，
，
，
，
；
②如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
，
是的角平分線，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理及推論，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

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