第I卷（選擇題共58分）
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A. 36B. 32C. 16D. 12
【答案】A
【解析】因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以化為，
解得，又因為，所以，所以，
所以.
故選：A.
2. 若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（ ）
A. 1B. C. D. 0
【答案】B
【解析】由，
根據(jù)題意可知.
故選：B
3. 已知直線與圓相交于兩點，若，則（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】如圖所示：

設坐標原點到直線的距離為，則.
設線段的中點為，
則，根據(jù)勾股定理，有.
由，得，故，解得，故.
故選：B.
4. 高二年級進行消防知識競賽，統(tǒng)計所有參賽同學的成績，成績都在內，估計所有參賽同學成績的第75百分位數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為，所以.
參賽成績位于內的頻率為，
第75百分位數(shù)在內，
設為，則，
解得5，即第75百分位數(shù)為85，
故選：C.
5. 記的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，的平分線交邊AC于點D，且，則（ ）
A. B. C. 6D.
【答案】D
【解析】因為及，可得，
由余弦定理得，
又由，所以，
因為，即，解得，
由余弦定理得，即．
故選：D．
6. 2024年春節(jié)檔賀歲片《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《熊出沒·逆轉時空》異?；鸨?、乙等5人去觀看這三部電影，每人只觀看其中一部，甲、乙不觀看同一部電影，則選擇觀看的方法有（ ）
A. 243種B. 162種C. 72種D. 36種
【答案】B
【解析】先安排甲、乙兩人，有種方法，再安排其余3人，每人有3種安排方法，故共有（種）方法.
故選：B.
7. 已知函數(shù)，則關于的不等式解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因為
，
由可得或，即函數(shù)的定義域為，
因為，
所以，函數(shù)為偶函數(shù)，
任取、，且，則，，，
令，則
，即，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，
由可得，可得，
解得或，
因此，原不等式的解集為.
故選：C.
8. 已知拋物線，圓，為圓外一點，過點作圓的兩條切線，，直線與拋物線交于點，，直線與拋物線交于點，，若，則（ ）
A. 16B. 8C. 4D. 1
【答案】C
【解析】由題意，且都與拋物線有兩個不同的交點，所以，
故設過點且與圓相切的切線方程為，即，
由題意得，整理得，（*），
設直線斜率分別為，則是方程（*）的兩個實根，
故，
由，得，
因，，，，
所以，
所以
.
故選：C.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，有選錯得0分，部分選對得部分分）
9. 設離散型隨機變量的分布列如表，若離散型隨機變量滿足，則（ ）
A. B. ，
C. ，D. ，
【答案】BD
【解析】因為，所以，A選項錯誤；
由，
故，
因此選項B正確；
又，所以，，，故C錯D對.
故選：BD.
10. 已知一元二次不等式的解集為，則下列說法正確的是（ ）
A. 不等式解集的充要條件為
B. 若，則關于的不等式的解集也為
C. 若，則關于的不等式的解集是，或x>12
D. 若，且，則的最小值為8
【答案】AD
【解析】選項A：不等式解集，
等價于一元二次函數(shù)的圖象沒有在軸上方的部分，故
等價于，所以選項A正確；
選項B：取值，，此時能滿足，
而的解集為，或，的解集為，故B選項錯誤；
選項C：因為一元二次不等式的解集為，
所以得到與是的根且，
故有，解得，
所以不等式即為，
等價于不等式的解集，所以選項C錯誤；
選項D：因為，所以，即，
令，
所以
，當且僅當即取“=”，選項D正確.
故選：AD.
11. 已知函數(shù)，的定義域均為R，它們的導函數(shù)分別為f'x，，且，，若gx+2是偶函數(shù)，則下列正確的是（ ）．
A.
B. 4為函數(shù)的一個周期
C. 是奇函數(shù)
D. ，則
【答案】ABD
【解析】A選項，gx+2為偶函數(shù)，故，
兩邊求導得，，
令得，解得，A正確；
B選項，因為，，
所以①，
因為，所以②，
則①②相減得，③，
又④，
則③④相減得，即，
故4為函數(shù)的一個周期，B正確；
C選項，假如為奇函數(shù)，則，
當時，可得，
但，當可得，
顯然不滿足要求，故不是奇函數(shù)，C錯誤；
D選項，因為，所以，
又，故，
由B選項得，
故，解得，
且，
由B選項知的一個周期為4，故，
所以，
則，D正確.
故選：ABD
第II卷（選擇題共92分）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 集合滿足，則集合的個數(shù)有________個.
【答案】3
【解析】因為，即?，所以，，，即集合的個數(shù)有3個.
13. 已知函數(shù)，則________．
【答案】
【解析】，，
，
14. 已知M 是橢圓上一點，線段 AB是圓的一條動弦,且則的最大值為_______.
【答案】70
【解析】如圖，設中點為，
由，，
故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
，
，設，
則
，
當且僅當時，，
所以，
.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在中，角所對的邊分別為，已知，角的平分線交邊于點，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面積.
解：（1）因為，
由正弦定理可得
，所以，故，.
（2）由題意可知，
即，化簡可得，
在中，由余弦定理得，
從而，解得或（舍），
所以.
16. 如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，為等邊三角形.
（1）證明：平面.
（2）若為等邊三角形，求平面與平面夾角的余弦值.
解：（1）記為的中點，連接.
因為為等邊三角形，所以，
因為，所以，
又平面，所以平面，
因為平面，所以，
又平面，
所以平面.
（2）以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為為等邊三角形，，所以到底邊的距離為，
因為為等邊三角形，，所以到底邊的距離為，
則，
所以，
設平面的法向量為，則，即，
令，則，故，
設平面的法向量為n=a,b,c，則即，
令，則，故，
因為，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
17. 籃球運動深受青少年喜愛，2024《街頭籃球》全國超級聯(lián)賽賽程正式公布，首站比賽將于4月13日正式打響，于6月30日結束，共進行13站比賽.
（1）為了解喜愛籃球運動是否與性別有關，某統(tǒng)計部門在某地隨機抽取了男性和女性各100名進行調查，得到列聯(lián)表如下：
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為喜愛籃球運動與性別有關？
（2）某?；@球隊的甲、乙、丙、丁四名球員進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記甲第次觸球的概率為，則.
（i）證明：數(shù)列Pn-14是等比數(shù)列；
（ii）判斷第24次與第25次觸球者是甲的概率的大小.
附：.
解：（1）假設：喜愛籃球運動與性別獨立，即喜愛籃球運動與性別無關.
根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經計算得，
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即能認為喜愛籃球運動與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不超過0.001.
（2）（i）由題意，，
所以
又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
（ii）由（i）得，，
所以，.
故甲第25次觸球者的概率大.
18. 已知橢圓E：，橢圓上有四個動點A，B，C，D，，AD與BC相交于P點.如圖所示.

（1）當A，B恰好分別為橢圓的上頂點和右頂點時，試探究：直線AD與BC的斜率之積是否為定值？若為定值，請求出該定值；否則，請說明理由；
（2）若點P的坐標為，求直線AB的斜率.
解：（1）由題意知，，，所以，，所以，
設直線CD的方程為，設，，
聯(lián)立直線CD與橢圓的方程，整理得，
由，解得，且，
則，，
所以
，
故直線AD與BC的斜率之積是定值，且定值為.
（2）設，，，記()，
得.所以.
又A，D均在橢圓上，所以，
化簡得，
因為，所以，
同理可得，
即直線AB：，
所以AB的斜率為.
19. 已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在處的切線方程；
（2）當，若不等式恒成立，求的取值范圍．
解：（1）當時，，則，
，又，
在處的切線方程為：，即.
（2）方法一：令，
則恒成立，
的定義域為，且；
令，則，
在上單調遞增，即在上單調遞增，
又，，
，使得，且當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，
，
由得：，，，
，
，即，
令，則在上單調遞減，
又，，，
設，則，
在上單調遞增，，，
又，的取值范圍為.
方法二：由得：，
，
當時，在，時恒成立，；
當時，設，則，
，在上單調遞增，
，即，，
令，則，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，，
，又，；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
方法三：定義域為，恒成立，必然成立；
令，則，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，
又，當時，，
當時，；
下面證明：當時，恒成立.
，，
，
令，則，
令，則，在上單調遞增，
當時，，，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，，
恒成立，即恒成立；
當時，，，
，使得，且當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，，
由得：，，
，
，，，，
恒成立，即恒成立；
當時，，顯然不滿足恒成立；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.0
1
2
3
4
0.1
0.4
0.2
0.2
喜愛籃球運動
不喜愛籃球運動
合計
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合計
80
120
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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