一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】故，
故.
故選：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 充要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由，即，解得，
所以由推不出，故充分性不成立；
由推得出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：C.
3. 下列說法正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
【答案】D
【解析】對于A：若，，滿足，但是，故A錯誤；
對于B：若，，滿足，但是，故B錯誤；
對于C：當時，，故C錯誤；
對于D：因為，則，所以，所以，即，
故D正確.
故選：D.
4. 已知函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函數的定義域為，故，
若函數有意義，則，解得.
則函數的定義域為.
故選：B.
5. 若，則（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】，，，，
.
故選：B.
6. 已知函數為定義在上的奇函數，當時，，則當時的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】當時，，當且僅當取等號，
所以當時，的取值范圍是，
又因為函數為定義在上的奇函數，
所以當時，，則，
即當時，的取值范圍是.
故選：B.
7. 若命題“，不等式恒成立”是真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】命題“，不等式恒成立”是真命題，
則，
令，則，則，可得，
因為函數、在區(qū)間上均為減函數，
所以，函數在區(qū)間上為減函數，
故當時，，所以，.
因此，實數的取值范圍是.
故選：A.
8. 存在三個實數，滿足下列兩個等式：①；②，其中表示這三個實數中的最大值，則（ ）
A. 的最大值是2B. 的最小值是2
C. 的最大值是D. 的最小值是
【答案】B
【解析】由題意可知，中有2個負數，1個正數，其中是負數，，
則，
所以，則，且，
所以，即，所以的最小值為2.
故選：B.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列結論正確的有（ ）
A. B.
C. D. 若，則
【答案】AC
【解析】對于A：，
，
所以，故A正確；
對于B：，
，
所以，故B錯誤；
對于C：
，故C正確；
對于D：因為，
所以，，
所以，故D錯誤.
故選：AC.
10. 已知函數滿足，下列結論正確的是（ ）
A. B.
C. 為奇函數D. 為偶函數
【答案】ABC
【解析】依題意，
令，得，故A正確；
令，則，
則，所以，
令，所以，所以為奇函數，
即為奇函數，故C正確，D錯誤；
令，由可得，
所以，故B正確.
故選：ABC.
11. 已知，則下列結論正確的有（ ）
A. 的最小值為4B. 的最小值為9
C. 的最小值為10D. 的最小值為128
【答案】BD
【解析】因為，
所以，解得（負值已舍去），
所以，
當且僅當，即時，的最小值取到，故A錯誤；
因為，所以，
所以，
當且僅當，即時，取到最小值為9，故B正確；
，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，
故C錯誤；
因為，所以，當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為，故D正確.
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 計算______________.
【答案】
【解析】原式.
13. 若函數在區(qū)間上單調遞減，則實數的取值范圍是______.
【答案】
【解析】當時，在區(qū)間上單調遞減，故成立，
當時，要使函數在區(qū)間上單調遞減，
所以，解得：.
綜上所述，實數的取值范圍是.
14. 如圖，邊長為4的菱形ABCD的兩條對角線交于點，且.動點從點出發(fā)，沿著菱形四條邊逆時針運動回到點，記運動的路程為，點到點距離的平方為，則函數在上單調遞______________（填“增”或“減”）；若關于的方程恰有4個不等實根，則實數的取值范圍是______________.
【答案】減 或
【解析】由點作，垂足為點，
由題意可知，是等邊三角形，邊長為4，所以，
點由點到點的過程中，OP變短，所以在上單調遞減；
點到各邊的距離都是，如圖，垂足分別為，
，，
所以，
畫出函數的圖象，
當時，取得最小值3，時的函數值為4，時的函數值為12，
與y=fx有4個交點時，或.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.
解：（1）因為，
當時，，則或，
所以，或.
（2）因為是的充分不必要條件，則，則，解得.
因此，實數的取值范圍是.
16. 已知函數.
（1）若，求的值；
（2）若，求函數的最小值.
解：（1）因為，所以，
兩邊平方可得，所以.
（2）因為，
所以，
令，則，當且僅當時，
即時，等號成立，即，
所以，對稱軸，
所以函數在上單調遞增，
即時，，
所以函數的最小值為.
17. 已知定義在上的奇函數滿足：對，且，都有成立，且.
（1）若函數.
①求證：函數是偶函數；
②求函數的單調區(qū)間；
（2）求不等式的解集.
解：（1）①∵是定義在上的奇函數，∴.
∴，
∴函數是偶函數.
②設且，則，
由，得，
∴，即，
所以函數在0,+∞上是減函數；
又∵函數是偶函數，∴在上是增函數；
所以的單調減區(qū)間是0,+∞；單調增區(qū)間是.
（2）∵，是偶函數，∴，
由，故可轉化為或，
當時，由得，即，
因為在0,+∞上是減函數，∴；
當時，由得，即，
因為在上是增函數，∴.
即不等式的解集為.
18. 已知函數
（1）若是上的增函數，求實數的取值范圍；
（2）若，方程有三個實數解.
①寫出實數和的取值范圍；
②求證:.
解：（1）因為，
又是上的增函數，所以，解得，
所以實數的取值范圍為.
（2）當時，
當時，所以0,2上單調遞減，
在上單調遞增，
，令，即，解得；
當時，則在上單調遞增，
且，；
則的圖象如下所示：
①因為方程有三個實數解，即y=fx與有三個交點，
由圖可知，且，，
所以.
②由①可知，
所以，
所以
令，
因為，所以，則，
所以，則，
又對勾函數在上單調遞減，在上單調遞增，
又，
所以，所以，
所以.
19. 已知二次函數滿足：有兩個實數根.
（1）若，求實數的取值范圍；
（2）若，記在時的最小值為，求的表達式；
（3）若與都是整數且，求的值.
解：（1）由已知有兩個不等實根，
所以，解得或.
（2）由，可知，
又，故，顯然，
所以，
當時，的圖象是開口向上的拋物線，
當時，，，
當時，，
當時，的圖象是開口向下的拋物線，
時，，，
時，，，
所以.
（3）由題意，，
由得，
又方程的解都是整數，則或2，
，即時，，，
，即時，，．
綜上，時，，，時，，．

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